Вариант многосеточного метода для решения двумерных и трехмерных краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция 1 21

СЕКЦИЯ 1

Методы вычислительной алгебры и решения уравнений математической физики

Краевая задача об одномерном пучке электронов на отрезке

А. С. Аникина, М. Е. Коржова, Б. А. Марков Южно-Уральский государственный университет Email: [email protected] DOI: 10.24412/cl-35065-2022-1-00-01

Рассмотрена задача динамики пучка электронов, вытягиваемого из катода на отрезке. Сложность задачи состоит в необходимости решения краевой задачи, что создает дополнительные трудности [1].

Задача из системы двух уравнений была сведена с помощью преобразования к одному квазилинейному уравнению первого порядка и построено формальное решение в виде неявно заданной функции [2]. Обращение неявно заданной функции в силу наличия двух краевых условий на разных концах отрезка потребовало решения задачи с запаздыванием.

Для иллюстрации метода построено в явном виде решение задачи в несложном частном случае, доказаны теоремы единственности и существования.

Список литературы

1. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических магнитных явлений // М.-Л., 1946. 732 с.

2. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике // М.: Наука, 1968. 592 с.

Вариант многосеточного метода для решения двумерных и трехмерных краевых задач

М. А. Баталов1, В. П. Ильин2, А. В. Петухов2, Я. Л. Гурьева2 1Новосибирский государственный университет

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Email: [email protected]

DOI: 10.24412/cl-35065-2022-1-00-02

Исследуются многосеточные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получаемых из пятиточечной аппроксимации задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка в прямоугольной и параллелепипедальной расчетной области на регулярной сетке. Предлагаемые алгоритмы для двумерных и трехмерных задач формулируются как специальные варианты итерационных процессов неполной факторизации в подпространствах Крылова с иерархической рекурсивной структурой векторов, соответствующей последовательности вложенных сеток и образующей блочно-трехдиагональное рекурсивное представление матрицы исходной алгебраической системы. Рассматриваются различные варианты операторов редукции и продолжения решения, в том числе с применением чебышевского ускорения. Оптимизация скорости сходимости итерации осуществляется на принципе компенсации, или согласования строчных сумм, а также путем конструирования симметричной последовательной блочной верхней релаксации. Произвольный m-сеточной метод определяется как рекурсивное применение двухсеточного. Рассмотрение алгоритмов производится для простоты для СЛАУ с матрицами стилтьесовского типа. Обсуждаются вопросы обобщения алгоритмов на задачи более

22

Методы вычислительной алгебры и решения уравнений математической физики

широкого класса, в том числе с несимметричными матрицами. Приводятся результаты численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность исследуемых алгоритмов.

Безынтерполяционный LBM на неравномерных сетках

А. В. Березин1,2, А. В. Иванов1, A. Ю. Перепёлкина1 1Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН 2Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" Email: [email protected] DOI: 10.24412/cl-35065-2022-1-00-03

Метод решеточных уравнений Больцмана (LBM) [1] - схема численного решения кинетического уравнения Больцмана, в основе которой лежит применение квадратурных формул для вычисления моментов функции распределения, и, как следствие, ее дискретизация в пространстве скоростей. Измельчение исходной пространственной решетки для LBM в некоторой области на данный момент влечет за собой необходимость интерполяции данных на границе сеток разного масштаба [2, 3], что может снизить порядок аппроксимации LBM и привести к нарушению законов сохранения. Нами разработан безынтерполяционный метод построения LBM на неравномерных сетках с единым шагом по времени для сеток разного масштаба, основанный на двухступенчатой процедуре перекалибровки популяций (дискретных значений функции распределения), включающей в себя масштабирование неравновесной части функции распределения [4] и перекалибровку моментами [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 18-71-10004). Список литературы

1. Timm K. et al. The lattice Boltzmann method: principles and practice // Springer International Publishing AG Switzerland, ISSN. 2016. С. 1868-4521.

2. Rohde M. et al. A generic, mass conservative local grid refinement technique for lattice-Boltzmann schemes // International J. For Numerical Methods In Fluids. 2006. Т. 51. № 4. С. 439-468.

3. Fakhari A., Geier M., Lee T. A mass-conserving lattice Boltzmann method with dynamic grid refinement for immiscible two-phase flows // J. of Computational Physics. 2016. Т. 315. С. 434-457.

4. Filippova O., Hanel D. Grid refinement for lattice-BGK models // J. of Computational Physics. 1998. Т. 147. № 1. С. 219-228.

5. Dorschner B., Bosch F., Karlin I. V. Particles on demand for kinetic theory // Physical Review Letters. 2018. Т. 121. № 13. С. 130602.

Применение непрерывного метода решения операторных уравнений к приближенному решению амплитудно-фазовой проблемы

И. В. Бойков1, А. А. Пивкина2

Пензенский государственный университет

Email: [email protected], [email protected]

DOI: 10.24412/cl-35065-2022-1-00-05

Работа посвящена приближенным методам восстановления сигналов по неполной информации. Рассматриваются задачи восстановления сигналов (в одномерном и многомерном случаях) по амплитуде их спектров, восстановления фазы сигнала по амплитуде спектра и ряд других задач. Общим при исследовании этих задач является характер математических моделей - они описываются нелинейными интегральными уравнениями Фредгольма первого рода. Вычислительные схемы строятся по технологии методов сплайн-коллокации и механических квадратур. Так как полученные системы нелинейных алгебраических