Математические модели напряженного состояния пластического слоя с сечением в форме кольцевого сектора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.957:539.374.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ С СЕЧЕНИЕМ В ФОРМЕ КОЛЬЦЕВОГО СЕКТОРА1

В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина

Исследуется напряженное состояние в зоне пластических деформаций менее прочного, чем основной материал, слоя, имеющего форму кольцевого сектора, расположенного в расширяющемся под действием внутреннего давления кольце из более прочного основного материала, в условиях плоской деформации. Ранее такая задача не изучалась. Приближенным интегрированием системы уравнений пластического равновесия в полярной системе координат при использовании гипотезы разделения переменных для касательных напряжений получены аналитические выражения для компонент тензора напряжений и вычислена предельная нагрузка.

1. Введение и основные допущения. Задача определения напряженного состояния (НС) мягкой прослойки (МП), имеющей форму кольцевого сектора, расположенного в кольце из более прочного основного материала (ОМ), и находящейся под растягивающей нагрузкой в условиях плоской деформации, возникает при исследовании несущей способности продольных сварных соединений труб и других цилиндрических оболочечных конструкций. Такая задача рассматривается впервые, а точные либо приближенные, с оцениваемой погрешностью решения этой задачи, не противоречащие известным экспериментальным данным, в настоящий момент отсутствуют. В какой-то степени близкой по постановке является задача истечения пластического материала из клиновидной полости; известные [1] решения исходят из гипотезы о независимости касательных напряжений от одной из полярных координат (аналог гипотезы Л. Прандтля) что, хотя и позволяет проинтегрировать систему уравнений пластического равновесия, делает модель существенно не адекватной физическому процессу и значительно ограничивает возможности применения такой модели. Построение математических моделей напряженно-деформированного состояния (НДС) пластических сред в большинстве практически важных задач основано на частичном предугадывании внутреннего состояния среды в форме гипотез, формулирующих некоторые соотношения между напряжениями, деформациями, скоростями деформаций, смещениями, скоростями смещений и т.д., или накладывающих какие-то ограничения на соответствующие функции. В работе, при изучении НС МП растягиваемого кольца, материал которой переходит в состояние пластического течения раньше основного материала кольца, принята так называемая мультипликативная гипотеза для касательных напряжений, что позволило найти приближенные аналитические выражения для компонент тензора напряжений в любой момент нагружения во всех точках пластического слоя, вычислить предельную нагрузку и наибольшую толщину слоя, когда соединение (кольцо с мягкой прослойкой) равнопрочно однородному кольцу без мягкой прослойки. Используемый оригинальный подход позволяет свести задачу к исследованию и решению краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и, в результате, получить новые аналитические выражения для компонент тензора напряжений. Предполагается, что в процессе нагружения основной металл деформируется упруго, а при значительных напряжениях участки, расположенные вблизи пластического слоя, вовлекаются в пластическую деформацию. При выводе основных формул материал слоя и основной металл считаются идеально жесткопластическими и удовлетворяющими обычным в таких случаях допущениям [2]. В качестве уравнения пластичности принято условие Мизеса. Полученные результаты переносятся на упрочняемые материалы заменой в условии полной пластичности предела текучести материала слоя на пластическую постоянную, характеризующую момент потери устойчивости процесса пластического деформирования слоя (ПУППД).

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 05-08-18179-а).

2. Математическая постановка задачи. В односвязной области О, («сечении мягкого слоя») с кусочно-гладкой границей А^ВС^Щ, где кривые Л,5 и СХГ\ интерпретируются как «контактные» поверхности, а ВСХ и АХЕ\ - как «свободные от нагрузки», требуется найти решение краевой задачи для системы уравнений [2, с.54]

да^ \дт др дт

рв

р дб рв | 1 да,

Р

= 0;

-т--£+2^ = 0;

ар р дв р

ар~ав- - (трв )2 ■

(1) (2) (3)

Здесь <7р,ств,трв (безразмерные компоненты тензора напряжений) - функции двух переменных р и в, где р, в - полярные координаты точки МП (рис. 1).

Напряжение сгв инициировано внешней нагрузкой, напряжение ар в начальный момент на-

гружения отсутствует, а затем появляется в МП в результате сдерживающего влияния более прочного ОМ; очевидно: егр <ав в любой момент нагружения, поэтому в (3) следует брать радикал со знаком плюс. Область О в работе считается симметричной относительно оси полярных координат р, линии АВ и СВ отрезками прямых, АС и ВО -дугами концентрических окружностей с центром в начале координат. В качестве характеристики относительной толщины МП введем величину х •'

X

{Ри+РеК.. ек ,2ек

(4)

Рн-Рв Рн~1 *

где рн рв - наружный и внутренний радиусы кольца, вк - значение угла, соответствующего

контактной поверхности, я - толщина оболочки (см. рис. 1). Из соображений симметрии ясно, что в процессе деформирования прослойки ось полярных координат переходит сама в себя и содержит неподвижную точку р0 (см. рис. 1):

ом

1 с

Ш а '

Рис. 1. Фрагмент кольца, содержащего пластический слой, и цилиндрическая оболочка с продольной мягкой прослойкой

Очевидно, выполняются граничные условия

V 1<м>=°; (6)

ар 1р=рн = ар \р=рв = ® • (7)

Для удобства дальнейших рассуждений будем использовать безразмерные координаты, считая р0 = 1. В любой момент нагруженйя на контактной поверхности АВ касательное напряжение трв возрастает от 0 в точке А до некоторого наибольшего значения а в окрестности точки В:

9м* Л*\е=е=а- (8)

РЧРв,Ри]

В работе [3], в случае прямоугольной МП, получена оценка параметра а в момент ПУППД:

а = К-1, (9)

где К - коэффициент механической неоднородности соединения, равный отношению пластических постоянных ОМ и МП. С точки зрения приложений задачи к исследованию напряженного состояния сварных труб большого диаметра, содержащих в продольном сварном соединении (шве, зоне термического влияния, зоне сплавления) мягкую прослойку, наиболее важным является диапазон значений К е [1,05; 1,50], что принято в работе. Если угол 9К мал, и прослойка по

форме близка к прямоугольной, ее НС в окрестности точки В мало отличается от НС прямоугольной прослойки, поэтому оценка (9) применима и в данном случае. Недоопределенность краевой задачи (1>—(3), (5)—(8), как уже было замечено, приводит к необходимости использования, на основе экспериментальных данных, дополнительных гипотез, предугадывающих внутреннее состояние среды, в форме ограничений на классы функций, в которых разыскивается решение. Так, в работах [4; 5] при исследовании НС прямоугольной МП использовалась мультипликативная гипотеза (МГ) для касательных напряжений т^ (х; у) = Х(х)¥(у), т.е. касательные напряжения, в соответствии с гипотезой, распадаются на произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у. В работе [5] принималась, как исходная, гипотеза плоских сечений, но было показано, что она по существу приводит к варианту МГ. В данной работе принято аналогичное предположение (МГ):

гр0(р,0)=адг(0). (Ю)

В некоторой окрестности свободной поверхности (кривой ВС) решение системы (1)-(3), в силу ее гиперболичности, полностью определяется формой кривой ВС. Предполагается, что условие (10) имеет место в окрестности линии раздела течения АО, дополнительной к указанным приграничным областям. Жесткость условия (10) делает задачу переопределенной и оставляет возможность лишь приближенного решения. Условие (3) в работе заменяется приближенным равенством

с^-ар=2(1-//(гр0)2). (П)

Здесь коэффициент ц определяется из соображений близости кривых (3) и (11) при ограничении (8). Подробности и различные формулы для вычисления коэффициента ц см. в работе [6]. При малых значениях а (а < 0,5) можно, не допуская заметной погрешности, считать /л =0,5.

3. Анализ математических моделей. После умножения обеих частей уравнения (2) на р и дифференцирования его по р, дифференцирования уравнения (1) по 9, и вычитания полученных уравнений, имеем:

рдв2 др2 дрдв р дв др здесь и далее для упрощения записи вместо трв пишем г .Подставив (11) в (12), получим:

1 д2т д2т _ д2т2 _ 1 дт2 _ дт -

— Р-5" + 2/"-+ 2М---3-= °- (13)

рдв2 др2 Г двдр г р дв др

Последнее уравнение решается методом разделения переменных, если в (13) подставить выражение для касательных напряжений из (10), и разделить все на КГ:

+ + 3—= 0. (14)

р Т Я р я

Возможны три варианта.

Первый случай: т не зависит от р, т.е. г = Т(в), R-1, тогда из (14) получается уравнение:

Г + 4/*7Т = 0, (15)

где дифференцирование ведется по в . На этом пути получается решение, аналогичное хорошо известному решению JI. Прандтля [7] для тонкой прямоугольной полосы, однако, в отличие от [7], зависимость касательных напряжений по толщине полосы здесь не линейна, а, как следует из уравнения (15) при начальном условии (6), имеет вид:

r-Atg(2/^),

[ Ath(2цАв), К '

где постоянная А зависит от а . В случае растяжения касательные напряжения возрастают с увеличением угла в, поэтому в формуле (16) нужно выбрать вариант г = К0а{2цАв). Аналогичные задачи, в которых т есть функция от одной независимой переменной, рассматривались в [1].

Второй случай: т не зависит от в ; тогда Т = 1, а из (14) получается уравнение:

pR" + 3R' = 0, (17)

где дифференцирование ведется по р, и которое следует решать при начальном условии

R{p0) = 0. (18)

Уравнение (17) при условии (18) имеет решение: R = C

Р2~ Ро2

\

, откуда получаем:

тРв ~ с\

,2 „2

У

(19)

.Р" Ро*

Физический процесс, при котором напряженное состояние прослойки в оболочке можно было бы моделировать на основе формулы (19), может быть получен вращением с трением внутренней и наружной поверхностей трубы с различной угловой скоростью. Третий случай: т линейно зависит от в, т.е.

т = вR(p). (20)

В этом случае уравнение (14) умножением на Rp сводится к уравнению:

р2К' - + 3 Шр -4//Д2 = 0.

Выполнив в нем замену независимой переменной по формуле

р = р0е1=е>, (21)

получим уравнение:

в котором дифференцирование ведется по переменной г. После замены неизвестной функции по формуле

4 = (22)

это уравнение преобразуется к виду

уя-2у'у + Ъу'-у2 =0, (23)

а функция у должна удовлетворять, в силу условия (5) и формул (21) и (22), граничному условию:

Уй=0. (24)

Второе граничное условие, соответствующее значению независимой переменной р = рн (либо р = ре), будет определено позже через параметр а (условие (8)). Пока заметим, что различия в решениях граничной задачи для уравнения (23) и уравнения

у" -2у'у + 3у' = 0 (25)

на отрезке [0; tн\ незначительны (здесь tн = 1прн); об этом свидетельствуют численные решения (рис. 2).

Рис. 2. Интегральные кривые уравнений (25) (сплошная) и (23) (пунктирная) для краевых задач у |(=0= 0 , у |,=0 2= Уо, =1°: 2°:30

Это позволяет, не допуская большой ошибки, использовать вместо решений уравнения (23) решения уравнения (25), при условии (24). Рассмотрим технически несколько более удобное уравнение

и"-2и'и + 2и' = 0, (26)

где дифференцирование неизвестной функции и ведется по х. От уравнения (25) к уравнению (26) можно перейти с помощью замен переменных:

2 3, и =—у; x =—t.

Условие (24), очевидно, приобретет вид:

«и=о

Задача (26), (28) решается в явном виде. Пусть

и'\х=0=А.

Тогда

(27)

(28) (29)

и =

1-

1 -А

,А< 1;

х + 1

/

, А = 1;

(30)

1--

А-1

,А> 1.

А-\ + у1А-\щ{у1А-\Х)

Переходя к переменным у и г по формулам (27), получим из (30) решение уравнения (25) при следующем из (27) и (29) условии

(31)

у-

-В 1-

V

9Г

6/ + 4'

с

■В 1-

72,25 -В

у/2, 25 - В +1,5 Л (>/2,25 - Л *) В = 2,25 ;

_VВ -2,25_

у!В-2,25 +1,5 -2,25/)

, 5<2,25;

(32)

, В>2,25 .

Заметим, что при стремлении параметра В к числу 2,25 первое и третье уравнение совокупности

(32) примут вид второго уравнения этой совокупности. Раскладывая функции А и в степенной ряд и оставляя только первый член ряда, получим из (32) во всех случаях аппроксимацию Паде типа (1;1) решения у = у(1) задачи (25), (24), (31):

У--*-. (33)

7 1 + 1,5/

4. Вычисление компонент тензора напряжений. В работе рассмотрен наиболее содержательный третий случай. Возвращаясь к переменным р и Л по формулам (21) и (22), получим из

(33) и (20) (по-прежнему оставляем только первые члены разложений)

1п р

Тш±0.

(34)

Ац 1 + 1,51пр 2ц Зр-1

Для тонкостенных оболочек ошибка в равенстве Зр-1 = 2 мала: так как |р-1|<-^я, то

Зр-1<2^1 + ^-л|, и если 5 = 0,04, то ошибка не превышает 3%. Это позволяет использовать выражение (34) в упрощенном варианте (с этого момента, в целях упрощения записи, будем предполагать, что // = 0,5):

тЛе{р-1).

(35)

Подставив (35) в (1), (2) и (11), и сделав необходимые преобразования, получим систему уравнений для вычисления напряжений ар и ад, с точностью до неизвестных слагаемых <р(р),

С и С,:

г = |0(р-1),

(Та ="

ве2

/

(36)

<г, =-|(1-р)2 -(2-р)2 -^(р-1)3 + ¥(в) + С,

со следующими начальными условиями:

<р(р)\р=1=0, у{е)\д=о=о.

(37)

Подставляя в равенство (11) выражения для вычисления напряжений из системы (36) и используя условия (37), получим:

ВО, л-

(38)

В

-(2-РУ

в2 в2

(,0-1)'-- + С. 12 4

р 4

Существуют различные подходы для вычисления постоянной С . Можно, предполагая, что уравнения (38) распространяются на весь слой, и, используя принцип Сен-Венана, найти С из уравнения:

вк

\ар\р=р^в = 0, (39)

-вк

утверждающего, что среднеинтегральное значение нормального напряжения ор равно нулю на

свободной поверхности. Этот подход наиболее прост, но дает несколько завышенную оценку для критических напряжений. Применяя (39) и отбрасывая слагаемые порядка 2 и выше относительно получим:

12

+— 4

(40)

Так как в предельном состоянии выполняется условие (8), можно, ссылаясь на (8) и (9), из равенства (35) получить:

= 1.

2 2

(41)

С = -

(42)

Соотношения (4) и (41) позволяют в равенстве (40) исключить параметры В, рн и вк, и записать выражение для постоянной С через основные геометрические и механические характеристики соединения:

2Х 6

где К - коэффициент механической неоднородности, % ~ относительная толщина слоя, 5 - относительная толщина оболочки.

5. Вычисление предельной нагрузки и условий равнопрочности однородному соединению. Считая, что формулы (38) для вычисления компонент тензора напряжений распространяются на весь слой, вычислим среднее предельное йапряжение ов по формуле:

1+-

1+-

1 2 аср=- / \в=вк ¿Р = - | <уе \в=вк ¿р.

(43)

Используя выражение для вычисления ав в (38) и формулу (42), получим после интегрирования по формуле (43) и отбрасывания заведомо малых слагаемых:

оср=2(\ + /{К, (44)

(45)

где слагаемое / характеризует величину контактного упрочнения МП, возникающего вследствие усложнения НС в МП в процессе ее деформирования. В случае, когда прослойка достаточно тонкая, упрочнение может оказаться настолько большим, что соединение с мягкой прослойкой (его сечение - кольцо с содержащимся в нем кольцевым сектором из менее прочного материала) станет равным по прочности однородному соединению из более прочного материала основной

части кольца. Для вычисления относительной толщины %р такой прослойки следует приравнять напряжение аср напряжению ав в однородном кольце из более прочного ОМ:

аср=2К.

Используя выражения (44) и (45), из последнего равенства получим уравнение для вычисления Х~Хр'-

Z2 + 3 2 + —г— х-г = 0

К-1

3

2

Из его решения

следует, что максимальная относительная толщина равнопрочной МП должна несколько уменьшаться с увеличением относительной толщины кольца (толщины стенки тонкостенной цилиндрической оболочки).

Литература

1. Теория пластических деформаций металлов / Е.П. Унксов, У. Джонсон, В .Л. Колмогоров и др. - М.: Машиностроение. - 1983. - 598 с.

2. Смирнов, B.C. Теория обработки металлов давлением / B.C. Смирнов. - М.: Металлургия, 1973.-496 с.

3. Дильман, В.Л. Напряженное состояние и прочность неоднородных соединений, содержащие трещиноподобные поверхностные макродефекты на границе твердого и мягкого участков / В.Л. Дильман // Обозрение прикладной и промышленной математики.. - 2002. - Т.9. - Вып. 1. -С. 186-187.

4. Остсемин, A.A. О сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами / A.A. Ост-семин, В.Л. Дильман // Проблемы прочности. - 1990. - № 7. - С.107-113.

5. Дильман, В.Л. Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации / В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 6. - № 6. - С. 19-23.

6. Дильман В.Л. Напряженное состояние и статическая прочность пластичной прослойки при плоской деформации / В.Л. Дильман, A.A. Остсемин // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2005. - № 4 - С. 38-48.

7. Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пластических тел /Л. Прандтль // Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. - М.: ГИИЛ. -1948. - С. 102-113.

Поступила в редакцию 30 июня 2006 г.