CC BY
99
скоростей в классе функций, отвечающих условию несжимаемости с учетом параметра Xz, позволяет в процессе деформации сохранить постоянство объема всего призматического конечного элемента.
Список литературы
1. Кухарь В. Д., Селедкин Е.М. Киреева А.Е. Расчет напряженного состояния при конечно-элементном анализе процессов пластического формоизменения // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. 2010. Вып. 4.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
3. Яковлев С.П., Кухарь В.Д., Селедкин Е.М. Исследование плоско-
го пластического течения ортотропного материала методом конечных элементов / ТулГУ. Тула, 1987. 38 с. Деп. в ВИНИТИ 26.02.87,
№ 1442-В87.
V. Kuhar, E. Seledkin
Finite-element model of plastic deformation of thin layer blank in compression between rough plates
Certainly-element model of plastic compression of a thin metal layer between plane-parallel rough plates. For the analysis of the intense-deformed condition of technological process static jumping thin preparations taking into account a friction on contact surfaces the corresponding system of the algebraic equations is resulted.
Key words: processing of metals by the pressure, intense-deformed condition, method of final elements, pressure.
Получено 28.12.10 г.
УДК 539.374:621.774.63 С.И.Вдовин, д-р техн. наук, проф.,
В.Н.Михайлов, канд. техн. наук, доц.,
Т.В.Федоров, канд. техн. наук, доц., (4862) 41-68-77, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ОрелГТУ)
ДЕФОРМАЦИИ ТРУБЫ ПРИ ИЗГИБЕ МОМЕНТОМ
С помощью вариационного метода получена оценка овальности сечения трубы в виде аналитической зависимости от радиуса изогнутой оси и относительной толщины стенки, близкая к данным конечно-элементного моделирования.
Ключевые слова: овальность сечения, вариационный метод, работа внутренних и внешних сил.
Постановка задачи. Материал трубы жесткопластический неуп-рочняемый. Справедлива гипотеза плоских сечений, деформации одинаковы по угловой координате ф, включая торцы трубы, средний радиус сечения г получает знакопеременное приращение щ (рис. 1).
Рис. 1. Схема изгиба моментом (а) и изменение формы средней линии сечения (б)
Относительные удлинения по координатам р, а, ф связаны с перемещениями формулами
^ = dup = dua Up =р sin a upsin a ua cos a
p dp , a pda p ’ j Rq Rq Rq
При изгибе трубы с недеформируемым сечением на большой радиус R0 >> d формулу єф упрощают, пренебрегая слагаемыми, содержащими перемещения ир и ua. Также пренебрегают различием поперечных деформаций, принимая
р sin a
Єр — £a — .
р a 2 R0
В результате получают выражения перемещений sin a
4R^'° ■ “ 4Ro
которые обращают в ноль деформацию сдвига
( 2 2) cos ai 2,2)
Up=^~VO -p /’ Ua=^~lr0 +p h (2)
Ypa=p"
d
ua
dup
dp ^ p ) pda
Вариационная оценка деформированного состояния основывается на поиске минимума полной потенциальной энергии П, включающей энергию деформации U и работу внешних сил W, что отражает уравнение
8П = 8U- SW = 0. (3)
Энергию деформации выражает интеграл по объему V деформирования
и | хе х у еу г е г ху у ху уі у уі гху гх ]^У,
V
для жесткопластического материала он преобразуется к виду:
где г3 - касательное напряжение текучести; Г - интенсивность деформаций сдвига [1].
Дальнейшее преобразование данного интеграла основано на неравенстве Буняковского, согласно которому
Заменяя знак неравенства знаком равенства, записывают вариацию работы деформирования как
Вариация работы изгибающего момента дЖ = дМф. На единицу длины оси трубы приходится ее часть, равная дМ/Я0. Вариацию энергии деформирования также относим к длине изогнутой оси и выражаем интегралом по площади сечения трубы К
Вводим “подходящие” (координатные по Ритцу) функции перемещений, содержащие варьируемые параметры V;, и получаем систему уравнений (число которых равно числу V;), адекватных (3):
В практических расчетах пренебрегают правой частью этих уравнений, что сообщает им линейный характер относительно неизвестных V;.
Решение задачи. Функцию (2) перемещения иа по периметру сечения дополняем варьируемым компонентом, учитывающим влияние искажения сечения:
Также вводим подходящую функцию радиального перемещения точек средней линии сечения трубы
(4)
(5)
г 2 ( ■ 2 2
ur — — ^2 sin a + V3 cos a
R0
).
(6)
Варьируемые параметры v1, V2 и v3, содержащиеся в этих функциях, определяются решением системы трех уравнений вида (4). Для их записи приравниваем нулю сумму относительных удлинений, тогда
dup Up dp р
-£
du
j
a
pda
(7)
Включаем функции перемещений (5) и (6) в формулу деформации
еф (1), ее развернутый вид
р sin a r2 /
+—2 \v2sm" a + cos~ a sin aj+--— + р~ ^-^cos“ a sin a
• 3
2
R0 R0
cos2 a 2 2 v1r2 2
')+^2“(r0 +P )+^2
4 Rq Ro
Функция иг представляет в данной формуле перемещение ир не совсем полно, что оправдано небольшим различием перемещения ир в пределах толщины стенки трубы. Решение уравнения (7) с использованием функции иг (6) в качестве граничного условия:
3
и
r (v -2
р- V2sin a + v3Cos a)' ,D vo
pRo 4 Ro
2 \ sina{ 2 2)
a)+^(ro -р )+
2
cos a
16 R
4 ,ry
r + 2r0 r „2 3
--------0— 2r 2р-р3
р
+
3
v1 r . р / . 2 2 \ 1
+ —------ln—sin a-cos a +--------------
Ro р ^ ’ 2R;
ґ 4 r2
--r р
р
V
32 v2 sin a + V3 sin a cos aj+
y
2
ґ
v1 sin a cos a
R
2
4
р
Имея формулы перемещений ua и up, выражаем деформации sp, ypa и
/ 22 2 интенсивность деформаций сдвига .Г = 2 J£р + £р£ф + £ф + 0,25gpa .
Приближенная формула изгибающего момента выражается интегралом по четверти сечения трубы:
p/2 2
М — 4s st J (r + ur) sin ada.
0
После интегрирования с использованием функции ur (6) получаем производные для уравнений (4):
ЭМ ЭМ 2tr2 / ч ЭМ 2tr2 / ч
— 0, —— —-------s s (7 V2 + V3 + 8), -—-s s (v2 + 2,4 V3 + 4).
dv
1
dv
2
3
dv
3
3
3
r
Систему уравнений (4) решали с помощью компьютерной программы, при этом оценивалась значимость вариации работы изгибающего момента согласно данным табл. 1.
Таблица 1
я0/а 2 4 8
1/ё 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1
VI -0,794 -0,783 -0,657 -0,644 -0,465 -0,451 -0,373 -0,360 -0,243 -0,234 -0,194 -0,186
у2 -0,723 -0,708 -0,618 -0,602 -0,423 -0,408 -0,351 -0,337 -0,221 -0,212 -0,183 -0,174
v3 0,515 0,511 0,424 0,418 0,306 0,298 0,244 0,236 0,161 0,155 0,127 0,122
Примечание. Нижние ряды чисел получены без учета вариации работы изгибающего момента
В соответствии с формулой (6) радиальное перемещение точек средней линии сечения на рис. 1 при а = 0° и а = 90° подсчитываем как /Я0 и у2^/^0. Показатель некруглости проходного сечения, предлагаемый в работе [2], можно выразить величиной Ь - И = 2(у3 - у2)г (рис. 2).
(Ь-Ь)/(2г4)
0,09 0,06 0,03
о
3 4 5 6
Рис. 2. Рассчитанные зависимости показателя овальности сечения трубы с различной толщиной стенки *
Пренебрегая вариацией работы внешнего момента, получаем систему линейных разрешающих уравнений. Получаемые из этих уравнений формулы варьируемых параметров чрезвычайно громоздки. Поскольку функции (5) и (6), задающие перемещения, являются заведомо приближенными, представляется логичным упрощение уравнений. В них присутствует кривизна оси 1/Л*0 в степени от 2 до 4, при этом значимость компонен-
97
тов, содержащих Л*0 , сравнительно мала. Исключая их, получаем значения параметров, завышенные по абсолютной величине примерно на 10 %, при этом расчет можно выполнять с помощью формул
v1
6/ - б/з - 8/4 г
Здесь
/1
/4 - 3/1
64
1 +
3
V2 = 4 V1
/з _Г_ /1 R
v3
3
о
2 Га
/5 = 1i
f 2 2го2
2
16
ln
2
1 - ь
г
V У
ln
d
г
d
2го
3
+
4
13
v1
2г0 32 8
/3
64
/б _г_
/1 Ro
/2
(8)
f = 1 6 16
1 +
2г0
16
2г0
г
ln
d
2
г
У
2г0 32 8
го
о
А 2г Л
vd 2/
/2 -
' d
V 2г у
, /2 -
2г
3
го
V г у
Для оценки полученного решения применили метод конечноэлементного (МКЭ) моделирования изгиба трубы моментом с помощью программы DEFORM. Программа не позволяет точно задать радиус изгиба R0, по приблизительной оценке он составил три диаметра трубы. В табл. 2 приведены найденные показатели h и b, обозначенные ранее на рис. 2, при различной относительной толщине стенки трубы.
Таблица 2
Значения параметров овальности сечения согласно МКЭ,
t/d 0,05 0,1 0,15
h/d 0,9 0,925 0,938
0,898 0,925 0.941
0,901 0,908 0,917
b/d 1,04 1,05 1,04
1,065 1,052 1,037
1,074 1,069 1,050
2
г
1
3
2
г
Результаты решения уравнений (4) практически совпали с данными конечно-элементного моделирования. Их различие перекрывается неточностью измерения размеров изображения изогнутой трубы, которое осуществляли в программе КОМПАС по рисунку, принятому из программы DEFORM. Расчеты по формулам (8) дают завышенные значения показате-
ля некруглости сечения, чьи графики приведены на рис. 2. Завышение согласно данным табл. 2 составляет от 20 до 30 %.
Обсуждение результатов. Изложенное решение задачи является улучшенным по сравнению с опубликованным ранее [3] за счет добавления в формулу перемещения иа варьируемого компонента согласно (5). Результат иллюстрирует рис. 3, содержащий относительные значения иа/г при радиусе гибки = 4с/.
Рис. 3 Эпюры первого (1) и второго (2) компонентов выражения перемещения иа (5), а также их суммы (3)
Практическое применение вариационных оценок деформаций изгиба трубы представляется предпочтительным по сравнению с дорогостоящим конечно-элементным моделированием, громоздкий характер вариационных уравнений и выведенных формул не является проблемой при наличии универсальных счетных программ типа MathCAD.
Список литературы
1. Теория обработки металлов давлением (Вариационные методы расчета усилий и деформаций) / И.Я. Тарновский [и др.]; под ред. И.Я. Тарновского. М.: Металлургиздат, 1963. 672 с.
2. Franz, W.-D. Maschinelles Rohrbiegen. Verfahren und Maschinen. Düsseldorf: VDI-Verlag. 1988. 237 s.
3. Вдовин С.И. Теория и расчеты гибки труб. М.: Машиностроение. 2009. 95 с.
S. Vdovin, V. Mihailov, T. Fedorov
Deformation analysis of the tube under pure bending
The estimation of the tube cross-section ovality is derived by means of the variational method. The estimation has a form of analytical dependence on the radius of the deflection curve and on the relative thickness of the wall. The derived estimation is close to the FEA results.
Key words: ovality of cross-section, variational method, works of internal and external forces.
Получено 28.12.10 г.
