Система разрешающих уравнений для расчета пологих цилиндрических
панелей
к.т.н. проф. Володин В.П., Надиров Э.Р. Тверской государственный технический университет, г. Тверь
+ 7 (4822) 52-63-63, n-emin@mail.ru
Аннотация. Система разрешающих уравнений, полученная в работе [3], записывается в безразмерной форме, что позволяет установить параметры, от которых зависит процесс нагружения панели.
Ключевые слова: пологая оболочка, напряжения, деформации, внутренние усилия.
Введение
При решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с помощью вычислительной техники (ВТ) все уравнения принято записывать в безразмерной форме, когда в них входят безразмерные величины.
Безразмерная относительная величина - это отношение самой величины к некоторому расчетному значению, выбираемому по усмотрению расчетчика. Безразмерные величины будем отмечать чертой сверху, а их расчетные значения индексом «р». Например:
_ и _ V _ Ч и = —, V = —, ч = — ;
ир VP чр
ь2 ь2 ь2 и 1 ГТ
иР=Т=уа, ^=а=уЪ, чр=ь , 1=4а—;
где: к - толщина оболочки; а, Ъ - ее размеры в плане; и, V, ч - перемещения точек срединной поверхности.
Деформации, напряжения и внутренние усилия в оболочке
В дальнейшем будем использовать индексную систему обозначений для указанных величин и правило суммирования по повторяющемуся индексу. Безразмерные координаты:
х1 = х1/ а, х2 = х2/ Ъ, х3 = х = 2х/к
при принятой системе координат меняются в пределах: 0 £ х1,х2 £ 1; —1 < х < 1.
Деформации в точках, расположенных на одной нормали, определяются так: _ _ 1 _ к2 к
е, = е- + 2, ^ 1=1'2; ер=8 р=тг' ж Р=12;
где: 8, - деформации растяжения-сжатия и сдвига; ж, - кривизны изгиба и кручения в точ-
1, " Т Г - Г " 5 у
ках срединной поверхности. Они связаны с перемещениями: _ 1
81 = \(а—й„ 1 й ,, +а") — 8,ЩЧ; (1)
Ж, =—а'+'—3Ч +к1к,ч)-, (2)
индексы после запятой указывают, по какой из координат ( х1 или х2 ) производится дифференцирование. В (1) и (2):
а = —, а0 = —, к1 = кха, к2 = к2Ъ , кх = — кх, к2 = —к2, 8, =! ' — , Ъ а к к 1 [0 если . ^
к1, к2 - кривизны изгиба цилиндрической панели. Кривизна изгиба к1, отражающая начальное несовершенство оболочки в продольном направлении (в направлении оси х1) выбирается
из условия:
sinkj » kj ® k < 0,4. (3)
В соответствии с утверждением В.З. Власова цилиндрическую панель можно считать пологой, если отношение стрелы подъема оболочки к поперечному размеру (считается, что b < a ) меньше одной пятой, значит:
f < 1 ® k2 = k2b = b < 1,4, (4)
b 5 2 2 r ' ' w
где: f - стрела подъема оболочки; R - радиус кривизны срединной поверхности в поперечном направлении (в направлении оси x2). Выражение для прогиба принимаем в виде:
W = 2Sf
iii
2
XC 0 (X1 ) Cl
2
sin nx2.
( l I l l —
где: XC0(xl) = coslx( x1 —I, SÁ = sin —, CA= cos—, ЯЦ =l2 + k2, l2 = l2(l-m)a|pn|,
V 2 0 2 2 2 2
Pii = p = 2Gh
Здесь: fxl - неизвестный коэффициент, меняющийся в процессе нагружения (fp = h); p11 - интенсивность продольной сжимающей нагрузки; p - ее расчетное значение.
В соответствии с методикой, предложенной в работе [2], для определения касательных перемещений и деформаций из уравнения:
2 a4Y 0 a4Y 2 a4Y _2 _ _ г _
a0 ~Z=T + 2 ^2 + a = w,12 -w,ll W,22 -kiaw,22 -k2bw,ll ,
oxl oxl ax2 ax2
определяется функция перемещений Y(xx,x2) . При принятом выражении для прогиба и равномерном двухстороннем сжатии панели эта функция имеет вид (Yp = h2) :
Y(xi> x2) = 2 aiix2 + 2 a22xi + f SlSlXC 0( xi) - "4 f1ClXC\(x\) - f3 SlSlXC 0( Xi)cos2pX2 + 2 2 2 4 2
+ 4 fXl C0s 2pX2 - af5k1Sl sin PX2 + 2f6klSlXC 0 (X1) sin PX2 . 4 2
Здесь: XCl(xl) = cos lx (2Xl -l), SÁ= sin lx, Cl = l - cos lx, kl=ak1p2 + a0k2ll; a11, a22,
h2 h2
a2p =_ b a
Зная функцию Y(xl,X2) , можно найти перемещения:
u = KaY,^ -ma0Y,ll) dx{, = J(a0Y,ll — maYm )dX2;
и деформации:
ё =-(l + m)a¿+j 3Y,j (a0Y,ii + аР,и). Чтобы сделать дальнейшие формулы менее громоздкими, будем вместо линейных деформаций, нормальных напряжений и усилий, а также изгибающих моментов рассматривать их полусуммы и полуразности и снабжать индексами 1 и 2; деформации сдвига, касательные напряжения, сдвигающие усилия и крутящие моменты - индексом 3. Например:
f (i = l, 2, 3, 4, 5) - неизвестные коэффициенты, alp = —, a2p = —, fp = h .
Тогда:
81 =т (а^,22 +а0^,11),
82 = т2 (а^,22 — а0^,11), 83 = —2Ц2^'12-
т = 2(1—т), т = 2(1+т)-
(5)
Напряжения и деформации связаны таким образом [1] (к = 1, 2, 3):
к
Г и\2
^ = Ч, а р = 2С
I
(6)
V 1 0
-т 3N
N (1) =-_р—
Р 2^0 Мр + г
N(2) = Nрз) = мр , то =
1—2т
1+т
Значение функционала Nр для оболочек из упругого и нелинейно-упругого материала
и при квазипростом нагружении приведены в работе [1].
Для внутренних усилий получим на основании (6) ( к = 1, 2, 3 ):
N. = [ н% + ], Ык = [ + И?% ]; (7)
где: н¡к) =V 2
1 Лк +1
2 ] •{ ^)^^, ^
= р =
Мр = рк.
Система разрешающих уравнений
Система разрешающих уравнений получается из условий сближения краёв панели и условий минимума полной потенциальной энергии деформации оболочки [3]. Постоянные ап, а22 определяются из уравнений:
аа11 — та0а22 = —А0 — та0^ АО. (А2 — /22) — -1^АО^ + 1 а0^ 1Сх/и ,
1 4
- =-2 = -1 -
а0а22—таап = —раА0 + 2та2ркА./5 ^4к1 +таО(3—О )/21.
р 4
Параметр А0 (Ар = И2а!12) характеризует сближение краёв панели; Р - постоянный
коэффициент (Р = 0 - продольные края неподвижны; Р = 1 - сближение продольных и поперечных краёв одинаковое).
Параметры нагрузки определяются из уравнений (I = 1, 2):
1 1
Рг =—Ц (8)
0 0
Определив р1 и р2, можно найти интенсивность действующей нагрузки:
р11 = р1 + р2 , р22 = р1 - р2 . Для определения коэффициентов /, /2, /4, /5 служат такие уравнения:
J N2)xc 0( xi)dxidx2 = pn;
0 0 21x
11 - - 1 J J (m1N1- m N2) xc1( x1)dx1dx2 = 2-mSx pn;
21 x
1 1
J J (m1N1 + m2 N2)cos2Px2dx1dx2 = 0;
0 0
11-- 1 J J (m1N1 + m2 N2)sin px2dx1dx2 = —mp22.
0 0
(9)
(10) (11) (12)
0 0
Из уравнений:
11
JJ[(m111N1 +m21 2N2)Xc0(x1)cos2—x2 + 4m2—1 xN3XS0(x1)sin2—x2]dx1dx2 = 0; (13)
00
1 1
JJ[(m113N1 +m21 4N2)Xc0(x1)sin —x2 - 2|u2—1 xN3XS0(x1)cos —x2]dx1dx2 =
0 0
4
(14)
л 1
—1x 2
S ДтЛэЛ + ^2^ 4P2)
должны определяться коэффициенты f3 и f6. Здесь:
XS0 (x ) = sin 1Х ^Xj -100; 1 = 4a—2 + a01x2, 12 = 4a—2 — a012, 1 = a—2 + a012, 14 = a—2 - ad. Наконец, коэффициент fxl, характеризующий изгиб оболочки, находится на основании
J J[(a012 + k11)M1 + (a012 - k222)M2 - 2k1k2M3 Jxc0(X1)sin —x2dx1dx2 -
уравнения: 11
00 11
11
C J J (kl2lMl - k222M2 - 2k1k2M3) sin —x2dx1dx2 + 2—1 x J JM3XS0 (Xj) cos —x2dx1dx2 =
0 0
200
P11
1 - 4 =
— a0 (S1 -1 x )f11 I S1 k1
2 2 —1 2
(15)
+
+P
22
1 2 -4=2 = —a— Sx (3 - С^ ^ — ^^ k1 + —C1 k2
2 i —1x 2 — 2
2 , o - -
xS 1 P11zp .
—
Здесь: kn =a(— -k2 ) + a0k1 , k22 =a(— -k2 ) -a0k1 .
Подставляя в уравнения (8)-(15) выражения (7) с учетом (2) и (5), получим систему разрешающих уравнений процесса нагружения панели в развернутом виде.
Заключение
Ранее было указано, что основная цель записи необходимых уравнений в безразмерной форме - установить параметры, от которых зависит расчет оболочки. Из полученных уравнений следует, что такими параметрами являются:
1. а = а/Ь (Ь < а) - коэффициент, характеризующий соотношение размеров оболочки в
2
плане. Можно считать, что 0 < а < 20;
2. к1 = к1а - параметр, характеризующий начальное искривление панели в продольном направлении. При условиях (3) 0 < кх < 0,4;
3. к2 = к2Ь - относительная кривизна цилиндрической панели в поперечном направлении. При условиях (4) 0 < к2 < 1,4 . Если кх = к2 = 0, то панель становится прямоугольной пластиной;
4. рР - коэффициент, учитывающий поведение продольных краёв панели. Если РР = 0, то продольные края неподвижные, если Р= 1, то сближение продольных краёв такое же, как и поперечных (равностороннее сжатие оболочки);
5. к/Ь - отношение, от значения которого зависит, является оболочка тонкой или толстой. Оболочки, для которых справедливы гипотезы Кирхгоффа-Лява, являются тонкими, и для
1 к 1
них [4], [5]: -< — < —, где: Я - минимальный главный радиус кривизны оболочки. Но
1000 Я 30
к к Ь 1 Як 1 Я
— =--->--<-<--.
Я Ь Я 1000 Ь Ь 30 Ь
При условиях (4) минимальное значение Я/Ь = 0,715 и значит:
0,715-10—3 <к/Ь <0,0238 .
В работе [5] утверждается, что задачи изгиба пологих оболочек в нелинейной постановке целесообразно решать при коэффициенте вспарушенности (отношение стрелы подъема к толщине оболочки) меняющемся в пределах: 6 < /¡к < 20. Но:
к к / 1 / к 1 / Ь / Ь 20 Ь Ь 6 Ь'
При максимальном значении //Ь = 0,2 0,01 <к/Ь < 0,0333 (/¡Ь < 15).
Литература
26. Володин В.П., Надиров Э.Р. Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих оболочек // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 3(17). Т. 1. С. 66 - 70.
27. Володин В.П., Надиров Э.Р. Определение аппроксимирующих функций в выражениях для перемещений при расчете пологих оболочек // Вестник Тверского государственного университета: научный журнал. Серия «Прикладная математика» - Тверь: ТвГУ, 2012. №17. Вып. 2 (25). С. 41 - 51.
28. Володин В.П., Надиров Э.Р. Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии // Известия МГТУ «МАМИ»: научный рецензируемый журнал. Серия 3. Естественные науки. - М.: МГТУ «МАМИ», 2013. № 1(15). Т. 3. С. 30 - 36.
29. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. - СПб.: «БХВ-Петербург», 2007. 528 с.
30. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) / под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. - Киев: Буд1вельник, 1971. 418 с.