CC BY
19
О ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРОВ ПРОЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
С.Я. МАКОВЕНКО, д-р техн. наук, проф.
Московский государственный вечерний металлургический ин-т, Москва
Выводятся соотношения между компонентами тензоров прочности двух в некотором отношении "родственных" теорий прочности анизотропных материалов, таких как теория Захарова-Малмейстера [1, 2] и теория Гольденблата-Копнова [3,4].
Формулируются и сопоставляются также условия внутренней корректности названных теорий.
1 Критерий Захарова-Малмейстера имеет вид
зм
зм
Пу СТу + Путп О;;0
у" та
5 1,
0)
зм ЗМ
где П у, П утп - компоненты тензоров прочности соответственно второго и четвертого рангов, а^ - компоненты тензора прочности. Критерий Гольденблата-Копнова записывается в виде:
ПС
Пу Оу +
утп С^атп
^ 1,
(2)
гк гк
где Пу, Пущп - как и в предыдущей теории, тензоры прочности этой теории.
Оба критерия представлены в несколько упрощенном виде.
зм зм гк
Для установления связи между компонентами Пу, Путп и Пу,
гк
П утп поступим следующим образом. Выражение (2) перепишем в виде.
гк
Путп ФуО
у^тп
>2
ГК
< 1 - ПуОу.
(3)
Неравенство не нарушится, если левую и правую части неравенства возведем в квадрат.
ГК ( ГК Л2 ГК 'ГК ^
Путп онотп < | 1 - Пу ай = 1 - 2 Пу Стй +
Пу Оу
ИЛИ
гк
+ 2 Пц Оц +
'гк П
утп
ГК ГК Пу Птп
Оо®тв * 1 ■
(4)
Записанное неравенство есть, очевидно, условие прочности теории Захарова-Малмейстера, если принять обозначения:
зм Пу зм П
утп
ГК
2Щ,
ГК ГК ГК
— П цшп П у П ШП ■
(5)
Получили, тем самым, зависимости между компонентами тензоров прочности рассматриваемых теорий в одну сторону. Обратные зависимости имеют вид:
ГК зм
Пу = 0,5 Пу, гк зм П утп — П утп
1 ЗМ ЗМ + - П У П тп 4
(6)
Ввиду полученных зависимостей (5), (6), можно сделать вывод, что если известны компоненты тензоров прочности одной теории прочности, то тем самым компоненты тензоров прочности другой теории прочности определяются через компоненты тензоров прочности первой однозначно и единственным образом
В этом состоит "родственность" упомянутых теорий. Пусть, например, для некоторого плоского напряженного состояния (оп * 0; о22 * О) для ортотропного материала известны компоненты тензоров прочности теории прочности Гольденблата-Копнова [5]:
гк Пп
1
гк ! П22 = -2
1_ 1
1
1
ГК ]
Пип = 1 4
1
— + °В1 а
1
\2
гк
П 1122
Vй В2
/
1
<*В1
' В2 у
' В1
V
п 1
112222 =
4
В1 У
1°В2
/
V В2
' В2 у
°В2 ) 1
(7)
1
чгВ45 ТВ45>
где аВ1, а в,, оВ2, стВ2 - пределы прочности ортотропного материала на растяжение и на сжатие в направлениях главных осей ортотропии материала, Тв45, Тц45 - сдвиговые пределы прочности в одну и в другую стороны для элемента материала, находящегося в состоянии чистого
сдвига и ориентированного под углом в 45° по отношению к главным осям ортотропии.
Согласно представлениям (5) находим
зм Пи
зм П 22
гк 2 Пи
гк 2 П 22
_1_
Л
_1
СТВ1 1 1
\
Ч°В2
°В2
ЗМ ГК ГК ГК I
Ппп = Ппп- Пп Пц = —
4
1 1
— + —
От О"
\иВ1
В1
3В1
>В1 У
ЗМ ГК ГК ГК
П2222 = П2222- П22 П22 =
СТВ2
V _
®В2 } 1°В2
1 V
В2
1
ЗМ ГК ГК ГК ]
П1122 = ГТ] 122 Пп П22 = -
1 1
— + —
X
ст
°В2°В2 >2
В1 /
л2
Ч°В2
а
В2 У
1
1В45
1В45У 1
СТВ1
V
1___1_
°В1Л°В2
N2
>В2 У
СТВ2
(
1 1
- + -
Л.
\ Г
1
1
N2
_1 1
1
1
ТВ45У
У
1
1
чстВ1 1
1
/Ч
°В2
ч2
<*В1
СТВ1ЛСТВ2 СТВ2/
' 1 1 ^
- + -
ч
1,СТВ1аВ2
Оп.ст
В1 В2 у
(8)
Заметим, что в работе [6] приведено иное выражение для параметра
зм
П1122 в виде:
г
1
1
1
ЗМ ]
П 1122 = —
2 ^°В1СТВ1 °В2°В2 ХВ45ХВ45 ) Оно найдено путем решения уравнений
(9)
зм
зм
зм
/зм
П1111+ П2222- 2 П1122 +
зм
Пп- П22
1
1
ЗМ ЗМ ЗМ
П1111+ П2222- 2 П1
/ ТВ45 1 1 ХВ45 1
1 ) ХВ45 2 ТВ45
(10)
Для совместности этих уравнений необходимо удовлетворить очевидному условию совместности
'зм зм N
Пц- П22
С \
1 1
- + -
ЧТВ45
1В45
1
1
В45
или
или
зм зм ^ Пи- П22
1
1В45
1В45
— + . (П)
СТВ1 СТВ1 °В2 °В2 ХВ45 ТВ45
Данное условие совместности точно выполняется для изотропного материала, либо для материала разносопротивляющегося растяжению и сжатию при
0В1 - 0В2>' °В1 - ® В2' ТВ45 - гВ45
В общем случае условие (11) рассматривается как ограничение на произвол изменения параметров прочности Ощ, , Оц2, а[!2, Тв45,
ХВ45 [5].
ЗМ
Если теперь в представлении (8) для П1122 учесть условие совместности (11), то оно сведется к представлению (9).
Получили, тем самым, для плоского напряженного состояния, по компонентам тензора прочности одной теории прочности (теории Гольденблата-Копнова) известные в литературе компоненты тензоров
/л "»л
прочности другой (родственной) теории прочности (теории Захарова-Малмейстера).
2. Рассмотрим теперь вопрос о внутренней корректности рассматриваемых условий прочности. Они также связывают компоненты тензоров прочности определенными условиями. Для упрощения выкладок, введем вспомогательные обозначения
пс
а = Пц
3 - Пущп ауОтп.
Критерий Гольденблата-Копнова в этих обозначениях примет вид
а + < 1. (14)
Переписываем его в виде
а + (а2 + р - а2)К < 1. (15)
Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием внутренней корректности критерия Гольденблата-Копнова является требование положительной определенности квадратичной формы
г\
напряжений р - а , т.е.
Р - а2 >0 (16)
для любого напряженного состояния.
Рассмотрим теперь, как выполнение условия (16) отражается на условии корректности критерия прочности Захарова-Малмейстера (1)
Заметим, прежде всего, что зм
Пут„ ойотп = р - а2 > 0. (17)
То есть, выполнение условия (16) приводит к положительной определенности квадратичной формы напряжений, входящей в критерий прочности Захарова-Малмейстера. В терминах а, р, этот критерий (с учетом равенств (5)), переписывается в виде
2а + р - а2 <1. (18)
Здесь только компонент Р - а2 - положительно определенная величина. Для внутренней корректности критерия Захарова-Малмейстера необходимо выполнение еще одного условия:
2а + р - а2 >0 (19)
для любого напряженного состояния.
Таким образом, обеспечение внутренней корректности критерия прочности Гольденблата-Копнова не приводит автоматически к внутренней корректности критерия Захарова-Малмейстера. Для этого необходимо выполнить дополнительное условие (19). Отсюда делаем вывод, что критерий Захарова-Малмейстера имеет более узкий диапазон применимости по сравнению с критерием Гольденблата-Копнова
Литература
1. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности// Механика полимеров, 1966, № 4.
2. Захаров К.В. Критерий прочности для слоистых масс// Пластические массы, 1961, № 8.
3. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерий прочности анизотропных материалов//Механика, 1965, № 6.
4. Годъденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов- М.: Машиностроение, 1968 - С. 192.
5. Бажанов В.Л. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков -М.: Высшая школа, 1970,- 408 с.
6. Копнов В.А., Шамбина С.Л. О расширении диапазона применимости некоторых критериев прочности анизотропных материалов// Межвузовский сб. научн. Трудов, современные проблемы теории пластин -М.: Изд-воРУДН, 1993 -С. 82-87.
THE COMPARATIVE ANALYSIS OF TWO CRITERIA OF ANISOTROPIC MATERIAL STRENGTH
S.Y. Makovenko
The two theories of strength of anisotropic material, which received the most dissemination in the engineering analysis, are considered. The dependences between the components of the strength tensor of these theories are derived. AJso the conditions of their mathematical correctness are compared
