CC BY
17
Математика
УДК 539.374, 539.3, 539.4
ПЛАСТИЧЕСКАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ И УСЛОВИЯ РАЗРУШЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ТОНКОСТЕННОЙ ТОРОВОЙ ОБОЛОЧКИ
В.Л. Дильман
На основании гипотезы о постоянстве радиуса круговой оси тонкостенной то-ровой оболочки получены новые формулы для вычисления напряжений в стенке оболочки, деформируемой под действием внутреннего давления. На этой основе получены аналитические выражения для вычисления критических значений напряжений, деформаций и внутреннего давления, при которых оболочка теряет несущую способность.
Хорошо известно, что в горообразной тонкостенной оболочке в зоне упругих деформаций безмоментное напряженное состояние может возникнуть лишь под действием «экзотической» нагрузки [1, с 332]; равномерное внутреннее давление такой нагрузкой не является. Нетрудно показать, что равномерное внутреннее давление не приводит к безмоментному напряженному состоянию оболочки из упрочняемого материала и при ее пластическом деформировании. Тем не менее, при исследовании несущей способности и условий разрушения криволинейных участков трубопроводов, изогнутых труб, отводов и тонкостенных торовых оболочек, работающих под внутренним давлением, в целях упрощения теоретических построений нередко используются формулы Фёпля [1] безмоментной теории:
pr 2R + г sin a
<т =
21 R + г sin a ^
рг
СГ0 = —.
. 21
Здесь сГу и <7® - меридиональные (кольцевые, тангенциальные) и широтные (продольные, осевые) напряжения соответственно; р - внутреннее давление; г - внутренний радиус меридионального сечения оболочки; Я - радиус круговой оси внутренней торовой поверхности; а -угол между радиус-вектором точки этой поверхности в меридиональном сечении и осью вращения тора.
Другой упрощающий подход может быть основан на экспериментально обоснованных гипотезах относительно поведения геометрических параметров оболочки в процессе нагружения. В работе [2] утверждается, что экспериментально проверены гипотезы о поведении тонкостенной торовой оболочки при ее пластическом деформировании под действием внутреннего давления:
1) сечение меридиональной плоскостью остается круглым;
2) радиус круговой оси тора Я постоянен.
Эти гипотезы значительно облегчают теоретические расчеты и позволяют найти напряжение в любой точке стенки оболочки в момент потери ее несущей способности, соответствующее критическое давление и рассчитать толщину стенки равнопрочной оболочки [3, 4]. В то же время эти гипотезы противоречат безмоментному характеру нагружения, и при их выполнении формулы (1) неверны. Точнее говоря, гипотеза 1 в инженерных расчетах может быть принята и на основе безмоментной теории: можно показать, что параметр овализации (отношение полуосей меридионального сечения) в процессе пластического деформирования при напряжениях, подчиняющихся закону (1), мало отклоняется от единицы. Однако гипотеза 2 приводит к формулам для вычисления напряжений, отличающимся от уравнений Фёпля (1):
pr (R + 3r sin a)(R + r sin a) 21 R2 + 3Rrsina + 3r2s'm2a 2R + 3rsina
(2)
R + 3r sin a
Напряжения, вычисленные по формулам (1) и (2), мало отличаются при значениях параметра гнутья у-rt R~ 0,1-0,2 и меньше, но заметно отличаются для крутоизогнутых оболочек.
Целью работы является вывод формул (2) и определение на их основе критических деформаций и напряжений в стенке оболочки, а также внутреннего давления, соответствующих моменту потери оболочкой стабильности пластического деформирования. Пластическая стабильность может рассматриваться как критерий несущей способности [3]. Она определяется на основе принципа Свифта-Марциньяка [5], который в случае нагружения оболочки только внутренним давлением равносилен критерию максимума внутреннего давления: оболочка теряет стабильность своего пластического деформирования в момент достижения внутренним давлением своего наибольшего значения. В работе предполагается, что напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки в зоне развитых пластических деформаций подчиняется теории течения, согласно которой
ГТ — ГТ /-Г _ Г-Г /т _ /г
(3)
¿е, deQ йег
где стг - радиальные напряжения в стенке оболочки, а = 1/3(сг -<т0 - ст.); е е@ и ег - истинные деформации в меридиональном, широтном и радиальном направлениях. Кроме того, в процессе пластического деформирования оболочки предполагается выполнение условия постоянства объема
(4)
и условия тонкостенности
а. =0.
(5)
Обозначим m -СЗ)—(5) следует, что
коэффициент двухосности нагружения стенки оболочки. Тогда из
de* 2m -1
de 2 -m
(6)
Рассмотрим сечение тора плоскостью, содержащей ось тора. В этой плоскости введем систему координат (р, а), где р - расстояние от оси тора до точки, а - угловая координата точки; при этом
ц + г$\ъ(х. (7)
Из гипотезы 2 о постоянстве R в процессе деформирования следуют формулы для вычисления элементарных приращений истинных деформаций de(p и dsQ:
de.
dr_ г
de.
dr г
R
PJ
откуда
d£s =l R de„ p
Из этого равенства, формул (6) и (7) получаем
3p-2R
i? + 3rsina
m =
3 p-R 2R + 3rs'ma
(8)
В частности, на стенках, где одна из двух главных кривизн нулевая (а-0), т = 0,5 ; на выпук-
лой стенке
а ~
п
и вогнутой стенке
а
соответственно
Дильман В.Л.
Пластическая стабильность и условия разрушения под действием _ внутреннего давления тонкостенной торовой оболочки
R + 3r R-3r т =- и т
2R + 3r 2R~3r
Если R » г , т.е. радиус круговой оси тора велик по сравнению с радиусом трубы (кривизна изогнутого участка трубопровода мала), то т* 0,5 во всех точках - хорошо известный факт для цилиндрической оболочки, находящейся под внутренним давлением. Для применяемых в промышленности отводов с диапазоном значений параметра y~r!R порядка 0,3...0,5 на вогнутой стенке т* 0, причем, при у >0,33 т< 0, т.е. в широтном направлении на вогнутой стенке могут возникнуть отрицательные нормальные (сжимающие) напряжения. На выпуклой стенке т > 0,5. В принятых предположениях напряжения а9 и сг0 удовлетворяют системе уравнений:
f!L + —= (9)
г г + R /sin a t aQ = R + 3r sin a a 2R + 3rs\na
Здесь (9) - уравнение Лапласа для торовой оболочки, (10) следует из (8). Решая эту систему, получаем (2).
В силу определения логарифмических деформаций,
f = /0ехр*я, р = Роехре0. (11)
Покажем, что при условии R = const выполняется, хотя бы в первом приближении, равенство
r~rQ ехр^,
т.е. что относительное изменение радиуса пропорционально относительному изменению длины дуги. Действительно, из (6) и (8) следует, что
ds9 ^1 + ^sinor dsQ у sin a
В процессе нагружения у изменяется незначительно, поэтому в первом приближении у = const. Тогда
У sin a
= , -:-V (13)
l + ^sina
Используя теперь (7), (11) и (13), с точностью до слагаемых порядка е\ , получаем
R-Po
R-p R-p0expst
ysma
1 + т^-:—s9
\ + ys\na
sin a sin a sin a
PÜY£9 n Л 1 + sina
1T¿/ bill IX A\
-V (14)
что и требовалось. Заметим еще, что из условия постоянства объема (4) и формулы (13)
1 + 2^sina 1 + у sin a
Исследуем вопрос о критических деформациях и напряжениях. Очевидно из (2), что, во-первых, сг^ > <7Q во всех точках оболочки при у < 2/3, и поэтому разрушение вызывают кольцевые деформации, и, во-вторых, кольцевые напряжения достигают экстремальных значений при a = ±я / 2, причем, максимум - при a = -ж / 2, т.е. на вогнутой стенке. Из (2) следует, что
t \~3у + 3уг _ р--------<т , (15)
где áy - кольцевые напряжения на вогнутой стенке. Запишем формулу (15) более подробно, используя (11)-(14). Получим (формальные преобразования не приводим) с точностью до слагаемых порядка ег:
КЬл^2У ,1, 3Г«~2Г) Г(2,5-Зу) (1б)
1 -у 1-Зу + Зу2 + 5
где ёу, ¿г^ - кольцевые деформации и напряжения на вогнутой стенке.
Считая материал оболочки упрочняемым, зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций аппроксимируем степенной функцией сг, - Ае% А-п~" ехрисгд, где п - показатель упрочнения, ав - временное сопротивление. Тогда [3]
1+я
-т + т1) 2 и-(ехря)г;ав. (17)
Можно показать, что зависимость величины л1\-т + т2 от е незначительна [3], и эту величину можно считать постоянной. Тогда из (16) следует, что
Найдем, исходя из критерия максимума внутреннего давления, критическое значение для деформации ёу , соответствующее потере оболочкой пластической устойчивости. Получим из дифференциального уравнения р\ё ) = 0 после упрощений
г* (18)
' К(Го)
Подставив это в (17), найдем критическое значение кольцевого напряжения на внутренней стенке
(г)
(2-3^)ехр п
( \п
2-Зу
а* ■ (19)
Лф-Зу + Зу2 I^Э(1"Зу^Зг2)К(у)
Для вычисления критического давления следует выражения (18) и (19) подставить в первую из формул (16).
Заметим, что в предельном случае прямой трубы (тонкостенной цилиндрической оболочки), когда у - 0, из формул (16), (18) и (19) следует, что коэффициент К = 2, = п / 2,
а?
2
\л+1 / \п+\
S) (ехр")<т" p*~Jtui
<jb - хорошо известные результаты, характеризующие потерю несущей способности цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления.
Литература
1. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. -Л.: Политехника, 1991. - 656 с.
2. Моношков А,Н., Пустин И.А., Сериков C.B. Прочность торовых оболочек и отводов при нагружении внутренним давлением // Проблемы прочности. - 1980, - № 5. - С. 112-115.
3.Дильман В.Л., Остсемин A.A. Развитие методики оценки несущей способности равнопрочных тонкостенных торовых оболочек и отводов //Заводская лаборатория. - 2002. - Т. 68. -№ 3. - С. 47-52.
4. Дильман В.Л. Напряженно-деформированное состояние и пластическая устойчивость то-ровой разностенной оболочки, нагруженной внутренним давлением //Обозрение прикл. и про-мышл. матем. - 2001. - Т. 8, в. 2. - С. 585.
5. Дильман В.Л., Остсемин A.A. О влиянии двухосности нагружения на несущую способность магистральных трубопроводов //Известия РАН. МТТ. - 2000. - № 5. - С. 59-65.
Поступила в редакцию 15 апреля 2003 г.
