Учет упрочнения в расчетах процессов сложного упругопластического нагружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

B.Г. Зубчанинов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4822) 52-82-96, vgz@rambler.ru,

C.Л. Субботин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4822) 52-44-92,

А.А. Алексеев, канд. техн. наук, доц., (4822) 52-63-63, kafsm@yandex.ru, (Россия, Тверь, ТГТУ)

УЧЕТ УПРОЧНЕНИЯ В РАСЧЕТАХ ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ

Предложен вариант учета упрочнения материала в аппроксимациях функционалов теории упругопластических процессов.

Ключевые слова: теория упругопластических процессов, сложное нагружение, аппроксимации функционалов пластичности.

Вычислительный алгоритм решения плоских упругопластических краевых задач, основанный на методе конечных элементов [1, 2], может быть построен с использованием соотношений связи между напряжениями и деформациями согласно гипотезе компланарности Ильюшина [3-5]:

% = Щ +(Р~ N)C0S^Sjj 1(7

Э■■ S'-

где -' - компоненты девиаторов деформаций и напряжений; G - модуль девиатора напряжений; s - длина дуги траектории

деформации; ^ - угол сближения (угол между вектором напряжения и вектором скорости деформации) в девиаторном изображающем пространстве Ильюшина [3-5]. Точкой обозначено дифференцирование по параметру прослеживания процесса (обобщенному времени). Функционалы процесса P и N конкретизируются исходя из экспериментальных исследований и аппроксимируются функциями, достоверными для реализуемых траекторий нагружения и деформации. В.Г.Зубчаниновым предложены аппроксимирующие функции [4 - 6]:

P = 2Gk + (2G - 2Gk) ((1 - cos ^) / 2)p,

N = 2Gp +(2G- 2Gp) ((1 -cos^)/2)q.

где ССр, - упругий, пластический (секущий) и касательный модули

сдвига.

Функции (2) при р ~ 4 и % ~ 0 3 физически достоверно описывают процессы упругопластического деформирования углеродистой стали [4 - 6], поэтому они используются как основной расчетный вариант.

(2)

О о

Для определения модулей р и к используется универсальная

диаграмма простого нагружения а =Ф(Э). При решении краевых задач для определения модулей можно применить формулы [7]

20, если а<ат,

2Ск

4-1,

dФ(Э)/ dЭ = dа / dФ (а), если а>а 20, если Э < Эт,

Ф(Э)/ Э, если Э > Эт,

2Ср =

(3)

(4)

где а , Э - модули девиаторов напряжений и деформаций для предела

текучести, Э = Ф (а) - функция, обратная а = Ф( Э). Особенностью формулы (3) является то, что аргументом в ней является модуль девиатора напряжений в данной точке упругопластического процесса.

Экспериментальная диаграмма простого нагружения стали 12Х18Н10Т [8] аппроксимировалась двумя прямолинейными участками (рис. 1). В этом случае для касательного и пластического модулей имеют место формулы

20, если а<ат,

2С =

2Ср =

* т

2Ск, если а>а , 20, если Э < Эт,

(5)

ат + 20,

(Э -Э т)

если Э > Э1

Э (6) Для звеньев 0-1 и 1-2 траектории нагружения криволинейный участок диаграммы описывался дугой эллипса по формулам

а = а0 +^А - т (Эо - Э )2, если Эа < Э < Эь

20к =

т

А

(а-а0 )2

-1

если аа < а < а

(7)

(8)

практически точно совпадающей с экспериментом (рис. 1).

Для рассматриваемой стали принято:

20 = 1.5 ■ 105 МПа; 20* = 2400 МПа; Эт = 0.0018; ат = 270 МПа; Эа = 0.001. аа = 150 МПа. Эь = 0.012. аъ = 294.5 МПа. Э0 = 0.01482

а0 = 137.7

МПа

. А = 25639.5МПа2, т = 1.3347■ 108 МПа2

<

<

<

т

Если в расчете процесса сложного нагружения величину а считать неизменной, то в этом случае не учитывается изменение начальной границы пределов текучести. Это аналогично неучету эффекта Баушингера при одноосном нагружении - разгружении. Для оценки влияния учета повышения предела текучести в процессе нагружения были выполнены расчеты для многозвенной ломаной траектории в пространстве напряжений

_ ^3 (рис. 2).

Рис. 1. Диаграмма деформирования стали 12Х18Н10Т:

1 - расчетная диаграмма с линейным упрочнением по формулам (5), (6); 2 - криволинейный участок диаграммы по формулам (7), (8);

3 - диаграмма для звена 5-6 без учета повышения предела текучести;

4 - диаграмма для звена 5-6 с учетом повышения предела текучести;

5 - экспериментальные данные для звеньев 1-2-3-4-5-6

200

150

100

50

S3, м Па

© ©@

(о)© ®© SiJ

0 50 100 150 200 250 300

Рис. 2. Программа нагружения

е

На первом участке траектории (звено 0-1) образец нагружался по 1 Є = 0

до уровня 256 МПа при 3 , на втором участке (звено 1-2) - нагружение

по Єз до 190 МПа при е1 = соп^, на третьем (звено 2-3) - разгрузка по Єі

до нуля при Єз = соп^, четвертый участок (звено 3-4) - разгрузка по Єз до е = 0

нуля при 1 . Пятый (звено 4-5) и шестой (звено 5-6) участки траекто-

рии нагружения повторяли первый и второй участки соответственно. Рас-

Э — Э

четные отклики в пространстве деформаций 1 3 с учетом и без учета

т

повышения & приведены на рис. 3, 4.

На рис. 3 показана траектория деформаций, полученная без учета в

т

аппроксимациях (5), (6) изменения предела текучести & в процессе активного нагружения. Упрочнение материала учтено только в зависимости

& = Ф( Э)

На рис. 4 приведен расчетный отклик, полученный с учетом в апт

проксимациях (5), (6) увеличения предела текучести & в процессе активного нагружения. За величину нового предела текучести принималось максимальное значение модуля девиатора, соответствующее началу звена 2-3. В дальнейшем эта величина считалась постоянной. Таким образом, полагалось, что граница пределов текучести в результате пластического деформирования на первом (звено 0-1) и втором (звено 1-2) участках траектории нагружения изменялась так, что все последующие звенья траектории находились внутри этой новой границы.

Рис. 3. Отклик в пространстве деформаций без учета изменения предела текучести: 1 - расчет; 2 - эксперимент

Рис. 4. Отклик в пространстве деформаций с учетом изменения предела текучести: 1 - расчет; 2 - эксперимент

Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов

[8], проведенных на базе лаборатории кафедры СМТУиП Тверского государственного технического университета на автоматизированном расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ [9], показывает, что учет упрочнения материала в аппроксимациях (5), (6) только в универсальной зависимости Ф( Э) не дает достоверных результатов для процессов ак-

тивного нагружения после сложной разгрузки (рис.1, 3 звено 5-6).

Экспериментальные данные [8] хорошо согласуются со звеном 5-6 траектории деформирования, полученной с учетом увеличения предела текучести (рис. 1, 4). Для остальных звеньев программы нагружения, различий в расчетных откликах в пространстве деформаций нет. Такое поведение материала связано с теми упругопластическими процессами, которые происходят на каждом участке траектории нагружения: звено 0-1 - простое активное нагружение; звено 1-2 - сложное активное нагружение, стремящееся к локально-простому процессу (в смысле В.Г.Зубчанинова [4-6]); звено 2-3 - сложная разгрузка; звено 3-4 - локально простая разгрузка; звено 4-5 - локально простое активное нагружение; звено 5-6 - сложное

-4 (Ч/ _

активное нагружение, для которого 3 до тех пор, пока не будет

- ^т

достигнут действительный предел текучести материала & .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, (проект № 05-08-01442-а).

Список литературы

1. Субботин С.Л., Алексеев А.А. Численное решение плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 53-54.

2. Алексеев А.А. Алгоритм численного решения плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Вестник Тверского государственного технического университета. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 7. С. 45-49.

3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990, 310 с.

4. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности. Тверь: ТГТУ, 2002, 300 с.

5. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: ТГТУ, 2000. 703 с.

6. Зубчанинов В.Г. Экспериментальное исследование и обоснование теории упругопластических процессов // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: материалы 3 симп. Ч. 1. Тверь: ТвеПИ, 1992. С. 94-159.

7. Субботин С.Л., Алексеев А.А. Алгоритмические аппроксимации функционалов пластичности в краевых задачах теории упругопластических процессов // Сборник материалов VII Международной научнотехнической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 37-38.

8. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность. Кн. 2. Процессы сложного нагружения. Тверь: ТГТУ, 2004. 184 с.

9. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность. Кн. 1. Процессы сложного деформирования. Тверь: ТГТУ, 2003. 172 с.

V. Zubchaninov, S. Subbotin, A. Alekseev

Account of hardening in the calculations complex processes elastoplastic loading

A version of the account the hardening of a material in approximation functionals theory of elastoplastic processes is suggested.

Key words: theory of elastoplastic processes, complex loading, approximation functionals of plasticity.

Получено 04.08.10