Вариационная оценка деформаций пластического изгиба трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Работа выполнена по грантам РФФИ № 07-01-00041

и № 07-08-12123.

Список литературы

1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных металлов / С.П. Яковлев [и др.]. М : Машиностроение-1; Изд-во ТулГУ, 2004. 427 с.

2. Механика процессов изотермического формоизменения элементов многослойных листовых конструкций / С.П. Яковлев [и др.]. Тула : Изд-во ТулГУ, 2001. 254 с.

3. Ananev A.I. Manufacture of thin-wall spherical containers by deformation-welding // Welding International. 1999. Vol. 13. №2 6. Р. 495-497.

4. Чудин В.Н., Соболев Я.А., Яковлев С.С. Технологические направления изотермического деформирования и диффузионной сварки высокопрочных сплавов // Технология машиностроения. 2000. № 2. С. 8-13.

5. Yakovlev, S. Yakovlev, V. Chudin, Y. Sobolev

Shaping and diffusion welding of constructional elements

The processes of shaping of the aircrafts’ body elements made of high-strength materials, which include both shaping and pressure diffusion welding, are described. The making process conditions are given. The product samples are presented.

Получено 19.01.09

УДК 621.774.6

С.И. Вдовин, д-р техн. наук, проф., (4862) 41-68-77, mpf-tula@rambler.ru (Росси, Орёл, ОрёлГТУ),

В.Н. Михайлов, доц., (4862) 41-68-77, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Орёл, ОрёлГТУ)

ВАРИАЦИОННАЯ ОЦЕНКА ДЕФОРМАЦИЙ ПЛАСТИЧЕСКОГО ИЗГИБА ТРУБЫ

Рассматривается изгиб моментом тонкостенной трубы с двумя видами ограничений: исключающим и допускающим изменение проходного сечения. В обоих случаях напряженное состояние отличается от линейного ввиду малого относительного радиуса изгиба.

Ключевые слова: деформации, пластический изгиб, тонкостенная труба, напряжения.

Предлагаемая оценка деформации пластического изгиба трубы основывается на методе Ригца и ряде допущений, необходимых для решения в квадратурах вариационных уравнений [1]:

85

ИК Гу=°, (!)

V д

где V - объем деформируемого тела; - предел текучести; Г - интен-

сивность деформаций сдвига; V - варьируемые параметры.

Формулы деформаций в тороидальных координатах имеют вид

р = °р р = 1 диа | ир у др рда р

ди,

8ф = р . • я • uo + п , • Ua’ (2)

sin a cos a

О

R + 0sina дф R + osina F R + osin

a

1 do д

Yoa = д + oO”~ F О da ф

ua

v p .

Здесь ф - угол, отсчитываемый в направлении оси трубы, изогнутой на радиус R; p и a - полярные координаты в сечении трубы. Формулы удовлетворяют общим соотношениям Лямэ для криволинейных ортогональных координат [2].

Запишем условие равенства нулю суммы 8ф+Бр+еа с заменой

радиуса материального волокна изогнутой трубы R + psin a его средним значением R:

1 дф sin a cos a dup 1 dua up п

----ф+-------up +-----ua + —p +---------------------a^-p=0 . (3)

R дф R p R dp p da p

Для получения вариационной оценки деформаций на основе данного уравнения требуется задать функцию перемещения Up или ua. Функции такого рода наывают подходящими, поскольку они не слишком искажают реальную картину деформирования. Исходя из того, что при линейном напряженном состоянии

sin a 2 l\ cos a/ 2 , 2^ ,Л\

up^^-p^ +p) (4) в качестве “подходящей” предлагается функция

ticosa (r2+p2), (5)

Ro

Она содержит варьируемый параметр Vi, а также радиус внутренней границы сечения трубы r и совпадает при Vi = 0,2 5 со своим прототипом -формулой перемещения ua (4).

Используя (5) и принима дUф/dp = psina, получаем решение уравнения (3):

ua

uo

= e-if (°ф с + je f (o0doF(o)do , (6)

r( \ 1 sin a

где f (p)=-^—-p R

F~Psina _ViCOS2a(2 + p2)+ Visina

R

( 2 r

R

+ P

Экспонещишьные функции после интегрирования показателя их степени образуют сходящиеся ряды с суммой членов и Х2:

2

е^^р^, £12 =1 + х + £1 + ..., х .

Произвольна постоянна С определяется из условия сохранения внутреннего радиуса трубы

и

р

Р=Г _ 0 :

(7)

следовательно, выражение (6) можно записать в виде

и

у p

= -LІРІ2 F (pdp). p r

Для тонкостенной трубы, Т.е. при р- r «r , функция ^2 выносится за знак интеграла без существенного изменения конечного результата. Полученное произведение величин Z и ^2, равное единице, исключается из даьнейшего решения. Это равносильно тому, что в уравнении (3) опускается величина Up sin a/R, весьма маа из-за ограничения (7). С учетом скаанного получаем равернутый вид решения (6):

up =

sin a R

(1 _4v1)r3 | (1 - 1)2 +V|r2 3p 3

V1 cos2 a

2 R

2

p 2

— + pr2

2

4

3r

2p

(8)

Имея формулы перемещений up и ua, записываем выражения де-

формаций Sp, єф, Ypa

Г

(9)

(согласно (2)) и интенсивности деформаций сдвета

?|бф + 8ф8р+ 8р + 0,25Ура _ .

Решаем уравнение (1), заменяя тройной интеграл двойным (по площади сечения трубы) и пренебрега переменным характером величины х „. Результатом решения является формула варьируемого параметра

v = ■

f1

4 f11 f2

(10)

где f1 =d 6 +4 d3 -5

f2 =

3

128d2 R 2

(20d 8 + 57 d 6 +78d 4

72

2

101d -36d lnd -54

r

Здесь ё и К обозначают соответственно отношение наружного диаметра трубы к внутреннему ё/(2г) и относительный радиус изгиба К / ё.

Подсчитанные значения V1, например 0,239 и 0,247 при К , равном 2 и 4, и ё =1,1, мао отличаются от значения 0,25, относящегося к линейному напряженному состоянию, когда е.= еа = -0,5бф = -0,5рБт а/ К .Тем

не менее, соотношение деформаций стао несколько иным, особенно в окрестностях нейтраьной поверхности деформаций (рис. 1).

Рис. 1. Эпюры линейных деформаций тонкостенной трубы;

пунктир - этоуа ер

При построении эпюр использоваи данные: К =2, ё =1,1. Ней-траьна поверхность деформаций 8ф сместилась относительно оси трубы, но минимаьное и максимальное значения этой деформации по-прежнему соответствуют линейному напряженному состоянию, поскольку не зависят от перемещения иа (3). Это перемещение достигает наибольших значений вблизи нейтраьной поверхности и порождает нелинейный характер эпюр деформаций за исключением эпюры еа. Последняя является практически линейной, что обусловлено принятой функцией иа, а также условием (6), ограничивающим радиаьное перемещение.

Рассмотрим другой вариант решения данной задачи, используя в качестве прототипа “подходящей” функции формулу и. (4). В этом случае

решение уравнения (3) имеет вид

Произвольную постоянную С не удается назначить таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия иа = 0 при а = ±7т/2 , вытекающего из симметрии деформированного состояния трубы относительно пос-кости изгиба. Следовательно, использование функции (5) для вариационной оценки деформаций является безальтернативным.

В практике трубогибочного производства преобладают процессы деформирования, не обеспечивающие ограничения вида (7). При отсутствии поддержки стенки трубы изнутри проходное сечение уменьшается по высоте, становясь оваьным. Введем в состав функции и. компоненту

Я

иа = е-/(а)а |с + ¡е^(a)аF(а)а ,

иа = е

где / (а)

рсоБ а

К

/ 2 з\, VБта/ 2 2)

р -р )+^г~рР -г .

К

о

3 • 2 У2 г бій а

РЯ0

(11)

содержащую варьируемый параметр V2 и отвечающую за оваизацию

сечения. Наличие величины р— в составе данной компоненты приводит к ее самоуничтожению в формуле деформации £а (2), что позволяет задать функцию перемещения иа в виде (5).

Формулу £ф (2) записываем в виде

1 эф бій а ^ соб а

^ +---------------О +------------------ы,

а, (12)

Я Эф Я Я

заменя Ыр величиной О, которая составляет преобладающую часть данного перемещения. Аналогичную замену производим во втором слагаемом уравнения (3), в результате его решение вида (6) интегрируется в квадратурах. Произвольную постоянную интегрирования определяем из условия

Ыг

2 • 2 ^2г бій а

р=г'

Я

о

которое следует из принятой функции (11). уравнения (3):

Результат решения

Ыг

(1+ У1 )бі

бій а

3Я0

+

V! бій а

3

+

V2 бій а

( 4

Яо2

Яо

+

-- г

+

23 V 2 бій а г

Яо

р

Первые три слагаемых правой части данного выражения радиального перемещения содержат в круглых скобках разности весьма близких величин, поскольку текущий радиус р тонкостенной трубы не может намного отличаться от внутреннего радиуса г . В последнем слагаемом подобная разность отсутствует, оно оказаось идентичным функции О (11) и по своей значимости, по-видимому, превосходит остаьные слагаемые. Будучи включенной в выражение £ф (12) величина О придает сбалансированный характер влиянию овализации сечения трубы на работу деформирования. С одной стороны, учет этой величины приводит к уменьшению абсолютных значений £ф, с другой - вызывает деформации сдвига Ура.

Полученное выражение ир, а также функцию иа (5) используем для записи деформаций £р, £ф, Ура и интенсивности деформаций сдвига (9). Реша систему двух уравнений вида (1) (по числу варьируемых пара-

3

3

2

метров - у и у2), получаем ^ » 0,25. Рассчитанные значения мало за-

висят от ( и весьма существенно от Я (таблица).

Зависимость у2 и ( от значения Я

R 2 4 5

d 1,05 1,1 1,05 1,1 1,05 1,1

v2 -0,175 -0,184 -0,090 -0,094 -0,072 -0,075

Принимая v1 = 0,25, имеем вместо двух вариационных уравнений

(I) одно, его решение относительно v2 :

___________ -44Rd3(d2 -i)_______________

V2 128R 2d2(d2 -i)+58lnd- 47d2 +76d -29

Значения V2, рассчитанные по данной формуле, совпадают с теми, что дает решение системы двух уравнений (1), по крайней мере, в трех значащих цифрах. Если привести эту формулу к виду

-lid

v2 ~---—, (13)

2 32R

получаем завышение рассчитываемого параметра приблизительно на 2,5 % при R = 2 и на 1 % при R =4.

Относительное уменьшение высоты сечения согласно формулам

(II)и(13)

М -11

d 64 R2 d2

представляет собой небольшую величину, поскольку при изгибе моментом радиус оси трубы не может быть меньше нескольких диаметров.

Учет овализации существенно сказывается на рассчитанных соотношения деформаций, что иллюстрируют эпюры на рис 2, построенные исходя из относительного радиуса гибки R / d _ 2 и толщины стенки, равной 0,05d.

Рис. 2. Эпюры деформаций тонкостенной трубы, рассчитанных с учетом овализации сечения

Деформации ура, действующие в левой и правой половинах сечения трубы, имеют противоположные знаки; их эпюры на рис. 2 относятся к левой половине. Наличие сдвиговых деформаций, а также существенно неодинаковые значения 8р и sa - все это говорит об отличи напряженного состояния трубы от линейного.

Изложенный метод оценки деформированного состояния изгибаемых труб может быть распространен на различные схемы гибки, многие из которых классифицируются как изгиб поперечной силой. Переменной кривизне оси изогнутой трубы должна соответствовать система координат, отлична от тороидальной.

Список литературы

1. Теория обработки металлов давлением / И.Я. Тарновский [и др.]; под ред. И.Я. Тарновского М. : Металлургиздат. 1963. 672 с.

2. Гун Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. М. : Металлургия. 1980. 456 с.

S. Vdovin, V. Mikhailov

Variational estimation of the plastic bending deformation of pipe

Force moment bending of thin-walled pipe with two types of limitation - excluding and admitting flow passage is considered. The stressed state differs from linear in both cases on account ofsmall relative bending radius.

Получено 19.01.09

УДК 539. 374

Г.В. Панфилов, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,

Archon80@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМИ КРУГОВЫМИ ПЛАСТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ

Приведены функции и операционные отношения интегрального преобразования Лапласа-Карсона, позволяющие методом линий скольжения определять напряженное состояние в пластической области широкого типа технологических задач обработки металлов давлением.

Ключевые слова: пластическое деформирование, операционное исчисление, цилиндрические функции, лораифмические спирали.

В технологических задачах обработки металов давлением значительное место занимают такие, в которых пластические области выходят на свободные от внешних нагрузок круговые или аппроксимированные как