CC BY
8О ДИФРАКЦИИ СВЕТА В ХОЛЕСТЕРИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ С БОЛЬШИМ ШПГОМ СПИРАЛИ ПРИ МАЛЫХ
ОТКЛОНЕНИЯХ ОТ ОСИ
Шипов Николай Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент Московский государственный технический университет им.
Н.Э.Баумана, РФ, г. Мытищи
LIGHT DIFFRACTION IN CHOLESTERIC LIQUID CRYSTAL WITH LARGE HELICAL PERIOD АLONG AXES
Shipov Nikolay
Ph. D (Physics and Mathematics), Assoc. Prof., Moscow State Technical University
Аннотация
Установлено, что для незначительных отклонений 0 направления распространения волн от оси холестерического жидкого кристалла с большим шагом спирали справедливо двухволновое приближение, Р ~ X / 5, где X - длина волны, 5 - диэлектрическая анизотропия. Анализ проводится в рамках многоволнового приближения. Найдены частотные зависимости коэффициентов пропускания и отражения света, которые оказываются существенно нерезонансными и ассиметричными. Амплитуда биений в частотных зависимостях коэффициентов пропускания и отражения света может достигать единицы.
Ключевые слова: холестерический жидкий кристалл, шаг спирали, диэлектрическая анизотропия.
ABSTRACT
It is shown that the two-wave approximation is correct in the case of small wave direction divergence 0 with respect to helical axis z of the cholesteric liquid crystal with large helical period P ~ X / 5 , where X is light wave length, 5 -dielectric anisotropy of the cholesteric liquid crystal. The analysis is carried out in the case of multi-wave approximation. The variation amplitude of the light transmission and reflection coefficients may reach unity.
Дифракционная оптика в совершенных структурах, в частности в идеальных кристаллах, кода длина волны падающего излучения сравнима с периодом структуры, исследуется как теоретически и экспериментально на протяжении длительного периода времени как в рентгеновском диапазоне длин волн [1], так и в обычном световом диапазоне длин волн [2,3]. Традиционно для описания дифракции излучения в различных геометриях Брега или Лауэ при теоретическом подходе используется двухволновое приближение [1, 2]. Более узкие исследования в указанном приближении выявили возрастание спектральной плотности излучения заряженных частиц вблизи границ дифракционного (селективного) отражения [4, 5], а
также сдвиг порога черенковского излучения [6], что связано с дифракционным изменением эффективных показателей преломления вблизи границ селективного отражения. Соответствующие узкие максимумы вблизи границ селективного отражения выявлены при нелинейном преобразовании частоты [7, 8], однако частотные максимумы оказываются зависящими от толщины образца и при интегральном усреднении эффективность преобразования снижается [7 - 9].
Метод медленно меняющихся амплитуд использовался для анализа экспериментальных спектров пропускания света в планарном слое холе-стерического жидкого кристалла (ХЖК) с большим шагом спирали при наклонном падении света [10, 11] по отношению к спиральной оси ХЖК.
В настоящей работе развивается альтернативный подход с использованием многоволнового приближения для описания дифракционной оптики ХЖК с большим шагом спирали при наклонном падении света.
Известно, что вне области селективного отражения при наклонном падении света холестерик аналогичен одноосному кристаллу [2]. Однако приближение плоской линейно поляризованной волны становится несправедливым, если вектор обратной решетки т = 4п / P оказывается порядка величины двупреломления 5 % , P - шаг спирали, % = ю s1 /2 / с , s - диэлектрическая проницаемость, 5 - диэлектрическая анизотропия. Теоретический расчет с использованием метода медленно меняющихся амплитуд [10] и эксперимент [11] показали, что на длине волны X ~ 5 P падающая на кристалл п - поляризованная волна может быть преобразована в а - поляризованную волну и наоборот. Здесь п -орт поляризации в плоскости падения с осью ХЖК, а - перпендикулярен ей. Если же длина волны отличается от указанной, то такое рассеяние практически отсутствует в случае немалых углов 0 падения света с осью холестерика. Для малых углов 0 приближенный метод медленно меняющихся амплитуд становится неприменимым [10], поскольку двупреломление становится малым: по □ п e ~ 5 sin 2 0 ~ 5 2 .
В связи с этим представляет интерес более детальное изучение особенностей дифракции света в холестерике с большим шагом спирали, в частности при незначительных отклонениях 0 пучка света от оси ХЖК. Анализ вращения плоскости поляризации как раз усложняется именно в интервале частот X ~ 5 P [2].
Используем известную систему [2]. для пространственных поперечных фурье-компонент поля, отвечающих волновым векторам
kn = k о + n т , n = 0 , ± 1, ± 2, ... (1)
(so □ skn2/x2)En + ZssEn.s = 0, (2)
s
n = 0 , ± 1, ± 2, ...
В случае холестерического жидкого кристалла [2], отличными от нуля оказываются только пространственные фурье-компоненты so и s ± 1 тензора диэлектрической проницаемости, соответствующие s = 0, ± 1.
Будем считать, что угол 0 вектора k 0 с осью z холестерического жидкого кристалла является незначительной величиной, 0 ~ 5 1 /2 , а также малой величиной считаем т ~ 5 х . Проектируя уравнения (2) на циркулярные орты
По = (I cos 0 □ j □ z sin 0 ) / 21'2,
ni = (I cos 0 + j □ z sin 0 ) / 2
1 / 2
где I, j , z □ единичные орты ортогональной системы координат, приходим к системе связанных уравнений для амплитуд E0 , E 1 , E 2 и E -1 , причем только первые две амплитуды оказываются немалыми, а все остальные оказываются относительно них величинами порядка 5 и 0 2. То же самое можно сказать и относительно проекций E0 , E1 на сопряженные циркулярные орты.
Приведем только систему для E0 , E 1 с точностью до слагаемых порядка 5 и 02:
( 1 □ ко2 / X 2 ) Ео2 + 5 Е i = 0,
5Е0 + (1 □ ki2/х2 )Е i = 0, (3)
где выражаем вектор
k0 = х + z А (4)
через вектор
X = х ( I sin 0 + z cos 0 ), (5)
составляющий угол 0 с осью z во внешней среде с постоянной диэлектрической проницаемостью s.
Подставляя (4), (5) в (3), из условия равенства нулю определителя системы (3) находим два значения А k для двух собственных решений (мод) ХЖК:
А k = ( т ± (т 2 + 5 2 х 2 )1 / 2 ) /2 . (6)
Векторные амплитуды E (r) двух собственных мод ХЖК оказываются равными :
E (r) = no exp ( i k0 r ) + n exp (i ( k0 + т ) r ) , (7)
где
t = ( □ 4тг / P ) z
есть вектор обратной решётки ХЖК.
Подставляя (4), (5) в коэффициенты системы (3) , несложно получить оценку этих множителей :
1 □ ко2/х2~Ак/х-
Поскольку, как это следует из (5), величина А к оказывается порядка 5 X, то все слагаемы системы (3), включая и второй множитель 1 □ ki2 / х 2 , оказываются величинами порядка 5 . Здесь с практической точки зрения важно отметить, что допустимый угол 0 падения внешней волны в формуле может отклоняться от оси z ХЖК вплоть до значений порядка 5 1 / 2 . Типичные значения диэлектрической анизотропии 5 оказываются на практике величинами в диапазоне от 0.01 до 0.1. Поэтому можно надеяться, что формулы (4) □ (7), описывающие двухволновое приближение (7), получаемые в рамках многоволнового приближения, будут справедливы в плоть до углов 0 порядка 15 □ 20 градусов.
При падении на кристалл циркулярно поляризованной волны для ин-тенсивностей правой (левой) круговой поляризации в проходящем свете находим
Т+ = 1 □ Т_, Т_ = (5 х/ г)2 sin2 Lr /2 . (8)
В случае малого поглощения влияние холестерического жидкого кристалла сводится таким образом только к изменению поляризации и фазы волны. В частности, при L г = 2п m не изменяется также и поляризация проходящей волны. Напротив при частотах, удовлетворяющих условию
L r = п + 2п m (9)
В проходящем свете максимально представлена противоположная круговая поляризация. С увеличением частоты амплитуда биений возрастает. Так уже при частотах 5 х ~ 3 т интенсивность противоположной круговой поляризации в проходящем свете составляет до 90 %.
Найденные решения волнового поля могут использованы при анализе других оптических характеристик планарного слоя ХЖК.
Список литературы
1. Пинскер, З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. □ М. : Наука, 1982. -290 с.
2. Беляков, В.А., Сонин A.C. Оптика холестерических жидких кристаллов. □ М. : Наука, 1982. - 320 с.
3. Чигринов В.Г. Электрооптика жидких кристаллов. //Кристаллография,- 1982. - Т.27. □ Вып. 2. □ С. 404 - 430.
4. Шипов, Н.В., Беляков, В.А. К теории излучения Вавилова-Черенкова в холестерическом жидком кристалле. // Журн. эксп. и теоретич. физики. - 1978. - Т.75. □ Вып. 5. □ С. 1589 - 1601.
5. Шипов, Н.В. Дифракционные особенности излучения Вавилова-Черенкова холестерическом жидком кристалле. // Журн. эксп. и теоретич. физики,- 1984. - Т.86. □ Вып. 6. □ С. 2075 - 2090.
6. Беляков, В.А., Шипов, Н.В. О пороге излучения Вавилова-Черенкова в периодических средах // Журн. эксп. и теоретич. физики.
- 1985. - Т.88. □ Вып. 5. □ С. 1547 - 1550.
7. Belyakov, V.A., Shipov, N.V. On the enhancement of the Nonlinear Frequency Transformation in Periodic Media. // Phys. Lett. □ 1981. □ V.86A.
□ №. 5. □ C. 94-96.
8. Беляков, В.А., Шипов, Н.В. К теории нелинейно-оптического преобразования частоты в холестерическом жидком кристалле. // Журн. эксп. и теоретич. физики. - 1982. - Т.82. □ Вып. 4. □ С. 1159 - 1169.
9. Шипов, Н.В. О свойствах функционала Р(1/х) в пространстве обобщенных функций медленного роста. // Вестник МГУЛ □ Лесной Вестник.
□ 2010. □ Т.75, Вып.6. □ С. 183 □ 185.
Ю.Осадчий С.М. Дифракционная электрооптика холестериков сболь-шим шагом спирали. // Кристаллография. - 1984. - Т.29. □ Вып. 5. □ С. 976 - 983.
11. Хоштария Д.Г., Осадчий С.М., Чилая Г.С. Дифракция света в хо-лестериках с большим шагом спирали. // Кристаллография. - 1985. - Т.30.
□ Вып. 4. □ С. 755-757.
References
1. Pinsker, Z.G. Rentgenovskaya kristallooptika. [ X-rayed Optics of Crystals ] Moscjw : Nauka Publ., 1982, 290 p. (In Russian).
2. Belyakov, V.A., Sonin A.S. Optika kholestericheskikh zhidkikh kristal-lov. [Optics of choltsteric liquid crystals ] M. : Nauka Publ., 1982, 320 p(In Russian).
3.Chigrinov V.G. Elektrooptika zhidkikh kristallov. [ Optics of Liquid Crystals in Electric Field ] 1982, Vol. .27, no 2, pp. 404 - 430.
(In Russian).
4. Shipov, N.V., Belyakov, V.A. K teorii izlucheniya Vavilova-Cherenkova v kholestericheskom zhidkom kristalle. [On the theory Cherenkov Radiation in cholesteric liquid Crystals] Zhurn. eksp. i teoretich. fiziki. [Journal of experimental and theoretical Physics] 1978, Vol.75, no. 5. pp. 1589 - 1601. (In Russian).
5. Shipov, N.V. Difraktsionnye osobennosti izlucheniya Vavilova-Cherenkova v kholestericheskom zhidkom kristalle. [ Diffraction of Cherenkov Radiation in cholesteric liquid Crystals] Zhurn. eksp. i teoretich. fiziki.[Journal of experimental and theoretical Physics] 1984, Vol.86, no. 6. pp. 2075 - 2090. (In Russian).
6. Belyakov, V.A., Shipov, N.V. O poroge izlucheniya Vavilova-Cherenkova v kholestericheskom zhidkom kristalle. [Cherenkov Radiation Threshold in cholesteric liquid Crystals ] Zhurn. eksp. i teoretich. fiziki.[Journal of experimental and theoretical Physics] 1985, Vol.88, no. 5. pp. 1547 - 1550. (In Russian).
7. Belyakov, V.A., Shipov, N.V. On the enhancement of the Nonlinear Frequency Transformation in Periodic Media. // Phys. Lett., 1981, Vol.,86A, №. 5. pp. 94 - 96. (In Russian).
8. Belyakov, V.A., Shipov, N.V. K teorii nelineyno-opticheskogo preobra-zovaniya chastoty v kholestericheskom zhidkom kristalle. [On the theory on nonlinear frequency transformftion in cholesteric liquid Crystals] 1982, Vol.88, (In Russian).
9. Shipov, N.V. O svoystvakh funktsionala P(1/x) v prostranstve obob-shchennykh funktsiy medlennogo rosta. [About properties of functionality of P(l/x) in space of the generalized functions of slow growth] Vestnik MGUL □ Lesnoy Vestnik. [ MSFU announcer - the Forest announcer ] Vol.75, no. 6. pp. 183 - 185. (In Russian).
10. Osadchiy S.M. Difraktsionnaya elektrooptika kholesterikov sbol'shim shagom spirali. [ Light diffraction in cholesteric liquid Crystals with large helical period] Kristallografiya. [Crystallography] 1984,Vol.29, no.5, pp 976 - 983. (In Russian).
11. Khoshtariya D.G., Osadchiy S.M., Chilaya G.S. Difraktsiya sveta v kholesterikakh s bol'shim shagom spirali. [Light diffraction in cholesteric liquid Crystals with large helical period ] Kristallografiya. [Crystallography] 1985,Vol.30, no.4, pp. 755-757. (In Russian).
