Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.957:539.374

ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина

Исследуется напряженно-деформированное состояние в зоне пластических деформаций менее прочного, чем основной материал, поперечного слоя растягиваемой полосы в условиях плоской деформации. Приближенным интегрированием системы уравнений пластического равновесия при использовании гипотезы плоских сечений получены аналитические выражения для компонент тензора напряжений во всех точках пластического слоя, вычислена предельная нагрузка и наибольшая толщина слоя, при котором соединение равнопрочно механически неоднородной полосе.

1. Введение и основные допущения. Построение математических моделей напряженно-деформированного состояния (НДС) пластических сред в большинстве практически важных задач основано на частичном предугадывании внутреннего состояния среды в форме гипотез, формулирующих некоторые соотношения между напряжениями, деформациями, скоростями деформаций, смещениями, скоростями смещений и т.д., или накладывающих какие-то ограничения на соответствующие функции. В работе, при изучении НДС мягкой прослойки растягиваемой полосы, материал которой переходит в состояние пластического течения раньше основного материала полосы, принята так называемая гипотеза плоских сечений, что позволило найти приближенные аналитические выражения для компонент тензора напряжений в любой момент нагружения во всех точках пластического слоя, вычислить предельную нагрузку и наибольшую толщину слоя, когда соединение (полоса с мягкой прослойкой) равнопрочно однородной полосе без мягкой прослойки. Предполагается, что слой имеет две ортогональные оси симметрии (основные соотношения будут получены для частного случая прямоугольника). В процессе нагружения основной металл деформируется упруго, а при значительных напряжениях участки, расположенные вблизи пластического слоя, вовлекаются в пластическую деформацию. При выводе основных формул материал слоя и основной металл считаются идеально жесткопластическими и удовлетворяющими обычным в таких случаях допущениям [1]. В качестве уравнения пластичности принято условие Мизеса. Полученные результаты переносятся на упрочняемые материалы заменой в условии полной пластичности предела текучести материала слоя на пластическую постоянную, характеризующую момент потери устойчивости процесса пластического деформирования слоя.

Свяжем слой с декартовой системой координат, направив ось ОХ по продольной для слоя оси симметрии слоя, ось ОУ - по продольной для полосы оси симметрии (поперечной оси симметрии слоя).

2. Математическая постановка задачи. НДС пластической среды при плоской деформации определяется, как известно [1], системой уравнений

—- + —- = 0. (1)

дх ду

дау дт

—- + = 0. (2)

ду дх

(а- - а- )2 + 4(т-)2 = 4. (3)

ду дуу

^ + ^ = 0. (4)

дх ду

^^ _^ =_дх_дУ_ (5)

ду дх

Здесь ах ,ау и тху _бесконечные компоненты тензора напряжений, полученные нормировкой соответствующих компонент делением на пластическую постоянную (предел текучести или предел пластической устойчивости) кМ; ух и уу _ скорости перемещений точек среды в направлениях

ОХ и ОУ соответственно. Носителем этих уравнений является часть слоя Б в первой четверти координатной плоскости; в случае прямоугольного слоя Б=[0;1] х [0; х ], где х _ относительная толщина слоя (в общем случае х зависит от х).

Будем предполагать, что на линии контакта касательные напряжения, равные нулю в слое на оси ОУ, монотонно возрастает с ростом х и достигает наибольшего значения а прих = х1

(0 < х1 < 1):

тах тху(х,х) = а, а е(0;1]. (6)

хе[0;1] У 4 *

Величина параметра а зависит от коэффициента механической неоднородности к = кт / км, где кт - пластическая постоянная для более прочного основного металла. Известна [2] оценка для а :

а = (k -1)

4

,1 < k < 2. (7)

Наиболее важным с точки зрения приложений (сварные соединения) является случай малой (k < 1,4) механической неоднородности рассмотренный в работе более подробно. Из соображений симметрии следует краевые условия

(0;y) = 0, (x;0) = 0. (8)

и условия

v, (0;y) = 0, Vy (x;0) = 0. (9)

На свободной поверхности

(i; y) = 0. (10)

Условий (6),(8)-(10) недостаточно для однозначного решения системы (1)-(5) или хотя бы системы (1)—(3). Поэтому обычно рассматриваются какие-либо ограничения на функциональный класс решений, следующие из апостериорных соображений. В работе [3] в качестве такого ограничения использовалась гипотеза продольных сечений:

vx y) = a(x)b(y) + c(x). (11)

Наряду с допущениями указанного вида, не противоречат экспериментальным данным гипотезы поперечных сечений, то есть предположения о характере деформирования координатных прямых

y = const.

Весьма общим допущением такого вида является формула

vy(x, y) = a(x)b(y) + c(y\ (12)

где функцию a(x) можно трактовать как функцию «искривления» горизонтальной линии координатной сетки (11), c(y) - как функцию «смещения» координатных линий (11), а b(y) - как «амплитуду» прогиба. Наиболее простым и важным частным случаем предположений типа (12) является гипотеза плоских сечений

Vy (x, y) = W (y), (13)

то есть допущение, что скорость перемещения точки слоя в направлении линии нагружения (оси OY) не зависит от расстояния точки до свободной границы x = 1. Этот случай рассматривается в работе.

3. Вычисление напряжений. Условие (13) вместе с (4) и (9) приводит к ограничению на характер скорости перемещения точек слоя в направлении оси OX:

~2о Вестник ЮУрГУ, № 6, 2005

Дильман В.Л., Ерошкина Т.В.

Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации

V- (х, у) = -хЖ '(у). (14)

Введя обозначение

У( у) = ^, (15)

ф (у)

из (15) и (5) получим:

х 4

Подставив выражение для тху из (16) в условие (3), находим:

тху = ~/(у)(ах - ау). (16)

4

ау-ах = ± , 2 2 . (17)

44 + х У2(у)

знак «+» соответствует растяжению соединения, знак «- » - сжатию. В работе рассматривается растяжение (случай сжатия исследуется аналогично). Подстановка (17) в (16) дает

т хУ (у)

=- I 2 =. (18)

44 + х У2(у)

Используя разложение

1

- = 1--+--..., И < 1, (19)

1 , И2 3И4

41+И2 2

для И = 0,5хУ(у), получим из (18) и (17):

т хУ (у) + х3У 3( у) 3х5У 5( у) + . (20)

тху =--"-+-----—-+ (20)

2 8 128

ау - ах = 2

^ - х2У2(у) + 3х4У4(у) ^

(21)

8 128

\

Если в разложении (19) оставить только первое слагаемое, относительная ошибка окажется равной величине 41 + И2 -1. В силу граничного условия (6) |тху| < а , поэтому из (18) следует, что при а = 0,25 И = 0,5хУ(у) < 1/15 ; тогда относительная ошибка около3%. Следовательно, при малых значениях а , в силу (20) и (21), можно считать, что

хУ( у) 2

т ху = ^; (22)

ау - ах = 2

\ х2У 2( у) ^

V 8 У

(23)

Подставив эти выражения в (1), (2), получим уравнение

У' - 2УУ' = 0, (24)

причем, в силу граничного условия (8),

У(0) = 0. (25)

Результаты получатся более точными, если в выражениях (22) и (23) количество слагаемых увеличить на одно, воспользовавшись равенствами (20) и (21). После аналогичных рассуждений и преобразований аналог уравнения (24) будет выглядеть следующим образом:

3

У"- 2УУ' + - У3 = 0. 2

Тем не менее, далее в работе используется уравнение (24), так как при малых а точность основанных на нем решений более чем достаточна для приложений и позволяет получить не слишком громоздкие аналитические выражения в силу простоты решений задачи (24), (25). Общее решение задачи (24), (25) имеет вид

У = АЛ( Ау); (26)

У = - А Ау), (27)

где А - некоторая положительная постоянная. Так как при растяжении в области Б тху > 0, из (22) следует, что У (у) < 0, поэтому формула (27) соответствует растяжению, а (26) - сжатию. Рассматривая растяжение, из формул (27) и (18) получим:

т Ах tg( Ау) (28)

Тху = , 2 2 (28)

д/4 + А2 x2tg2( Ау)

т ху =- х tg( Ау). (29)

При малых а можно, в соответствии с (22), считать, что

А 2'

Постоянная А находится из граничного условия (6). Рассмотрим для простоты случай прямоугольного слоя. Пусть наибольшее значение тху достигается в некоторой точке х1 на контактной

поверхности у = х . Тогда для вычисления А следует решать трансцендентное уравнение

Ах^( Ах) = . (30)

VI - а2

в случае (28); если использовать (29), то в уравнении (30) надо правую часть заменить на 2 а . Координаты точки х1 определяются построением поля характеристик (линий скольжения) от свободной поверхности внутрь области Б. Характеристики, пересекающие слой из его угла, выходят на линию контакта в точке с абсциссой х1. Опуская вычисления, приведем результат (здесь а выражено через к по формуле (7)):

х = 1 —— = 1 -—, X < 0,5. (31)

1 2 + а к +1 V '

Рассматривая движение точки по указанной характеристике, на основании теоремы Генки, можно вычислить значение ау в точке х1

, , _ (к -1)(3 - к)

ау (х^ х) = 2+-2-. (32)

Дальше будем пользоваться формулой (29), рассматривая важный частный случай малой механической неоднородности (к -1 = 0,1,...,0,3). Все рассуждения можно провести и на основе формулы (28), но аналитические выражения для нормальных компонент тензора напряжений будут труднообозримы.

Подставив выражение для тху из (28) в систему (1)-(3), найдем, с точностью до постоянного

слагаемого с, формулу для вычисления нормальных напряжений (промежуточные выкладки опускаем):

А2х2

ах = с--2--+ 1п|соз( Ау),

4 со82 (Ау) А2 х 2

ау = 2 + с--4- + 1п|со8(Ау), х е[0;х], у е[0;х]. (33)

Положив в последнем равенстве х = х1, и воспользовавшись формулами (31)-(33), получим значение постоянной с :

с = <к - IX3- к) + А ('- 4*Лк +1)2 - 1п|со5(Ах)|. (34)

4. Вычисление предельной нагрузки. Среднее предельное напряжение вычисляется по формуле

1

аср = \ау х^х , 0

причем на отрезке х е[х1,1] напряжение ау (х, х) = ау (х1, х), то есть постоянно. Учитывая это, а также формулы (33) и (34), получим:

22

Вестник ЮУрГУ, № 6, 2005

Дильман В.Л., Ерошкина Т. В.

Об одной математической модели напряженного состояния пластического слоя при плоской деформации

2 + (к -1)(3 - к) + А2(к +1 - 4х)3 = 2 +---+ -

ср 2 6(к +1)3 ■ Введем обозначение. Пусть у = а tg d(х), х е(0; +да] - функция, обратная к функции х = у tgy, у е [0; п/2). Тогда для вычисления постоянной А из уравнения (30) следует формула

1

А = — а tg d X

í 2(к2 -1)(1 + 0,75(к -1)2 х) ^

к +1 - 4х

Для малых значений аргумента а tg d(х) = у[х ; это приближенное равенство приводит к формуле

А2 = 2(к2 -1)(1 + 0,75(к -1)2) (к +1 - 4х)х '

Откуда

2 + (к -1)(3 - к) + (к - 1)(к +1 - 4х)2 (35) ат = 2 + ст , СТ =--+---. (35)

ср уп уп 2 3(к +1)2 х

Полоса, содержащая прослойку из менее прочного материала малой толщины, может не уступать по прочности однородной полосе из основного материала за счет контактного упрочнения прослойки. Для определения наибольшей толщины прослойки в полосе, равнопрочной однородной полосе из того же материала, но без прослойки, надо приравнять среднее предельное напряжение растяжения в однородной полосе напряжению, вычисленному по формуле (35). В безразмерных напряжениях соответствующее уравнение имеет вид

2 + Ступ = 2к.

Решая его, получим с ошибкой, не превышающей ,0%, Хр ■ 2{к + " . В частности, при

р 3к2 + 6к +19

к < 1,5 хр = 0,14 , то есть практически постоянна.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 05-08-18179а.

Литература

1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

2. Дильман В.Л., Отсемин А.А. Анализ методом линий скольжения вязкой прочности сварного соединения с подрезом прямошовных труб большого диаметра// Проблемы прочности. -2004. - № 3. - С. 72-82.

3. Дильман В.Л., Отсемин А.А. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с двумя осями симметрии// Изв. РАН. МТТ. - 2001. - № 6. - С. 115-124.

Поступила в редакцию 22 июня 2005 г.