Научная статья на тему 'Анизотропные тензорные функции и критерии предельности'

Анизотропные тензорные функции и критерии предельности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
201
57
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Митюшов Е. А.

Получены ортонормированные базисы для различных типов симметрии и анизотропных свойств шестимерного пространства. Также получены феноменологические критерии предельности для некоторых анизотропных упруго-пластических материалов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Митюшов Е. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The orthonormed bases for different symmetry types and anisotropic properties of six-dimensional space were found. Moreover, the phenomenological criteria of limitation for different anisotropic elasto-plastic materials were obtained.

Текст научной работы на тему «Анизотропные тензорные функции и критерии предельности»

УДК 152. 972

Е.А. Митюшов

Уральский государственный технический университет

АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОСТИ

Abstract

The orthonormed bases for different symmetry types and anisotropic properties of sixdimensional space were found. Moreover, the phenomenological criteria of limitation for different anisotropic elasto-plastic materials were obtained.

Анизотропные тензорные пространства

Следуя работе [1], рассмотрим шестимерное пространство

S = symE ® E е T2 = E ® E симметричных тензоров второго ранга. Здесь E - векторы

3-мерного евклидова векторного пространства E3.

В шестимерном пространстве S существует такой ортонормированный базис

ш (к) (к = 1,2,...,6), при котором любой симметричный тензор второго ранга а

представим в виде

а = У а кш(к), ш«-ш(г )=ш5к)ш5; )={0, к *l,

к= к 13 13 [i, к=г

где а к е R - координаты симметричного тензора в данном тензорном базисе.

При этом

а к = а • ш(к).

Помимо линейных операций сложения тензоров и умножения тензора на число введем операцию умножения двух тензоров в фиксированном базисе ш(к) (к = 1,2,...,6).

Определение 1. Произведением двух симметричных тензоров второго ранга а и в в базисе ш(к) (к = 1,2, ...,б) называется тензор ав е S, определяемый равенством

аР = ]С аквкш(к),

к=1

где ак, вк - координаты тензоров а и в в базисе ш(к) (к = 1,2,...,б).

Дадим еще одно определение.

Определение 2. Директором ортонормированного базиса ш(к) (к = 1,2,...,б)

называется тензор

ш = ]Г ш(к). к=1

Базис ш(к) (к = 1,2,. ..,б) инвариантен относительно преобразований симметрии

векторного пространства E3.

В случае ортотропной симметрии ортонормированный базис

Ш<‘> 0 0 ш12) 0 0 ш1з) 0 0

Ш<‘> = 0 Ш« 0 , Ш(2) = 0 Ш<2> 0 , Ш(з) = 0 ш2з) 0

0 0 Ш« 0 0 Ш(з2) 0 0 шзз)

(4) 1

Ш'' ; =

42

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш<6)=' 1 0 0

42 -У2

0 1 0 1 0 0 0 0 0

Используя кватернионное представление числовых троек (ш(; составляющих ортонормированный базис в пространстве Я3 [2], имеем

(к) Ш(к)

Ш 2 , Ш з

Ш(1) =

Ш(2) =

Ш(3) =

2,2 2 2 Р0 + р1 - р2 - р3

0 0

0

0

2ІРіР2 — Р0Рз) 0

0 2(0 Р2 + РьРз)

2(0 Рз + Рі Р2 ) 0

0

2 2,2 2 Р0 - Р1 + Р2 - Р3

00

2(1 Рз - Р0 Р2 ) 0

0 2(0 Рі + Р 2 Рз)

0

0

0 0

2(2Рз - Р0Рі) 0 0

2222 Р0 - Р1 - Р2 + Рз

(4) 1

Ш ; = —

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш(6>=-!= 1 0 0

42 42

0 1 0 1 0 0 0 0 0

При этом р0 + р2 + р2 + Рз = 1-

Ортотропия при объемной изотропии (один из базисных тензоров является шаровым)

Ш(1)=-^

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ш(2 ) =

1

42^

1 + 42 + 42

1 0 0

0 42 0

0 0 — 1 — 42

,ШМ =

1

1 + 4з + 4з

1 0 0

0 4з 0

0 0 — 1 — 4з

(4) 1

Ш ; = —

1

72

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 , Ш« = -!= 0 0 0 , Ш(6> = -!= 1 0 0

0 1 0 42 1 0 0 42 0 0 0

где 4 2,з = ґ ±

VI

+ ґ + ґ

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тетрагональная симметрия и трансверсальная изотропия

ш(1) =

V2+42

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 , ш(2)=- 1 0 1 0 (3) 1 , ш''-' = —= 0 -1 0

0 0 41 V2+4 2 0 0 42 42 0 0 0

1

ш(4) =

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 , ш(5)=-^ 0 0 0 , ш(б)=-^ 1 0 0

’ 42 ’ 42

0 1 0 1 0 0 0 0 0

где ди = і ±

УІ2

+ і

Кубическая симметрия

ш(1)=-^

1

43

(4) 1

42

0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 (2) 1 ш'■' = —= 0 1 0 (3) 1 , ш ; = —== 0 -1 0

46 42

0 1 0 0 - 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 . ши=4 0 0 0 (6) 1 , ш; = —==■ 1 0 0

л/2 42

0 1 0 1 0 0 0 0 0

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что полученные базисы являются ортонормированными.

Можно также убедиться, что при соответствующих преобразованиях симметрии

пространства Е3 произведение тензоров не меняется, а скалярное произведение а • в -

это скалярное произведение тензора ав с директором тензорного базиса, то есть:

а • в = (ав) • ю .

Определение 3. Анизотропным тензорным пространством Б называется тензорное пространство Б, в котором введена операция умножения двух тензоров в фиксированном тензорном базисе.

В пространстве Б выполняются аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей и делителями нуля:

1. а + в = в + а;

2. (а + в) + 5 = а + (в + б);

3. 3 0: а + 0 = а;

4. УаеБ 3(-а):а + (-а) = 0;

5. ав = ва;

6. (ав)б = а(вб);

7. (а + в)б = а8 + в5;

8. аю - а.

Кроме того, для элементов, не являющихся делителями нуля:

9. Уае Б (Л!-! а к * 0)3 а-1 : аа- = ю ;

10. в = ар-‘ (П6=Д *0).

Директор базиса - это тензорная единица пространства S , а в силу принятых аксиом в этом пространстве можно выполнять алгебраические, функциональные, дифференциальные и интегральные операции.

Легко проверяются алгебраические тождества

(a + ß)2 = а2 + 2aß + ß2; а-1 - (а + ш)-1 = а-1 (а + ш)-1, =ак ^ 0, а ^ -ш .

В тензорном пространстве S может быть введена метрика, при этом расстояние между двумя точками (элементами) пространства определим формулой

р(а',а") = л/а'-а",

а также может быть введен угол разориентации между двумя тензорами а' и а" соотношением

а'-а "

Ф = arccos-

л/а'-а/л/аЛа"

Аналогичным образом может быть определено анизотропное пространство Т4 = Б ® Б тензоров четвертого ранга, симметричных по первым двум и последним двум индексам и парам крайних индексов. Базисом данного пространства, инвариантным относительно преобразований симметрии векторного пространства Е3, является система ш(к) ® ш(к) ( = 1,2,... ,б), а тензорной единицей - тензор

I = Т ш(к )®ш(к) или Іі]тп = ш(к )ш(к)

При этом

IJ mn

k—1 k—1

»<kWk).„<■ Wi >—4^«4>«£П —Г к*'.

11, k — l

Анизотропные тензор-функции тензорного аргумента

Областью Б е Б анизотропного тензорного пространства Б назовем

6

множество тензоров а = Г акш(к), ак є Мк е ^ .

к=1

Будем говорить, что в области Б пространства Б задана анизотропная тензор-функция / (а) соответствующей симметрии, если указан закон, по которому каждому

тензору а из Б ставится в соответствие тензор /(а) є Б . В базисе ш (к) (к = 1,2,. ,6)

этот закон может быть представлен в виде

/(а) = Г Фк (аь а 2 , • • ^ а6 )ш(к) , Фк (а1, а 2 , • • ^ а6 ) = /(а) -ш(к),

к=1

где фк(а1,а2,...,а6) - скалярные функции, определенные при ак єМк .

Введем в рассмотрение элементарные анизотропные тензор-функции тензорного аргумента, как обобщение обычных элементарных функций, равенствами:

1. Степенная функция

,р = V а р ш(к)

а‘

k—і

2. Логарифмическая функция

ln а = ^ ln а k ш

(к)

k=1

3. Основная показательная функция

6 , . ,ak oo(k)

k=1

4. Тригонометрические функции

6 ( ) 6 ( ) sin а = ^ sin а k ш\к), cos а = ^ cos а k ш^)

k=i k=i

5. Полином

6 ( )

Pn (а) = / Pn (аk )o(k), n - целая степень тензорного полинома, Pn (ak ) -

k=1

полиномы над полем вещественных чисел.

6. Рациональная функция

Pn (а) Л Pn (аk) (k)

— / ч = / — / ’, n,m - целые степени тензорных полиномов.

Qm (а) k=1 Qm (а k) ’ ’ ^

Данная функция не определена для значений аk, являющихся корнями уравнений

Qm (а k )= °.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Нетрудно убедиться, что для введенных элементарных анизотропных тензор-функций выполняются аналогичные обычным элементарным функциям свойства

n ln а = ln а n, ln e а=а,

eаee = eа+в, sin2 а + cos2 а = о .

Аналогично определяется анизотропная тензорная функция тензорного аргумента в пространстве T4,

f(а) = /9k(а1,а2,...,а6)co(k)®Q(k) , 9k(а1,а2,...,а6) = f(а) -Q(k)®Q(k),

k=i

ае T4, f (а)е T4.

Критерии предельности

Воспользуемся предложенным математическим аппаратом для получения феноменологических критериев предельности некоторых анизотропных материалов.

Рассматривая пространство напряжений Z, элементами которого являются тензоры напряжения в данной точке анизотропного тела (оеЕс S), предельную поверхность представим равенством

f(a) -®= 1.

Для ортоторопных материалов, представляя, в частности, функцию f(a) тензорным полиномом второй степени

f (о) = ао2 +Pa

6

(а = ^аk^k), p = ¿pkш(k), °=ї°kш(k), о2 =Z°2ш(k)) k=1 k=1 k=1 k=1

-3

и совмещая векторы базиса пространства E с главными осями анизотропии, имеем

а1а12 +а 2а2 +а 3а2 +а 4а 2 +а 5 а2 +а 6 а2 +

+ в.1а1 +в 2 а 2 +в 3а 3 +в 4а 4 + в5а 5 +в 6 а 6 = 1.

В предположении, что предельное состояние инвариантно к смене заданного направления сдвига на противоположное, имеем

о о о о о о

а1а1 + а 2 а 2 + а 3 а 3 +а 4 а 4 + а 5 а 5 + а 6 а 6 + Р1а1 + в 2 а 2 + в3 а 3 = 1.

Данное феноменологическое уравнение предельной поверхности содержит девять размерных материальных констант и три безразмерных параметра,

определяющих вид базисных тензоров ш(к) (к = 1,2,3) анизотропного тензорного

пространства. При дополнительных гипотезах физического характера число

параметров, подлежащих экспериментальному определению, может быть уменьшено.

Для пространственно-армированного композита кубической симметрии, направления армирования которого совпадают с осями симметрии третьего и

четвертого порядка куба в Е3, с учетом возможного разрушения по разным

физическим механизмам (разрыв армирующих волокон при растяжении и потеря их устойчивости при сжатии) приходим, в простейшем случае, к четырехконстантной поверхности прочности в шестимерном пространстве напряжений

2 2 2 2 2 2 а1а1 +а2а2 +а3а3 +а4а4 +а5а5 +а6а6 +в1а1 = 1, а2 =а3, а4 =а5 =а6,

а1 =а-ш(1) =^= (а11 +а 22 +а 33 ), а 2 =а-Ш(2) =^= (а11 +а 22 - 2а 33 ^

а-ш(з)=—^(ап -а22), а4 = а-ш(4) = л/2а23, а5 = а-ш(5) =-\/2с

л/2

а 6 = а-ш(б) = V4а16.

Физический смысл материальных констант этого уравнения становится ясным, если рассмотреть четыре независимых напряженных состояния:

1) а11 =а22 =а33 = , а23 =а31 = а12 = 0;

2)а11 = а22 = а33 = - , а23 = а31 = а12 = 0;

3) а11 = -а22 = Т1, а33 = а23 = а31 = а12 = 0 ;

4) а 23 = Т 2, а11 = а 22 = а 33 = а 31 = а12 = 0,

где р + и р- - предельные напряжения всестороннего растяжения и сжатия; т1 и т 2 -предельные напряжения простого сдвига в плоскости, проходящей через оси симметрии второго и четвертого порядка, в направлениях осей второго и четвертого порядка соответственно.

Подстановка этих соотношений в уравнение поверхности прочности дает

3а1 р+ + л/эр1 р+ = 1; 3а1 р- - л/3р1 р- = 1; 2а2т2 = 1; 2а4т2 = 1,

откуда

1 п р- - р+ 1 1

а1 = о—; в1 =“7г—; а 2 =тг; а 4 =тг.

3 р+р- V 3 р+р- 2^ 2т2

При независимости предельного состояния от шаровой части тензора

напряжений при условии т1 = т2 = т, переходя к пятимерному пространству чистых

сдвигов [3], получаем простейшую поверхность прочности изотропного материала в

виде уравнения сферы в пятимерном пространстве

а 2 +а2 +а 2 +а2 +а2 = 2т2,

что соответствует широко применяемой энергетической теории прочности или условию текучести Губера-Мизеса-Генки математической теории пластичности.

Библиографический список

1. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып.3.- С.420 - 435.

2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 384 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

Получено 15.06.2004

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.