CC BY
46
References
1. JоасhimsthalF. (1846). J. reine undangew. Math..
2. Shulikovskiy, V.I.(1963). Classic Differential Geometry, Мoscow: GIFML, 540 p.
3. Krivoshapko, S.N., Ivanov, V.N. (2010). Encyclopedia of Analytical Surfaces, Moscow: 'LIBROKOM', 560 p.
4. Krivoshapko, S.N., Ivanov, V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces, Springer International Publishing Switzerland, 752 p.
5. Dohm, Marc (2009). The implicit equation of a canal surface, Journal of Symbolic Computation, Vol. 44, Iss. 2, p. 111-130.
6. Ivanov, V.N. Mathieu, Gil-oulbe. (1994). On question of geometry and design of the shells in the form of Joachimsthal's canal surfaces, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, Iss. 4, Moscow, p. 68-75.
7. Ivanov, V.N. (1996). Joachimsthal's canal surfaces with a plane center line, Issledovaniya Pros-transtvennyh Sistem, Moscow: RUDN, p. 32-36.
8. Ivanov, V.N., Abbushy, Nasrf Unes (1997). Investigation of the geometry of Joachimsthal's canal surfaces, Problemy Teorii i Praktiki v Ingenernyh Issledovaniyah, Moscow: RUDN, p. 115-118.
9. Ivanov, V.N. (2000). Construction of the shells on the base of Joachimsthal's canal surfaces, Vestnik Rossiyskogo Universiteta Druzhby Narodov, «Engineering Investigation», № 1, p. 57-61.
10. Abbushy, Nasr Unes (2002). The application of Joachimsthal's canal surfaces in various branches of building, Vestnik Rossiyskogo Universiteta Druzhby Narodov, «Engineering Investigation», № 1, p. 80-89.
11. Ivanov, V.N. (2008). Joachimsthal's canal surfaces with a directrix curve of the second order, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 4, p. 3-10.
12. Ivanov, V.N. (2009). Joachimsthal's canal surfaces with any directrix curve, VIth International Conference: Geometric Design and Computer Technologies: Theory, Practice, Education, April 21-24, 2009, Kharkov: HPIPiT, p. 46-51.
13. Ivanov, V.N., Krivoshapko, S.N. (2010) Analytical Methods of Analysis of Shells of Non-canonic Form, Moscow: Izd-vo RUDN, 540 p.
The article concerns with the questions of the forming of the space thin-walled structures on the base of the Joachimsthal's canal surfaces. The Joachimsthal's canal surfaces are formed by the system of the circles lying in the planes of pencil. This allows making such structures without using of complex types of shuttering and these surfaces give an opportunity to create different interesting forms of the spatial thin-walled construction.
KEY WORDS: cyclic surfaces, canal surfaces, surface with the generating curves in the planes of pencil, thin-walled space structures.
Теория упругости
РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ И ФУНДАМЕНТОВ С КРЕСТООБРАЗНОЙ ФОРМОЙ ПОДОШВЫ
С. П. ИВАНОВ, д-р техн. наук, проф., А.В. ГЛУШКОВ, аспирант,
Поволжский государственный технологический университет, 424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д.3,
e-mail: sp-ivanov@mail.ru, IvanovSP@volgatech.net, 256289@gmail.com.
Представлены результаты аналитических и численных расчетов оснований крестообразных фундаментов, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. Установлен характер распределения напряжений и перемещений в активной зоне крестообразных фундаментов. Выполнено сравнение расчетных и экспериментальных
THIN-WALLED SHELL STRUCTURES ON THE BASE OF JOACHIMSTHAL'S CANAL SURFACES
V.N. Ivanov, Valensya Rodriges Edward G.
Peoples' Friendship University of Russia, Moscow
значений осадок штампов со сложной формой подошвы. Получены многофакторные степенные зависимости осадок фундаментов крестообразной формы в связных и несвязных грунтах. Показана возможность проектирования фундаментов по предельно допустимым осадкам.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод конечных элементов, метод угловых точек, крестообразный фундамент, анализ напряженно-деформированного состояния основания.
В практике строительства для зданий с каркасной схемой, как правило, используются отдельно стоящие фундаменты на естественном основании квадратной и прямоугольной формы подошвы. Для снижения материалоемкости нулевого цикла целесообразно использование эффективных конструкций фундаментов с крестообразной формой подошвы.
Основное достоинство крестообразных фундаментов по сравнению с типовыми решениями является качественно лучшая совместная работа с основанием как под подошвой, так и в промежутках между выступами.
По данным профессора Е. А. Сорочана установлено, что изменение формы фундамента от квадратной к крестообразной оказывает значительное влияние на все компоненты напряженно-деформированного состояния грунтового основания [1]. Оптимизация формы подошвы фундаментов, устройство выступов позволяет включить в работу больший объем грунта, трансформировать эпюру контактных напряжений, снизить осадки фундаментов. В современных нормах отсутствует методика расчета фундаментов со сложной формой подошвы.
Для загрузки прямоугольной площади поверхности основания равномерно распределенной нагрузкой А. Лявом [2] были определены величины вертикальных сжимающих напряжений аг. В. Г. Короткин [3], используя функции напряжений акад. Б. В. Галеркина, получил формулы для всех составляющих напряжений и перемещений при действии равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площадке. Значения вертикальных напряжений представлены в виде:
2п [
агсЬд
Ос + оКу -Ь Ь)
аг^д
Ос + о~)(у-Ь)
гЛСг а}2 + (у-ЬУ + 2"
-\-arctg
(х-аХу-Ь)
г%'(х-а)" + (у-ЬУ
arctg
Ос - оХу + ¿0
г^0с-а): +(:у + ЬУ+г:
+
При х = у = 0 выражение для ^принимает вид:
2д
аг^д
аЬ
аЬг{аг + Ьг +
а2 4- Ъг (а1 + гг)(а: 4- г:)\/иг 4- Ъг -|-г:
Рис. 1. Расчетная схема приложения прямоугольной нагрузки на основание
Напряжения для точек, расположенных на глубине 2 на прямой, проходящей через одну из угловых точек прямоугольной площадки за-гружения, принимают вид [4]:
д (тт 4 аЬг
2к\2 (4а* -I-ггК'г4огТ4ЬгТгт
Ъ 4о: 4 4Ь2
хч 4 4Ь2 + г* , -аг^д-;—;-+ (1 -
аг^д — — аг^д а
(1)
■ЬаЬж
г\'4о! 4 4Ь2 4 — аг&д-;—;-4
у 2ж(2 (4ъ2 4 ггК''4о" 4 4Ьг |г:
о\'4ог 4 4й г 4
агсЬд — — аг^д
2ж
4(1 - 2ц)
4пЬг(4аг 4 4йг 4 2г2~)
Ъг
(4о- 4 гг)(4Ь2 4 4 4йг 4гг
: г 1 1
4 огсЬд
4пй
гл/4о! 4 4Ьг
п УеЧ4:Ь2 4 (4а! 4 гг№
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Вертикальные напряжения ст2 по оси прямоугольной площадки за-гружения равны учетверенным значениям напряжений с2 в соответствующих точках, расположенных на удвоенной глубине на вертикалях, проходящих через углы площадки нагружения:
Для удобства вычислений составлены таблицы значений с2 и 0 и эпюры распределения напряжений о2, ах, су,тх2,тух,ту2 [3],[4].
— о, 4- оу + ах
(
Для определения напряжений в основании крестообразного фундамента используем метод угловых точек.
Рис. 2. Расчетная схема крестообразного фундамента при определении напряжений
по методу угловых точек Для определения напряжений в точке М на прямой, не проходящей через одну из угловых точек, целесообразно разделить площадь загружения на три прямоугольника AMCK, BMDE иBMCF. Затем определяются напряжения в точке М от загрузки каждого из указанных прямоугольников в отдельности, и полученные результаты суммируются:
= -".-..'.:;.' _ ге:.:Е ~ гЕ:.:Р • (8)
Вертикальные напряжения под углом загруженного прямоугольника определяются по формуле:
■".- = (9)
где Кс - табличный коэффициент для определения сжимающих напряжений по вертикали, проходящей через угловую точку загруженного прямоугольника [35]. Вертикальные сжимающие напряжения под центром крестообразного фундамента на глубине z/2 равны учетверенной величине напряжений ст,на некоторой глубине г под углом загруженного прямоугольника в точке М.
На рис. 3 представлены эпюры распределения вертикальных напряжений от единичной нагрузки в основании крестообразного фундамента: точка М -под центром фундамента; точка В - по краю; точка N - между выступами фундамента.
0 02 0,4 0,6 0,8 1
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
3,0
гУЬ
/
/
л — Точка М
УЧ
0 0,2 0.4 0,6
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0 т1Ь
/ /
/
/
/
Точка Р
Рис. 3. Распределение вертикальных напряжений в основании крестообразного
фундамента
Вертикальное перемещение точки на глубине г под углами прямоугольной загруженной площадки со сторонами а и Ь определяются по формуле [6]:
аЧ , - / 1 — 2ц \
(10)
где
-=(
\'1+ш2+т12+ш V1 4- т1 4- пг + 1
1п _ -7- 4- ш1п
>
В = - аг^д ■
\'Ц-ш24-п2-ш VI 4- «гг 4- я2
■: = - - - коэффициент Пуассона.
т = ■
и*.11 + в:г +
Значения А и В приведены в таблице, составленной М. Е. Харром [6].
Применяя принцип суперпозиции можно определить вертикальное перемещение любой точки в массиве грунта.
Для частного случая вертикальных перемещений поверхности грунта (е = 0) значения коэффициента В в уравнении (10) равны нулю. Имеют смысл только величины коэффициента А, соответствующие п — 0.
При приложении нагрузки по прямоугольной площади шириной 2а и длиной 2Ь можно определить соответствующие вертикальные перемещения по формуле:
.. (11) ь
Значения безразмерного коэффициента К0 определяются по табл. 1 [5]. Осадку крестообразного фундамента можно определить по методу эквивалентного слоя угловых точек [5]. Осадка угловой точки загруженной прямоугольной области равна '/г осадки ее центра.
Соотношение между коэффициентами эквивалентного слоя для угловой точки прямоугольной, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, и ее центром имеет вид:
Ай)с = ■
; Аш„ ,
2 "' (12) где А(УС - коэффициент эквивалентного слоя для угловых точек прямоугольной площади загрузки, определяется по таблице [5].
Для определения осадки крестообразного фундамента используем метод угловых точек, согласно которому рассматриваемую точку М (рис. 2) располагают так, чтобы она была угловой. В этом случае осадка точки М поверхности грунта под действием равномерно распределенной нагрузки будет равна алгебраической сумме осадок грунта от соответствующих прямоугольных площадок загружения, для которых она является угловой:
(13)
где Клмаг = (А' Ь/6; ¡Чзмве = (МОякве ' Квмсг = ^Я^вжг ' Ь/б.
Используя принцип суперпозиции, осадку центра крестообразного фундамента определяем как сумму осадок угловой точки М симметричных прямоугольных площадей загружения.
Произведем сравнение теоретических данных с результатами полевых натурных штамповых испытаний крестообразного фундамента. Для полевых экспериментов использовался штамп с крестообразной формой подошвы при Ь = 94,8 см, площадь подошвы 5000 см2 в соответствии с ГОСТ 20276-2012. На опытной площадке №1 в основании штампа залегает связный грунт (суглинок мягкопластичный) с у= 19,2 кН/м3; с = 25,0 кПа; (р= 19°; Е = 17,0 МПа. Результаты штамповых испытаний крестообразного фундамента показаны на рис. 4.
О 50 100 150 200 250 300 350
О •^с-т------ Р, КН
3, мм
Рис. 4. Зависимость 5"= /(Р) для крестообразного штампа (связный грунт)
По данным экспериментальных исследований в пределах линейной зависимости 5 = /(Р) осадка крестообразного фундамента при Р = 0,100 МПа составляет 5 = 4,8 мм; при Р = 0,150 МПа соответственно 5 = 7,6 мм.
Вычислим теоретическую осадку крестообразного фундамента площадью подошвы 5000 см2 для инженерно-геологических условий площадки №1 по методу эквивалентного слоя угловых точек (рис. 8):
При^ = 0,100 МПа:
®И = ^ЗАМСК + ^ЭЕМВЕ ~ ЬэВУ1Ср)тиР =
Осадка центра крестообразного фундамента составляет 5 = = 4,40 мм.
При^ = 0,150 МПа:
®И = ^ЗАМСК + ^ЭЕМВЕ ~ ЬэВУ1Ср)тиР =
Осадка центра крестообразного фундамента составляет
Таким образом, предложенный метод позволяет оценить напряженно- деформированное состояние основания крестообразного фундамента в пределах линейной зависимости 5 = /(Р) [7].
Для оценки напряженно-деформированного состояния основания крестообразного фундамента была решена пространственная задача методом конечных элементов [8] с одновременным учетом прочностных и деформационных свойств грунта с использованием геотехнического комплекса Р1ах18. Грунт в до предельном состоянии представляет собой сплошную линейно деформируемую среду, переходящую с последующим нагружением в предельное (пластическое) состояние в соответствии с критерием текучести (прочности) Мора-Кулона [9]. Расчет выполняется с использованием шаговой процедуры приложения нагрузки. По контакту подошвы фундамента с основанием принято условие полного прилипания. Расчетная область основания принималась с размерами 10,0x10,0x15,0 м (рис. 5).
Рассмотрим основные результаты исследования осадок фундаментов, представленные на рис. 6. Исследованиями установлено, что осадка фундамента
крестообразной формы при давлении Р = 400 кПа в связном грунте в 1,27 раза меньше осадки фундамента квадратной формы.
Рис. 5. Расчетная схема МКЭ (пространственная задача)
б)
Рис. 6. Зависимости 5=/(Р) для связного (а) и несвязного грунта (б): 1 - квадратный штамп; 2 - крестообразный штамп
Наличие выступов по подошве фундамента положительно влияет на грунта в основании по сравнению с моделью квадратной формы[7], [10].
а)__б)
работу
Рис. 7. Изолинии вертикальных перемещений (а) и вертикальных напряжений (б) в основании квадратного и крестообразного фундаментов для связного грунта
при Р = 400 кПа
На рис. 7,а приведены изолинии вертикальных перемещений в основании (связный грунт) для квадратного и крестообразного фундаментов. Переход к крестообразной форме подошвы фундамента приводит к снижению величины наибольших вертикальных перемещений на уровне подошвы в 1,27 раза при Р = 400 кПа. Ширина зоны деформации для крестообразного фундамента в 1,25 раза больше, чем для квадратного фундамента за счет включения в работу большего объема грунта в активной зоне. На глубине 0,56 вертикальные пе-
ремещения Uz составляют соответственно 82 мм (квадратный) и 63 мм (крестообразный штамп). Глубина зоны деформации квадратного и крестообразного фундамента при Р = 400 кПа соответственно составляет 1,82Ь и 1,76Ь.
Анализ распределения вертикальных напряжений аг в связном грунте показывает, что зафиксирована концентрация напряжений в плоскости подошвы, максимальные значения az при Р = 400 кПа для квадратного и крестообразного штампов составили соответственно 380,9 кПа и 386,3 кПа. Из приведенных данных видно (рис. 7,6), что для фундаментов имеет место различный характер распределения и затухания напряжений az с глубиной. Для крестообразного фундамента напряжения az распределяются в активной зоне по большей площади и быстрее затухают с глубиной. На глубине 0,75Ь от подошвы квадратного штампа значения az снижаются 1,17 раза, для крестообразного штампа снижаются соответственно в 1,72 раза.
Для использования в проектной практике решений нелинейных задач механики грунтов представляется возможным выявить влияние факторов (щ; с; E; у; p; H/Ь; K) на осадку крестообразного фундамента. В качестве математической модели, связывающей величину осадки крестообразного фундамента с исходными параметрами, принята многофакторная степенная зависимость:
V
U.Li р \il f Lf J ¿1
■" =-:-:--(для связного грунта);
2441.06 р^ШЬ^Я0^ : =-' _ -—--(для несвязного грунта), (15)
где Н - мощность сжимаемого слоя; К - масштабный коэффициент.
Сопоставление полученных нелинейных решений с данными статических испытаний фундаментов с различной формой подошвы указывает на их хорошее соответствие и возможность проектирования эффективных фундаментов со сложной формой подошвы, исходя из условия достижения предельно допустимых осадок.
Л и т е р а т у р а
1. Сорочан Е. А. Фундаменты промышленных зданий. - М.: Стройиздат, 1986. -303 c.
2. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.
3. Короткин В. Г. Объемная задача для упругого изотропного полупространства // Сб. Гидроэнергопроекта, 1938. - №4. - С. 52-85.
4. Флорин В. А. Основы механики грунтов, т. 1. - Ленинград: Госстройиздат, 1959. - 356 с.
5. Цытович Н. А. Механика грунтов. - М.: Госстройиздат, 1963. - 636 с.
6.Харр М. Е. Основы теоретической механики грунтов. М.: Стройиздат, 1971. -320 с.
7. Van Baars S. The inclination and shape factors for the bearing capacity of footings // Soils and Foundations. -2014. - Vol. 54. - №1. - P. 985-992.
8. Tezzon E., Tullini N, Minghini F. Static analysis of shear flexible beams and frames in adhesive contact with an isotropic elastic half-plane using a coupled FE-BIE model // Engineering Structures. - 2015. - Vol. 104. - №1. - P. 32-50.
9. Esen I. A new finite element for transverse vibration of rectangular thin plates under a moving mass// Finite Elements in Analysis and Design. - 2013. - Vol. 66.-№66.- P. 26-35.
10. Wei H.W., Wu Y.Z., Yu Z.H. Design parameter optimization of beam foundation on soft soil layer with nonlinear finite element // Journal of Central South University. - 2012. -Vol. 19. - №6. - P. 1753-1763.
References
1. Sorochan, E.A.(1986). Fundamenty Promyshlennykh Zdaniy, Moscow: Stroyizdat, 303 p.
2. Lyav, A. (1935). Matematicheskaya Teoriya Uprugosti, Moscow: ONTI, 674 p.
3. Korotkin, V.G. (1938). Obyomnaya Zadacha dly Uprugogo Izotropnogo Poluprostranstva, Sb. Gidroenergoproekta, №4, p. 52-85.
4. Florin, V. A. (1959). Osnovy Mekhaniki Gruntov, tom 1. Leningrad: Gosstroyizdat, 356 p.
5. Tzytovich, N. A. (1963). Mekhanika Gruntov, Moscow: Gosstroyizdat, 636 p.
6. Kharr, M. E. (1971). Osnovy Teoreticheskoy Mekhaniki Gruntov, Moscow: Stroyizdat, 320 p.
7. Van Baars, S. (2014). The inclination and shape factors for the bearing capacity of footings, Soils and Foundations, Vol. 54, №1, p. 985-992.
8. Tezzon, E., Tullini, N, Minghini, F. (2015). Static analysis of shear flexible beams and frames in adhesive contact with an isotropic elastic half-plane using a coupled FE-BIE model, Engineering Structures, Vol. 104, №1, p. 32-50.
9. Esen, I. (2013). A new finite element for transverse vibration of rectangular thin plates under a moving mass, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 66, № 66, p. 26-35.
10. Wei, H.W., Wu, Y.Z., Yu, Z.H. (2012). Design parameter optimization of beam foundation on soft soil layer with nonlinear finite element, Journal of Central South University, Vol. 19, №6, p. 17531763.
The article presents the results of analytical numerical calculations of the cruciform foundations under the uniformly distributed load. The distributions of the stresses and displacements in active zone of the cross-shaped foundations are featured. The comparison of experimental and analytical settlements of complex form foundations is carried out. Multifactor power dependences are gained to define the settlements of cruciform foundations on cohesive and non-cohesive soil basement. The ability of the effective foundation forms using the condition of the maximum allowable settlement is featured.
KEY WORDS: finite element method, corner point method, cruciform foundation, stressstrain analysis.
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПЕРФОРИРОВАННОЙ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ С КОНЦЕВЫМИ ЗОНАМИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Б.Б. КАЗБЕКОВ, аспирант
Институт математики и механики НАН Азербайджана Азербайджан, AZ1141, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9; e-mail:brrustam@mail.ru
Дается решение задачи о поперечном изгибе тонкой пластины, защемленной по краям отверстий и ослабленной двоякопериодической системой прямолинейных сквозных трещин с пластическими концевыми зонами, коллинеарных осям абсцисс и ординат неравной длины. Строятся общие представления решений, описывающие класс задач с двоякопериодическим распределением моментов вне круговых отверстий и прямолинейных трещин с концевыми зонами пластических деформаций. Удовлетворяя граничным условиям, решение задачи теории изгиба пластин сводится к двум бесконечным системам алгебраических уравнений и двум сингулярным интегральным уравнениям. Затем каждое сингулярное интегральное уравнение сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: перфорированная тонкая пластина, прямолинейные трещины с концевыми зонами, поперечный изгиб, зоны пластических деформаций.
Постановка задачи. Рассмотрим изотропную упругую пластину, опертую или защемленную по краям периодической системой круговых отверстий, которая изгибается под действием постоянной поперечной нагрузки. Материал
SOIL BASEMENT ESTIMATIONS OF THE CROSS-SHAPED ISOLATED FOUNDATIONS
S.P. Ivanov, A. V. Glushkov,
Volga State University of Technology, Russia, Yoshkar-Ola.
