CC BY
8
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-116-117
СНИЖЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ РЕЗУЛЬТАТОВ СИНГУЛЯРНЫХ
РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В.П. Матвеенко, А.Ю. Фёдоров
В работе рассмотрены задачи анализа и снижения уровня концентрации напряжений в окрестности вершины клиновидных надрезов в упругих телах и на краю поверхности соединения упругих тел. Для анализа напряжённого состояния в рассматриваемых зонах используются собственные решения для клиновидных тел, в которых могут иметь варианты с бесконечными значениями напряжений, являющиеся сингулярными решениями. Эти решения в практических задачах, как правило, определяют наличие зон ярко выраженной концентрации напряжений. Для снижения уровня концентрации напряжений: в окрестности вершин клиновидных тел рассмотрен вариант заполнения полости надреза другим материалом; а в окрестности края поверхности соединения различных тел вариант изменения геометрии упругих тел и вариант использования функционально-градиентных материалов. Поиск вариантов с минимальным уровнем концентрации напряжений в рассмотренных зонах основан на анализе собственных решений клиновидных тел соответствующих рассматриваемых задач.
Ключевые слова: сингулярность напряжений, концентрация напряжений, конечно-элементный анализ, функционально-градиентный материал, клиновидные тела, собственные решения.
1. Введение. В классической теории упругости имеют место сингулярные решения с бесконечными значениями напряжений в особых точках, к которым относятся точки нарушения гладкости внешней поверхности, точки смена типа граничных условий, края поверхности соединения различные материалов. Задачам построения сингулярных решений посвящены многочисленные работы, которые достаточно полно отражены в ряде обзоров [1-7]. Среди них следует выделить обзор Синклера в двух частях [1, 2], в котором всесторонне рассматриваются различные типы сингулярных решений, характерные для линейной теории упругости. Обзорные статьи [3, 4] ограничены обсуждением исследований сингулярности напряжений, возникающих на краях поверхности соединения различных материалов. В обзоре [5] описаны примеры, демонстрирующие возможности применения сингулярных интегральных уравнений для смешанных краевых задач механики трещин и контактных взаимодействий. Работа [6] сосредоточена на публикациях, посвященных анализу сингулярных напряжений вблизи вершин однородных и составных клиновидных областей, а [7] представляет собой краткий обзор публикаций с анализом пространственных эффектов вблизи вершин трещин и острых надрезов. Сингулярные решения, наряду с их теоретическим значением, имеют важные практические приложения, которые опираются на зависимость сингулярности напряжений от геометрии и механических характеристик материалов в окрестности особых точек. В ряде работ, в том числе в [8-12], теоретически и экспериментально показано, что отсутствие концентрации напряжений в окрестности особых точек связано с их несингулярным поведением.
В настоящей работе приведены примеры практических приложений сингулярных решений, связанные с устранением или снижением концентрации напряжений в окрестности особых точек.
2. Концентрация напряжений в вершине V-образного надреза при его полном и неполном заполнении материалом. Окрестность вершины V-образных надрезов, как правило, является зоной сильной концентрации напряжений. Один из способов уменьшения уровня концентрации напряжений заключается в заполнении полости надреза каким-либо материалом. Этот способ применяется в стоматологии [13], строительстве [14], горных выработках [15] и других областях. Одним из основных требований к материалу, заполняющему V-образный надрез, является обеспечение им минимального уровня напряжений у вершины надреза. Для анализа напряжённого состояния в окрестности вершины надреза используются результаты решения задачи для замкнутого составного клина (рис. 1а). Поведение напряжений в окрестности вершины плоского составного клина определяется комбинацией собственных решений, которые в подобластях i = 1,2 имеют вид [16]
uk = r Xk е (ф); <=r Xk с (ф), 0)
где k = 1,2,3,..., Xk - собственные значения, ^ , ^ф' - собственные функции, uk, иф' - перемещения в полярной системе координат, r - расстояние от вершины клина. Наличие в спектре собственных значений Xk, удовлетворяющих условию Re X < 1, будет определять сингулярное поведение напряжений в окрестности вершины составного клина.
Наряду с особыми точками в двумерных задачах для практических приложений представляют интерес особые линии в трёхмерных задачах (синяя линия на рис. 1б). В работе [17] было показано, что поведение напряжений в окрестности точек особых линий определяется результатами решений задач о плоско-деформированном состоянии и антиплоской деформации для двумерного клина в плоскости перпендикулярной к особой линии в соответствующей точке.
Собственные значения могут быть найдены из следующего трансцендентного уравнения [18, 19] ((1 + р)2 sin2 pj1 - p2 (р - a) sin2 j1)((1 - р)2 sin2 pj2 -(p - а)2 p2 sin2 j2) +
+ (1 - a2 )sin2 p(% -j1) x|2p2 (p- a)2 sin2 j1 + +2(1 -p)2sinpj1 sinpj2 -(1 -a2)sin2p(n-j1)] = 0.
Здесь р = 1 — X ; у1 и у - углы раствора частей клина; а = Г(к1 +1) (к2 +1) , о = Г(к1 1) (К2 1) -
Г(к1 + 1) + (к 2 +1) Г(к1 + 1) + (к2 +1)
комбинированные параметры упругих постоянных материалов (параметры Дандерса) [20], при этом к.. = 3 — при плоско-деформированном состоянии (ПДС), к.. =(3 — V.)/(1 + V;) при плоско-напряжённом состоянии (ПНС), Г = 02/G1, где О. = Е^2 (1 + Vi) , V i, О - коэффициенты Пуассона и модули сдвига, . = 1, 2. Так как у1 + у 2 = 2 л, из соотношения (2) следует, что собственные значения зависят только от величины одного из углов и механических характеристик материалов v1, V2, О2/О1.
На основе уравнения (2) в области параметров у1 (у2 = 2л — у1), v1, V2, О2/О1 могут быть построены подобласти параметров, при которых имеются или отсутствуют сингулярные решения, и определена граница между этими подобластями, которая соответствует собственным значениям с Re Х1 = 1 (Re Xк < Re Xк+1). Анализ собственных значений [15, 21] позволяет выявить важный для практических приложений результат. Для симметричного относительно биссектрисы угла у1 напряжённого состояния при слабосжимаемых заполняющих
материалах имеются диапазоны значений у1, при которых сингулярность напряжений отсутствует. В табл. 1 эти диапазоны представлены для некоторых комбинаций v1 и v2, и различных отношений Е2/Е1 .
Таблица 1
Диапазоны значений угла у1, при которых отсутствует сингулярность напряжений в случае V2 = 0,3
при v1 = 0,49, 0,499, 0,4999 и 0,5
Е2/Е v1 = 0,49 v1 = 0,499 v1 = 0,4999 < II 5
10 0-61,12° 0-59,05° 0-58,83° 0-58,81°
100 0° 0-32,83° 0-32,04° 0-31,95°
1000 0° 0° 0-15,93° 0-15,71°
10000 0° 0° 0° 0-7,44°
В качестве примера устранения концентрации напряжений в окрестности вершины надреза при его заполнении другим материалом рассмотрено растяжение пластин с надрезами на боковых гранях (рис. 2). Пластина имеет размеры Ь/а = 4, //а = 0,1, угол раскрытия надреза 5°, коэффициент Пуассона материала пластины
V2 = 0,3 . Расчёты проводились методом конечных элементов (МКЭ). Устранение концентрации напряжений обеспечивается использованием заполняющего материала с механическими характеристиками, при которых для соответствующего составного клина отсутствуют сингулярные решения. На рис. 3 приведено распределение напряжений Ф в среднем по высоте сечении пластины для случаев: надрез не заполнен, надрез заполнен материалом. Здесь Г -
расстояние от вершины надреза. В представленных примерах минимальные собственные значения Яе Х1 = 1. Таким
образом, приведенные результаты демонстрируют, что заполнение полости материалами со специально выбранными свойствами устраняет область ярко выраженной концентрации напряжений.
В практических приложениях технологически крайне сложно полностью заполнить надрез с малым углом раскрытия другим материалом. При наличии полости в окрестности его вершины сингулярность напряжений сохраняется при любых заполняющих материалах. Несмотря на это, заполнение полостей материалом остаётся эффективным приёмом снижения концентрации напряжений. Численное моделирование позволяет дать количественную оценку результату заполнения полости материалом. При малых расстояниях Г от вершины надреза в распределении напряжений доминирует сингулярный член, тогда
а ~ А1 г
X;—1
или
к^ с = к^ А +(А -1) ^ г .
(3)
\ t t ! \ t
I I и* * *
Рис. 2. Расчётная схема пластины, имеющей на боковых поверхностях У-образные надрезы с углом раствора
О 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 х!а
О 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 х!а
10 10" КГ 10" а
1<Г 10"'
10' 105 10' 103 10г 10 1 На
Рис. 3. Распределения напряжений с^с0 в среднем по высоте сечении пластины в линейных
и логарифмических осях с незаполненным У-образным надрезом (штриховые линии), с У-образным надрезом, заполненным материалом (сплошныелинии): (а) -Е2/Е1 = 10, У1 = 0,4825; (б) - Е2/Е1 = 1000,
у1 = 0,4998
Процедура МКЭ со сгущающимися к особым точкам сетками конечных элементов при известном значении позволяет получить зависимость (3) и найти константу Д , называемую коэффициентом интенсивности сингулярности.
В качестве примера для пластины, определённой на рис. 2, рассмотрим вариант неполного заполнения V-образного надреза материалом (рис. 4). Степень заполнения будет определяться параметром 5а = djl • 100%. На
рис. 5 для трёх вариантов заполняющего материала приведены распределения напряжений с в среднем сечении
пластины.
й 1 /
0>
Рис. 4. Окрестность У-образного надреза, заполненного материалом не полностью
118
О,/Сто 10;
10"
10°
Й,,- 100% 8, = 50% 8„= 10% 1%
5,j = 100% 84 = 50% 5,,= 10% 1%
Ю-6 10 ! 10J 10 ' 10" 10 1 ría 10"" ICf5 10"J Ю"3 10": 10"' ría 10"fi 10"' 10"J 10"' 10"" 10"' ría а б в
Рис. 5. Распределения напряжений сyjс0 в логарифмических осях в среднем по высоте пластины сечении
при различных значениях 5d, %: 1 (кривая 1), 10 (2), 50 (3), 100 (4); (а) - E2j Ех = 10, Vj = 0,4825;
(б) - EjEj = 100, v1 = 0,4983; (в) - EjEj = 1000, v1 = 0,4998
Приведённые на рис. 5 кривые в диапазоне 1,7 -10 6 < rja < 5 • 105 включают наклонные прямолинейные участки, описываемые зависимостью (3). Участки имеют одинаковый наклон, определяемый, согласно (3), параметром X. Для угла раствора ш = 5°, согласно трансцендентному уравнению (2), X1 = 0,500007 . Показатель сингулярности напряжений, найденный на основе МКЭ, X1 = 0,501. С помощью зависимости (3) можно найти значения коэффициента A1. На рис. 6 представлены зависимости коэффициента A1 от параметра 5d. Результаты демонстрируют,
что при неполном заполнении материалом V-образного надреза и сохранении сингулярности напряжений величина интенсивности сингулярности существенно уменьшается при всех отношениях E2j E1 из рассмотренного диапазона (от 10 до 1000).
10 20 30 40 6А%
Рис. 6. Зависимость коэффициента интенсивности сингулярности А^а0 от степени неполного заполнения 5а надреза с углом ю = 5°: Е2/Е1 = 10, v1 = 0,4825 (кривая 1); Е2/Е1 = 100, v1 = 0,4983 (2); Е2/Е = 1000, v1 = 0,4998 (3); без заполнения 5а = 100% (4)
Проанализировано напряжённое состояние вблизи вершины V-образного надреза материалом при его неполном заполнении с механическими характеристиками, при которых и при полном заполнении сингулярность напряжений не устраняется. На рис. 7 представлены распределения напряжений а в среднем по высоте сечении
для пластины из материала с коэффициентом Пуассона V2 = 0,3 и V-образным надрезом в случае его неполного заполнения у вершины при различных значениях параметра 5а . Рис. 8 содержит зависимости коэффициента А1 от параметра 5 ..
V°o
Ю2
10'
10"
8¿= 100% 8„ - 50% 6j= 10% 6,,= 1%
CTj./do
LO*
Ю1
LO"
8,= 100% 50% .
10%
\>-s4\ 5,= 1%
■
íor" I0"s 10"4 10 ' 10 3 10 1 ría 10 * I0_s 101 103 lO-1 10 1 ría
a 6
Рис. 7. Распределения напряжений с jс0 в логарифмических осях в среднем по высоте пластины сечении
при различных значениях 5d, %: 1 (кривая 1), 10 (2), 50 (3), 100 (4); (а) - E2j E1 = 10, V1 = 0,45;
(б) - E2¡E1 = 100, v1 = 0,45
О 10 20 30 40 8Л% Рис. 8. Зависимость коэффициента интенсивности сингулярности А^С0 от степени неполного заполнения
5а надреза с углом раствора ю = 5°: Е2/Е1 = 10, у1 = 0,45 (кривая 1); Е2/Е1 = 100, у1 = 0,45 (2);
Е2/Е1 = 1000, у1 = 0,45 (3); 5й = 100% (4)
Приведённые результаты демонстрируют, что при неполном заполнении V-образного надреза материалом, не устраняющим сингулярность напряжений, также удаётся существенно уменьшить величину коэффициента интенсивности сингулярности.
3. Концентрация напряжений на краях поверхности сопряжения различных упругих тел. Многочисленные результаты численных и экспериментальных исследований, практический опыт свидетельствуют, что окрестность края поверхности сопряжения различных тел, как правило, является зоной ярко выраженной концентрации напряжений. В рамках теории упругости наличие этой концентрации объясняется сингулярным поведением напряжений в окрестности особой точки, которой в данном случае является край поверхности соединения материалов. Сингулярное поведение напряжений для данного типа особых точек описывается решениями для составного клина [21] (рис. 9), углы которого определяются касательными в особой точке к поверхностям материалов и поверхности их соединения.
Рис. 9. Край соединения двух различных тел и соответствующий составной клин
Собственные решения, позволяющие оценить характер поведения напряжений в окрестности особых точек, для составного клина имеют вид (1).
Построение собственных решений приводится в многочисленных работах [16, 19], в том числе также приводится трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений.
4((1 + р)sin2pji -p2(р-a)sin2Yi)((1 -p)sin2py2 + p2(p-a)sin2y2) -
-(1 -a)2(sin2pY1 -p2sin2y1 )-(1 + a)2(sin2py2 -p2sin2y2)- (4)
-2(1 - a2) (sin pY1 sin py2 cos p (y2 - Y1)- p2 sin Y1 sin y2 cos (y2 + Y1 )) = 0.
Собственные значения зависят от углов y1, Y2 и механических характеристик материалов v1, V2, G2/G1 - Трансцендентное уравнение позволяет получить собственные значения Xk и определить области значений параметров y1, Y2, V1, V2, G2jG1, при которых имеются или отсутствуют решения с сингулярностью напряжений.
С точки зрения отсутствия ярко выраженной концентрации напряжений в окрестности края поверхности соединения различных материалов представляют интерес варианты со значениями углов y1, Y2 и механических характеристик материалов, обеспечивающими решения без сингулярности напряжений [8-12]. В работах [22-24] было показано, что минимальный уровень напряжений имеет место при значениях углов y1, Y 2 и упругих характеристик материалов, определяющих границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Для демонстрации этого условия приводятся результаты решения задачи о растяжении скреплённых пластин из различных материалов при плоско-деформированном состоянии (рис. 10). Размеры пластины характеризуются соотношением h/l = 2 . Пластина A выполнена из алюминия с модулем упругости EA = 70 ГПа и коэффициентом Пуассона VA = 0,34. Целью численных экспериментов является анализ напряжений q на поверхности скрепления
материалов A и B при различных значениях упругих постоянных материала B. Для рассматриваемой задачи точки P являются особыми. Уравнение (4) позволяет определить области параметров vB, EB, при которых имеются или отсутствуют сингулярные решения.
А
I" Г я
О
В
21
1
»СТо
./ УуН 1
.......
Рис. 10. Соединение пластин А и В из разных материалов
В рассматриваемом варианте (рис. 10а) в уравнении (4) у1 =у 2 = л/2, Е1 = ЕА = 70ГПа, V1 = V А = 0,34. При заданных углах у у 2 и свойствах материала А, характер поведения напряжений в окрестности особых точек будет определяться значениями упругих постоянных Е2 = Ев, V2 = Vв . На рис. 11а представлены кривые в области параметров Е2 , v2, разделяющие решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Здесь зелёноватые области определяют параметры, при которых в окрестности особой точки Р имеют место решения с сингулярностью напряжений, а белые области — без сингулярности напряжений. На рис. 12 приведены распределения напряжений а по поверхности соединения материалов при значениях упругих постоянных приводящих к решениям с сингулярностью напряжений (точки 1, 2 на рис. 11а), без сингулярности напряжений (точки 3, 4 на рис. 11а) и на границе решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений (точки 5, 6 на рис. 11а). Эти результаты демонстрируют, что при параметрах, определяющих границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений, концентрация напряжений в окрестности особой точки устраняется. Следует отметить, что в рассмотренном примере при параметрах, определяющих решения без сингулярности напряжений, максимальный уровень напряжений на поверхности контакта практически не отличается от максимального уровня напряжений на поверхности контакта при параметрах, определяющих границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений.
150
я 125
=
ь
£ 75
50
2
25
0
о 2
Репзенпя с
сингулярностью напряжений
9/
У* Л 4 / о
А -- И<> без 3^ сингулярности /От-
1 ¡апрйжсний/ решения с
у'5 сингулярностью
напряжении
О,) 0,2 0,3 0,4 К;' ; ;ч|.)01"" ! |уассона V
180 150 120
Э
Е- 90
¡1
Решения с
сингулярностью
нанрмженнн
2 3 I 1
Решения без
сингулярности напряжений
О 30 60 90 ¡20 150 1ЯО й [ПраД]
Рис. 11. Кривые, разделяющие решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений в области параметров Е2, V2 (а), и у1, у2 (б)
1,25
0,75
1,25
0,75
1Д5
ь;
Ь'
0,75
0,2 0,4 0,6 0.8 I 0 1,25 !
0,75
1.25
0,75
Л
Г00
0,2 0.4 0,6 0,8
хП
0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1,25 1
0,75
0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,2 0.4 0,6 0,8 зЛ
I
0,2 0,4 0,6 0,8 х!1
Рис. 12. Распределение отрывных напряжений а /а0 вдоль поверхности соединения материалов при значениях Е2 и v2, соответствующих различным точкам на рис. 11а (а - 1, б - 2, в - 3, г - 4, д - 5, е - 6)
121
В следующем примере механические характеристики материалов А и В остаются неизменными: Е1 = ЕА = 70ГПа, у1 = VА = 0,34, Е2 = ЕВ = 20МПа, у2 =УВ = 0,45 и характер поведения напряжений в окрестности особых точек будет определяться величинами углов у1 = у и у 2 = у (рис. 106). На рис. 116 в области параметров у1 и у2 представлены кривые, которые при заданных значениях ЕА, V А , ЕВ, V В разделяют решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений. Рассматриваются варианты с выточками боковой поверхности материала В, обеспечивающими различные величины угла у2 = у . Геометрия этой выточки представляет дугу
окружности. Такой вариант геометрии является наиболее технологичным при практической реализации методики, обеспечивающей наименьшие максимальные напряжения на поверхности соединения двух материалов. Радиус и центр этой окружности выбирается таким образом, чтобы обеспечить необходимую величину угла у2 и глубину
выточки й (рис. 106). На рис. 13 приведены распределения напряжений & по поверхности соединения материалов
при углах, приводящих к решениям с сингулярностью напряжений (точка 1 на рис. 116), без сингулярности напряжений (точка 2 на рис. 116) и на границе решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений (точка 3 на рис. 116). На этом же рисунке показаны соответствующие геометрии боковых поверхностей пластин. В этих вариантах геометрии выточек, обеспечивают различные значения углов у2 при одной глубине выточки = 0.05 . Приведённый пример демонстрирует, что вариант с параметрами, определяющими границу решений сингулярностью и без сингулярности напряжений, обеспечивает существенно меньший уровень напряжений на поверхности соединения материалов по сравнению с другими вариантами.
0 0,2 0.4 0.6 0,8
хП
0.2 0.4 0,6 ад
хП
0,2 0,4 0.6 0.8 хИ
I
Рис. 13. Распределение отрывных напряжений & вдоль поверхности соединения материалов при значениях у 2, соответствующих различным точкам на рис. 5б (а - 1, б - 2, в - 3) и соответствующие геометрии
боковых поверхностей пластин
Приведенные на рис. 12, 13 распределения напряжений позволяют в определённой мере объяснить результат из [24], определяющий общее свойство вариантов с минимальным уровнем максимальных напряжений на поверхности контакта материалов. При параметрах, определяющих границу решений с сингулярностью и без сингулярности напряжений, напряжения в особой точке имеют конечные значения, а в окрестности особой точки обеспечивается наиболее однородное распределение отрывных напряжений. Это приводит к более равномерному распределению напряжений по поверхности контакта и как следствие к снижению максимальных напряжений. Приведённые численные результаты демонстрируют, что варианты с параметрами, определяющими границу между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений, обеспечивают в сравнении с другими вариантами минимальное значение максимальных напряжений. Вместе с тем следует отметить, что в некоторых вариантах данный результат проявляется ярко, а в некоторых вариантах с практической точки зрения он сопоставим с вариантами параметров, при которых отсутствует сингулярность напряжений.
4. Устранения концентрации напряжений на поверхности соединения однородных и функционально-градиентных материалов. Снижение или устранение концентрации напряжений на краях поверхности контакта двух материалов за счёт изменения механических свойств одного из материалов имеет наибольшие практические варианты при использовании функционально-градиентных материалов (ФГМ). Например, в работе [25] предложено изменять механические свойства клеевой прослойки включением функционально-градиентного участка на краях поверхности соединения материалов внахлёстку. При выборе свойств функционально-градиентных материалов на основе результатов о сингулярном поведении напряжений в окрестности особых точек можно опираться на результаты, приведенные в работе [26]. Сингулярное или несингулярное поведение напряжений в окрестности особых точек клиновидных тел из ФГМ определяется решениями задачи для аналогичного по геометрии однородного клина, упругие характеристики которого совпадают с характеристиками ФГМ в вершине клина.
В качестве примера возможностей использования ФГМ для устранения концентрации напряжений на поверхности контакта двух материалов рассмотрим вариант клеевого соединения двух пластин (рис. 14). Упругие постоянные материала пластин Е1 и v1, а клеевой слой имеет характеристики Е2, V2, которые в средней части постоянны и
равны Е2 , V, , а в краевой части материал является функционально-градиентным с упругими свойствами, изменя-
ющимися по линейному закону вдоль координаты х, от значений Е2', V2 ' при |х| = Ь — ? до Е2°, V20 при |х| = Ь. Расчёты выполнены при следующих значениях и соотношениях упругих постоянных v1 = 0,3, V2 ' = 0,35,
Е2' /Е1 = 0,1 и различных величинах V/ и Е2° /Е1
Щ-Ш
£, V,
-4" О
ФГМ
2Ъ
Е, V,
1 I т I Г
Рис. 14. Трёхслойная пластина с прослойкой, содержащей подобласть из ФГМ
С учётом вышеприведённого результата об оценке поведения напряжений в окрестности особых точек клиновидных тел из ФГМ в рассматриваемой задаче характер поведения напряжений в окрестности края поверхности соединения материалов будет определяться величинами углов у1 и у 2, которые равны л/2 и значениями коэффициентов Пуассона v1 и v2, и отношением модулей Е2/Е1 в особой точке. На рис. 15 в пространстве параметров Е2/Е1 и v2 приведены кривые, разделяющие области с сингулярными и несингулярными решениями. Расчёты для пластины, представленной на рис. 14 выполнены при различных значениях v20, Е2°/ Е1 , которые на графике 15 соответствуют решениям с сингулярностью напряжений (например, точки 1, 5), с конечными значениями напряжений (точки 2, 4) и решениям без сингулярности напряжений (точка 3).
2 1,8 1,6 1,4 1Д I
0,8 0,6 0,4 0.2 0
Решения с
^ сингулярностью ч напряжении
\ Л /
Решения \ з У 1 ——*
сингулярности У2~.
\
0,1
0,2
0.3
0.4
0,5 V;
Рис. 15. Кривая, разделяющая в области параметров Е2/Е1 и v2 решения с сингулярностью и без сингулярности напряжений, при у1 = у 2 = 2, v1 = 0,3
б
0,2 0.4 0,6 0,8 I х/Ь
0,2 0,4 0.6 0,8 I
х/Ь
0,2 0,4 0.6 0.8 х/Ь
Рис. 16. Распределение напряжений & по поверхности идеального соединения клея и склеиваемого материала при а/Ь = 2, И/Ь = 0,2, = 0,1 и линейном изменении Е2, V2 на участке (Ь — ?) < |х| < Ь для случаев, когда значения Е20, V2° соответствуют точкам на рис. 15: 1 (а), 2 (б) и 3 (в)
0
Результаты расчетов показали, что при значениях упругих постоянных в особых точках Е2 = Е2 , V 2 = V 20, расположенных на рис. 9 в подобластях, где имеются сингулярные решения зависимость напряжений в
123
рамках конечно-элементных технологий отражает наличие сингулярности напряжений. При значениях E20, V2°, лежащих на границе сингулярных и несингулярных решений, напряжения в особых точках имеют конечные значения. При E2°, V2°, расположенных в подобластях, где решения без сингулярности, численные результаты демонстрируют, что напряжения при подходе к особой точке стремятся к нулю. Демонстрацией этих результатов являются картины распределения напряжений q на рис. 16 по поверхности контакта клея и склеиваемого материала при
значениях E2°, V2° соответствующих на рис. 15 точкам 1, 2, 3.
Приведённые результаты демонстрируют возможности использования результатов о поведении напряжений в окрестности особых точек для выбора свойств ФГМ, обеспечивающих устранение концентрации напряжений.
Заключение. Представлены результаты численных исследований снижения концентрации напряжений в окрестности вершины надреза при полном или частичном заполнении полости материалом и в окрестности края поверхности соединения материалов при изменении геометрии внешней поверхности и при использовании функционально-градиентных материалов. Выбор материалов, заполняющих полость надреза, геометрии и механических характеристик функционально-градиентных материалов в окрестности края поверхности соединения различных материалов проводится на основе анализа собственных решений задач для составных клиньев. Продемонстрировано, что минимальный уровень напряжений в рассматриваемых областях имеет место при параметрах задачи, обеспечивающих для минимальной действительной части собственных значений равенство единице, что соответствует границе между решениями с сингулярностью и без сингулярности напряжений.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ и Пермского края (проект № 2°-41-596°°7).
Список литературы
1. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - I: Removal, interpretation, and analysis // Appl. Mech. Rev. 2°°4. Vol. 57, No. 4. P. 251-298.
2. Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - II: Asymptotic identification // Appl. Mech. Rev. 2°°4. Vol. 57, No. 5. P. 385-439.
3. Mittelstedt C., Becker W. Free-edge effects in composite laminates // Appl. Mech. Rev. 2°°7. Vol. 6°, No. 5.
P. 217-245.
4. Paggi M., Carpinteri A. On the stress singularities at multimaterial interfaces and related analogies with fluid dynamics and diffusion // Appl. Mech. Rev. 2°°8. Vol. 61, No. 2. P. °2°8°1.
5. Erdogan F., Ozturk M. On the singularities in fracture and contact mechanics // J. Appl. Mech. 2°°8. Vol. 75, No. 5. P. °51Ш.
6. Carpinteri A., Paggi M. Asymptotic analysis in linear elasticity: from the pioneering studies by Wieghardt and Irwin until today // Eng. Fract. Mech. 2°°9. Vol. 76, No. 12. P. 1771-1784.
7. Pook L.P. A 5°-year retrospective review of three-dimensional effects at cracks and sharp notches // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. 2°13. Vol. 36, No. 8. P. 699-723.
8. Чобанян К. С. Напряжения в составных упругих телах / К. С. Чобанян. - Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. 338 с.
9. Lang T.P., Mallick P.K. Effect of spew geometry on stresses in single lap adhesive joints // Int. J. Adhes. Adhes. 1998. Vol. 18, No. 1. P. 167-177.
1°. Wu Z. Design free of stress singularities for bi-material components // Compos. Struct. 2°°4. Vol. 65, No. 34. P. 339-345.
11. Xu L.R., Sengupta S. Dissimilar material joints with and without free-edge stress singularities: Part II. An integrated numerical analysis // Exp. Mech. 2°°4. Vol. 44, No. 6. P. 616-621.
12. Wang P., Xu L.R. Convex interfacial joints with least stress singularities in dissimilar materials // Mech. Mater. 2°°6. Vol. 38, No. 11. P. 1°°1-1°11.
13. Park J.-K., Hur B., Kim S.-K. Stress distribution of Class V composite resin restorations: A three-dimensional finite element study // J. Korean Acad. Conserv. Dent. 2°°8. Vol. 33, No. 1. P. 28.
14. Chen G., Zhou J., Zhao Q. Crack treatment at Linhekou dam // Int. Water Power Dam Constr. 2°°6. P. 2°-21. https://www.waterpowermagazine.com/features/featurecrack-treatment-at-linhekou-dam
15. Fowkes N., Teixeira de Freitas J.A., Stacey R. Crack repair using an elastic filler // J. Mech. Phys. Solids. 2°°8. Vol. 56, No. 9. P. 2749-2758.
16. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. 1952. Vol. 19, No. 4. P. 526-528.
17. Михайлов С.Е. Сингулярность напряжений в окрестности ребра в составном неоднородном анизотропном теле и некоторые приложения к композитам // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 5. С. 1°3-11°.
18. Bogy D.B., Wang K.C. Stress singularities at interface corners in bonded dissimilar isotropic elastic materials // Int. J. Solids Struct. 1971. Vol. 7, No. 8. P. 993-1°°5.
19. Dempsey J.P., Sinclair G.B. On the singular behavior at the vertex of a bi-material wedge // Journal of Elasticity. 1981. Vol. 11, No. 3. P. 317-327.
2°. Dundurs J. Discussion: 'Edge-bonded dissimilar orthogonal elastic wedges under normal and shear loading' (Bogy, D. B., 1968, ASME J. Appl. Mech., 35, pp. 46°-466) // J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, No. 3. P. 65°-652.
21. Fedorov A.Yu., Matveenko V.P. Numerical and applied results of the analysis of singular solutions for a closed wedge consisting of two dissimilar materials // Acta Mech. 2°2°. Vol. 231, No. 7. P. 2711-2721.
22. Park J., Anderson W.J. Geometric optimization of two bonded wedges involving stress singularities // Compos. Eng. 1994. Vol. 4, No. 9. P. 9°1-912.
23. Борзенков C.M., Матвеенко В.П. Оптимизация упругих тел в окрестности особых точек // Изв. РАН МТТ. 1996. № 2. С. 93-100.
24. Fedorov A.Yu., Matveenko V.P. Optimization of geometry and mechanical characteristics of elastic bodies in the vicinity of singular points // Acta Mech. 2018. Vol. 229, No. 2. P. 645-658.
25. Stapleton S.E., Waas A.M., Arnold S.M. Functionally graded adhesives for composite joints. Int. J. Adhes. Adhes., 2012, Vol. 35. P. 36-49.
26. Fedorov A.Yu., Matveenko V.P. Investigation of stress behavior in the vicinity of singular points of elastic bodies made of functionally graded materials // J. Appl. Mech. 2018. Vol. 85, No. 6. P. 061008.
Матвеенко Валерий Павлович, д-р. техн. наук, профессор, академик РАН, mvp@icmm.ru, Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН,
Фёдоров Андрей Юрьевич, канд. физ.-мат. наук, _fedorov@icmm.ru, Россия, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН
REDUCING STRESS CONCENTRATION BASED ON THE RESULTS OF SINGULAR SOLUTIONS OF ELASTICITY
THEORY
V.P. Matveenko, A.Yu. Fedorov
The paper considers the problems of analyzing and reducing the level of stress concentration in the vicinity of the tip of wedge-shaped notches in elastic bodies and at the edge of the interface of elastic bodies. To analyze the stress state in the zones under consideration, eigensolutions for wedge-shaped bodies are used, in which can have variants with infinite stress, which are singular solutions. These solutions in practical problems, as a rule, determine the presence of zones ofpro-nounced stress concentration. To reduce the level of stress concentration in the vicinity of the tips of the wedge-shaped bodies, a variant offilling the notch cavity with another material was considered; and in the vicinity of the edge of the interface of various bodies, the option of changing the geometry of elastic bodies and the option of using functionally graded materials. The search for options with a minimum level of stress concentration in the considered zones is based on the analysis of eigensolutions of wedge-shaped bodies of the corresponding problems under consideration.
Key words: stress singularity, stress concentration, FE analysis, functionally graded material, wedge-shaped bodies, eigensolutions.
Matveenko Valerii Pavlovich, doctor of technical sciences, professor, academician of RAS, mvp@icmm.ru, Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS,
Fedorov Andrey Yurevich, candidate of physics and mathematics sciences, fedorov@icmm. ru, Russia, Perm, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-125-126
ВАРИАНТ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ И ЕГО ИДЕНТИФИКАЦИЯ
А.А. Маркин, М.Ю. Соколова, Д.В. Христич, Ю.В. Астапов
Рассмотрены соотношения модели Генки-Мурнагана нелинейно упругого изотропного тела. Показана возможность их обращения, получены условия обращения и связь между константами упругости и константами податливости второго и третьего порядков. Сформулирована программа экспериментов для определения констант модели в случае несжимаемой среды. Приведены результаты экспериментов.
Ключевые слова: нелинейная упругость, определяющие соотношения, идентификация, индентирование.
Одним из направлений научной деятельности Леонида Александровича Толоконникова являются исследования по нелинейной теории упругости. В своих работах [1-5] Л.А. Толоконников ввел понятия естественных инвариантов конечных деформаций, к которым отнесены относительная объемная деформация, результирующий сдвиг, фаза деформаций. Введены обобщенные модули упругости, представляющие собой совместные инварианты истинных напряжений и тензора формоизменения. Предложенная геометрическая интерпретация характеристик деформации способствует выделению законов изменения объема и изменения формы, изучению взаимного влияния параметров изменения объема и изменения формы тела [1].
В работах [2, 3] указаны условия существования потенциала внутренних сил, в которых фигурируют естественные инварианты напряжений, непосредственно измеряемые в опытах. В диссертации [4] Л.А. Толоконников доказал энергетическую сопряженность тензора напряжений и тензора логарифмических деформаций. Для изотропного тела им предложены варианты упругих потенциалов для случая, когда вводится предположение о совпадении фаз напряжений и деформаций (так называемая четырехконстантная модель изотропной упругости) [1, 4], и для случая, когда при построении соотношений между напряжениями и деформациями такое предположение не используется (пятиконстантная модель изотропной упругости) [6]. Развивается вариант нелинейной теории упругости, в котором фаза напряжений зависит только от фазы формоизменения, а обобщенный модуль сдвига зависит от фазы деформаций [2]. Исключительной особенностью работ Л.А. Толоконникова, касающихся установления связи между
125
