Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих

оболочек

к.т.н. проф. Володин В.П., Надиров Э.Р. Тверскойгосударственный техническийуниверситет, г. Тверь

+7 (4822) 52-63-63, [email protected] Аннотация. Получены уравнения связи между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями для прямоугольных в плане пологих оболочек, удобные для численного расчета процесса их нагружения. Задача решается с учетом геометрической и физической нелинейностей.

Ключевые слова: пологая оболочка, напряжения, деформации, тензор, деви-атор

Введение

В работе дается единая форма связи между напряжениями аг}. и деформациями ег}. для

трех рассматриваемых случаев материала оболочки. Материал оболочки будем считать: упругим, нелинейно-упругим, упруго-пластическим. Рассматривается квазипростое нагру-жение оболочки.

В соответствии с теорией квазипростых процессов принимаем [3-5]:

1. Закон упругого изменения объема.

^п Е

ео =—,к =-; (1)

0 3 К 3(1 - 2|Д) У)

где: е0 = ^ен - средняя деформация; а0 = ^ои - среднее напряжение; К - модуль объемной

деформации Бриджмена; Е - модуль упругости; ц - коэффициент Пуассона. Используется правило суммирования по повторяющемуся индексу.

2. Закон упругопластического формоизменения.

** = ВД > (2)

где: ¿V = аг}. -5г}.а0, Эг}. = ег}. -81).е0 - компоненты девиаторов напряжений и деформаций.

Е

Для упругих панелей: N' = 20 =-;

1 + д

а Е

если материал панели нелинейно-упругий [4],то: N = — = 20 = ——;

Э 1 +

1

р Э

Ер, Ор , цр - пластические характеристики материала;

q - экспериментально определяемый параметр [3, 4].

3. Закон упругопластического упрочнения.

Модуль тензора-девиатора напряжений есть универсальная функция модуля тензора-девиатора деформаций:

о = Ф(Э),

определяемая из опытов на простое растяжение [3].

Связь между напряжениями и деформациями

Запишем общую зависимость (2) в обратной форме: Э^ = ,

в теории квазипростых процессов: Ыр = 20р + (20 - 20р)fq, / = — (1 - со^;), 20р = —,

или в развернутом виде (в технических обозначениях):

-е0 = (оX)/Кр , еху = тху/ыр, < ^ -е0 = (а„ -а0)/Ыр , = туг/Ыр , (3)

5 " ео = (ог " )/МР > е= = Х«1ЫР • Вследствие гипотезы прямых нормалей ехг = еуг = 0, а поэтому: тх2, ту2 « ах, ау, тху. Вследствие гипотезы о ненадавливании слоев:

г «°х у> тх, • (4)

Таким образом, можно считать, что в оболочке возникает плоское напряженное состояние. На основании (4) запишем:

= ^(о х + °у )• (5)

Из выражения (3) с учетом (1) получим:

1 1 - 3 1

е - еп =--ап; е =--—— (е + е ) ; еп =-(е + е ) . (в)

г 0 Ыр ° г 2 + 3К/Ырх у)' ° 2 + 3К/ЫрКх у'

В частном случае нелинейно-упругого тела:

Е Е

к =---; Nv = 20в =—р—; (7)

3(1 - 2,д, У р р 1 + |Д /

1 _ Ж = _ , . 2 + Ж = 3(1 ,) ,8.

Ыр 1 - 2|д/ Ыр 1 - 2»/ К }

^, , , _ 1 ~, л \ех + еу) ' е0 ч

1 3(1 -1^)

В результате получим: ег =---— (ех + еу); е0 =-— (ех + еу).

Это совпадает с имеющимися результатами. Для упругой оболочки ц,р = ц,. Предположим, что:

Мр = 20Ыр ; (9)

где: Ыр - безразмерная величина: для упругой оболочки Nр = 1;

« " л7 2Ср 1 + ^ Е> для оболочки из нелинеино-упругого материала: N = —- =---— ;

20 1 + д р Е - Ыр 20 р ( 20р Л

при квазипростом нагружении: = —- = —— + 1--— .

20 20

20

у

„ 1 3 К Np-1 - (2 Кр + 1)[д ^ 3 К 2 Кр +1 + (1 - 4 Кр

При условии (9) имеем: 1--= —--=-; 2 л--=---=—-—

N. (1 - 2|д) Ыр Ыр (1 - 2|д)

При Ыр = ,

Р ' 20 1 + Е Ыр 1 - Ыр 1 - 2|дг

^ гг , , 3К Зд „ 3К 3(1 -д) ^

При N„ = 1 1--=--; 2 н--=-. Это совпадает с (8) при ц „ = ц.

^ Ыр 1 - 2» Ыр 1 - р

ы = 20^ = Е^ 1 _ зК =_ Зд ^ 2 + ЗК = 3(1 -ц,)

IV Кр 1 - 21ЛР '

Е 1 (1 ^ Е

Это совпадает с (8) т.к. из (1) и (7) (1 - 2\а)—- = 1 - 2|др, др = — [ —д ^.

Е 2 ^ 2 ) Е

Последнее выражение служит для определения пластического коэффициента Пуассона В дальнейшем в практических расчетах будем принимать следующие выражения для

функционалов N' : для упругих оболочек Nр = 1; для оболочек из нелинейно-упругого мате-

риала:

при квазипростом нагружении:

N = — ■ р 20 Э'

1

1

= — ■- + 1 1 - — •- I. * 20 Э I 20 Э)

(10)

(11)

Для вычисления этих функционалов необходимо знать диаграмму зависимости а = Ф(Э) . Замечательным свойством последнего функционала является то, что он справедлив и при разгрузке.

При условии (9) имеем:

1 - 3К/Мв |Д0Ыр -1

2 + 3 К/Ы, 2д0 Кр +1.

1

До Хр

(12)

2 + ЗК/М, 2д0 Ыр +1

где введено обозначение = — =

20 1 - 2|д

3 К 1 + д На основании (12) вместо (6) получим:

До Хр -1

е„ =

<ех+еу); ео =■

<ех + еу )•

(13)

2Д0 + Гя " 2д0 Мр +1 Для несжимаемого материала д = 0,5, = 0, е2 = ~(ех + еу); е0 = 0. Это согласуется с

известными результатами.

На основании вышеизложенного связь между напряжениями и деформациями для упруго-пластических панелей можно записать в виде (в технических обозначениях):

-о0 = 2ОЫр(еу - е0), (14)

т = 20Ы е .

ху р ху

В этих выражениях: а0 определяется по формуле (5), е0 определяется по формуле (13), параметры пластичности Ыр определяются по формулам (10), (11). Исключим из первых двух выражений (14) а0 и е0:

|2ах -а, = 6ОМр(ех -е0), [-ах + 2а„ = 6ОЫр(еу -е0).

Решение этой системы:

[ах = 2ОМр (2ех + еу - Зе0), [а, = 2ОМр(ех + 2еу - Зе0). С учетом (13), решение (15) запишется так:

(15)

2 ОЫ„

о „ =

2Д0 Хр + 2 ОЫ„

т [(2-

+ До Нр )ех + (1 -|Д0 Ыр )е

0^' рГу

°, =

- [(1 Ыр )ех + (2 + д0 )е}

2 До Хр +1

Складывая и вычитая эти выражения, а также введя полусуммы и полуразности напря-

где:

^ = 20Креху,

ц _

2|д0Мр +1

Внутренние усилия в оболочке

Внутренние усилия в оболочке определяются следующим образом:

+Й/2 +Й/2

Л, = | о^г ; Мг] = | .

-й/ 2

-й/ 2

Но

где:

(16)

жений и деформаций:

а = — (о + а ); а = — (о - о ) ; е = — (е + е ); е = —(е - е );

5 ^ Х У ' 2 Х У 5 ^ Х Г ^ Х '

получим связь между напряжениями и деформациями в виде:

о, = 2 СНре,,

аг = 2 ОЫрег,

(17)

+А/2 +А/2 +Й/2 +А/2

= | а= | (а, +аг )йг; ^ = | ауЖ = | (а, -аг )йг;

-й/2 -й/2 -й/2 -й/2 +А/2 +А/2 +А/2 +Й/2

Мх =| °х^ = | )^ у =| °^ = | (р, )^ •

-ъ/2 -ъ/г -ъ/г -й/2

Отсюда следует, что

^х = + ; = К - к; Мх = + Мг; Му = М5 - Мг;

+А/2 +А/2 +Й/2 +А/2

н, = | ; =| ; ^ =| ; Мг =| оггёг.

-й/2 -й/2 -й/2 -А/2

Вводим безразмерную координату (И - толщина оболочки):

_ 2 г , _ , , И .

г = —, -1 < 2 < +1, ^ = — г , аг = — аг . А 2 2

В силу гипотезы прямых нормалей:

=^ + Ж» ,

где: г у - деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки; - кривизны изгиба и кручения этой поверхности. На основании (20) можем записать:

к +^,,

(18) (19)

(20)

где:

е =в + гх ,

ху ху XV'

= х ), вг = х ~гу), Ж, = + ху), жг = х -ху).

(21)

(22)

Вводим обозначения:

н„>=|-

3 И5'*1 =( \ рк^ •

Тогда на основании (16), (19) и (21) получим: N. = 20(Нр1Ы, + Нр); = 26(^.8, + ^2Л2®,); ^ = 26(^8,, + ^2И2х9);

= 20(Нр2И\ + Нр3Иъх,); Мг = 20{Ыр2И\ + ЫрЪкъяг); М^ = 20{Ыр2И2гху + ^).

Определив , Ыг, М,,, Мг, из (18) можно найти сами усилия.

Для оболочки из несжимаемого материала д = 0,5, = 0; тогда из(17) следует:

Нр = змр ,нрк = шрк.

Для упругой оболочки Nр = 1; значит:

й' - ^тт •=¿п •я" - я»- «¿т» •=**=**=

Таким образом, в этом случае:

^ = —ЦАе,; = 2СЛвг; ^ = 2вкгху ; 2Д0 +1

М, = 20---Ь3х,; Мг = 2С—г; Мху = 20—Ь3яху.

* 4(2д0 +1) * г 12 г ^ 12 ^

Для определения параметров пластичности Нрк и Nрк используем диаграмму зависимости а = Ф(Э). Поэтому нужна формула для вычисления модуля Э девиатора деформаций. В общем случае имеем [5]:

Э2 = Э.Э: = -\(е -е )2 + (е -е )2 + (е -е )2 + 6(е2 + е2 + е2 )1.

г] г] ^ х у/ V у г; \ г ху V ху уг гх /

2(д0Ыр -1)

Для пологих оболочек: е = е2х = 0 ; ег =-=!--.

" " ' г 2д0 Ыр +1

Учитывая зависимости (22), окончательно получаем: Э = 42

2 , 2 , 2 е, + е„ + е„

(2ц,,Мр +1)2 ' ' -Заключение

Полученные зависимости между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями удобны тем, что являются едиными при использовании в расчётах линейной и нелинейной теории упругости и частного варианта теории пластичности.

Литература

1. Володин В.П., Надиров Э.Р. Определение аппроксимирующих функций в выражениях для перемещений при расчете пологих оболочек // Вестник Тверского государственного университета: научный журнал. Серия «Прикладная математика» - Тверь: ТвГУ, 2012. №17. Вып. 2 (25). С.41 -51.

2. Володин В.П., Надиров Э.Р. Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т. 3. С. 30-36.

3. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. - М.: Физматлит, 2010. 352 с.

4. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. - Тверь: ЧуДо, 2000. 703 с.

5. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

Серия 3. Естественные науки. Идентификация циклических производных кетосульфидов

к.х.н. доц. Гневашева Л.М., к.т.н. Гневашев Д.А.

МГУПИ, Университет машиностроения 8(965)723-50-30, 8(495) 223-05-23, [email protected]

Аннотация. На основании ИК- и ПМР-спектров идентифицированы циклические производные кетосульфидов 1,3-диоксоланы, которые, кроме самостоятельного интереса, могут быть активными реагентами. Раскрытие цикла 1,3-диоксола-новой системы осуществлено магнийорганическими соединениями. Функциональные и непредельные производные циклических кеталей охарактеризованы физико-механическими методами и спектральными свойствами.

Ключевые слова: идентификация, физико-химический анализ, кетосулъфи-ды, 1,3-диоксоланы

Процесс выяснения строения неизвестного соединения на основе комплексного изучения его свойств широко распространен как в научно-исследовательских работах, так и на производстве, когда возникает необходимость проанализировать пробу того или иного изучаемого вещества. Обычно для установления строения новых органических соединений совершенно необходимо применение ИК - спектроскопии. Анализ ИК - спектров, который применяется параллельно с классификационными химическими реакциями, является превосходным методом определения кратности связи и функциональных групп.

Для выяснения структуры веществ большую помощь оказывает метод ядерного магнитного резонанса на протонах. По существу, ПМР - спектроскопия представляет собой метод определения относительного расположения и числа спин - активных ядер протонов.

Данная работа посвящена определению структуры циклических и непредельных производных кетосульфидов - алкилтиоэтил -1,3 диоксоланов, реакционная способность которых позволяет использовать их для получения разнообразных сероорганических веществ.

Разработанный одним из авторов способ получения кетосульфидов, 1- алкилтио-3-бутанонов, общей формулы:

СН2 С Н2 СО С Н3,

где: Я - нормальный алкил, с 2-8 атомами углерода [1], имеет препаративное значение и позволяет широко использовать эти соединения в качестве полупродуктов органического синтеза. Так, широко используются сероорганические регуляторы полимеризаци-онных процессов, экстрагенты редких и благородных металлов, инсектициды, лекарственные вещества и др.

сн2он сн3 СН() сьи

' 1 . ГХ

СИОН + о=с-сн,сн,$я, —2—• сно CH.CH.SR, + но

I I " " '

Я/ я,

I- VI

где К,=Н; К2 = С2Н5(1); С3Н7(П); С4Н9(Ш);

КгСНуОИ; а\(Ц-); С<!ЦУ); С. / Нч(11);

Учитывая перспективность применения серосодержащих ацеталей в качестве пластификаторов, флотореагентов, компонентов сополимеризации, стабилизаторов хлорированных углеводородов, радиозащитных средств и лекарственных препаратов, нами проведена реакция кетализации кетосульфидов с этиленгликолем и глицерином. Синтез проводился с применением растворителя толуола и азеотропной отгонкой воды. В качестве катализатора ис-