CC BY
41
УДК 539.31
НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЖИМАЕМЫХ
ГРУНТОВ
Д.В. Христич, Ю.В. Астапов, Е.В. Артюх, М.Ю. Соколова
Рассматривается возможность применения физически и геометрически нелинейной модели гиперупругого изотропного материала к описанию деформаций нескальных грунтов. Исследуются вопросы об устойчивости модели, ограничениях на константы модели и определении диапазона деформаций, в пределах которого модель устойчива по Дракеру.
Ключевые слова: упругий потенциал, логарифмическая мера деформаций, константы упругости второго и третьего порядков, условие материальной устойчивости.
Важным аспектом проектирования зданий и сооружений является расчет напряженно-деформированного состояния грунтового основания фундамента. Это предполагает построение механической модели грунта, адекватно описывающей его свойства. Грунты представляют собой неоднородные материалы, состоящие из большого числа твердых частиц и пор, которые могут быть заполнены водой и/или газом. При построении механических моделей грунт обычно рассматривают как однородную изотропную сплошную среду [1, 2]. До определенных значений напряжений такую среду считают линейно упругой, однако, применяют и более сложные модели упруговязко-пластических сред [2]. Известно, что в таких моделях чаще всего полагают, что изменение объема материала является линейно упругим или объем не изменяется (грунт рассматривают как несжимаемый материал).
Реальные свойства грунтов оказываются значительно более сложными. Многие авторы [1, 3, 4] отмечают существенную нелинейность механических свойств грунтов, в частности их нелинейную сжимаемость. Для описания кривой сжимаемости предлагаются модели грунтов, рассматриваемых как пористые материалы, или модели, в которых упругие «константы» полагаются функциями напряжений (например, модель Боткина [3]). Кроме того, грунты проявляют свойства дилатансии (появления гидростатических напряжений при чистом формоизменении). Также в грунтах наблюдается зависимость напряжений от вида деформированного состояния [3]. Эти явления не могут быть описаны в рамках линейно упругих и упруговязкопласти-ческих моделей.
При строительстве современных зданий и сооружений большой высоты и веса деформации основания фундамента могут принимать конечные значения, поэтому они должны описываться моделями, учитывающими геометрическую нелинейность. Кроме того, грунт в основании фундамента приобретает существенные остаточные деформации, что может быть выявлено при разгрузке материала [1]. Однако при возведении сооружения грунт
нагружается однократно и квазистатически, что позволяет использовать для него модели нелинейной упругости. В настоящей работе предлагается геометрически и физически нелинейная модель грунта как изотропного гиперупругого материала.
В качестве меры конечных деформаций используем тензор логарифмических деформаций Н (тензор Генки), который определяется через тензор деформаций Коши-Грина £ выражением [5]
Н = -1п(Е + 2с), (1)
где Е - единичный тензор.
В качестве упругого потенциала используем удельную потенциальную энергию деформаций Ж, дифференциал которой равен свертке тензора напряжений Нолла т и дифференциала деформаций ё Н .
Важнейшим свойством тензора логарифмических деформаций является то, что его первый инвариант /- (н) = Н - -Е = 6 характеризует изменение
объема, а его девиатор ёеу Н = Н - - /^Н )Е не изменяется при чисто объемном деформировании, а связан только с процессом формоизменения. С учетом этого свойства дифференциал удельной потенциальной энергии представим в виде
ёЖ = т --ё Н = а0ё 6 + ёеу т --ёеу Н, (2)
где а о = -/-(т) = -т--Е - гидростатическое напряжение, ёеут = т-стоЕ -
девиатор напряжений.
В соотношении (2) так же, как при малых деформациях, первое слагаемое характеризует энергию изменения объема, а второе слагаемое - энергию формоизменения.
Представим упругий потенциал в виде ряда по тензору Н, сохраняя первые два ненулевых члена
Ж =1N----НН + -Ь......ННН , (3)
2 6
где N и Ь - тензоры материальных констант четвертого и шестого рангов соответственно, а точками обозначены скалярные произведения векторов базисных полиад.
Исходя из представлений материальных тензоров N и Ь для изотропного материала [5], после преобразований из представления (3) получим потенциал в форме Мурнагана
Ж = - X/-2 (Н) + О/ 2 (Н) + С-/-3 (Н) - С2/- (Н)/ 2 (Н) + Сз / 3 (Н), (4)
где X, G - константы упругости Ламе, Q, C2, C3 - константы упругости третьего порядка, /¡(н), 12 (н) = н --н , I3 (н)= det н - алгебраические инварианты тензора Н.
Перейдем от алгебраических инвариантов тензора логарифмических деформаций к его естественным инвариантам [6]: 6 = /¡(н) ,
e = л/ devН • • devН , у = arccos3^13 (^еУН) - относительное изменение объема, интенсивность формоизменения и угол вида деформированного состояния соответственно. Потенциал (4) принимает вид
W(6,e,у) = 1K62 + Ge2 + 463 + A2e26 + A3e3 cos 3у. (5)
Для гиперупругого материала тензор напряжений определяется через упругий потенциал
dW
т =-. (6)
ан
С учетом представления потенциала (5) из соотношений (6) следует выражение для напряжений
т = а0 Е + xe devН + xq dev((devН)2 ), (7)
где ао(6, e, у), ie (6, e, у), iq (6, e, у) - материальные функции, которые в соответствии с (5) имеют вид
Сто = K 6 + 3 A 62 + A2e2;
1 = 2G + 2 A 6; (8)
iq = A
Соотношения (7) с функциями (8) описывают:
1) нелинейное изменение гидростатической составляющей напряжений при отсутствии формоизменения, когда dev Н = 0, e = 0:
ст0 = K6 + 3Aj62;
2) явления дилатансии, когда при чистом формоизменении ( 6 = 0) гидростатические напряжения изменяются по закону
2
Ст0 = A2e ;
3) зависимость напряжений от угла вида деформированного состояния у при iq ф 0.
Таким образом, предложенная модель (7) позволяет описывать нелинейные механические свойства сжимаемых нескальных грунтов.
Исследуем модель материала грунта (8) на устойчивость [5, 6]. В монографии [6] предлагается считать равновесное состояние среды неустойчивым, если с ростом деформаций напряжения уменьшаются. В качестве критерия устойчивости равновесного состояния материала по Дракеру предлага-
ется использовать дополнительную работу - свертку тензоров АН и Дт. Состояние считается неустойчивым, если Дт • -АН < 0.
Запишем изменения упругого потенциала при переходе из равновесного состояния т, Н в состояние т + Дт, Н + АН, сохраняя слагаемые второго порядка малости:
Д Ш = (Ш + (2Ш = (т + Дт) • АН = т • АН + Дт • АН, откуда в соответствии с (2)
Дт • АН = (2Ш.
Равновесное состояние материала является устойчивым, если выполняется усиленный критерий
Дт ••АН = (2Ж > 0. (9)
С учетом представления (5) для упругого потенциала условие (9) принимает вид:
( 2Ж
(А0)2 + 2 деаё (Д9Де)+ 2 ^ ^^ ^(Де)
о + 2
2
д6ду
(е
е)2 +
д 2Ж
д 2Ж
(10)
(ДеДу)+дШ(ДУ)2 >0.
2
деду (у2
Условие (10) должно выполняться при произвольных изменениях инвариантов деформированного состояния А0, Де, Ду, что обеспечивается, если квадратичная форма в левой части (10) удовлетворяет критерию Сильвестра:
д2Ж д 2Ш
д 2Ж
де2
> 0;
> 0;
д 2Ж д 2Ж д 2Ж
д92 д9де деду
д 2Ж д 2Ж д 2Ж
д9де де 2 деду
д 2Ж д 2Ж д 2Ж
д9ду деду ду 2
> 0.
(11)
Проверим выполнение условий (11) для предложенной модели материала с упругим потенциалом в виде (5). Для этого вычислим
д 2Ш
де2
д 2Ш де 2 д 2Ш деду
К + 6 А19;
д 2Ж
2 А2е;
д 2Ж
деде деду
20 + 2 А29 + 6 А3е еоБЗу;
0;
= -9Азе Бт3у; ^ " =-9Азе3еоБ3у.
ду2
д 2Ж
з
Тогда первое из условий (11) приводит к неравенству
К + 649>0, которое должно выполняться при всех 9 :
если 9 = 0, то К > 0; (13)
если 9 > 0, то 4 > 0;
К
если 9 < 0, то 9 >--. (14)
6 А1
Последнее неравенство (14) определяет диапазон изменения относительного изменения объема, при котором предложенная модель остается устойчивой.
Второе из условий (11) с учетом (12) приводит к неравенству
о л 2 ,,2
О + А29 + 3 А3е с0Б3у>-2-> 0, (15)
К + 6 Ац9
которое должно выполняться при любых 9, е, у:
если 9 = 0, е = 0, то О > 0; (16)
2 А 2е 2
если 9 = 0, то О + 3 А3е соБ3у> —2-; (17)
К
поскольку -1 < соБ3у < 1, то из (17) следует
О + 3А3е со8 3у > О - 3А3е > 0. Так как е > 0, последнее неравенство выполняется при
А3 < 0. (18)
Кроме того, неравенство
2 А V О - 3 Ае > ^^, 3 К
выполняется при
е <-3АК + А/9 а32 К 2 + 8 а22 КО (19)
2А22 2А22
Условие (19) определяет диапазон изменения интенсивности деформаций, в пределах которого модель материала является устойчивой. Если е = 0, то из неравенства (15) следует условие
О + А29> 0, которое при 9 > 0 выполняется, если
А2 > 0, (20)
а при 9 < 0 из этого условия получаем, что
О
9 > ——. (21)
А
2
что
а V
аеау
Рассмотрим третье неравенство из условий (11), которое в силу того, 0, принимает вид
а V
ау2
а V а V Г а V
ае2 ае
2
В неравенстве (22) в силу (11)
^2
2Т
а V а V
ае2 ае а V
2
аеае
V У
а V аеае
с ? а V
аеау
а V ае2
> 0.
(22)
> 0;
'-2Т л2
деду
а V ае2
> 0
Для выполнения (22) необходимо, чтобы
а V
-9А3е ^ 3у > 0,
ау2
откуда с учетом (18) следует, что
^Б3у> 0. (23)
Из неравенства (23) следует, что предложенная модель удовлетворяет условию материальной устойчивости (9) только в том случае, когда угол вида деформированного состояния
л П
0<у<—, 6
(24)
т.е. материал устойчив не для всех процессов деформирования.
Таким образом, проведенный анализ предложенной нелинейной модели деформирования грунтов позволил найти ограничения на константы материала (13), (16), (18), (21), а также определить диапазоны изменения инвариантов деформаций (14), (19), (21), (24), при которых обеспечивается устойчивость материала по Дракеру.
Отметим, что значения материальных констант, входящих в соотношения модели (7), (8), могут быть найдены из экспериментов на сжатие и ин-дентирование по методике, описанной в [7]. Использование предложенной нелинейной модели деформирования грунтов для расчета напряженно -деформированного состояния основания фундаментов предполагает применение численных методов, в том числе метода конечных элементов.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МД-1803.2019.1) и РФФИ (проект № 18-3120053).
2
2
Список литературы
1. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. Л.: Стройиздат, 1988. 415 с.
2. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат, 1971. 367 с.
3. Алехин А.Н., Алехин А.А. Эффективный метод определения параметров нелинейной модели грунта из полевых испытаний // Вестник ПНИ-ПУ. Строительство и архитектура. 2017. Т. 8. № 4. С. 54 - 63.
4. Мирсаяпов И.Т., Королева И.В. Расчетная модель длительного нелинейного деформирования глинистых грунтов при сложном напряженном состоянии // Известия КазГАСУ. 2011. № 2(16). С. 121 - 126.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
6. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
7. Астапов Ю.В., Христич Д.В. Численное и экспериментальное моделирование процесса индентирования резиновых образцов // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер.: Механика предельного состояния. 2018. № 2(36). С. 65 - 73.
Христич Дмитрий Викторович, д-р физ.-мат. наук, доц., проф., dmitrvkhristicharamhler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Астапов Юрий Владимирович, аспирант, ast3x3@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Артюх Екатерина Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доц., kate_eva@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Соколова Марина Юрьевна, д-р физ.-мат. наук, доц., проф., m. u. sokolova@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
NONLINEAR MODEL OF DEFORMA TION OF COMPRESSIBLE SOILS D.V. Khristich, Yu.V. Astapov, E.V. Artyukh, M.Yu. Sokolova
The possibility to apply a physically and geometrically non-linear model of a hyperelas-tic isotropic material to the description of strains of non-rocky soils is considered. The study examines the stability of the model, restrictions on the model constants, and the definition of the range of deformations within which the model is Drucker stable.
Key words: elastic potential, logarithmic strain measure, elastic constants of the second and third orders, condition of material stability.
Khristich Dmitrii Viktorovich, doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor, dmitrykhristich@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Astapov Yuri Vladimirovich, postgraduate, asl3x3@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Artyukh Ekaterina Viktorovna, candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, kate_eva@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sokolova Marina Yur'evna, doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor, m. u. sokolova@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
Reference
1. Dalmatov B.I. Mekhanika gruntov, osnovaniya i fundamenty. L.: Stroyizdat, 1988.
415 s.
2. Gol'dshteyn M.N. Mekhanicheskiye svoystva gruntov. M.: Stroyizdat, 1971. 367 s.
3. Alekhin A.N., Alekhin A.A. Effektivnyy metod opredeleniya parametrov nelineynoy modeli grunta iz polevykh ispytaniy // Vestnik PNIPU. Stroitel'stvo i arkhitektura. 2017. T. 8. № 4. S. 54 - 63.
4. Mirsayapov I.T., Koroleva I.V. Raschetnaya model' dlitel'nogo nelineynogo deformi-rovaniya glinistykh gruntov pri slozhnom napryazhennom sostoyanii // Izvestiya KazGASU. 2011. № 2(16). S. 121 - 126.
5. Lur'ye A.I. Nelineynaya teoriya uprugosti. M.: Nauka, 1980. 512 s.
6. Markin A.A., Sokolova M.Yu. Termomekhanika uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya. M.: Fizmatlit, 2013. 320 s.
7. Astapov Yu.V., Khristich D.V. Chislennoye i eksperimental'noye modelirovaniye protsessa indentirovaniya rezinovykh obraztsov // Vestnik ChGPU im. I.Ya.Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya. 2018. № 2(36). S. 65 - 73.
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В МАССИВЕ ГЛИНИСТОГО ГРУНТА ПОД ФУНДАМЕНТОМ
Д.В. Христич, Ю.В. Астапов, Е.В. Артюх, М.Ю. Соколова
Рассматриваются результаты расчета основания фундамента, полученные с использованием предложенной ранее физически и геометрически нелинейной модели гиперупругого изотропного материала, которую возможно применить к описанию деформаций глинистых грунтов. Численная модель взаимодействия подошвы фундамента с основанием построена c использованием метода конечных элементов. Полученные результаты позволяют уточнить известные аналитические расчеты, проведенные в рамках линейной упругости.
Ключевые слова: краевая задача, нелинейная модель материала, метод конечных элементов, грунты, основания и фундаменты.
Определение напряжений в массиве грунта под строящимся зданием или сооружением является одной из основных задач механики грунтов [1]. В
