Бифуркация цилиндрической оболочки при сложном нагружении в момент потери устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 100-107

^ Механика

УДК 539.3

Бифуркация цилиндрической оболочки при сложном нагружении в момент потери устойчивости

Н. Л. Охлопков, С. А. Соколов

Аннотация. Рассматривается задача бифуркации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при простом докрити-ческом нагружении осевой сжимающей силой, крутящим моментом и внутренним давлением в девиаторном пространстве деформаций

А.А. Ильюшина Э(3).

Ключевые слова: пластичность, устойчивость, сложное нагружение, простое нагружение, бифуркация, цилиндрическая оболочка.

Рассматривается задача бифуркации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки при сложном нагружении в момент потери устойчивости.

Решение задачи строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубча-нинова. Используется условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочки до момента потери устойчивости. Задача решается в геометрически линейной постановке.

Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [1]

• Я-

Sij = N3ij + (a7 - Nt) S', (i, j = 1, 2, 3), (1)

a

где a7 = da/d — = Pt ; t = cos #i; 3 ij = ej; -ij — компоненты тензора-девиатора напряжений; 3j — компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь da/d—, N — определяющие функции пластичности, #i — угол сближения (cos #1 = a ■ p?i), — — длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру

времени dt = dS ■ f.

Дифференциальные уравнения равновесия элемента цилиндрической оболочки, потерявшей устойчивость, и уравнения совместности деформаций

имеют вид [2]

дТи + din = 0 дТ2 + dTi2 =0

dXi + дХ2 ’ дХ2 + dXi ’

д2ММ11 + 2 д2ММ12 + д2ММ22 + T ■ + T ■ | 2T • + _1 T = 0

дХ2 + дХ1дХ2 + дХ22 + 11X 11 + 22X22 + 12X 12 + R 22 ’

д2£11 + д2£22 2 д2£12 = 1 д2^

дХ22 + дХ2 - дХ1дХ2 = -R ' дХf ’

(2)

где £ij — скорости деформирования срединной поверхности, Xij — скорости изменения кривизны и кручения срединной поверхности, W — функция прогибов оболочки.

Первые два уравнения системы (2) будут удовлетворены, если положить

T„ = иЦ, Г22 = EhЦ, Т12 = -ЕНдХ2Х ■ (3)

где у — функция скоростей усилий.

Решение основных уравнений задачи (2) представляем в виде рядов Фурье

' . °° 1

W = Y, Am sin - (АтХ1 - ПХ2),

m=1 R (4)

^ 1 mnR v ’

У = E Bm sin — (АтХ1 - ПХ2) , Am = ,

m=1 R L

где m, n — целые числа, характеризующие волнообразование при потере устойчивости оболочки в осевом и окружном направлениях соответственно, L — длина рабочей зоны оболочки, R — радиус срединной поверхности, h — толщина оболочки. Оболочку принимаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. В уравнениях (4) сохраняем по одному члену ряда

W = A sin 1 (А„,Х1 - ПХ2),

R (5)

У = B sin — (АтХ1 - ПХ2) ,

R

В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений задачи о собственных числах [2]

'-aK*i2/ (g1E) + in1 */ (2g1— *) = Am [0 + 3K* (П2* - *N2*/N*) / (%)],

e = -2i/ (—*Am) - (01^1 * + N*K*) /N*,

(6)

где

Q

K* = a*1 + a2V2 - 2a1>, —* = —*r2 + —*2 + 2— a* = ^, —j = ,

aa

А _ 3 Ж|2

51 = А = 2 (N3 - % ), в =(1 + г2)^ - К2/2, (7)

01 =2(1 + г2)2 / (352) - 1, 26 ■ Жт = ^ N (г *)т-1 ^г*

20 ■ П*т = !1 ст'З* (г *)т-1 ^ *, г * = г/Ь,

г = 3Д/Ь — гибкость оболочки, Е — модуль Юнга.

Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн т, п вычислить критическую гибкость оболочки г в зависимости от значения модуля вектора напряжений а в момент потери устойчивости.

Эксперименты показывают [2], что в момент бифуркации пластин и оболочек происходит излом траекторий деформирования, то есть процесс потери устойчивости реализуется в условиях сложного нагружения материала. Для определяющих функций пластичности N, йа/й5 принимаем аппроксимации В.Г. Зубчанинова, хорошо зарекомендовавшие себя для многозвенных ломаных траекторий, которые представляем в виде [2]

N = 26* + [20 - 26*] ' 1 - С°й # ^

=20* - [20 + 20*]У1 -2с°8 ' (8)

^ V 2

где 0, 0*, 0р — модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно.

В большинстве выполненных ранее решений сложное нагружение оболочки в момент потери устойчивости учитывалось в упрощенной постановке. Полагалось, что в зоне пластической догрузки #1 = О0 (т = 1), в зоне упругой разгрузки #1 = 1800 (т = -1), и искалась координата г* границы раздела данных зон. В предлагаемом варианте решения задачи функции пластичности N, йа/й5 изменяются непрерывно, в зависимости от т и 2. Координату границы раздела зон определять нет необходимости, интегралы 0^* и N2 в (7) определяются численно по методу Симпсона. При этом оболочка по толщине разбивается на 20 слоев (дальнейшее увеличение числа слоев, как показывают расчеты, не приводит к сколь нибудь существенному уточнению решения).

В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чисто пластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. В этом случае т = 1, тогда 5* = (е + г *к*), интегралы 0^*, (7) принимают значения [2]

N = 2(1 - и), N2* = О, N3 = 2 (1 - и) /3,

01 * = 2е (1 - А), 02 * = 2(1 - А) к */3, 51 = 1 - и, (9)

е = -2г/ (5*Ат^2), ^2 = 1 + V! (1 - А) / (1 - и),

где и — параметр пластичности А.А. Ильюшина, А — параметр разупрочнения материала. При известных а, и, А с учетом (9) можно вычислить критическую гибкость оболочки в нулевом приближении г(0)

г(0) = Ат^ [25^ + (1 - А) к*] / [4 (1 - А) / (5*2А>2)] + 2ак */Е• (10)

Затем, в нулевом приближении, находим /0) = -01 */к * и определяем параметры деформаций е(0), е10), е20), е|0) из уравнений [2]:

N161 = к */1 [5*1 + (1 - 2г2) / (35*)] + N2* (5*1 к * - 1) + 5*1 N1*е,

N162 = к */1 [5*2 + (г2 - 2) / (35*)] + N1 (5*2 к * - г2) + 5*2 N1* е,. (11)

N163 = к */1 [5*2 + г/5*] + N2 (5*2к* + г) + S^2Nl*е.

Далее, в первом приближении вычисляем для каждого сечения оболочки параметр излома траектории т(1), скорость деформаций 5*(1)

(5*)2 = 2 [Ре°е - гЬРе0* + г *2Ь2Р*0*/4] , т = (е + г *к *) (5*)-1 , (12)

д Рев = 61 + 62 + 62 + 6162,

Р* = [- (261 + 62) - г2 (262 + 61) + 26зг] /Ь, (13)

Р0* = 4(1 + г2)2 /Ь2,

е = а*161 + а*262 + 2а *263. (14)

Далее численно определяем значения интегралов 0^* и Nm, вычисляем г(1), е(1) и рассчитываем невязку по параметру е: Де(г) = е(г) - е(*-1). В случае, если на данном шаге Де больше некоторого малого наперед заданного £, методом половинного деления вводим корректуру в е. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока невязка Де будет меньше наперед заданного малого числа £.

Рассматриваются процессы пропорционального докритического нагружения оболочки осевой сжимающей силой и крутящим моментом в плоскости

Э1 - Э3 девиаторного пространства деформаций А.А. Ильюшина.

На рис. 1 в качестве примера решения приведены графики значений критических напряжений в зависимости от гибкости оболочки, построенные при различных комбинациях полуволн т, п при чистом сжатии по теории устойчивости А.А. Ильюшина без учета разгрузки. Здесь т — число полуволн в направлении образующей, п — в окружном направлении. Жирной сплошной линией обозначена предельная кривая, полученная, как огибающая кривых устойчивых состояний.

Предельные кривые были построены для разных вариантов теории пластичности и при разных способах учета угла излома траектории деформирования в момент бифуркации. На рис. 2, в качестве примера представлены графики предельных кривых для случая чистого кручения оболочки.

Цифрами на рисунке 2 обозначено: 1, 2 — расчет по модифицированной теории устойчивости В.Г. Зубчанинова без учета и с учетом разгрузки; 3,

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1 80

f3R.1i

Рис. 1. Результаты расчета критических параметров напряжений по теории устойчивости А.А.Ильюшина без учета разгрузки для чистого

сжатия

а, МПа

420

400

380

360

340

1-М \ V 5 Сталь 40Х

а \ _6\ ч/

3 X _Э1 | 1 Э3

20

40

60

80

100

^зв/ь

Рис. 2. Предельные кривые критических параметров напряжений

(«1 = 90°)

4 — расчет на основе теории устойчивости А.А. Ильюшина соответственно без учета и с учетом разгрузки; 5 — расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при функциях пластичности N = 2С(1 - и) и йа/^5, принятых согласно аппроксимации В.Г. Зубчанинова (8); 6 — расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при функциях пластичности N и йа/^5, принятых согласно аппроксимациям

В.Г.Зубчанинова (8). Материальные параметры р и д для кривой 6 подбирались таким образом, чтобы предельная кривая наиболее близко располагалась к экспериментальной точке.

На рис. 3 отражено влияние величин материальных параметров р и д, входящих в структуру аппроксимаций определяющих функций пластичности (8), на величины критических параметров напряжений при чистом кручении.

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1=ЗИЬ

Рис. 3. Предельные кривые критических параметров напряжений при различных р и q («1=90°)

Треугольниками на рис. 2—3 указаны значения модуля вектора напряжений, соответствующие моменту потери устойчивости оболочек, полученные на основе обработки экспериментов, выполненных на комплексе СН-ЭВМ [3].

В таблице приведены значения материальных параметров р и д аппроксимаций функций (8), используемых при построении кривых 6 для различных процессов пропорционального нагружения.

Зависимость материальных параметров р и q от вида пропорционального

процесса

а1 ,° а і ,° p q

Сталь 45

0 0 1 1

30 0 1 1

60 0 1.8 1.2

90 0 2 1.4

«1,° аі,° p q

Сталь 40Х

0 0 1 1

22 0 1 1

45 0 1.75 0.75

68 0 2.4 1.8

90 0 2.6 2

В результате выполненных расчетов были построены области устойчивых состояний оболочек из сталей 40Х и 45, которые представлены на рис 4. Кружками здесь обозначены экспериментальные точки, треугольниками обозначены теоретические расчеты по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки, прямоугольниками теоретические расчеты с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при функциях пластичности N и йа/йБ, принятых согласно аппроксимациям В.Г. Зубчанинова (8).

Анализ полученных результатов показал, что для траекторий деформирования реализуемых в девиаторной плоскости деформаций Э1 — Э3, существенное влияние сложного нагружения в момент потери устойчивости проявляется при углах а больших 30°, достигая максимума при а = 90° и

•в,

Сталь 4 ОХ

Сталь 45

300

V

200

200

100

100

I \

I \

100 200 300 400 э.

—і---------і---------—

100 200 300 400 %

Рис. 4. Области устойчивых состояний в плоскости 61 — Sз для оболочек

из стали 45 и 40Х

решение задачи необходимо строить, используя аппроксимации (8) для определяющих функций пластичности. При этом отличие экспериментальных и теоретических величин критических напряжений в целом не превышает 10%. С увеличением угла а\ значения материальных параметров р и д, входящих в аппроксимации функций пластичности N и йа/йБ возрастают (таблица). Использование для рассмотренных процессов упрощенных вариантов аппроксимаций определяющих функций пластичности приводит к понижению критических параметров напряжений в сопоставлении с опытными данными. Отличие экспериментальных и теоретических значений критических напряжений, например при чистом кручении (а\ = 90°) может достигать 30%. Полученные результаты характерны как для оболочек, выполненных из стали 40Х, так и для оболочек выполненных, из стали 45. В расчетах для процессов пропорционального комбинированного докритического нагружения величины материальных параметров аппроксимаций (8) в среднем можно принимать: при углах 0сгге ^ а1 ^ 45° р = 1, д = 1 (сталь 45 и 40Х); при 45° ^ а1 ^ 90° для стали 40Х р = 2.5, д = 1.9; для стали 45 р = 1.9, д = 1.3.

1. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности. Тверь: ТГТУ, 2002.

2. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость. М.: Физмат-лит, 2007. 448 с.

3. Зубчанинов В.Г. Экспериментальная пластичность. Книга 1. Процессы сложного деформирования. Тверь: ТГТУ, 2003. 172 с.

Список литературы

300 с.

Охлопков Николай Леонидович, д. т.н., профессор, кафедра сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, Тверской государственный технический университет.

Соколов Сергей Александрович (Elena_S.tv@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, Тверской государственный технический университет.

Bifurcation of the cylindrical shell under complicated loading in the moment of loss of stability

N.L. Okhlopkov, S. A. Sokolov

Abstract. In this article the problem of bifurcation of the thin-walled circular cylindrical shell under compound deformation in the moment of loss of stability is being considered. Undercritical loading is simple. It is full failed by means of axial compressing force, torque moment and ambient pressure in A.A.Ilyushins’s space of deformation Э(3).

Keywords: plasticity, stability, compound loading, simple loading, bifurcation, cylindrical shell.

Okhlopkov Nikolay, doctor of technical sciences, professor, department of strength of materials, theory of elasticity and plasticity, Tver State Technical University.

Sokolov Sergei (Elena_S.tv@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of strength of materials, theory of elasticity and plasticity, Tver State Technical University.

Поступила 08.12.2009