Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при

двустороннем сжатии

к.т.н. проф. Володин В.П., Надиров Э.Р.

Тверской государственный технический университет + 7 (4822) 52-63-63, n-emin@mail.ru

Аннотация. Получены уравнения процесса нагружения прямоугольных в плане пологих оболочек при двустороннем сжатии при их расчете вариационными методами. Задача решена с учетом геометрической нелинейности.

Ключевые слова: пологая оболочка, вариационные методы, процесс нагружения

Введение

В работе рассматривается пологая цилиндрическая панель (рисунок 1), находящаяся под действием равномерно распределенных нагрузок рх и ру, приложенных с эксцентриситетом гр. Панель имеет в плане прямоугольную форму с размерами а и Ь. Задача решается в перемещениях с учетом геометрической нелинейности. Целью работы является получение уравнений процесса нагружения панели.

.г

Рисунок 1. Расчетная схема панели Постановка задачи

Определение перемещений производим на основании предложенной методики [2]. Требуется найти функции, соответствующие общему решению бигармонического уравнения

для функции перемещений х'У)

2 д0 д4Ч 2 д4Ч 2 , , , „ ч

а^+2 =^ хх^ -к™,уу -КЬ-,хх. (1)

В этом уравнении: а/Ь , ао = Ь1а ; а, Ь - размеры оболочки в плане; кх, ку - кривизны оболочки; буквы после запятой указывают, по какой координате производится дифференцирование функции. Кроме того, введены безразмерные координаты:

кх = к*а, ку = куЬ , Х = х/а, у = у/Ь.

При двухстороннем сжатии панели общее решение этого уравнения можно записать в

виде

__~__1 _2 1 _2

*„(х,У) = ^(х,У) + 2апЬу + 2а22ах2. (2)

Здесь ^ (х, У) - частное решение уравнения (1); ап , а22 - постоянные коэффициенты, подлежащие определению. При двухстороннем сжатии панели двоякой кривизны выражение для прогиба примем в виде:

"(х, У ) = Л уХЛ( х )Уу(У). (3)

В этом выражении 30 Известия МГТУ «МАМП» № 1(15), 2013, т. 3

Хл = sin кх \mx sin Áxx - sin Áx(x -1)] + sin Áx [sin kx(x -1) - mx sin kxx[];

Yv = sin кy [sin vyy - sin vy (y -1)] + sin vy [sin ky (y -1) - sin kyy ] ;

mx = mJm0, mx =1"mx, mx = Pxzp, m0 = PxzP, 0 ^ x,y ^1-Функция Хл(x) соответствует выполнению граничных условий Хя(0) = 0, Хл(1) = 0, т.е. (рисунок 2а) сжатию панели на поперечных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью Px и изгибу моментами mx и которые могут быть разными и по величине, и по направлению. Здесь zp - координата приложения нагрузки px.

а) б)

Рисунок 2. Нагрузка на поперечных (а) и на продольных (б) краях с эксцентриситетом

и ее эквивалент

Функция Yv(y ) соответствует выполнению граничных условий Yv(0) = 0, Yv(1) = 0, т.е. (рис. 26) сжатию панели на продольных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью Py и изгибу моментами с интенсивностью my, одинаковыми и по величине, и по направлению.

- - N \а2 \N \Ь2 ii ii

42 =д2 + к2; v2y =v2 + к2; Л2 = LD_ ; ^ ^ N =JJnx (X, y)dxdy ; Ny = JJn (x, y)dxdy.

0 0 0 0

Таким образом, Nx и Ny - это средние значения продольных усилий в процессе нагру-жения, D = Eh3/12(1 - цилиндрическая жесткость. Теперь нужно найти частное решение неоднородного бигармонического уравнения:

2 а„ a4vp 2 д4ч 2 г г,

а0 —г + 2—2—7 + а —г = w,xy ~w,xxw,yy -kxaw,- -kvbw,xx.

0 ex4 cx2dy2 dy4 xy ^ x ^ y >«

При принятом выражении для прогиба частное решение содержит более двухсот слагаемых и будет иметь чрезвычайно громоздкий вид. Учитывая, что нам нужно знать структуру функций, входящих в выражения для касательных перемещений только для определения этих перемещений, используем своеобразный «принцип суперпозиции».

Вводим в рассмотрение функции:

Хл = sin кх [mx sin Áxx - sin Áx(x -1)]; X° = sin Áx [sin kx(x -1) - mx sin kxx

Yv = sin ky [sin ^уУ - sin ^y (y - 1) ] ; Yk = sin ^y [sin ky (У - 1) - sin ky~y ] .

При принятом выражении для прогиба (3):

w,2y -w,xx w, yy = II [(X'x )2ю2 - xáx;yx] .

Функции Xл и Yv содержат две пары слагаемых: первая пара слагаемых в процессе на-гружения меняется не только количественно, но и качественно (за счет изменения парамет-

(4)

ров и Уу); вторая пара слагаемых меняется только количественно (кривизны кх и в

процессе нагружения не меняется). При введенных функциях (4):

W(X, у) = Лv [Х°л (х)YV° (y ) + Х°л (x)Yk° (y) + X0 (x)YV0 (y ) + X0 (x)Yk0 (y)] .

Выражение для прогиба содержит четыре слагаемых, поэтому, как и для линейной правой части, определяем функцию перемещений от каждого слагаемого в отдельности, снабжаем все полученные слагаемые неопределенным коэффициентом и складываем их, в результате получим необходимую функцию перемещений. Для упрощения дальнейших выкладок вводим такие обозначения:

SA= sin 4, S1 = sin Лхх , SAx = sin 4(x -Clx = cos Лхх, СЯх = cos Лх (x -1);

S° = sin vvy, Svv = sin Vy (y -1), C°vy = cos vyy, С = cos Vy(y -1).

vy yJivy y / ' vy ys i vy

Рассмотрим случай mx = m°x, т.е. mx = 1. Это случай, когда на поперечных краях действуют моменты, одинаковые по величине и по направлению. Считаем справедливыми условия sin kx « kx, sin ky « ky, При малых kx и ky (kx, ky < 0,4). Тогда получим:

X,(X) = kx (Si - SÁx) - kxSÁ; X\ (x) = kxXx d - Cb). В этом случае удобно ввести такие функции:

X — S0 — S • X — C0 — C • Y — S0 — S • Y — C0 — C

XS SÁx SÁx; XC CÁx CÁx ; YS Svy Svy ; YC Cvy Cvy .

Можно записать:

XÁ (x) = kxXs (x) - kxS,; Yv (y) = kyYs (y) - kySv.

Имеет смысл ввести функции: XS1 (x) = sin Ax (2x -1); XC1 (x) = cos Лх (2x -1); XS2 (x)=sin^x+sin2^ (x -1); XC2(x) = cos^/^ x + cos2/lx (x -1).

В случае симметричной поперечной деформации (один член ряда) выражение для прогиба берем в виде:

w(x, y) = fuXA(х)sin^y .

Вводим обозначения:

SA = sin 4, Cx = 1" cos 4, kl = ^kla + kxkyXx2.

Уравнение (1) примет вид:

а,

2 ^ ^ 0 5 ^ , 2 ^ _ 1 _2т 2 ^2 /-2

+ 2 —^ + « 2 — ^ [ S^ (X) " 2 XC1 (x ) + Xc 2 (x ) +

0 ^—4 ^—2 ^—2 ^—4 г% ' ~ X "x ^ /и i ~ s \ ^ d \ ^ и

ax ax ay ay 2 (5)

+2СД cos 2жу - SÁXS (x) cos 2жу ] + fx1 XS (x) sin тгу - ж2 кl aSÁ sin ж y ].

Вводим величину:

к Л2 - -

А0 =1 + «0 ' или ki2 = л2кхаК .

кхж

Общее решение уравнения (5) при двухстороннем сжатии панели записывается в виде (2). Использование точного решения уравнения (5) приводит к чрезвычайно громоздким уравнениям вычислительного процесса. Поэтому, следуя общей методологии, снабжаем каждое слагаемое точного решения неопределенным коэффициентом; при исследовании процесса нагружения введенные коэффициенты определяются на основании вариационного уравнения Лагранжа. На основании этого общее решение уравнения (5) запишем в виде:

^ 0 (x, у ) = ab [0,5 • ajy2 + 0,5 • a2 x2 + f Xs (x) + f XCT (x) + f, Xc 2 (x) + + f3 XS (x )sin;r y + f4 XS (x) cos2;r y + f5si^;r y + f6cos^ y ].

Введение множителя ab приводит к тому, что коэффициенты ak и fm являются безразмерными. Заменим неопределенными коэффициентами множители во вторых производ-

ных, которые сложным образом зависят от параметра X, поскольку именно от вторых производных зависят деформации и перемещения. Пусть:

1

АЗ

f2 ~2 , А 2\2 "

2а (ссХ + 4аж2)2

S3;

Лэ fl\t , .

Тогда согласно [2]

ab

UXУ) ) dx; V0(x, у) ^(Л -иК ; ^(х, у) = - 2aw,2 ) сЕ; (6)

у) = \l\kyw - ^ Ф; и (х, у ) = и0 (х, у) + и (х, у); V (х, у ) = у (х, у ) + у (х, у) .

Рассмотрим случай, когда перемещения краев панели симметричны относительно осей ее симметрии, т.е. и(0,у) = -и(1,у); у(х,0) = -у(х,1) . В этом случае принимаем:

и(х, у) = и(х, у)+/0(у); у(х, у) = У(х, у)+&(х); /0(у) =-2[и(1, у)+и(0,У)]; &(х) =-2[Ух,1) +Ух,0)].

х- ); = ¿ ); r°v = -2(1+M) ^ П;

^ ab a

Деформации определяются так:

s„ = s„

s =s :

y y ■

rxy = YI+1f0( y)+1 g0(x).

ba

(7)

Таким образом, линейные деформации остаются такими же, как и в исходном случае; меняются только угловые деформации.

f0 (У ) = 1 (ааи - ^22 ) ; g (x ) = K^fl^C^ S¡ ) - - («0а22 - ^а11) . (8)

8а 2 8b 2

В результате получаем:

U2 (x, y ) = U (x, y ) + f0 (y ) ; V2 (x, y ) = V (x, y ) + g (x ).

Таково симметричное перемещение в направлении оси x (в продольном направлении) и симметричное перемещение в направлении оси y (в поперечном направлении). Из (7) с учетом (8) следует:

s - s0; s — s0; у = у0 .

x x ' y y' ' xy ' xy

Таким образом, деформации остаются без изменения. Введем обозначения: А: = 4a^2-M^Xx;; Xx02 =«0^x2-4^ап2; Д0 = осл2Л^ = a042k0 = . (9)

Взаимное удаление точек, расположенных на продольных Av( x) и поперечных Au(y) краях, будет таким

а

Av( x ) = V( x ,1) - V( x, 0) — Oí00a 22 ~ f-i ац + kxK — (СЛ + SA)fM -

2 - - 22o 1

fA1 [(k0 + -k0Xs(x)]-Xs(x) ¡.;

(10)

x

7Г

- - - ~2 2 I 1

Au( y) = и(1, y) - и(0, y) = a a11 -p.a22 + kxK <

2 ^ СЛ-ЦгСл. * Xх x 2n2 я 2л X

"x 4 o /-<

-^XSлCлcos2лy 2л

x,0

Cf1si^y + 2a T" C*f¿2cos ^y -

Л Á. Á.

2аХхз 0

X.

hCxfX3sin7*У \.

(11)

Взаимное удаление угловых точек, расположенных на краях панели, определяется так

Au0 = Au(1) = Аи(0) - аахх -¡ua22 + kxn C

f

2

Л1

4b

3ра а0Хх

2

X.

ж

+ fu

(12)

Avо = Ау(1) = Ау(0) = а 0 а22 - /и а11 + к2 ж

/2 (Г , 2^ОСо г ^ 2 х4 10/. Г>

Г" ЛЛ1\СЛ + ^л) ~ 1л1^л лк1лз^л

я

. (13)

4а' я"

Известно, что вариационные методы позволяют эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов. [1] Систему разрешающих уравнений получим на основании вариационного уравнения Ла-гранжа:

51] = , (14)

1 1

где: 51] = Ц(N<5^ + Ху8еу + N у5у у + Мх5жх + Ыу5жу + 2Мху$жху)abdХdy - работа внутрен-

о о

них сил на возможных перемещениях;

1 1 1

У=1

5\¥ = -Г рдиЬфТ 1 -Г pSvadx\У_ 1 -ао{ т8"^,хф\х_ 1 -а[тйуу, у^\У- 1

¿гх 1х =0 У 1у=0 0 J х 'х ^ 1х=0 J У ^У 1у=0

(15)

- работа внешних сил на возможных перемещениях. В (15) стоят минусы потому, что нагрузка сжимающая.

По закону Гука внутренние усилия связаны с деформациями и кривизнами следующим образом. Нормальные и сдвигающие силы:

N = В(ех+щу); Ny = В(5у + Nxy = 0,5(1-^)В^. (16)

Изгибающие и крутящие моменты определяются по формулам:

Мх = 0(Жх +цЖу); Му = Б(Жу +цжх); Мху = £(1 -¡и)ж^ . (17)

В этих уравнениях: В = Ек/ (1 - жесткость оболочки на растяжение-сжатие; Е -модуль продольной упругости; И - толщина оболочки.

Вводим полусуммы и полуразности деформаций и кривизн:

е, = о,5(^+^у ); = о,5(^-^у ); = о,5(Жх + Жу ); жг = о,5(Жх - Жу ).

Отсюда следует:

е* = е, +8Г; £у= е,; жх = ж* + жг; жу = ж* - жг. (18)

Подставив (18) в (16) и (17), и приняв

Б(1 + = N; Б(1 -М)ег = N ; Я(1 + = ; Б(1 -^)жг = Мг;

получим:

Nx = Ns +Nr; Ny = Ns-Nr; Мх =Ms +Мг; Му =Ms -Мг. Взаимные удаления точек, расположенных на краях панели, определяются по формулам (10), (11). Для деформаций 4, г получаем выражения:

^ = 1(1 -¡и) \ а11 + а22 | + ±(1 -¿)к>2 ] — Л2 4 2 I Ь а ) 2Ь I 2а л

сс Я2

-Х8С (х ) СХ С°8 2^У

2

+ Х8 (х) С°8 2^У +^Т Л А Лу - Л^ЛэХ5 (х) 8Ш ПУ Г ;

Л

8 = 1(1 + и) (аи - — (1 + я)к>21-1 Л2

г 2V I Ь а ) 2Ь } х I 2а Л1

сс Я2

Х8С(х) "-^Ч- С С08 2.жу

2

сс

+4^2Х8(х) С08 2лу + "1ЛА эш я-у -Л°кЛх4/ЯзХ5 (х) ¿т жу \.

ж

Где функция:

Х$,С (х) = а5ЛХ8 (х) - -2 ХС1(х) + 4 ХС2 (х);

(19)

Лх1 = 4шт +а0Лх; Лх2 = ап + ; Лэ = ^ -«<А; = -а0Лх. Для деформации сдвига sxy = 0,5 ' Xxy получаем:

_ 2

У xy =rX0y = -(1 + ^V b [ 2f Xc (x) sin 2^y +ЛхЛ°к/Яэ Xc (x) cos ny ] . Выражения для кривизн используем в виде:

1

1

1

жх = —2(w,xx +К w) ; жу = " 72 (Wyy + ky w); жху =--T (w,xy + kxkyw).

x 2 ^ 'xx x

a

Вводим обозначения:

b

xy

ab

">xy x y

к2 = а(ж2 -к2) + а0к^ ; к2 = а(л2 -к2)-а0к2х .

(20)

у / 0 х 5 г V у/ 0 х

Результаты

С учетом всего изложенного выражения для 5и и 5Ш подставляем в вариационное уравнение Лагранжа (14) и приравниваем выражения при вариациях одинаковых коэффициентов. В результате получаем интегральные условия минимума полной потенциальной энергии деформации панели

11 11

Ц[(1 -М)N + (1+ М)N = рру - рх; Ц[(1 -ц)N - (1 + ц)N ^¿У = т - Ру; (21)

0 0

0 0

¿i я

00

2

-(1 -ц)NSXSC (х) + (1 + ц)NrXSc (x) - (1 -м) ^f" CN cos 2ny -

2П

-(1 + cos2^y

2n

dxdy + — Я [(1 - М)NsSÁ sin ny + (1 + ¡л)NrSÁ sin ny ]dx.dy +

К 00

Я{["кг2МА + l^MS, + (Mx + k2)MsXs (x)] sin^y + КД2 - K)MrXs (x)iinny - (22)

K* 0 olL J

~2xhxMxyXc(x) cos жу} dxdy = - pxb J 2b fnCi

3№ S S aJx

- SZ + 2 S¿ 2

Л,. П П

Л

-C,

I 1 4

- Pya fnCi(Ci~ 3) + ~TT

I 2b TT Л

' — Л —

к0СЯ ~ у(к0 + Ua0 )Sz

■ + pL XxCxmx. к ж

(23)

Уравнение(22)будет служить для определения параметра fц .

1 1

fu Я [(1" lAkNXs (x) cos 2^y + (1 + /и)ЛХ3NrXs (x) cos 2^y -

00

-4(1 + /u)nЛxNxyXC (x) sin 2ny ] dxdy = 0.

Уравнение(23)будет служить для определения параметра f%2.

11

fi3 Я[(1 - 2NsXs (x) sin ny + (1 + /и)ЛХ4NrXs (x) sin ny +

00

+2(1 + /u^xNxyXc(x) cos л y ] dcdí = —CA (Ax03Px + ¿x°4Py).

пЛх

Из уравнения (24) будет определяться параметр fX3. В результате имеем пять уравнений, а неизвестных у нас семь: a11, a22, f/U, fx2, fx3, Px, . В качестве двух дополнительных уравнений принимаем взаимное удаление угловых точек Ам0 и Av0, расположенных на краях оболочки и определяемых по формулам (12), (13). Пусть Ам0 =-Д0, Av0 =~J3A0, т.е. угловые точки сближаются. Тогда получим:

(24)

ааи -ßa22 =-Д0 - ^VQ

- Г

4b м

3ßa „ а0Я,

2 Л

Ж'

ОСо а22 - ¡LIа11 =-ß\ + Кп

¿f?A(3 - сл)+^

4b ж

+ fv

2Л°4 10,

AÄ + X4 \SÄfÄ3

Ж

(25)

(26)

Из этих уравнений будем определять ап и "22. Параметр характеризующий сближение угловых точек, будем принимать за параметр прослеживания процесса нагружения панели. Складывая и вычитая уравнения (21), получим

а

\ \

JJ NsdXdy = -—(Px + Py); Ц Nrdxdy = -—(Px - Py).

0 0 2 0 0 2

(27)

р р к2 к2 Эти уравнения будем использовать для определения Их и у. Параметры 4 , г опре-

00 Лх\ лхП л.

X2

ьх3

0

х 4 - по формулам (9); параметры x1,

деляются по формулам (20); параметры

Я Л Л х2, х3, х4 - по формулам (\9).

Заключение

Система уравнений (22)-(27) является существенно нелинейной. Объясняется это не только тем, что неизвестные коэффициенты входят в них в виде различных степеней и произведений. Если оболочка работает за пределом упругости, то функциями координат ее точек становятся пластические модули и коэффициент Пуассона. Кроме того, процесс нагружения зависит от параметра ^, от которого существенно нелинейно зависят коэффициенты уравнений.

Полученная система уравнений решается по шагам с использованием в пределах каждого шага метода итераций для уточнения решения. При этом в начале каждого шага и каждой итерации коэффициенты системы уравнений берутся из предыдущего шага или предыдущей итерации, это позволяет при записи системы уравнений в приращениях считать эти коэффициенты постоянными.

Литература

\. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, \978. 288 с.

2. Володин В.П., Надиров Э.Р. Определение аппроксимирующих функций в выражениях для перемещений при расчете пологих оболочек // Вестник Тверского государственного университета: научный журнал. Серия «Прикладная математика» - Тверь: ТвГУ, 20\2. №\7. Вып. 2 (25). с. 4\ - 5\.

3. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: ГИТТЛ, \956. 42\ с.

4. Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости. - М.: Изд-во РУДН, 200\. \76 с.

5. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, \964. \94 с.