Решение задачи бифуркации цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном докритическом нагружении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Решение задачи бифуркации цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном

докритическом нагружении

д.т.н. проф. Охлопков Н.Л., к.т.н. доц. Соколов С.А., Черемных C.B., к.т.н. Александров

М.Ю.

ТвГТУ, ООО "Стандарт проект" 8(4822) 52-63-63, [email protected]

Аннотация. Рассматривается задача бифуркации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном докритическом нагружении осевой сжимающей силой и крутящим моментом в девиаторной плоскости деформаций A.A. Ильюшина Э1 - Э3.

Ключевые слова: пластичность, устойчивость, сложное нагружение, бифуркация, оболочка

Решение задачи строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубчанинова. Используется условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Задача решается в геометрически линейной постановке.

Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритическом нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения компонент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации.

Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [2]

St1 = Щ +{а'~NT)S^, (/,j = 1,2,3), (1)

G

' = ^ = Рт. т = cos^. 3tj = etj. Sj- -

Здесь , N - определяющие функции пластичности, ^ - угол сближения

где: а ~ ~ 1 '; " у ч ; у - компоненты тензора-девиатора напряжении;

Э^ - компоненты тензора-девиатора деформаций. йа

(со^.91 -а-р1), £ - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает

, , _ _ й й й£>

диффиринцирование по обобщенному параметру времени — =---.

й1 й£ &

Для определяющих функций пластичности N и принимаем аппроксимации, пред-

й£

ложенные В.Г.Зубчаниновым [1].

N = 2Gp +[2G - 2Gp ( i^i j f = 2G-[2G + 2Gk ( ^

(2)

где: & , , &р - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответ-96 Известия МГТУ «МАМИ» № 1(15), 2013, т. 3

ственно.

Для определения угла сближения имеем:

А = (3)

где: а - модуль вектора напряжений, %1 - кривизна траектории.

Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рун-ге-Кутта. Зависимость а = Ф(Э) = Ф(£) полагаем универсальной для простого нагружения. За параметр обобщенного времени 1 на участках сложной траектории деформирования принимаются различные, монотонно возрастающие параметры процесса.

Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу.

Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений:

[- аК*л2/&1Е + Ю**/2=Л2т [в + 3К*(о" - О** N2/N)/4&_

-(до**+N2к* )/ N

где:

К, _2^, Л = ^+^22+2$1>, А,

СУ о л„

(4)

д 3 Г ЛГ*2 ^

&1 =

В 2

л г* N.

N " ^

V N У

т-1

+ г 2 )2 - К2, = ^^ -1, , (5)

4 ' 2 1 3£2 (5)

1 , т-1 1

2С• < = ) = И*(г*У"1 дх\ = £.

-1 -1 где г = 3Я / И - гибкость оболочки.

Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн т, п изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки 1 в зависимости от значения модуля вектора напряжений а в момент потери устойчивости.

Эксперименты показывают [1], что в момент потери устойчивости пластин и оболочек происходит излом траекторий деформирования, т.е. процесс потери устойчивости реализуется в условиях сложного нагружения материала. Для определяющих функций пластичности

N и принимаем аппроксимации В.Г. Зубчанинова (2) [1]. dS

В большинстве выполненных ранее решений сложное нагружение оболочки в момент потери устойчивости учитывалось в упрощенной постановке. Полагалось, что в зоне пластической догрузки = О0 (г = 1), в зоне упругой разгрузки = 1800 (г = -1) и искалась коор-

*

дината 2р границы раздела данных зон. В предлагаемом варианте решения задачи функции

пластичности N и изменяются непрерывно, в зависимости от Т и 2 . Координату грани-dS

цы раздела зон определять нет необходимости, интегралы

**

и Nm в (5) определяются численно по методу Симпсона. При этом оболочка по толщине разбивается на 20 слоев (дальнейшее увеличение числа слоев, как показывают расчеты, не приводит к существенному уточнению решения).

В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чистопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. В

этом случае т ~ 1, тогда £ * = (е + г*к*) интегралы 0.гп , Ыт (5) принимают значения [1]

N = 2(1 - ш), N2 = 0, N3 = 2(1 - ЙТ)/3,

О** = 2е(1 - А),П2* = 2(1 -Х)к* /3,g1 = 1 -а, (6)

е = -21 /(5Д>2), у2 = 1 + у1(1 - X) /(1 - ш) где ш - параметр пластичности А.А.Ильюшина, Л - параметр разупрочнения материала.

При известных о,ш,Х с учетом (6) можно вычислить критическую гибкость оболочки в нулевом приближении / (0)

I(0) = ЛтЛ1 -[2g1v + (1 -Л)к*2]/[4(1 - Х)/($1£туг]+ 2ок* /Е. (7)

Затем в нулевом приближении находим ) — ^* / к* и определяем параметры деформации е , Ь1 , ь2 , ьз из уравнении [1]

NlSl = к*/1

N1^2 = к*./1

N1 & з — к*

+ (1 - 2г2)/(35*)]+ N2 (¿¿к* -1)+ 5*Хе ^ +(1 - 2г2 )/(3Б*)]+ N2 (4к* - г2)+ Б^е . (8)

2

_4 + (1 - 2г2 )/(3Б*)]+ N2 22к* - г2)+ Б^е + (1 - г / Б*)]+ N2 (б*к* - г) + Б*2^е

Далее в первом приближении вычисляем для каждого сечения оболочки параметр излома траектории г(1), скорость деформаций Б?*(1)

(б?* } = 2р° - гИРе°к + г*2И2р° м]т = (е + /к* )(б* (9)

где:

Рее = 2 +£ 3 + ^2,

Р0 = 41

[-(2бт1 +£2)-г2(2е2 +е1) + 2е3г /И, (10)

1(1 + г2 )2/ И2,

е = + °"22£2 + 2°"12£3. (11)

Далее численно определяем значения интегралов 0.гп и Nm, вычисляем /^, е^ и рассчитываем невязку по параметру е : Ае^г^ = е^ге^. В случае, если на данном шаге ^е больше некоторого малого наперед заданного £, методом половинного деления вводим корректуру в е . Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока невязка ^е будет меньше

Расчеты выполнены также на основе теории устойчивости А.А.Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1]

Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета [3]. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45.

В качестве примера рассмотрены трехзвенные траектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня Я на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса Я на втором звене; сжатие до потери устойчивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 1).

Расчеты выполнены для нескольких процессов при Я = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней р и д, входящие в состав аппроксимаций [2], определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения ма-

териала, принимались р=0.6 и д=1.35.

Рисунок 1. Траектории деформирования образцов из стали 45: Я - радиус дуги окружности

На рисунках 2-7 приведены графики критических параметров напряжений и деформаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования ш, п. о, МПа

450

0,015

0,0115

150

3(1

Ы)

120

150

Рисунок 2. Критические параметры напряжений (Я=0,5%)

Рисунок 3. Критические параметры деформаций (!*=(),5%)

[?,025

0,02

0,015

0,01 3~ 0

3

1 4 V 2 5

30

61)

41 >

120

Рисунок 4. Критические параметры напряжений (Я=1%)

Рисунок 5. Критические параметры деформаций (1^=1%)

о.оз

0.025

0.1)2

0,015

Э \ \ \ \ \ 5

2

4 VI N

1

№

60

90

120

Рисунок 6. Критические параметры напряжений (К=1,5%)

Рисунок 7. Критические параметры деформаций (Я=1,5%)

Цифрами на рисунках обозначено: 1 - расчет, выполненный с учетом сложного характера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q= 1.35 ( соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 - расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 - расчет при показателях степеней р=0.55 и q=1,35; 4 - расчет при р=0.7 и q= 1.35; 5 - расчет по теории устойчивости A.A. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты.

На рисунке 8 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состояний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам.

1 >v г ш

■ (/ f /

/ 1

—I-1 1

О -0,005 -0,01 -0,015 -0,02 -0,025 -0,03 -0.035 Э,

Рисунок 8. Зоны устойчивых состояний в плоскости 3j - Э3 для оболочек из стали 45

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотношения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г.Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования (2), позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении.

На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например, по теории устойчивости A.A. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций.

Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности (2) при сложных докритических процессах не могут приниматься равными p=q=1, как например в [4], и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q.

На рассматриваемых траекториях для параметров р и q аппроксимаций (2) в решении задачи устойчивости можно принимать значения, полученные при решении задачи построения образа процесса нагружения материала.

Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].

Литература

1. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость. / В.Г. Зубчанинов. -М.: Физматлит, 2007. - 448 с.

2. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография. / В.Г. Зубчанинов. -Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.

3. Зубчанинов В.Г. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 1. Процессы сложного деформирования. / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков, В.В. Гараников. - Тверь: ТГТУ, 2003. - 172 с.

4. Зубчанинов В.Г. Об устойчивости тонкостенных оболочек при сложном докритическом нагружении. / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков // Известия вузов. Строительство. - 1997. -№ 6. - с.27-34.