Варианты поквадрантной записи критерия Мизеса-Хилла для анизотропных материалов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Расчет конструкций из композитных материалов

ВАРИАНТЫ ПОКВАДРАНТНОЙ ЗАПИСИ КРИТЕРИЯ МИЗЕСА - ХИЛЛА ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

С.Л. ШАМБИНА, канд. техн. наук, доцент Российский университет дружбы народов, г. Москва.

Критерий Мизеса - Хилла - это один из известных критериев прочности анизотропных материалов, полученный на основе критерия пластичности, предложенного Мизесом для металлов [1]:

р\ау-<х2} +в(а2-<тх)2 + н(ох-оу} + Игу2 +2Мтгх2 + 2Ытху2 = 1, (1)

где Р, О, Н... - коэффициенты, выражаемые через пределы текучести материала. Возможность применения критерия пластичности (1) в качестве критерия прочности для анизотропных материалов типа слоистых пластиков исследовалась в работе [2]. Этот критерий удовлетворительно аппроксимирует результаты опытов для материалов со слабо выраженной анизотропией, тогда как для материалов с сильной анизотропией критерий не согласуется с экспериментальными данными.

На основании экспериментов Бриджмена со стальными кубиками Р. Хилл сделал допущение о том, что добавление гидростатического давления не влияет на наступление текучести металлов, и записал критерий Мизеса в следующем развернутом виде [3]:

• +

- +

+ -

■ +-

сгТ\

/

аТ2 °ТЗ 1 1 1

тТ\2

\

\аТ2 °ТЪ °"П

Тт\з

/■

сг22сг33

°"23

+ Т2"

ТТ23 1 1

1

стп

1

1

\

аТ2

\

атз

&ТЗ О" 7*1 аТ2

а\ 1°"33

1СГ22

(2)

где сг.

П> "П'

<тгз - пределы текучести материала в первом, втором и третьем

основном направлениях материала; гП2, г713 и гГ23 - пределы текучести материала при чистом сдвиге; аи, а21, сг33, (т12, сг,з, <723 - значения действующих напряжений. Очевидно, что для определения по известным величинам действующих напряжений начала текучести анизотропного материала (для хрупких материалов - начала разрушения), нужно экспериментально определить шесть пределов прочности. Выражение (2) называют критерием Мизеса - Хилла для анизотропных материалов.

В случае плоского напряженного состояния критерий (2) имеет вид:

1 , °"22

+ -

■ +

аТ\ аТ2 тТ\2

1

1

<*\\а22 =1-

(3)

сг л ^Т2 ®ТЪ В работах [4], [5] не принимается допущение о пренебрежении шаровым тензором напряжений. Коэффициенты критерия (1) выражены через пределы прочности на растяжение и сжатие, предел прочности на сдвиг по площадкам, составляющим угол 45° с основными направлениями материала (гв45), а также

предел прочности на сдвиг по площадкам, совпадающим с основными направлениями материала (гв12):

( \ Г л

1 1 II 1 1

-+-Г---Г- <У]\0~22 +

2 2 2 <711 <*22 , °"33 |

ав\ ав2 авЪ

<?в\ ав2 гв45

crs2

/

ХСГ22СГ33 +

1 1

2 2

гв45

<ТЦ<733 +

1

°вЪ

\

гв45

1

Vrel2

Для плоского напряженного состояния критерий (4) имеет вид: г \ 2

1 . 1 1 1т гг -1

__ +----_ аиа22 +-=г-1.

2 2

°П , °~22 ,

-— -)--— +

°в\ ав2

ав1 ав2 тв45

тв2Ъ гв13 меет

CT12¿=L(4)

(5)

у

тв12

Очевидно, что критерии (2) и (4) следует применять только для анизотропных материалов, имеющих одинаковые пределы прочности на растяжение и

сжатие по каждому направлению (<тв,+ = ав~ = сгвД а также равные пределы прочности на сдвиг по площадкам, находящимся под углом 45° к основным направлениям материала (гв45+ = тв45~ = тв45). Однако, таких материалов не много, например, это материал Т-10-80.

Разными авторами [5], [6] делались попытки распространить критерий Ми-зеса - Хилла на анизотропные материалы, имеющие различные пределы прочности на растяжение и сжатие, путем использования этого критерия поквад-рантно, т.е. отдельно для каждого квадранта плоскости напряжений. В работе [5] предлагается такая запись критерия Мизеса - Хилла: 1) для квадранта сгп > 0; сг22 > 0:

f \

а-

1

1

WJWJiWJ WJ'^y

2) для квадранта <тп < 0; сг22 > 0:

2 2 (

3) для квадранта сги < 0; сг22 < 0:

<х22 = 1;

'И и 22

OY

'22

= 1;

И "22

/

II 22 1 1 1

kl")2 (°е2~} IWT R77

■ff„-а22 =1;

4) для квадранта <т,, > 0; сг 22 < 0:

а

22

1

В формулах (6) (9) по-прежнему присутствует один предел прочности на сдвиг гв45. Однако, существует немало материалов, у которых пределы прочно-

°П •СГ22=1-

(6)

(7)

(8)

(9)

сти на сдвиг гв45+ и гв45 значительно отличаются по величине, и неясно, какой именно из этих пределов прочности подставлять в критерий прочности. У ортогонально армированных пластиков прочность при сдвиге зависит от знака касательных напряжений [7], поэтому использование для них расчетных формул (6) -г- (9) может привести к ошибкам. Кроме того, в выражениях (6) (9) предел прочности на сдвиг фигурирует в выражениях для всех четырех квадрантов.

На диаграмме предельных состояний (рис. 1) предел прочности на сдвиг

присутствует только в двух квадрантах (гв45+в квадранте <ти>0; ог1 < 0 и

тв45~ в квадранте <тп < 0; а22 > 0). Логичнее в формулах (6) (9) использовать для каждого квадранта предел прочности из этого же квадранта.

Следует отметить, что экспериментальное определение пределов прочности на сдвиг является относительно сложной задачей, что тоже препятствует широкому применению критерия Мизеса - Хилла в практических расчетах.

Чтобы избежать вышеперечисленные трудности, в работе [6] предложено в качестве базисных характеристик наряду с общепринятыми пределами прочности использовать вместо тв45 другие пределы прочности. Такими характеристиками могут быть, например, пределы прочности при равномерном двухосном растяжении сг++«12 и равномерном двухосном сжатии сг~в1к с соотношением напряжений сгц/сх22 =1/1 или же пределы прочности при двухосном растяжении ¿7++вй или двухосном сжатии сг~~в,к с соотношением напряжений

Рис. 1

Тогда выражения (6) + (9) запишутся в виде:

1) для квадранта аи > 0; а22 > 0 (двухосное растяжение):

'и

V сг е1

+

\2

'22

(7+в2

1 Г 1 ^ 2 ( 2 ) 2 ( 1 ^

2 \<7 в\2 )

СГ„ = .

(Ю)

2) для квадранта сгп < 0;сг22 < 0 (двухосное сжатие):

в\2)

° в\)

о- в2)

PUff22=l- О1)

На плоскости напряжений, где ст,, и а22 имеют разные знаки, следует подставлять в квадранте (оп>0; а22<0) в качестве предел прочности г+в45, вме-

сто ав - предел прочности сг в., вместо сгв

предел прочности ст+в2 ■ В

»1 -г--".....г---------- > ------- ^в2

квадранте (стц<0; <т22>0) следует в качестве взять , в качестве <тв] - предел прочности <т"в|, а в качестве ав2 предел прочности <т~в2. В указанных квадрантах критерий Мизеса - Хилла запишется следующим образом: 3) для квадранта сги > 0;сг22 < 0:

\2

<Т+в\

\2

"22 СГ"в2 /

2

\(Т в 1

+

1

V

С в2

1

N2

Г+«45 /

СГ,

11 " °22 _ 1 >

4) для квадранта <ти < 0; сг22 > 0:

чсг «1

'22

<7 в2

1

1

\2

1

\2

V. 7 «45 у

■СГу

■а22 =1.

(12)

(13)

По двум вариантам поквадрантной записи критерия Мизеса - Хилла в виде (6) (9) и (10) + (13) были построены дуги предельных кривых для следующих материалов: стеклотекстолитов ТСК-ВМ, Т-1, ВПР-10, ТСУ 8/3-ВМ-78, КАСТ-В, ТС 8/3-250 и стеклопластика ППН. Расхождение между предельными кривыми в некоторых случаях весьма значительно. Максимальное расхождение составляет: 23% для материала ТС 8/3-250, 79% для материала Т-1, 33% для ВПР-10, 56% для ТСУ 8/3-ВМ-78, 6% для КАСТ-В, 20% для ППН. Даже в тех случаях, когда расхождение относительно мало, предпочтение следует отдать модификации критерия в виде (10) + (13), так как среди базисных характеристик прочности, использованных при записи каждой из этих формул, присутствуют прочностные характеристики из этого же квадранта, что представляется более правильным и логичным. Кроме того, для всех рассмотренных материалов предельные кривые, построенные с использованием модификации критерия Мизеса - Хилла в виде (10) + (13), гораздо лучше соответствуют экспериментальным данным.

Рассмотренные модификации критерия Мизеса - Хилла позволяют распространить этот критерий, простой и удобный для расчетов, но имеющий узкие рамки применимости, на более широкий круг материалов. Кроме того, модификация этого критерия в виде формул (10) + (13), устраняет неопределенность подстановки пределов прочности на сдвиг. Содержащиеся в расчетных формулах новые прочностные характеристики из соответствующего квадранта дают возможность получить более достоверные результаты.

Литература

1. Mises R. Mechanik der plastischen Formänderung von Kristallen. ZAMM. B.8. H. 3. 1928.

2. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов. - JL: Машиностроение, 1969. - 112 с.

3. Р. Хилл. Математическая теория пластичности. - ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

4. Голъденблат И.К, ред. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. - М.: Высшая школа, 1970. - 407 с.

5. Белянкин Ф.П., Яценко В.Ф., Марголин Г.Г. Прочность и деформатив-ность стеклопластиков при двухосном сжатии. - К.: Наукова думка, 1971.-151 с.

6. Котов В.А., Шамбина C.JI О расширении диапазона применимости некоторых критериев прочности анизотропных материалов// Современные проблемы теории пластин, оболочек и вопросы проектирования гражданских и промышленных сооружений: Межвуз. сб. научн. трудов - М ■ РУДН, 1993.-С. 82-87.

7. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Влияние знака касательных напряжений на прочность армированных пластиков при сдвиге// Механика полимеров. - 1971. - №27. - С.262-268.

SOME MODIFICATIONS OF MISES - HILL CRITERION FOR ANISOTROPIC MATERIALS

S.L. Shambina

The author considers some variants of famous Mises - Hill criterion for anisotropic materials. These modifications suggested by some other authors and by the author of this article use Mises - Hill criterion separately for each quadrant. The variant suggested by the author gives the opportunity to use this criterion for a wider class of anisotropic materials and also it has better corroboration by the experiments.

Механика грунтов

КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГРУНТА ПРИ БУРОВЗРЫВНЫХ РАБОТАХ В ТОННЕЛЯХ МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ

Е.Н. КУРБАЦКИЙ, д-р тех. наук, профессор БАХССАС ФУ АД ХАССАН, аспирант

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

В подземном строительстве и, в частности, в тоннелестроении проходку выработок в твердых породах ведут чаше всего взрывным способом [1]. Взрывные воздействия характеризуются большим выделением энергии за короткий промежуток времени. Например, при взрыве одного килограмма тротила при длине заряда 0.25 метров за 40 микросекунд выделяется свыше 4.0 10б Дж. Волны напряжений, распространяющиеся в грунте от места взрыва, могут достигать дневной поверхности, что может привести к повреждениям или разрушениям наземных объектов.

Для оценки уровней вибраций поверхности грунта, при взрывном воздействии в внутри цилиндрической полости, в первом приближении рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Будем полагать, что в результате взрыва внутри