Система разрешающих уравнений для расчета пологих цилиндрических панелей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Система разрешающих уравнений для расчета пологих цилиндрических

панелей

к.т.н. проф. Володин В.П., Надиров Э.Р. Тверской государственный технический университет, г. Тверь

+ 7 (4822) 52-63-63, n-emin@mail.ru

Аннотация. Система разрешающих уравнений, полученная в работе [3], записывается в безразмерной форме, что позволяет установить параметры, от которых зависит процесс нагружения панели.

Ключевые слова: пологая оболочка, напряжения, деформации, внутренние усилия.

Введение

При решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с помощью вычислительной техники (ВТ) все уравнения принято записывать в безразмерной форме, когда в них входят безразмерные величины.

Безразмерная относительная величина - это отношение самой величины к некоторому расчетному значению, выбираемому по усмотрению расчетчика. Безразмерные величины будем отмечать чертой сверху, а их расчетные значения индексом «р». Например:

_ и _ V _ Ч и = —, V = —, ч = — ;

ир VP чр

ь2 ь2 ь2 и 1 ГТ

иР=Т=уа, ^=а=уЪ, чр=ь , 1=4а—;

где: к - толщина оболочки; а, Ъ - ее размеры в плане; и, V, ч - перемещения точек срединной поверхности.

Деформации, напряжения и внутренние усилия в оболочке

В дальнейшем будем использовать индексную систему обозначений для указанных величин и правило суммирования по повторяющемуся индексу. Безразмерные координаты:

х1 = х1/ а, х2 = х2/ Ъ, х3 = х = 2х/к

при принятой системе координат меняются в пределах: 0 £ х1,х2 £ 1; —1 < х < 1.

Деформации в точках, расположенных на одной нормали, определяются так: _ _ 1 _ к2 к

е, = е- + 2, ^ 1=1'2; ер=8 р=тг' ж Р=12;

где: 8, - деформации растяжения-сжатия и сдвига; ж, - кривизны изгиба и кручения в точ-

1, " Т Г - Г " 5 у

ках срединной поверхности. Они связаны с перемещениями: _ 1

81 = \(а—й„ 1 й ,, +а") — 8,ЩЧ; (1)

Ж, =—а'+'—3Ч +к1к,ч)-, (2)

индексы после запятой указывают, по какой из координат ( х1 или х2 ) производится дифференцирование. В (1) и (2):

а = —, а0 = —, к1 = кха, к2 = к2Ъ , кх = — кх, к2 = —к2, 8, =! ' — , Ъ а к к 1 [0 если . ^

к1, к2 - кривизны изгиба цилиндрической панели. Кривизна изгиба к1, отражающая начальное несовершенство оболочки в продольном направлении (в направлении оси х1) выбирается

из условия:

sinkj » kj ® k < 0,4. (3)

В соответствии с утверждением В.З. Власова цилиндрическую панель можно считать пологой, если отношение стрелы подъема оболочки к поперечному размеру (считается, что b < a ) меньше одной пятой, значит:

f < 1 ® k2 = k2b = b < 1,4, (4)

b 5 2 2 r ' ' w

где: f - стрела подъема оболочки; R - радиус кривизны срединной поверхности в поперечном направлении (в направлении оси x2). Выражение для прогиба принимаем в виде:

W = 2Sf

iii

2

XC 0 (X1 ) Cl

2

sin nx2.

( l I l l —

где: XC0(xl) = coslx( x1 —I, SÁ = sin —, CA= cos—, ЯЦ =l2 + k2, l2 = l2(l-m)a|pn|,

V 2 0 2 2 2 2

Pii = p = 2Gh

Здесь: fxl - неизвестный коэффициент, меняющийся в процессе нагружения (fp = h); p11 - интенсивность продольной сжимающей нагрузки; p - ее расчетное значение.

В соответствии с методикой, предложенной в работе [2], для определения касательных перемещений и деформаций из уравнения:

2 a4Y 0 a4Y 2 a4Y _2 _ _ г _

a0 ~Z=T + 2 ^2 + a = w,12 -w,ll W,22 -kiaw,22 -k2bw,ll ,

oxl oxl ax2 ax2

определяется функция перемещений Y(xx,x2) . При принятом выражении для прогиба и равномерном двухстороннем сжатии панели эта функция имеет вид (Yp = h2) :

Y(xi> x2) = 2 aiix2 + 2 a22xi + f SlSlXC 0( xi) - "4 f1ClXC\(x\) - f3 SlSlXC 0( Xi)cos2pX2 + 2 2 2 4 2

+ 4 fXl C0s 2pX2 - af5k1Sl sin PX2 + 2f6klSlXC 0 (X1) sin PX2 . 4 2

Здесь: XCl(xl) = cos lx (2Xl -l), SÁ= sin lx, Cl = l - cos lx, kl=ak1p2 + a0k2ll; a11, a22,

h2 h2

a2p =_ b a

Зная функцию Y(xl,X2) , можно найти перемещения:

u = KaY,^ -ma0Y,ll) dx{, = J(a0Y,ll — maYm )dX2;

и деформации:

ё =-(l + m)a¿+j 3Y,j (a0Y,ii + аР,и). Чтобы сделать дальнейшие формулы менее громоздкими, будем вместо линейных деформаций, нормальных напряжений и усилий, а также изгибающих моментов рассматривать их полусуммы и полуразности и снабжать индексами 1 и 2; деформации сдвига, касательные напряжения, сдвигающие усилия и крутящие моменты - индексом 3. Например:

f (i = l, 2, 3, 4, 5) - неизвестные коэффициенты, alp = —, a2p = —, fp = h .

Тогда:

81 =т (а^,22 +а0^,11),

82 = т2 (а^,22 — а0^,11), 83 = —2Ц2^'12-

т = 2(1—т), т = 2(1+т)-

(5)

Напряжения и деформации связаны таким образом [1] (к = 1, 2, 3):

к

Г и\2

^ = Ч, а р = 2С

I

(6)

V 1 0

-т 3N

N (1) =-_р—

Р 2^0 Мр + г

N(2) = Nрз) = мр , то =

1—2т

1+т

Значение функционала Nр для оболочек из упругого и нелинейно-упругого материала

и при квазипростом нагружении приведены в работе [1].

Для внутренних усилий получим на основании (6) ( к = 1, 2, 3 ):

N. = [ н% + ], Ык = [ + И?% ]; (7)

где: н¡к) =V 2

1 Лк +1

2 ] •{ ^)^^, ^

= р =

Мр = рк.

Система разрешающих уравнений

Система разрешающих уравнений получается из условий сближения краёв панели и условий минимума полной потенциальной энергии деформации оболочки [3]. Постоянные ап, а22 определяются из уравнений:

аа11 — та0а22 = —А0 — та0^ АО. (А2 — /22) — -1^АО^ + 1 а0^ 1Сх/и ,

1 4

- =-2 = -1 -

а0а22—таап = —раА0 + 2та2ркА./5 ^4к1 +таО(3—О )/21.

р 4

Параметр А0 (Ар = И2а!12) характеризует сближение краёв панели; Р - постоянный

коэффициент (Р = 0 - продольные края неподвижны; Р = 1 - сближение продольных и поперечных краёв одинаковое).

Параметры нагрузки определяются из уравнений (I = 1, 2):

1 1

Рг =—Ц (8)

0 0

Определив р1 и р2, можно найти интенсивность действующей нагрузки:

р11 = р1 + р2 , р22 = р1 - р2 . Для определения коэффициентов /, /2, /4, /5 служат такие уравнения:

J N2)xc 0( xi)dxidx2 = pn;

0 0 21x

11 - - 1 J J (m1N1- m N2) xc1( x1)dx1dx2 = 2-mSx pn;

21 x

1 1

J J (m1N1 + m2 N2)cos2Px2dx1dx2 = 0;

0 0

11-- 1 J J (m1N1 + m2 N2)sin px2dx1dx2 = —mp22.

0 0

(9)

(10) (11) (12)

0 0

Из уравнений:

11

JJ[(m111N1 +m21 2N2)Xc0(x1)cos2—x2 + 4m2—1 xN3XS0(x1)sin2—x2]dx1dx2 = 0; (13)

00

1 1

JJ[(m113N1 +m21 4N2)Xc0(x1)sin —x2 - 2|u2—1 xN3XS0(x1)cos —x2]dx1dx2 =

0 0

4

(14)

л 1

—1x 2

S ДтЛэЛ + ^2^ 4P2)

должны определяться коэффициенты f3 и f6. Здесь:

XS0 (x ) = sin 1Х ^Xj -100; 1 = 4a—2 + a01x2, 12 = 4a—2 — a012, 1 = a—2 + a012, 14 = a—2 - ad. Наконец, коэффициент fxl, характеризующий изгиб оболочки, находится на основании

J J[(a012 + k11)M1 + (a012 - k222)M2 - 2k1k2M3 Jxc0(X1)sin —x2dx1dx2 -

уравнения: 11

00 11

11

C J J (kl2lMl - k222M2 - 2k1k2M3) sin —x2dx1dx2 + 2—1 x J JM3XS0 (Xj) cos —x2dx1dx2 =

0 0

200

P11

1 - 4 =

— a0 (S1 -1 x )f11 I S1 k1

2 2 —1 2

(15)

+

+P

22

1 2 -4=2 = —a— Sx (3 - С^ ^ — ^^ k1 + —C1 k2

2 i —1x 2 — 2

2 , o - -

xS 1 P11zp .

—

Здесь: kn =a(— -k2 ) + a0k1 , k22 =a(— -k2 ) -a0k1 .

Подставляя в уравнения (8)-(15) выражения (7) с учетом (2) и (5), получим систему разрешающих уравнений процесса нагружения панели в развернутом виде.

Заключение

Ранее было указано, что основная цель записи необходимых уравнений в безразмерной форме - установить параметры, от которых зависит расчет оболочки. Из полученных уравнений следует, что такими параметрами являются:

1. а = а/Ь (Ь < а) - коэффициент, характеризующий соотношение размеров оболочки в

2

плане. Можно считать, что 0 < а < 20;

2. к1 = к1а - параметр, характеризующий начальное искривление панели в продольном направлении. При условиях (3) 0 < кх < 0,4;

3. к2 = к2Ь - относительная кривизна цилиндрической панели в поперечном направлении. При условиях (4) 0 < к2 < 1,4 . Если кх = к2 = 0, то панель становится прямоугольной пластиной;

4. рР - коэффициент, учитывающий поведение продольных краёв панели. Если РР = 0, то продольные края неподвижные, если Р= 1, то сближение продольных краёв такое же, как и поперечных (равностороннее сжатие оболочки);

5. к/Ь - отношение, от значения которого зависит, является оболочка тонкой или толстой. Оболочки, для которых справедливы гипотезы Кирхгоффа-Лява, являются тонкими, и для

1 к 1

них [4], [5]: -< — < —, где: Я - минимальный главный радиус кривизны оболочки. Но

1000 Я 30

к к Ь 1 Як 1 Я

— =--->--<-<--.

Я Ь Я 1000 Ь Ь 30 Ь

При условиях (4) минимальное значение Я/Ь = 0,715 и значит:

0,715-10—3 <к/Ь <0,0238 .

В работе [5] утверждается, что задачи изгиба пологих оболочек в нелинейной постановке целесообразно решать при коэффициенте вспарушенности (отношение стрелы подъема к толщине оболочки) меняющемся в пределах: 6 < /¡к < 20. Но:

к к / 1 / к 1 / Ь / Ь 20 Ь Ь 6 Ь'

При максимальном значении //Ь = 0,2 0,01 <к/Ь < 0,0333 (/¡Ь < 15).

Литература

26. Володин В.П., Надиров Э.Р. Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих оболочек // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 3(17). Т. 1. С. 66 - 70.

27. Володин В.П., Надиров Э.Р. Определение аппроксимирующих функций в выражениях для перемещений при расчете пологих оболочек // Вестник Тверского государственного университета: научный журнал. Серия «Прикладная математика» - Тверь: ТвГУ, 2012. №17. Вып. 2 (25). С. 41 - 51.

28. Володин В.П., Надиров Э.Р. Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т. 3. С. 30 - 36.

29. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. - СПб.: «БХВ-Петербург», 2007. 528 с.

30. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) / под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. - Киев: Буд1вельник, 1971. 418 с.