Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих
оболочек
к.т.н. проф. Володин В.П., Надиров Э.Р. Тверскойгосударственный техническийуниверситет, г. Тверь
+7 (4822) 52-63-63, n-emin@mail.ru Аннотация. Получены уравнения связи между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями для прямоугольных в плане пологих оболочек, удобные для численного расчета процесса их нагружения. Задача решается с учетом геометрической и физической нелинейностей.
Ключевые слова: пологая оболочка, напряжения, деформации, тензор, деви-атор
Введение
В работе дается единая форма связи между напряжениями аг}. и деформациями ег}. для
трех рассматриваемых случаев материала оболочки. Материал оболочки будем считать: упругим, нелинейно-упругим, упруго-пластическим. Рассматривается квазипростое нагру-жение оболочки.
В соответствии с теорией квазипростых процессов принимаем [3-5]:
1. Закон упругого изменения объема.
^п Е
ео =—,к =-; (1)
0 3 К 3(1 - 2|Д) У)
где: е0 = ^ен - средняя деформация; а0 = ^ои - среднее напряжение; К - модуль объемной
деформации Бриджмена; Е - модуль упругости; ц - коэффициент Пуассона. Используется правило суммирования по повторяющемуся индексу.
2. Закон упругопластического формоизменения.
** = ВД > (2)
где: ¿V = аг}. -5г}.а0, Эг}. = ег}. -81).е0 - компоненты девиаторов напряжений и деформаций.
Е
Для упругих панелей: N' = 20 =-;
1 + д
а Е
если материал панели нелинейно-упругий [4],то: N = — = 20 = ——;
Э 1 +
1
р Э
Ер, Ор , цр - пластические характеристики материала;
q - экспериментально определяемый параметр [3, 4].
3. Закон упругопластического упрочнения.
Модуль тензора-девиатора напряжений есть универсальная функция модуля тензора-девиатора деформаций:
о = Ф(Э),
определяемая из опытов на простое растяжение [3].
Связь между напряжениями и деформациями
Запишем общую зависимость (2) в обратной форме: Э^ = ,
в теории квазипростых процессов: Ыр = 20р + (20 - 20р)fq, / = — (1 - со^;), 20р = —,
или в развернутом виде (в технических обозначениях):
-е0 = (оX)/Кр , еху = тху/ыр, < ^ -е0 = (а„ -а0)/Ыр , = туг/Ыр , (3)
5 " ео = (ог " )/МР > е= = Х«1ЫР • Вследствие гипотезы прямых нормалей ехг = еуг = 0, а поэтому: тх2, ту2 « ах, ау, тху. Вследствие гипотезы о ненадавливании слоев:
г «°х у> тх, • (4)
Таким образом, можно считать, что в оболочке возникает плоское напряженное состояние. На основании (4) запишем:
= ^(о х + °у )• (5)
Из выражения (3) с учетом (1) получим:
1 1 - 3 1
е - еп =--ап; е =--—— (е + е ) ; еп =-(е + е ) . (в)
г 0 Ыр ° г 2 + 3К/Ырх у)' ° 2 + 3К/ЫрКх у'
В частном случае нелинейно-упругого тела:
Е Е
к =---; Nv = 20в =—р—; (7)
3(1 - 2,д, У р р 1 + |Д /
1 _ Ж = _ , . 2 + Ж = 3(1 ,) ,8.
Ыр 1 - 2|д/ Ыр 1 - 2»/ К }
^, , , _ 1 ~, л \ех + еу) ' е0 ч
1 3(1 -1^)
В результате получим: ег =---— (ех + еу); е0 =-— (ех + еу).
Это совпадает с имеющимися результатами. Для упругой оболочки ц,р = ц,. Предположим, что:
Мр = 20Ыр ; (9)
где: Ыр - безразмерная величина: для упругой оболочки Nр = 1;
« " л7 2Ср 1 + ^ Е> для оболочки из нелинеино-упругого материала: N = —- =---— ;
20 1 + д р Е - Ыр 20 р ( 20р Л
при квазипростом нагружении: = —- = —— + 1--— .
20 20
20
у
„ 1 3 К Np-1 - (2 Кр + 1)[д ^ 3 К 2 Кр +1 + (1 - 4 Кр
При условии (9) имеем: 1--= —--=-; 2 л--=---=—-—
N. (1 - 2|д) Ыр Ыр (1 - 2|д)
При Ыр = ,
Р ' 20 1 + Е Ыр 1 - Ыр 1 - 2|дг
^ гг , , 3К Зд „ 3К 3(1 -д) ^
При N„ = 1 1--=--; 2 н--=-. Это совпадает с (8) при ц „ = ц.
^ Ыр 1 - 2» Ыр 1 - р
ы = 20^ = Е^ 1 _ зК =_ Зд ^ 2 + ЗК = 3(1 -ц,)
IV Кр 1 - 21ЛР '
Е 1 (1 ^ Е
Это совпадает с (8) т.к. из (1) и (7) (1 - 2\а)—- = 1 - 2|др, др = — [ —д ^.
Е 2 ^ 2 ) Е
Последнее выражение служит для определения пластического коэффициента Пуассона В дальнейшем в практических расчетах будем принимать следующие выражения для
функционалов N' : для упругих оболочек Nр = 1; для оболочек из нелинейно-упругого мате-
риала:
при квазипростом нагружении:
N = — ■ р 20 Э'
1
1
= — ■- + 1 1 - — •- I. * 20 Э I 20 Э)
(10)
(11)
Для вычисления этих функционалов необходимо знать диаграмму зависимости а = Ф(Э) . Замечательным свойством последнего функционала является то, что он справедлив и при разгрузке.
При условии (9) имеем:
1 - 3К/Мв |Д0Ыр -1
2 + 3 К/Ы, 2д0 Кр +1.
1
До Хр
(12)
2 + ЗК/М, 2д0 Ыр +1
где введено обозначение = — =
20 1 - 2|д
3 К 1 + д На основании (12) вместо (6) получим:
До Хр -1
е„ =
<ех+еу); ео =■
<ех + еу )•
(13)
2Д0 + Гя " 2д0 Мр +1 Для несжимаемого материала д = 0,5, = 0, е2 = ~(ех + еу); е0 = 0. Это согласуется с
известными результатами.
На основании вышеизложенного связь между напряжениями и деформациями для упруго-пластических панелей можно записать в виде (в технических обозначениях):
-о0 = 2ОЫр(еу - е0), (14)
т = 20Ы е .
ху р ху
В этих выражениях: а0 определяется по формуле (5), е0 определяется по формуле (13), параметры пластичности Ыр определяются по формулам (10), (11). Исключим из первых двух выражений (14) а0 и е0:
|2ах -а, = 6ОМр(ех -е0), [-ах + 2а„ = 6ОЫр(еу -е0).
Решение этой системы:
[ах = 2ОМр (2ех + еу - Зе0), [а, = 2ОМр(ех + 2еу - Зе0). С учетом (13), решение (15) запишется так:
(15)
2 ОЫ„
о „ =
2Д0 Хр + 2 ОЫ„
т [(2-
+ До Нр )ех + (1 -|Д0 Ыр )е
0^' рГу
°, =
- [(1 Ыр )ех + (2 + д0 )е}
2 До Хр +1
Складывая и вычитая эти выражения, а также введя полусуммы и полуразности напря-
где:
^ = 20Креху,
ц _
2|д0Мр +1
Внутренние усилия в оболочке
Внутренние усилия в оболочке определяются следующим образом:
+Й/2 +Й/2
Л, = | о^г ; Мг] = | .
-й/ 2
-й/ 2
Но
где:
(16)
жений и деформаций:
а = — (о + а ); а = — (о - о ) ; е = — (е + е ); е = —(е - е );
5 ^ Х У ' 2 Х У 5 ^ Х Г ^ Х '
получим связь между напряжениями и деформациями в виде:
о, = 2 СНре,,
аг = 2 ОЫрег,
(17)
+А/2 +А/2 +Й/2 +А/2
= | а= | (а, +аг )йг; ^ = | ауЖ = | (а, -аг )йг;
-й/2 -й/2 -й/2 -й/2 +А/2 +А/2 +А/2 +Й/2
Мх =| °х^ = | )^ у =| °^ = | (р, )^ •
-ъ/2 -ъ/г -ъ/г -й/2
Отсюда следует, что
^х = + ; = К - к; Мх = + Мг; Му = М5 - Мг;
+А/2 +А/2 +Й/2 +А/2
н, = | ; =| ; ^ =| ; Мг =| оггёг.
-й/2 -й/2 -й/2 -А/2
Вводим безразмерную координату (И - толщина оболочки):
_ 2 г , _ , , И .
г = —, -1 < 2 < +1, ^ = — г , аг = — аг . А 2 2
В силу гипотезы прямых нормалей:
=^ + Ж» ,
где: г у - деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки; - кривизны изгиба и кручения этой поверхности. На основании (20) можем записать:
к +^,,
(18) (19)
(20)
где:
е =в + гх ,
ху ху XV'
= х ), вг = х ~гу), Ж, = + ху), жг = х -ху).
(21)
(22)
Вводим обозначения:
н„>=|-
3 И5'*1 =( \ рк^ •
Тогда на основании (16), (19) и (21) получим: N. = 20(Нр1Ы, + Нр); = 26(^.8, + ^2Л2®,); ^ = 26(^8,, + ^2И2х9);
= 20(Нр2И\ + Нр3Иъх,); Мг = 20{Ыр2И\ + ЫрЪкъяг); М^ = 20{Ыр2И2гху + ^).
Определив , Ыг, М,,, Мг, из (18) можно найти сами усилия.
Для оболочки из несжимаемого материала д = 0,5, = 0; тогда из(17) следует:
Нр = змр ,нрк = шрк.
Для упругой оболочки Nр = 1; значит:
й' - ^тт •=¿п •я" - я»- «¿т» •=**=**=
Таким образом, в этом случае:
^ = —ЦАе,; = 2СЛвг; ^ = 2вкгху ; 2Д0 +1
М, = 20---Ь3х,; Мг = 2С—г; Мху = 20—Ь3яху.
* 4(2д0 +1) * г 12 г ^ 12 ^
Для определения параметров пластичности Нрк и Nрк используем диаграмму зависимости а = Ф(Э). Поэтому нужна формула для вычисления модуля Э девиатора деформаций. В общем случае имеем [5]:
Э2 = Э.Э: = -\(е -е )2 + (е -е )2 + (е -е )2 + 6(е2 + е2 + е2 )1.
г] г] ^ х у/ V у г; \ г ху V ху уг гх /
2(д0Ыр -1)
Для пологих оболочек: е = е2х = 0 ; ег =-=!--.
" " ' г 2д0 Ыр +1
Учитывая зависимости (22), окончательно получаем: Э = 42
2 , 2 , 2 е, + е„ + е„
(2ц,,Мр +1)2 ' ' -Заключение
Полученные зависимости между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями удобны тем, что являются едиными при использовании в расчётах линейной и нелинейной теории упругости и частного варианта теории пластичности.
Литература
1. Володин В.П., Надиров Э.Р. Определение аппроксимирующих функций в выражениях для перемещений при расчете пологих оболочек // Вестник Тверского государственного университета: научный журнал. Серия «Прикладная математика» - Тверь: ТвГУ, 2012. №17. Вып. 2 (25). С.41 -51.
2. Володин В.П., Надиров Э.Р. Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т. 3. С. 30-36.
3. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. - М.: Физматлит, 2010. 352 с.
4. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. - Тверь: ЧуДо, 2000. 703 с.
5. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990. 368 с.
Серия 3. Естественные науки. Идентификация циклических производных кетосульфидов
к.х.н. доц. Гневашева Л.М., к.т.н. Гневашев Д.А.
МГУПИ, Университет машиностроения 8(965)723-50-30, 8(495) 223-05-23, dengnevashev@mail.ru
Аннотация. На основании ИК- и ПМР-спектров идентифицированы циклические производные кетосульфидов 1,3-диоксоланы, которые, кроме самостоятельного интереса, могут быть активными реагентами. Раскрытие цикла 1,3-диоксола-новой системы осуществлено магнийорганическими соединениями. Функциональные и непредельные производные циклических кеталей охарактеризованы физико-механическими методами и спектральными свойствами.
Ключевые слова: идентификация, физико-химический анализ, кетосулъфи-ды, 1,3-диоксоланы
Процесс выяснения строения неизвестного соединения на основе комплексного изучения его свойств широко распространен как в научно-исследовательских работах, так и на производстве, когда возникает необходимость проанализировать пробу того или иного изучаемого вещества. Обычно для установления строения новых органических соединений совершенно необходимо применение ИК - спектроскопии. Анализ ИК - спектров, который применяется параллельно с классификационными химическими реакциями, является превосходным методом определения кратности связи и функциональных групп.
Для выяснения структуры веществ большую помощь оказывает метод ядерного магнитного резонанса на протонах. По существу, ПМР - спектроскопия представляет собой метод определения относительного расположения и числа спин - активных ядер протонов.
Данная работа посвящена определению структуры циклических и непредельных производных кетосульфидов - алкилтиоэтил -1,3 диоксоланов, реакционная способность которых позволяет использовать их для получения разнообразных сероорганических веществ.
Разработанный одним из авторов способ получения кетосульфидов, 1- алкилтио-3-бутанонов, общей формулы:
СН2 С Н2 СО С Н3,
где: Я - нормальный алкил, с 2-8 атомами углерода [1], имеет препаративное значение и позволяет широко использовать эти соединения в качестве полупродуктов органического синтеза. Так, широко используются сероорганические регуляторы полимеризаци-онных процессов, экстрагенты редких и благородных металлов, инсектициды, лекарственные вещества и др.
сн2он сн3 СН() сьи
' 1 . ГХ
СИОН + о=с-сн,сн,$я, —2—• сно CH.CH.SR, + но
I I " " '
Я/ я,
I- VI
где К,=Н; К2 = С2Н5(1); С3Н7(П); С4Н9(Ш);
КгСНуОИ; а\(Ц-); С<!ЦУ); С. / Нч(11);
Учитывая перспективность применения серосодержащих ацеталей в качестве пластификаторов, флотореагентов, компонентов сополимеризации, стабилизаторов хлорированных углеводородов, радиозащитных средств и лекарственных препаратов, нами проведена реакция кетализации кетосульфидов с этиленгликолем и глицерином. Синтез проводился с применением растворителя толуола и азеотропной отгонкой воды. В качестве катализатора ис-