CC BY
37
Бифуркация цилиндрической оболочки при сложном докритическом деформировании по криволинейной траектории
д.т.н. проф. Охлопков Н.Л., к.т.н. доц. Соколов С.А., Черемных C.B.
ТвГТУ
8(4822) 52-63-63, stepan_1986@bk.ru Аннотация. Рассматривается задача бифуркации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом деформировании по криволинейной траектории постоянной кривизны в девиаторной плоскости — Э3
A.A. Ильюшина. Учитывается сложный характер нагружения в оболочке в момент потери устойчивости.
Ключевые слова: пластичность, устойчивость, сложное нагружение, бифуркация, оболочка
Используются условия несжимаемости материала и однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Решение строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубчанинова [1].
При сложном докритическом деформировании задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации.
Уравнения связи напряжений и деформаций как в момент потери устойчивости оболочки, так и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [2]
' dG N cos ^ 1S ^, ( i, j = 1,2,3), (1)
S, = лэ y +
уз
где: Эу = ву; - компоненты тензора-девиатора напряжений; Э{]- - компоненты тензора-девиатора деформаций.
Здесь -, N - определяющие функции пластичности,^ 1 - угол сближения (
dS
СО^! = а • р Д £ - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает
(1 (1(1$
дифференцирование по обобщенному параметру времени — =---.
Ж dS &
й а
Для определяющих функций пластичности N и-принимаем аппроксимации [1].
N = 2Gp + [IG - 2Gp]|
dS
i - cosл9
da — «
dS
2Gk -[2G + 2Gk]
(2)
1 - COsSj
V
где: О , Ск, Ор - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответ-
р
ственно.
Для определения угла сближения имеем:
• a sinS,
» = —х. (3)
где: а - модуль вектора напряжений, % i - кривизна траектории.
Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рун-ге-Кутта. Зависимость а = Ф(Э) = Ф(£) полагаем универсальной для простого нагруже-
ния. За параметр обобщенного времени X на криволинейной траектории постоянной кривизны (рисунок 1) принимаем центральный угол а.
Рисунок 1. Траектории деформирования образцов из стали 45:
R - радиус дуги окружности
Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу.
Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. Основные уравнения и методика решения задачи устойчивости оболочки с учетом сложного характера нагружения в момент бифуркации изложены в [3], при этом в качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чисто пластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. Расчеты выполнены также на основе теории устойчивости A.A. Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1].
Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, п изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i=3R/h в зависимости от значения модуля вектора напряжений сг в момент потери устойчивости.
а, МПа
700 600 500 400 300 200 100 0
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 ^
Рисунок 2. Диаграмма деформирования образцов из стали 45 при простых процессах
Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивления материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета [4]. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45. Диаграмма деформирования материала при простом нагружении показана кривой 1 на рисунке 2.
Серия 3. Естественные науки.
В качестве примера рассмотрена двузвенная траектория, представляющая собой растяжение до заданного уровня Я на первом звене и дальнейший переход на траекторию деформирования постоянной кривизны радиуса Я (рисунок 1).
Расчеты выполнены для процесса при Я = 1.5%. Как показывают эксперимент и расчеты, при данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки реализуется на криволинейной части траектории, что не выполнялось ранее [3] на оболочках, изготовленных также из стали 45, но другой партии, имеющей существенно меньшее упрочнение (кривая 2 на рисунке 2).
На рисунке 3 представлены графики зависимости критических параметров напряжений от гибкости оболочки, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования т, п. а, МПа
450 -I 430 -410 -390 -
370 -
350 i г
20 40 60 80 100 120
Рисунок 3. Графики наименьшей гибкости оболочки
Цифрами на рисунке обозначено: 1,2- расчет по теории устойчивости A.A. Ильюшина при чисто пластической бифуркации и с учетом разгрузки материала соответственно; 3- расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для
функции - аппроксимации (2), а для функции N соотношения N = 2G(l-w), где со -
dS
параметр пластичности; 4 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для определяющих функций пластичности аппроксимаций (2) со значениями материальных параметров, входящих в структуру аппроксимаций равными p=q= 1.0; 5 - то же, при p=q=0.5. Треугольником на рисунке отмечены экспериментальные результаты.
На рисунке 4 показана траектория нагружения оболочки, соответствующая реализованной траектории деформирования. Сплошная линия отражает решение задачи построения образа процесса нагружения. Момент потери устойчивости в эксперименте и расчетный (соответствующий графику 4 на рисунке 3 для оболочки гибкости /=45) указан на рисунке стрелками.
Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотношения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г.Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования (2), позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении.
Рисунок 4. Траектория нагружения
На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет уточнить решение, в сопоставлении с расчетами, например, по теории устойчивости A.A. Ильюшина. Полученные результаты в целом согласуются с выполненными ранее расчетами для траекторий сложного докритического деформирования [3, 5].
Литература
1. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость / В.Г. Зубчанинов. -М.: Физматлит, 2007. - 448 с.
2. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография / В.Г. Зубчанинов. -Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.
3. Охлопков Н.Л. Решение задачи бифуркации цилиндрической оболочкис учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном докритическом нагружении / Н.Л. Охлопков, С.А. Соколов, C.B. Черемных, М.Ю. Александров // Известия МГТУ «МАМИ» № 1 (15), т. 3, 2013.- с. 96-100.
4. Зубчанинов В.Г. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 1. Процессы сложного деформирования / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков, В.В. Гараников. - Тверь: ТГТУ, 2003.- 172 с.
5. Зубчанинов В.Г. Об устойчивости тонкостенных оболочек при сложном докритическом нагружении / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков // Известия вузов. Строительство. - 1997. -№ 6. - с.27-34.
