Вариант интерпретации спектров пропускания света в скрещенных поляроидах в холестерическом жидком кристалле с большим шагом спирали Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вариант интерпретации спектров пропускания света в скрещенных поляроидах в холестерическом жидком кристалле с большим шагом спирали

Шипов Николай Викторович

доцент кафедры высшей математики и физики, Мытищинский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана, [email protected]

В рамках многоволнового приближения, используя ортогональность двух собственных круговых поляризаций, установлена справедливость двухволнового приближения для малых углов 6 отклонения волны от оптической оси холестерического жидкого кристалла (ХЖК) с большим шагом спирали P ~ Л / 5, где Л - длина волны, 5 - диэлектрическая анизотропия. Частотные зависимости коэффициентов пропускания света в

скрещенных поляроидах Тла (ш), Т^^ш) находятся в хорошем согласии с известными экспериментальными спектрами, которые оказываются существенно нерезонансными и асимметричными. Амплитуда биений частотной зависимости Тла остается порядка единицы даже в пределе больших частот, и в общем случае произвольной ориентации Ф директора на входной поверхности планарного слоя не убывает с ростом частоты в отличие от исследованных спектров при наклонном падении света.

Ключевые слова: линейная поляризация, оптическая ось ХЖК, планарный слой

Для описания дифракционной оптики в совершенных кристаллах используется разложение амплитуд поля в ряд Фурье по векторам обратной решетки [1,2,3], в частности для описания спектров пропускания света в планарном слое ХЖК с большим шагом спирали при наклонном падении света по отношению к оптической оси ХЖК требуется учет многоволновой структуры поля в кристалле [4].

В настоящей работе для описания оптики ХЖК с большим шагом спирали в рамках многоволнового приближения при незначительных откло-неиях в волны от оси холестерика развивается подход, который существенным образом в качестве малого параметра в учитывает отклонение в волны от оптической оси.

Вне области селективного отражения при наклонном падении света холестерик аналогичен одноосному кристаллу [1]. Однако приближение плоской линейно поляризованной волны становится несправедливым, если длина волны оказывается порядка Я « Р3 .

Основное внимание в данной работе уделим дифракции линейно-поляризованной волны при малых углах в отклонения падающей волны от оптической оси ХЖК с большим шагом спирали.

В связи с этим для анализа многоволновой структуры поля при малых углах 6 целесообразно напомнить основные уравнения, описывающие двухволновую структуру поля при распространении волн вдоль оптической оси т ХЖК [1].

Тензор диэлектрической проницаемости ХЖК имеет вид

(е + едсоъъ ±е3БШЕ 0 ^

£(2) =

+ еб бш и е-едсоътг

0

0

0

е-еб

(1)

где ось т направлена вдоль спиральной (оптической) оси,

е = (е1 +е2).2 , 3 = (е1 -е2)/(е1 +е2), е1;е2 = е3 -главные значения тензора диэлектрической проницаемости. Два знака в (1) отвечают двум геометри-

х

X

о

го А с.

X

го т

о

ю 7

М О

а>

о

см

I-«. О!

О Ш

т

X

<

т о х

X

ческим возможностям: плюс - правой, а минус - левой холестерической спирали, т = 4я/Р.

Будем учитывать начальную ориентацию директора Ф (направление длинной оси молекул) на входной плоскости планарного слоя ХЖК. Тогда разложение тензора диэлектрической проницаемости (1) в ряд Фурье по векторам обратной т в отличие от [2], где угол Ф равнялся нулю, принимает вид

где

= ^ е5 exp(¡szт) ■

(е 0 0 0 е 0 0 0 е-е8

( 1 + \ 01

е8 -1 0

е±1 + \

= 2

0 0 0

(2)

ехр(±21б) '

е3 = 0 при £ ^ 2 .

Для волны, распространяющейся вдоль оптической оси т ХЖК, уравнения Максвелла с диэлектрической проницаемостью (2) принимают вид

д2Ё е д2Е (3)

&2 с2 да2

где Ё - вектор электрического поля, перпендикулярный оси т. Поле в кристалле представляется в виде суммы двух плоских волн:

Ё = п- Е= ехр

¡(Ъ +—)z - ¡Ш 2

+ п+Е+ ехр

¡(Ъ--)z - ¡Ш

2

, (4)

где п± = (х ± ¡¡у)/>/2 - единичные орты циркулярных поляризаций, а - частота света. Подставляя (4) в (3), приходим к следующей системе уравнений для амплитуд поля в (4):

[%2 - (Ь + т/2)2 ]Е++5%2Е- = 0 ,

бх2Ё + +[^2 -(Ъ-т/2)2]Е-= 0,

Х = а4е/с (5)

Из условия разрешимости системы (5) приходим к характеристическому уравнению для Ь:

[Ж2 - (Ь + Т2)2][^2 -(Ъ-т/2)2]-^У = 0, откуда находим параметр Ь:

/4 ±%у[

Ь = ±

*2 +т2

(6)

Два решения (4), отвечающие второму знаку плюс в (6), описывают две волны слабо взаимодействующие с кристаллом, так как отношение амплитуд волн Ё + и Е- оказывается меньше единицы. Эти две волны отличаются только направлением распространения. Волны Ё + и Ев этом случае в (4) оказываются поляризованными по кругу в направлении, противоположном знаку спирали кристалла.

Два других собственных решения, отвечающие второму знаку минус в (6), описывают волны сильно взаимодействующие с кристаллом, так как для них отношение амплитуд Ё + и Е- в (4) оказывается порядка единицы вблизи брегговской частоты

Шв = ст . Волны Ё + и Е в собствен-

ных решениях (4) оказываются поляризованными по кругу в направлении, совпадающем со знаком спирали кристалла. По мере отклонения частоты а от брегговской частоты ав отношение амплитуд Ё + и Е- быстро уменьшается, так что мы имеем две циркулярно-поляризованные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Однако при дальнейшем возрастании частоты, когда начинает выполняться соотношение 8х ~ т , указанное отношение амплитуд

Ё + и Е- снова возрастает

В настоящей работе мы рассматриваем кристалл с большим шагом спирали, 5%&т. При больших частотах (предел Могена [1]), 5%»т, длина волнового вектора к0 = Ъ + т/2 в (6) оказывается равной Х4\±5 , а отношение амплитуд Ё + и Е- равно ± 1. Поэтому в первом случае сумма амплитуд Ё + и Е- циркулярно-поляризованных волн в (4) дает линейную поляризацию, совпадающую с направлением длинной оси молекул в каждой точке кристалла, а во втором случае - линейную поляризацию перпендикулярную длинной оси молекул в каждой точке кристалла. Это обстоятельство далее будем учитывать при анализе частотной зависимости коэффициента пропускания падающей на кристалл циркулярно-поляризованной волны.

Пусть теперь на кристалл падает линейно-поляризованная в плоскости ХО2 волна ( п - поляризация) под малым углом в к оптической оси 2. Диэлектрическую проницаемость внешней среды, то есть диэлектрическую проницаемость внешних оболочек планарного слоя ХЖК, считаем равной средней диэлектрической проницаемости е кристалла. Таким образом мы не учитываем возможное отражение света (отражение Френеля) на границах планаргого слоя ХЖК. Частотная зависимость интенсивности проходящей через кристалл волны линейно-поляризованной вдоль оси ОУ (а- поляризация) определятся разностью дифракционных изменений волновых векторов к0 и

к1 = к0 +т в (6) . Разумеется для тех частот, при

которых коэффициент пропускания фиксированной линейной поляризации должен был бы обра-

титься в ноль вследствие дифракционных изменений волновых векторов, отражение Френеля на практике приведет к ненулевому значению рассматриваемого коэффициента пропускания. Однако частотная зависимость коэффициентов отражения Френеля определяется частотной зависимостью диэлектрической проницаемости, которая пренебрежимо мала по сравнению с частотной дифракционной зависимостью волновых векторов к0 и к1 . Поэтому отражение Френеля на

границах планарного слоя не может оказать влияния на положение частотных максимумов и минимумов коэффициентов пропускания света фиксированной линейной поляризации.

Считаем, что волновой вектор % линейно-поляризованной волны во внешней среде составляет малый угол в с оптической осью т, где

% = / с . Для рассматриваемого диапазона частот (3% ) в выражениях для амплитуд поля Е + и Е- в (6) сохраняем слагаемые порядка

3. Непоперечность волн для произвольных направлений распространения в кристалле, как известно [1], также порядка 3. Проектирование

векторных амплитуд Е+ и Е- на направления, перпендикулярные к волновым векторам к0 и к1

определяется множителем соБв . Поэтому допустимые значения угла в оказываются порядка

43.

Для коэффициента пропускания света в скрещенных поляроидах ( то есть для интенсивности а -поляризованной составляющей в проходящем свете при падающей на кристалл линейной п -поляризованной волне) при Ф = 0 находим:

Тла = (т/ г)2мп2(Ьг /2) .

T"" = 1 - Tжа , r -^т2 +52х2 .

(7)

В общем случае, когда угол Ф не равен 0, 90 или 180 градусам, в планарном слое возбуждаются обе собственные волны. Поэтому амплитуда

биений частотной зависимости Тла остается порядка единицы даже в пределе больших частот.

Характер биений Тли при малых углах в является существенно нерезонансным и асимметричным, когда угол Ф не равен 0, 90 или 180 градусам, Если же угол в нельзя считать малым, то с

ростом частоты амплитуда биений Тли уменьшается [4].

Для условий эксперимента [4], где Ф = 0, V = 4 р, максимумы и минимумы частотной зависимости (7) описываются выражениями

гЬ = 2тк + ж, к = 1,2,... (8а)

rL = 2лк, k = 1,2,... (8 б)

Приведем параметры экспериментального спектра [4] пропускания света в скрещенных поляроидах под углом 0 = 29 градусов к спиральной оси холестерического жидкого кристалла: анизотропия показателя преломления А n = 0.22, шаг спирали p = 9.5 мкм. Число полувитков спирали 8. Поэтому директор на входной и выходной поверхности планарного слоя холестерического жидкого кристалла ориентирован одинаково. Директор на водной поверхности планарного слоя расположен в плоскости падения, то есть Ф = 0.

Расчет положений частотных максимумов для указанных выше параметров эксперимента [4] по формуле (8а) приводит к следующим значениям обратной длины волны 1 / Л ( выраженных в мкм - 1 ) 1.45; 1.59; 1.73; 1.86 . (9)

Соответствующие частотные максимумы, найденные по экспериментальному спектру пропускания света в скрещенных поляроидах [4], оказываются равными

1.45; 1.60; 1.74; 1.87. (10)

Расхождения во втором знаке по видимому как раз и обусловлены точностью используемого дву-хволнового приближения, поскольку ö ~ 0.1.

Величины частотных максимумов Тла (ы) , рассчитанные по формуле (8а) также согласуются с кспериментальными данными и не превышают значений 0.3 - 0.4.

Что касается частотных минимумов Тла (ы), то в рассматриваемом приближении, как следует из (7), они все равны нулю. Экспериментальные

данные всех минимумов Тла (ы) равны приблизительно 0.05, Одной из возможных причин расхождения положений частотных минимумов (наряду с обсуждавшейся выше точностью решений порядка ö ) является тот факт, что при решении граничной задачи показатель преломления внешней среды считался равным среднему показателю преломления холестерического жидкого кристалла, то есть не учитывалось френелевское отражение на границе планарного слоя ХЖК и внешней среды пластины , ограничивающей слой ХЖК с двух сторон.

Таким образом, использованное выше двух-волновое приближение при малых углах 0 адекватно описывает дифракционную природу биений частотных зависимостей коэффициентов пропускания света, обусловленную возбуждением в кристалле двух собственных мод в (б).

Литература

1. Беляков, В.А., Сонин А.С. Оптика холесте-рических жидких кристаллов. // М. : Наука, 1982. -320 с.

2. Шипов Н.В. О дифракции циркулярно-поляризованной волны в холестерических жидких

X X

о го А с.

X

го m

о

ю 7

М О

кристаллах с большим шагом спирали при малых отклонениях от спиральнлй оси. // Инновации и инвестиции. Сер. Современные технологии, 2018. № 6. С. 150-154.

3. Шипов Н.В. Вариант обобщения теоремы Штейнгауза о равномерно равносходящихся рядах Фурье. // Инновации и инвестиции. Сер. Современные технологии, 2017. № 12. С.244-247.

4. Хоштария Д.Г., Осадчий С.М., Чилая Г.С. Дифракция света в холестериках с большим шагом спирали. // Кристаллография, 1985. Т.30. Вып. 4. С. 755 - 757.

Linear polarization wave transmission in cholesteric liquid

crystal with large helical period Shipov N.V.

BMSTU (Mytishchi branch)

It is shown that the two-wave approximation is correct in the case of small wave direction divergence 6 with respect to helical axis z of the cholesteric liquid crystal with large helical period P ~ Л / 5 , where Л is light wave length, 5 - dielectric anisotropy of the cholesteric liquid crystal. The analysis is carried out in the case of multi-wave approximation. The frequency

dependencies of light transmission coefficients T"" (ш) ,

T"" (ш) are found, where U and G are the linear wave polarization signs. The variation amplitude of the light

TUG rp UU

(ш), 1 (ш) may reach unity. For example the light linear polarization may be transformed into opposite light linear polarization under wave length Л ~ P 5 and 6 ~ 20 degree of circle. The maximum and minimum

positions of frequency dependencies TUG (ш) , ТЖЖ(ш) are found. The theoretical and experimental maximum and

minimum positions of frequency dependencies TUG (ш) ,

Тли

(ш) are lying in good agreement. Key words: linear wave, optical axes, planar layer,

References

1. Belyakov, V.A., Sonin A.S. Optics of cholesteric liquid crystals. //

M.: Nauka, 1982.- 320 p.

2. Shipov N.V. On the diffraction of a circularly polarized wave in

cholesteric liquid crystals with a large spiral pitch at small deviations from the spiral axis. // Innovation and investment. Ser. Modern Technologies, 2018. No. 6. P. 150-154.

3. Shipov N.V. A variant of the generalization of the Steinghaus

theorem on uniformly equating Fourier series. // Innovation and investment. Ser. Modern technologies, 2017. No. 12. S.244-247.

4. Khoshtaria D.G., Osadchiy S.M., Chilaya G.S. Diffraction of light

in cholesterics with a large spiral pitch. // Crystallography, 1985.V.30. Vol. 4, p. 755 - 757.

a>

о

СЧ

I-«. Ol

О Ш

m

X

<

m о x

X