CC BY
17
Astapov Yuri Vladimirovich, postgraduate, asl3x3@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Artyukh Ekaterina Viktorovna, candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, kate_eva@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sokolova Marina Yur'evna, doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor, m. u. sokolova@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
Reference
1. Dalmatov B.I. Mekhanika gruntov, osnovaniya i fundamenty. L.: Stroyizdat, 1988.
415 s.
2. Gol'dshteyn M.N. Mekhanicheskiye svoystva gruntov. M.: Stroyizdat, 1971. 367 s.
3. Alekhin A.N., Alekhin A.A. Effektivnyy metod opredeleniya parametrov nelineynoy modeli grunta iz polevykh ispytaniy // Vestnik PNIPU. Stroitel'stvo i arkhitektura. 2017. T. 8. № 4. S. 54 - 63.
4. Mirsayapov I.T., Koroleva I.V. Raschetnaya model' dlitel'nogo nelineynogo deformi-rovaniya glinistykh gruntov pri slozhnom napryazhennom sostoyanii // Izvestiya KazGASU. 2011. № 2(16). S. 121 - 126.
5. Lur'ye A.I. Nelineynaya teoriya uprugosti. M.: Nauka, 1980. 512 s.
6. Markin A.A., Sokolova M.Yu. Termomekhanika uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya. M.: Fizmatlit, 2013. 320 s.
7. Astapov Yu.V., Khristich D.V. Chislennoye i eksperimental'noye modelirovaniye protsessa indentirovaniya rezinovykh obraztsov // Vestnik ChGPU im. I.Ya.Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya. 2018. № 2(36). S. 65 - 73.
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В МАССИВЕ ГЛИНИСТОГО ГРУНТА ПОД ФУНДАМЕНТОМ
Д.В. Христич, Ю.В. Астапов, Е.В. Артюх, М.Ю. Соколова
Рассматриваются результаты расчета основания фундамента, полученные с использованием предложенной ранее физически и геометрически нелинейной модели гиперупругого изотропного материала, которую возможно применить к описанию деформаций глинистых грунтов. Численная модель взаимодействия подошвы фундамента с основанием построена c использованием метода конечных элементов. Полученные результаты позволяют уточнить известные аналитические расчеты, проведенные в рамках линейной упругости.
Ключевые слова: краевая задача, нелинейная модель материала, метод конечных элементов, грунты, основания и фундаменты.
Определение напряжений в массиве грунта под строящимся зданием или сооружением является одной из основных задач механики грунтов [1]. В
большинстве случаев эта задача решается в рамках линейной теории упругости как аналитическими, так и численными методами [1, 2, 3, 4, 5], однако, грунты при определенных значениях напряжений проявляют нелинейные свойства [1]. Для анализа нелинейного поведения грунтов пользуются численными методами. Одним из наиболее распространенных численных методов является метод конечных элементов (МКЭ). Теоретические основы метода и применение его к расчетам оснований и фундаментов изложены в монографиях [3, 6]. Пример расчета оснований и фундаментов МКЭ с помощью геотехнического комплекса Р1ех1Б приведен в работе [4].
В данной статье предлагается задачу об определении напряженно -деформированного состояния основания фундамента решать численно как краевую задачу механики деформируемого твердого тела. Расчетная схема задачи представлена на рис. 1. Через подошву фундамента 1 на основание 2 передается равномерно распределенная нагрузка Р§ . Подошву фундамента и подстилающие слои основания 3, образованные скальными породами, рассматриваем как абсолютно жесткие (недеформируемые) тела. Считаем несущий слой основания 2, образованный, например, пластичной глиной, нелинейно упругим сжимаемым телом. На контактных поверхностях 1 -2 и 2-3 задаем условия полного прилипания. Остальные поверхности слоя 2 считаем свободными от нагрузок.
Рис. 1. Расчетная схема задачи
Постановка начально-краевой задачи деформирования основания 2 включает:
1) условия равновесного протекания процесса, записанные в вариационной форме [7]
^••бХУсП^р^-бус!!;,
к I
1(6 + 80 - • 8) • = | р^+р^ (ё - й • • й) I • 8? (11, (1)
к IV )
где 8 - тензор истинных напряжений Коши; у(х,/) - поле скоростей точек среды; \¥ = 0,5(Уу+уУ) - тензор деформации скорости; 6 = - ско-
рость относительного изменения объема; V - объем, занимаемый телом;
Р(п) - внешние поверхностные силы, действующие на поверхности тела I с внешней нормалью п. В соотношениях (1) точками обозначены материальные производные соответствующих величин по «времени» г;
2) начальные и граничные условия в виде
г0) = 0, е(х, г0) = 0, (2)
Р = Р0(х,г) Ухе е IР, Уг > г0, (3)
и = 0 Ухе е 1и, У г > г0. (4)
В соответствии с условиями (2) полагается, что в основании фундамента отсутствуют начальные напряжения и перемещения (деформации);
3) определяющие соотношения модели, связывающие напряжения и деформации, в виде
£к = а0Е + те ёеу Н + хд ёеу^ёеуН)2), (5)
где = дК/ёК К • 8 • К-1 (тензор напряжений Нолла), Н - логарифмический тензор деформаций и его девиатор ёеу Н, а0, те, т q - функции инвариантов меры деформации: относительного изменения объема 0 и интенсивности формоизменения е = л/ёеу Н • • ёеуН , определенные следующим образом:
= ^6^3 02 + 61е2, Те = 2° + 3!0, = С . (6)
Соотношения (5), (6) представляют собой геометрически и физически нелинейную модель гиперупругого материала, предложенную в работах [8, 9]. В этой модели К, О являются константами линейной упругости, а константы С, С2, С3 отвечают за дополнительные нелинейные члены в определяющих соотношениях.
Задача (1) - (5) решается численными методами. Для численного решения поставленной краевой задачи используется метод конечных элементов, позволяющий перейти от вариационной проблемы к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых скоростей. Для построения дискретной модели вариационных соотношений (2) используется метод прямой жесткости [9]. Расчетная область разбивается на конечное число непересекающихся подобластей. В каждом элементе компоненты вектора скоростей определяются в конечномерном пространстве кусочно-непрерывных линейных функций. Развитие процесса во времени ап-
проксимируется с помощью метода пошагового нагружения, разбивающего параметр процесса на конечные отрезки. На каждом отрезке времени узловые скорости полагаются постоянными. Таким образом, исходная система дифференциальных уравнений относительно неизвестного поля перемещений сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно скоростей узловых точек конечных элементов.
Численные процедуры были реализованы в разработанном программном комплексе, который был протестирован на ряде задач, имеющих аналитическое решение [8, 9]. Сходимость решения достигалась измельчением ко-нечноэлементной сетки вблизи области с предполагаемой большой интенсивностью деформаций. Вопрос о сходимости численного решения исследовался с использованием метода сгущающихся сеток.
Далее приведены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния основания при воздействии на него полосовой нагрузки интенсивностью Ро = 300 МПа.
Значения констант упругости К = Е / [3(1-2у)] , О = 0,5Е /(1 + у) определены по модулю упругости Е = 15 МПа и коэффициенту поперечных деформаций у = 0,38 для глинистого грунта, приведенным в своде правил СП 22.13330.2016. Для материала основания приняты значения упругих констант: К=20,8 МПа, в=5А МПа, Сх=10 МПа, С2=18 МПа, С3= -60 МПа. Размеры расчетной области определены в соответствии с расчетной схемой (рис. 1) при ¿=0,1 м.
На рис. 2-4 приведены поля осевых, радиальных и сдвиговых напряжений в расчетной области. На рис. 5 приведено распределение интенсивности напряжений.
Рис. 2. Распределение осевых Рис. 3. Распределение радиальных напряжений напряжений
Рис. 4. Распределение сдвиговых напряжений
Рис. 5. Распределение интенсивности напряжений
Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что характер распределения осевых и сдвиговых напряжений соответствует аналогичным расчетам основания как линейно упругого тела [1]. Предложенная модель позволяет уточнить величины напряжений, что имеет существенное значение при проектировании зданий и сооружений.
На рис. 6 приведены кривые распределения контактного давления под подошвой фундамента, построенные по результатам расчета по предложенной модели (цветные пунктирные линии) и полученные аналитически (черные пунктирные линии). Аналитический расчет контактного давления рп (а) производился по формулам, приведенным в монографии [ 10]: рп (а) = рЬ/VЬ2 - а2 , где ае[0, Ь] - текущий радиус.
Результаты расчетов показывают, что при небольших значениях нагрузки наблюдается хорошее согласование численного решения с аналитическим. С ростом деформации численная модель позволяет получить большие значения давления, чем аналитический расчет, поскольку в модели учитывается геометрическая и физическая нелинейность. Вблизи внешнего угла при а = Ь аналитическое решение приводит к бесконечному росту давления, а при численном решении сингулярности при вычислении давления удается избежать.
На рис. 7 приведена конечно-элементная сетка, построенная для расчетной области. В каждой точке на контактной поверхности красные отрезки представляют собой векторы сил, действующие в узлах сетки, расположенных на контактных поверхностях. Под подошвой фундамента характер распределения узловых сил соответствует рисунку 6. Интерес представляет распределение узловых сил на поверхности контакта основания со скальным грунтом, которое является существенно неоднородным и распространяю-
щимся далеко за пределы подошвы основания. Максимум узловых сил, характеризующих контактное давление, находится на расстоянии 1,5 Ъ.
Рис. 6. Распределение контактного давления под фундаментом
Рис. 7. Распределение узловых сил на контактных поверхностях 1 и 3
Таким образом, результаты расчетов показывают, что предложенная модель позволяет уточнить результаты расчетов, проведенные для линейно упругих тел, как по значениям напряжений, так и по характеру распределения контактных давлений.
Список литературы
1. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. Л.: Стройиздат, 1988. 415 с.
2. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат, 1971. 367 с.
3. Шапиро Д.М. Теория и расчетные модели оснований и объектов геотехники. Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. 164 с.
4. Иванов С.П., Глушков А.В. Расчет оснований и фундаментов с крестообразной формой подошвы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 2. С. 21 - 29.
5. Шапиро Д.М. Аналитический и численный линейные расчеты оснований фундаментов мелкого заложения // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. 2015. № 4. С. 5 - 18.
6. Шапиро Д.М. Метод конечных элементов в строительном проектировании. М.: Изд-во АСВ, 2015. 176 с.
7. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
8. Астапов Ю.В., Христич Д.В. Численное и экспериментальное моделирование процесса индентирования резиновых материалов // Вестник ЧГПУ
им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2018. № 2 (36). С. 65 - 73.
9. Astapov Y.V., Khristich D.V. Finite deformations of an elastic cylinder during indentation // International Journal of Applied Mechanics. 2018. Vol. 10. № 3. 1850026. 12 p.
10. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. 114 с.
Христич Дмитрий Викторович, д-р физ.-мат. наук, доц., проф., dmitrvkhristicharamhler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Астапов Юрий Владимирович, аспирант, ast3x3agmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Артюх Екатерина Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доц., kate_eva@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Соколова Марина Юрьевна, д-р физ.-мат. наук, доц., проф., m. u. sokolova@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
NUMERICAL MODELING OF STRESSES IN THE MASSIF OF A CLAY SOIL UNDER THE FOUNDATION
D. V. Khristich, Yu. V. Astapov, E. V. Artyukh, M. Yu. Sokolova
The results of the calculation of the base of the foundation, obtained using the previously proposed physically and geometrically nonlinear model of a hyperelastic isotropic material that can be applied to the description of strains of clay soils, are considered. A numerical model of the interaction of the foundation foot with the base is constructed using the finite element method. The obtained results allow to refine the known analytical calculations carried out within the framework of linear elasticity.
Key words: boundary value problem, nonlinear model of material, finite element method, soils, bases andfoundations.
Khristich Dmitrii Viktorovich, doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor, dmitrykhristich@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Astapov Yuri Vladimirovich, postgraduate, ast3x3@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,
Artyukh Ekaterina Viktorovna, candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, kate_eva@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sokolova Marina Yur'evna, doctor of physical and mathematical sciences, assistant professor, professor, m. u. sokolova@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
Reference
1. Dalmatov B.I. Mekhanika gruntov, osnovaniya i fundamenty. L.: Stroyizdat, 1988.
415 s.
2. Gol'dshteyn M.N. Mekhanicheskiye svoystva gruntov. M.: Stroyizdat, 1971. 367 s.
3. Shapiro D.M. Teoriya i raschetnyye modeli osnovaniy i ob"yektov geotekhniki. Voronezh: IPTs «Nauchnaya kniga», 2012. 164 s.
4. Ivanov S.P., Glushkov A.V. Raschet osnovaniy i fundamentov s krestoobraznoy formoy podoshvy // Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy. 2016. № 2. S. 21 - 29.
5. Shapiro D.M. Analiticheskiy i chislennyy lineynyye raschety osnovaniy fundamentov melkogo zalozheniya // Vestnik PNIPU. Stroitel'stvo i arkhitektura. 2015. № 4. S. 5 - 18.
6. Shapiro D.M. Metod konechnykh elementov v stroitel'nom proyektirovanii. M.: Izd-vo ASV, 2015. 176 s.
7. Markin A.A., Sokolova M.Yu. Termomekhanika uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya. M.: Fizmatlit, 2013. 320 s.
8. Astapov Yu.V., Khristich D.V. Chislennoye i eksperimental'noye modelirovaniye protsessa indentirovaniya rezinovykh obraztsov // Vestnik ChGPU im. I.Ya.Yakovleva. Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya. 2018. № 2(36). S. 65 - 73.
9. Astapov Y.V., Khristich D.V. Finite deformations of an elastic cylinder during indentation // International Journal of Applied Mechanics. 2018. Vol. 10. № 3. 1850026. 12 p.
10. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Vvedeniye v mekhaniku kontaktnykh vzai-modeystviy. Rostov-na-Donu: Izd-vo OOO «TsVVR», 2007. 114 s.
УДК 622.3.817
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫДЕЛЕНИЯ РАДОНА ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ И ДОБЫЧЕ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
Г.В. Стась, С.П. Левашов, А.Г. Ландри
Рассмотрена вертикальная миграция радона во вмещающих породах, описываемая первым законом Фика совместно с уравнением неразрывности диффузионного потока с учетом процессов сорбции и радиоактивного распада. Учитывая особенности диффузионного процесса вертикальной диффузии радона, можно считать этот процесс установившимся. Показано, что для очистных участков целесообразно рассматривать одномерную конвективную диффузию, так как диффузионный перенос радона воздухом в выработках очистного участка происходит в стационарном режиме. Как правило, фактор радоновыделений является превалирующим фактором при стабильно атмосферном давлении.
Ключевые слова: радон, диффузия, горные породы, сорбция, радиоактивный распад, воздух, турбулентная диффузия, количество воздуха, математическая модель.
Физическая модель и математическое описание миграции радона в надработанных породах. Расчетная схема вертикальной миграции радона от залежи урана к горной выработке представлена на рис. 1.
Диффузионный поток радона от источника его образования в соответствии с законом Фика можно записать в виде [1 - 2]
