CC BY
6
23. Борзенков C.M., Матвеенко В.П. Оптимизация упругих тел в окрестности особых точек // Изв. РАН МТТ. 1996. № 2. С. 93-100.
24. Fedorov A.Yu., Matveenko V.P. Optimization of geometry and mechanical characteristics of elastic bodies in the vicinity of singular points // Acta Mech. 2018. Vol. 229, No. 2. P. 645-658.
25. Stapleton S.E., Waas A.M., Arnold S.M. Functionally graded adhesives for composite joints. Int. J. Adhes. Adhes., 2012, Vol. 35. P. 36-49.
26. Fedorov A.Yu., Matveenko V.P. Investigation of stress behavior in the vicinity of singular points of elastic bodies made of functionally graded materials // J. Appl. Mech. 2018. Vol. 85, No. 6. P. 061008.
Матвеенко Валерий Павлович, д-р. техн. наук, профессор, академик РАН, [email protected], Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН,
Фёдоров Андрей Юрьевич, канд. физ.-мат. наук, [email protected], Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН
REDUCING STRESS CONCENTRATION BASED ON THE RESULTS OF SINGULAR SOLUTIONS OF ELASTICITY
THEORY
V.P. Matveenko, A.Yu. Fedorov
The paper considers the problems of analyzing and reducing the level of stress concentration in the vicinity of the tip of wedge-shaped notches in elastic bodies and at the edge of the interface of elastic bodies. To analyze the stress state in the zones under consideration, eigensolutions for wedge-shaped bodies are used, in which can have variants with infinite stress, which are singular solutions. These solutions in practical problems, as a rule, determine the presence of zones ofpro-nounced stress concentration. To reduce the level of stress concentration in the vicinity of the tips of the wedge-shaped bodies, a variant offilling the notch cavity with another material was considered; and in the vicinity of the edge of the interface of various bodies, the option of changing the geometry of elastic bodies and the option of using functionally graded materials. The search for options with a minimum level of stress concentration in the considered zones is based on the analysis of eigensolutions of wedge-shaped bodies of the corresponding problems under consideration.
Key words: stress singularity, stress concentration, FE analysis, functionally graded material, wedge-shaped bodies, eigensolutions.
Matveenko Valerii Pavlovich, doctor of technical sciences, professor, academician of RAS, [email protected], Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS,
Fedorov Andrey Yurevich, candidate of physics and mathematics sciences, fedorov@icmm. ru, Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-125-126
ВАРИАНТ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ И ЕГО ИДЕНТИФИКАЦИЯ
А.А. Маркин, М.Ю. Соколова, Д.В. Христич, Ю.В. Астапов
Рассмотрены соотношения модели Генки-Мурнагана нелинейно упругого изотропного тела. Показана возможность их обращения, получены условия обращения и связь между константами упругости и константами податливости второго и третьего порядков. Сформулирована программа экспериментов для определения констант модели в случае несжимаемой среды. Приведены результаты экспериментов.
Ключевые слова: нелинейная упругость, определяющие соотношения, идентификация, индентирование.
Одним из направлений научной деятельности Леонида Александровича Толоконникова являются исследования по нелинейной теории упругости. В своих работах [1-5] Л.А. Толоконников ввел понятия естественных инвариантов конечных деформаций, к которым отнесены относительная объемная деформация, результирующий сдвиг, фаза деформаций. Введены обобщенные модули упругости, представляющие собой совместные инварианты истинных напряжений и тензора формоизменения. Предложенная геометрическая интерпретация характеристик деформации способствует выделению законов изменения объема и изменения формы, изучению взаимного влияния параметров изменения объема и изменения формы тела [1].
В работах [2, 3] указаны условия существования потенциала внутренних сил, в которых фигурируют естественные инварианты напряжений, непосредственно измеряемые в опытах. В диссертации [4] Л.А. Толоконников доказал энергетическую сопряженность тензора напряжений и тензора логарифмических деформаций. Для изотропного тела им предложены варианты упругих потенциалов для случая, когда вводится предположение о совпадении фаз напряжений и деформаций (так называемая четырехконстантная модель изотропной упругости) [1, 4], и для случая, когда при построении соотношений между напряжениями и деформациями такое предположение не используется (пятиконстантная модель изотропной упругости) [6]. Развивается вариант нелинейной теории упругости, в котором фаза напряжений зависит только от фазы формоизменения, а обобщенный модуль сдвига зависит от фазы деформаций [2]. Исключительной особенностью работ Л.А. Толоконникова, касающихся установления связи между
125
напряжениями и конечными деформациями, является рассмотрение частных вариантов соотношений, соответствующих случаям малого изменения объема, либо малого формоизменения, с указанием программ экспериментальной конкретизации этих соотношений. В работах [3, 5] рассмотрена постановка задач о конечных плоских деформациях несжимаемого изотропного тела.
В работе Л.А. Толоконникова и А.А. Маркина [6] для сжимаемых и несжимаемых изотропных тел рассматриваются упругие потенциалы, построенные по неголономной мере конечных деформаций К, введенной в статье [7]. При рассмотрении сжимаемых тел авторы постулируют независимость изменения объема и формоизменения и, как следствие, получают вариант соотношений в виде
£ = ст0Е + ОоК + О1 ^К2 е2Е ^, (1)
где £ - обобщенный тензор истинных напряжений, 1С - девиатор меры деформаций К, сто,Оо,О1 - функции инвариантов деформаций: относительного изменения объема 9 = К -Е, интенсивности формоизменения е = ^/К • -К , фазы формоизменения а, которая определяется из выражения
^3а= |К|/зТбе3 .
В этом варианте соотношений полагалось, что
сто = сто (0), Оо = Оо (е, а), О1 = О1 (е, а). (2)
Наиболее общий вариант соотношений нелинейной упругости рассмотрен в монографии [8], когда учитывалось взаимное влияние процессов изменения объема и формы. В этом случае полагается, что функции сто, Оо, О1 зависят от всех инвариантов деформаций:
сто = сто (9,е,а), Оо = Оо (9,е,а), О1 = О1 (9,е,а). (3)
Для общего варианта соотношений представление упругого потенциала Ш (удельной, отнесенной к начальному объему, потенциальной энергии деформаций) имеет вид
Ш = сто9 +1 Оое2 +-°= е3^3а. (4)
2 3\/6
Из соотношения (4) следует, что функции сто, Оо, О1 могут быть найдены из следующей системы уравнений:
дШ
сто = ,
д9 (5)
1 О дШ О1 2 3
—Оое =---т^е cos3а,
Ро де л/6
От =
—ч/б дШ
1 e3sin3а да
Из существования упругого потенциала следуют следующие условия совместности для функций ст0, О1:
Э^Ш ^ ^дсто =дОо£ + -^2^, (6)
д9де дед9 де д9 -46 д9
= ^дсто 1^т3а, (7)
д9да дад9 да -у/6 д9
д2Ш д2Ш дОое 1 дО 2 „ 1 дО 3 . „ (8) -=-^—— + —¡= —1 е cos3а —1 е sin3а■ ^
деда даде да у]6 да ^6 де
Будем рассматривать процессы, в которых главные оси деформаций совпадают с одними и теми же материальными волокнами. В этом случае неголономная мера деформаций К совпадает с тензором логарифмических деформаций Генки Г [6, 7]. В работе [9] был предложен вариант соотношений Генки-Мурнагана, который может быть получен из соотношений (1)
£ = стоЕ + ОоГ + О1 [ Г2 — 31= е2Е ^, (9)
если функции сто, Оо, О1 конкретизировать соотношениями
сто = К9 + ^92 + ^е2, Оо = 2О + ^0, О1 = cз, (1о)
где К, О, ¿1, С2, С3 - константы модели.
Отметим, что функции (1о) удовлетворяют условиям совместности (7)-(8). Соответствующее модели (9), (1о) представление упругого потенциала через естественные инварианты деформаций имеет вид
У =1К е2 + Ое2 +1 2 6
( -Хе3 + ^ее2 + 12с3е3 С083а^
(11)
Зл/Э л/э 4 3
В работе [9] было показано, что упругий потенциал (11), записанный через алгебраические инварианты тензора деформаций Г, по форме совпадает с упругим потенциалом Мурнагана [10]. Это позволяет связать константы модели (9), (10) с константами Мурнагана /, т, п. Входящие в соотношения (10), (11) константы второго
порядка К - модуль объемной упругости материала, О - модуль сдвига. Константы третьего порядка С1, С2, С3
связаны с постоянными Мурнагана соотношениями
С = 6^/3/ + 2п / л/3, С2 = 6л/3т — >/3п, сз = п
и имеют ясный физический смысл: константа с учитывает изменение объема второго порядка малости и может быть определена из опыта на всестороннее сжатие; константа с2 позволяет учесть дилатационные явления в материале: появление гидростатического напряжения при чистом формоизменении; константа С3 позволяет учесть отклонение фазы напряжений от фазы деформаций.
В работе [10] отмечается, что в общем случае обращение нелинейных соотношений (9) невозможно. Соотношения нелинейной модели (9), (10) в определенном диапазоне деформаций допускают обращение. Это связано с тем, что для потенциала напряжений W (Г) (11) в качестве производящей функции обратного преобразования может быть использован потенциал деформаций V (2), связанный с W (Г) соотношением
V (Е) = W (Г) - Г. (12)
Условия обратимости соотношений (9) были получены в статье [11] и имеют вид:
а 2у а ^ = — 1IV, (аУ • ,а 2у а 2у а У а3у = (13)
аГ2 аЕ2
уаГ3 ( • • }аЕ 2У
аЕ2 аГ2 аЕ3
где I^ - единичный тензор четвертого ранга, знаком ( • ^ обозначена свертка левой диады тензора четвертого ран-
а^ а3у
га ^ у с внутренней диадой тензора шестого ранга ^ " .
аЕ2 аГ3
Представление потенциала деформаций V(Е) через естественные инварианты тензора напряжений
|Е|
ст = Е"Е, т=д/ЕЕ • • ЕЕ , 008 3у =
^л/б-
имеет вид:
X
V =14ст2 + А2х2 +1 2 6
^ й 3 й-? 2 /2, 3 —т=ст + —р^стх + ,/—а3х 0083у
^л/3 73 \3 3 '
(14)
где А\,А2, йъй2,й3 - константы модели.
Связь между константами, входящими в потенциал (14), и константами, входящими в потенциал (11), была получена в работе [11] на основании условий (13) и имеет вид:
—1 —1 3 2 3
А1 = к , а2 = о , а1 = — А{ с1, а2 = — А1А2 с2, а3 = —а2 с3 .
Свойства неголономной меры деформаций К и тензора логарифмических деформаций Генки Г позволяют достаточно просто записать потенциал (11) для несжимаемого материала, положив равным нулю относительное изменение объема е = 0:
2 13 У = Ое +--¡= с3е 0083а'
3^6 3
тогда в случае несжимаемого материала связь между напряжениями и деформациями принимает вид
Е = —рЕ + 2ОГ + с3 ^ Г2 —3^ е2Е ^, (15)
где р - гидростатическое давление.
Соотношения (15) содержат только две константы О и С3, определить которые требуется из экспериментов. В работах [12, 13] было предложено для идентификации модели (15) использовать данные экспериментов по неоднородному деформированию образцов из резиноподобных материалов. Была разработана конечно-элементная модель и программный комплекс для моделирования процесса индентирования цилиндрических образцов. Схема процесса взаимодействия сферического индентора с цилиндрическим образцом представлена на рис. 1. В качестве интегральной характеристики процесса индентирования рассматривалась зависимость усилия на штоке индентора Р от глубины внедрения Б.
Для идентификации модели разработан стенд кинематического нагружения [14], позволяющий проводить опыты по одноосному сжатию и индентированию цилиндрических образцов из мягких материалов. Была проведена серия экспериментов, основным результатом которой являются кривые индентирования, представленные на рис. 2 для материала Силагерм 2111.
На рис. 2 наряду с данными экспериментов приведены результаты расчетов, проведенных на основе моделей Генки-Мурнагана (соотношения (15)) и модели Генки (соотношения (15) при С3 = 0).
Разработанная математическая модель процесса индентирования и полученные результаты экспериментов позволили решить обратную задачу, состоящую в определении значений констант модели по результатам экспериментов. Для этого была разработана итерационная процедура определения упругих констант из экспериментов по неоднородному деформированию. В этом случае идентификация материала Генки-Мурнагана (15) сводится к отысканию значений параметров модели jО, cg J , доставляющих минимум суммарному среднеквадратичному отклонению расчетных значений усилий P? от средних значений ' П0ЛУченных из эксперимента:
А = £(Pf -(Pe),)2 ^min. (16)
Р,|Н1
о/
о lKtiiCfinMCHT, R = Змм —модель Генкл-Мурнагана
-мож 1Ь J сньгм
D/R
Рис. 2. Зависимость осевого усилия Р от величины относительной осадки Б/Я при индентировании сферой Я=3мм
Необходимые условия минимума суммы (16) принимают следующий вид:
— = 2II P-(P
дО ¿1 г V
= 2II P-(P<
dc3 г=11
dPs P = 0, дО
dPs P = 0.
(17)
ч ; дс3
Используя разрешающие уравнения метода конечных элементов [12] и тот факт, что константы G и С3 линейно входят в определяющие соотношения (15), а также предположив, что в случае задания на границе гранич-
зависят от производных поля скоростей ^у^ ] по
дР5 дР5
ных условий кинематического типа величины 1 и 1 не
дG дсз
параметрам модели G, С3 , получаем условие минимума (16) в виде квазилинейной системы уравнений относительно неизвестных констант G и С3 , которая может быть решена с использованием итерационной процедуры. Критерием сходимости итерационной процедуры является выполнение неравенства Д — Дк ^ где ^ - требуемая
величина относительной погрешности, к - номер итерации. Исследовалась сходимость построенной для определения упругих констант вычислительной процедуры. Показано, что использование 12 итераций обеспечивает определение значений констант модели с погрешностью, не превышающей 3%.
128
Таким образом, предложена модель нелинейно упругого изотропного материала, построенная без привлечения гипотез о совпадении фаз деформаций и напряжений. Предложенный вариант нелинейных соотношений допускает обращение при выполнении сформулированных условий. Проведена экспериментальная конкретизация модели с помощью опытов по индентированию цилиндрических образцов из мягких тканей.
Работа выполнена при поддержке госзадания Минобрнауки РФ (шифр FEWG-2023-0002).
Список литературы
1. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. Т. XX. В. 3. С. 439-444.
2. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // ПММ. 1957. Т. XXI. В. 6. С. 815-822.
3. Толоконников Л.А. Плоская деформация несжимаемого материала // Докл. АН СССР. 1958. Т. 119. № 6. С. 1124-1126.
4. Толоконников Л.А. Некоторые вопросы нелинейной теории упругости: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула, 1958. 204 с.
5. Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала // ПММ. 1959. Т. XXIII.
B. 1. С. 146-158.
6. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела / Межвуз. сб. науч. тр. / Калинин. политехи. ин-т. Калинин: КГУ, 1986.
C. 40-57.
7. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // Известия СевероКавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. № 2. С. 49-53.
8. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
9. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант соотношений нелинейной упругости // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 6. С. 68-75.
10. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.
11. Соколова М.Ю., Христич Д.В., Артюх Е.В. Обращение связи между напряжениями и деформациями в модели Мурнагана // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 3 (53). С. 52-62.
12. Markin A., Sokolova M., Khristich D., Аstapov Y. The physically nonlinear model of an elastic material and its identification // International Journal of Applied Mechanics. 2019. Vol. 11. No. 7. 1950064.
13. Аstapov Y., Markin A., Sokolova M., Khristich D. Concretization of nonlinear constitutive relations by results of uniaxial compression and indentation experiments // Journal of Physics: Conference Series. 2021. 1902(1). 012002.
14. Астапов Ю.В., Христич Д.В. Экспериментальное определение параметров нелинейно-упругой модели Генки // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов Международной научной конференции. Воронеж. 2019. С. 1018-1021.
Маркин Алексей Александрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Соколова Марина Юрьевна, д-р физ.-мат. наук, доцент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Христич Дмитрий Викторович, д-р физ.-мат. наук, доцент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Астапов Юрий Владимирович, канд. физ.-мат. наук, [email protected], Россия, Тула, ООО «Модем-
техно»
A VARIANT OF NONLINEAR ELASTICITY RELATIONS AND ITS IDENTIFICATION A.A. Markin, M.Yu. Sokolova, D.V. Khristich, Yu.V. Аstapov
The relations of the Hencky-Murnaghan model of a nonlinearly elastic isotropic body are considered. The possibility of their reversal is shown, the conditions of reversal and the relationship between the constants of elasticity and the constants of compliance of the second and third orders are obtained. A program of experiments is formulated to determine the constants of the model in the case of an incompressible medium. The results of experiments are presented.
Key words: nonlinear elasticity, constitutive relations, identification, indentation.
Markin Alexey Alexandrovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Sokolova Marina Yuryevna, doctor of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Khristich Dmitrii Viktorovich, doctor of physical and mathematical sciences, docent, dmitrykhris-tich@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Astapov Yuri Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, [email protected]. Russia, Tula, LLC «Modem-techno»
УДК 621.833
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-130-131
О ЕДИНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ КРИВЫХ УСТАЛОСТИ РАЗНЫХ МАСШТАБНО-СТРУКТУРНЫХ УРОВНЕЙ ПРИ МНОГО- И ГИГАЦИКЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Э.Б. Завойчинская, А.Р. Каблин
Обсуждается существование единой непрерывной кривой усталости заданной вероятности разрушения по определенному уровню дефектности в областях много- и гигациклового нагружения при данной частоте, температуре и асимметрии цикла, и, возможно, различных механизмах развития разрушения. Представляются результаты анализа известных теоретических и экспериментальных исследований развития усталостного разрушения при осевых нагружениях и сдвиге. Проводится анализ опытных данных для металлов и сплавов с зависящими и не зависящимися от частоты нагружения усталостными свойствами.
Ключевые слова: многоцикловая и гигацикловая усталость, микроразрушение, макроразрушение, частота нагружения.
Анализ опытных данных по много- (в среднем, Nf е(104,106) циклов до макроразрушения) и гигацикловой (в среднем, Nf е(106,1011) циклов) усталости металлов и сплавов [1 - 21] выявил возможное наличие разных физических механизмов развития процесса. По первому механизму в многоцикловой области на микроуровне одновременно возможно развитие двух процессов [1 - 7, 9 - 12]: образование микротрещин на поверхности тела (хрупкое микроразрушение) и зарождение и развитие дислокаций по механизмам скольжения и двойникования с формированием сетчатой субструктуры и плоскостей скольжения (неупругое деформирование и вязкое микроразрушение пластичных материалов) которые реализуются с разной вероятностью. На мезоуровне в результате слияний микродефектов происходит зарождение, развитие и слияние мезотрещин, в среднем, размера зерна (хрупкое мезоразрушение), и развитие сетчатой субструктуры ведет к движению ансамблей зерен и эволюции пористости с формированием ямочного рельефа с каскадом ступенек. На макроуровне происходят слияния мезотрещин с образованием и развитием макротрещин, ведущие к хрупкому макроразрушению по механизмам транскристаллитного или межзеренного скола, и слияния пор с образованием шейки или излома чашечного строения с усталостными бороздками. В этой области величина неупругих деформаций не превышает упругих деформаций, и неупругие деформации сдерживают рост хрупкой трещины. При этом большую часть долговечности, до 90%, занимает развитие микро- и мезоразрушения до образования макротрещины.
В гигацикловой области наблюдается второй механизм развития усталостного разрушения [3 - 6, 9 - 21], характеризующийся зарождением микротрещин в обьеме тела от геометрических концентраторов структуры: в матрице, на границах зерен, от включений и др., с формированием области мелкогранулированной зернистой мезо-структуры «рыбий глаз» и образованием фасеток микроскола, как представлено на рис.1 для сталей класса JIS-SCM440 (по опытным данные Y. Furuya, S. Matsuoka [21]). H. Mayer с коллегами [16], T. Sakai [17] и др. этот механизм связывают со скоплением водорода в микропустотах между включением и матрицей (водородным охрупчива-нием), наличием технологического упрочнения поверхности и дополнительного упрочнения в процессе нагружения, с различными коэффициентами температурного расширения включений и матрицы. Он наблюдается у железа; низкоуглеродистых, нержавеющих, подшипниковых, пружинных сталей; титановых и никелевых сплавов. Отметим, что в гигацикловой области как при осевом нагружении, так и при кручении, возможен первый механизм хрупкого микроразрушения с поверхности тела в том случае, когда поверхность опережает внутренние объемы по накоплению микродефектов, например, как у литых Al-Si сталей (у таких материалов, как правило, не обнаруживается предела выносливости). С. Bathias с сотр. [14,20] в области гигацикловой усталости некоторых сталей, алюминиевых и магниевых сплавов «рыбьих глаз» не наблюдали. При втором механизме до 99% долговечности занимает образование мезодефектов (см, например, работы T. Sakai [17]), скорость развития которых в обьеме тела существенно ниже скорости развития на поверхности. H. Mugrabi [22] привел многочисленные доказательства того, что большая часть долговечности -это развитие разрушения до линий Френча, при долговечностях, в среднем, Nf>106 циклов. Макроразрушение, как правило, развивается на поверхности тела. Для сталей класса JIS-SCM440 (рис.1), как и для некоторых других материалов, в многоцикловой области также наблюдается образования очага разрушения в обьеме тела.
В результате анализа можно сделать вывод, что во многих случаях первый механизм реализуется в многоцикловой, а второй - в гигацикловой областях. При этом оба механизма могут реализоваться как в области много-, так и в области гигацикловой усталости. Реализация того или иного механизма определяется «структурой материала и условиями нагружения, в первую очередь скоростью, т.е. частотой нагружения, температурой испытания, средой, асимметрией нагружения» [2].
Кривые много- и гигацикловой усталости по уровням дефектности (на микро-, мезо- и макроуровнях [10,12,24]) при одночастотном одноосном нагружении или сдвиге с асимметрией цикла описываются функциями четырех независимых переменных вида: amax*= Omca*(v,N,T,R), где Omax* - предельное максимальное напряжение, v -частота нагружения, N- число циклов, T - температура и R - асимметрия цикла. Проведенный анализ большого обь-ема известных результатов ([3,5, 6, 15, 25 - 33]) позволяет считать частоту нагружения v независимой переменной. Влияние частоты (или скорости нагружения) в общем случае, по-видимому, не является эффектом разогрева образца (при экспериментальном исследовании особое внимание уделяется (воздушному или водяному) охлаждению образцов и в условиях охлаждения наблюдается зависимость от частоты). При этом по зависимости усталостного поведения от температуры можно делать выводы о зависимости от частоты нагружения [2].
130
