Об упругопластической деформации трубы изогнутой внешними моментами по оправке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О. С. Букашкина

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№1)

ОБ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ТРУБЫ ИЗОГНУТОЙ ВНЕШНИМИ МОМЕНТАМИ ПО ОПРАВКЕ

В наши дни производственный процесс гидроформинга широко применяется в автомобильной промышленности. Основные приложения данной технологии включают в себя изготовление несущих деталей корпуса автомобиля, бамперов, выхлопных труб и т.д. Процесс гидроформинга заключается в придании трубе заданной формы посредством подачи в нее воды под высоким давлением. Форма изделия задается пресс матрицей. Для размещения заготовки в виде прямой трубы в пресс-матрице требуется ее предварительный изгиб. Изучению этой стадии процесса посвящена настоящая работа. Целью исследования является построение аналитической модели изгиба трубы и предсказание деформации ее кругового сечения. Овализация сечения бесконечно длинной упругой трубы при чистом изгибе изучалась Бразье в 1927 году [1]. В данной работе исследуется упругопластическая деформация сечения, а также производится учет влияния оправки и изменения толщины стенки трубы во время деформации.

1. Математическая модель. Рассмотрим изначально прямую цилиндрическую трубу с радиусом кругового сечения г и толщиной стенки к. Предположим, что лишь часть трубы длиной Ь подвержена изгибу моментом М (рис. 1) и что остальная часть остается прямой в продольном направлении и круговой в окружном. Таким образом, на концах участка длины Ь происходит нарушение условия непрерывности деформаций. Наибольшая овализация сечения происходит в центре изгиба, а на концах Ь/2, -Ь/2 она нулевая. Принцип Сен-Венана утверждает, что такое упрощение модели возможно и дает верное предсказание напряженно-деформируемого состояния для большей части трубы, за исключением области вблизи концов рассматриваемого участка Ь/2, -Ь/2. Труба деформируется по оправке и в конечном положении достигает равновесия с кривизной в продольном направлении, равной кривизне оправки 1/Д (рис. 1).

£

Рис. 1. Общий вид модели.

Данное исследование основано на следующих предположениях. Отношение Н/К достаточно мало, таким образом в рамках задачи действует теория Кирхгофа—Лява.

© О. С. Букашкина, 2003

Сечения трубы остаются плоскими и перпендикулярными к продольной оси в процессе деформации. Следуя примеру Бразье, примем, что сечения нерастяжимы, деформациями сдвига и кручения пренебрегаем. Рассматриваем упрогопластические деформации для изотропного материала. Оправка предполагается твердым телом. Деформация симметрична относительно срединного сечения г = 0. Трением между трубой и оправкой, а также удлинением нейтральной оси в процессе деформации пренебрегаем.

Рис. 2. Сечение трубы до деформации и после.

Поскольку оправка предполагается твердым телом, то при взаимодействии с трубой контактная сила р, возникающая в точке соприкосновения, не совершает работы. Перемещения будут лежать в плоскости, перпендикулярной продольной оси трубы (рис. 2).

Опираясь на данные экспериментов из работы [2], выберем в качестве функции прогиба следующую:

/ пх \

ги(в, ?7, г) = {гасов(20) + ?’78т(30) — 1]/Зв1п(в)}сов ( — ] ,

„ * , * ^ ^ (1)

0 < в < 2л,-----<??<—,--------< £ < —

-- > 2_/_2, 2__2

Здесь а, в, 7 — неизвестные коэффициенты функции перемещения, они будут опреде-

лены при применении принципа Лагранжа о минимуме потенциальной энергии для истинных деформаций, п — координата вдоль толщины трубы. Геометрический смысл слагаемых предложенной функции прогиба следующий. Введем в рассмотрение полярную систему координат (р, в). Здесь р расстояние от центра недеформированного сечения до точки срединной поверхности деформированного сечения

/ пх \

9, г) = г(1 + асов(2в) + 78т(30))соз ■ (2)

Ь

Точка с координатами (р, в) после деформации перемещается в точку (р + т, в). Слагаемое гасов2в отвечает за переход от круговой формы сечения к эллипсу, симметричному относительно обоих осей х и у. После добавления слагаемого Г7вшЗв симметрия сечения относительно х нарушается. Член пв&^пв отвечает за изменение толщины стенки трубы во время деформации. Заметим, что настоящая форма прогиба удовлетворяет условиям на концах рассматриваемого участка. Предположим, что в процессе деформации сечение нерастяжимо, тогда действительно следующее равенство:

%+* = 0. (3)

Отсюда можно получить выражение для функции v:

v(6,r],z) = | — -rasin(20) + -r7cos(30) — rjfHcos(e) | cos ^j . (4)

Найдем выражения для деформаций ев, ez, eez . Поскольку мы пренебрегаем деформацией сдвига и кручения, eez = 0. Деформация в окружном направлении запишется следующим образом [3]:

1 dv w п d2w п d2w

в г дв г г2 дв2 г2 дв2

Первые два слагаемых отражают деформацию в срединной поверхности и, поскольку растяжение в окружном направлении отсутствует, их сумма равна нулю. Оставшийся член дает вклад в изменение кривизны в окружном направлении. Деформацию в продольном направлении можно представить как сумму деформации срединной поверхности и изменение кривизны в направлении: z

П d2w

— £z0 — q 2 ’ £z0 ~ e0 + xy, (6)

где ео растяжение вдоль оси z в процессе деформации и в нашем случае отсутствует, а у — координата точки срединной поверхности деформированного сечения (рис. 2):

у = (r + w)sin(0) — vcos(0). (7)

Таким образом, мы выразили деформации через параметры (а, в, Y) и координаты. Для дальнейшего исследования нам понадобятся выражения для напряжений.

2. Модель материала. Для случая плоского напряженного состояния необходимо рассмотреть три компоненты напряжений, соответствующие введенным деформациям. В принятых обозначениях они записываются в виде

а = {a0,az,affz}T, ё = {е0, ez, e0z}T. (8)

Известно, что для упругопластических моделей полная деформация содержит два слагаемых: упругую деформацию и пластическую:

£=£el + £pl (9)

Для упругой плоской деформации справедлив закон Гука

а- = Dee1 е-- = ее1 + epl D =

Uij = DtiJ , + ij , D =

1 V 0

Е V 1 0

\ — V2 0 0 1 - г/

2

(10)

Для пластических деформаций вводим в рассмотрение функцию

f(a) =<j -af < 0, (11)

3_T_

где а = у -сгдсгд является эквивалентным девиаторным напряжением, а <т/ напряжением при одноосном растяжении [4]. Известно, что для упругого состояния /(<?) < 0, а

для пластического состояния на пределе текучести /(<т) = 0. Воспользуемся уравнениями пластичности Генки—Ильюшина в следующей форме:

- ?>£р1_ , ч

£о = т;—(То, (12)

2 а

где <7 о можно представить в виде

1 -1/2 0 \

1/2 1 0 1 (13)

0 0 3/2/

= Р°, Р = ^

и получим выражение для полной деформации в виде

£ = £р1+Г1 = (т^-Р + В-^а. (14)

Напряжение через деформацию выражается следующим образом [4]:

/ 3 £Р1 \-1

о= ( 2^Р+ ) £ = ш- (15)

Модель изотропного упрочнения предполагает, что для пластической деформации условие текучести не зависит от направления возникающих напряжений. Запишем условие

текучести для изотропной модели материала:

а/ “ V \аТр2(Т = °' ('16')

Здесь нужно отметить, что на данной стадии решения эквивалентная пластическая деформация ер1 еще не известна.

Примем, что поведение материала в пластической стадии деформации подчиняется степенному закону

ст; = Щ. (17)

Труба сделана из материала со следующими механическими характеристиками: модуль Юнга Е, предел текучести сто, степень упрочнения п и коэффициент Пуассона V. Отсюда

Е п

К=~ (18)

сто

Принимая во внимание закон упрочнения, получим

/ ~ N 1/П

‘"“(г) -I <19>

Таким образом мы определили напряжения как нелинейные функции деформаций. Решая систему уравнений (16) и (19), получим значения £р1 и ст. Теперь подставим

выражения для напряжений и деформаций в функционал потенциальной энергии и

минимизируем его по переменным (а, в, 7). В результате получим истинные значения

переменных, сможем предсказать поле перемещений (и, V, т) и найти форму деформированного сечения. Удельная энергия деформации запишется в виде

]¥ = J ат(1ё = J атс1£е1 + J атв£р1 = —атОа + J <Jfd£pl. (20)

Интегрируя это выражение по всему объему получим выражение для полной энергии деформации:

К

гЬ /■ —

и

Ьо

2

где р' производная по в.

3. Численное решение. Алгоритм решения задачи был реализован в пакете МЛТЬЛБ. Система двух уравнений (16), (19) подстановкой сводится к нелинейному уравнению, которое решается методом секущих [5]. Трехкратное интегрирование по объему функционала потенциальной энергии сводится к повторному одномерному интегрированию с использованием квадратурных формул Гаусса, минимизация функционала по трем переменным выполняется посредством симплекс-метода Нельдера— Мида [5].

Вычисления проведены для трубы из стали DQSK со следующими свойствами материала: = 206800 МПа, V = 0.3, п = 0.207, а0 = 181.5 МПа. Расчеты проведены для труб различными геометрическими параметрами. Из них выделено три группы (см.

табл. 1); геометрия трубы характеризуется параметрами е\ = — и в2 = —.

г Ь

Таблица 1

0

е1;е2 к = 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.1; 0.1 0.1; 0.2 0.2; 0.1 192.06 96.02 390.01 482.49 241.24 972.85 798.87 399.42 1603.29 1099.84 549.92 2205.48 1372.8 686.41 2748.91 1639.55 819.78 3283.77 1946.57 973.46 3898.58

Верхний ряд содержит значения кривизны оправки. На пересечении рядов и столбцов находятся минимальные значения потенциальной энергии деформации. В табл. 2 представлены значения коэффициентов функции прогиба, при которых потенциальная энергия достигает минимума для случая в\ = 0.1, в2 = 0.1.

Таблица 2

И а 7 /3

0.1 0.123 0.007 0.436

0.2 0.136 0.003 0.427

0.3 0.121 0.006 0.440

0.4 0.083 0.004 0.487

0.5 0.065 0.004 0.497

0.6 0.119 0.004 0.444

0.7 0.134 0.007 0.426

Надо отметить, что характер деформации сечения при изгибе трубы по оправкам с различной кривизной для трех случаев одинаковый. На рис. 3 представлены формы

сечения г = 0 при различной кривизне изгиба. Анализ таблиц и рисунков показывает, что при маленьких кривизнах (0.1, 0.2) с увеличением кривизны растет овализация сечения. При кривизнах (0.3, 0.4, 0.5) существенно возрастает третий коэффициент, что говорит об неравномерном изменении толщины сечения, т. е. в области соприкосновения с оправкой толщина трубы растет и убывает с противоположной стороны.

Рис. 3. Деформированное сечение для разных кривизн изгиба.

4. Выводы. Наипростейшей аппроксимацией деформированного профиля в данной задаче является эллипс, расчет его геометрии производился в работах [1, 4]. Следующая более сложная аппроксимация, взятая в работе [2], в данной статье учитывает сдвиг нейтральной оси и изменение толщины стенки трубы. Однако в данной работе плохо учитываются условия контакта и граничные условия. В дальнейшем хотелось бы исследовать другую форму сечения оправки, имеющую зону контакта с трубой большую, нежели одна точка.

Summary

Bukashkina O.S. Elastoplastic deformation of a tube bent over a bend die.

Elastoplastic deformation of the initially straight cylindrical tube bent over a bend die of constant curvature is studied. The form of the cross-section deformed accounts its ovalization, a neutral axis shift, and a change of wall thickness. The application of the minimum work principle makes it possible to determine the unknown coefficients defining the form of the deformed crosssection.

Литература

1. Brazier L.G. On flexure of thin cylindrical shells and other sections // R. Soc. Lond. Ser. A. 1927. P. 104-114.

2. Pan K., Stelson K.A. On the plastic deformation of a tube during bending // J. Engr. For Industry. 1995. P. 494-500.

3. Flugge W. Stresses in shells // Springer Verlag. 1973.

4. Pavlovskaia E.E., Xia Z.C. Brazier effect in elastoplastic tube bending with end constraints // Ford technical report. Dearborn, 2000.

5. Wilson H.B., Turcotte L.H. Advanced mathematics and mechanics applications using MATLAB // CRC Press LLC. 1997.

Статья поступила в редакцию 28 мая 2002 г.