CC BY
6О дифракции циркулярно-поляризованной волны в холестерических жидких кристаллах с большим шагом спирали при малых отклонениях от спиральной оси
Шипов Николай Викторович,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики (Мытищинский филиал) Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана, nvshi@mail.ru
В рамках многоволнового приближения, использующего Фурье-разложение амплитуд поля по векторам обратной решетки холестерического жидкого кристалла (ХЖК), проанализирована многоволновая структура электрическог поля при малых отклонениях падающей циркулярно-поляризованной волны от оптической оси холестерического жидкого кристалла. Установлено, что для незначительных
отклонений 0 направления распространения волн от оптической оси холестерического жидкого кристалла с большим шагом спирали Р справедливо двухволновое приближение, , где А - длина волны, О - диэлектрическая анизотропия кристалла. Двухволновое приближение, справедливое при малых отклонениях от оптической оси, существенно упрощает расчеты и последующий анализ частотных спектров отражения и пропускания света в пла-нарном слое холестерика. Найдены частотные зависимости коэффициентов пропускания падающей на кристалл цирку-лярно-поляризованной волны, а также частотные зависимости кругового дихроизма. Амплитуда биений в частотных зависимостях коэффициентов пропускания циркулярно-поляризованной волны может достигать единицы. Например, круговая поляризация может быть преобразована в противоположную круговую поляризацию уже при длинах
волн
А « РО , где Р - шаг спирали. Ключевые слова: циркулярнО-поляризованная волна, оптическая ось, планарный слой.
Для описания дифракции излучения в совершенных кристаллах используется разложение амплитуд поля в ряд Фурье по векторам обратной решетки кристалла [1,2,3]. Двухволновое приближение в случае, когда длина волны падающего излучения сравнима с периодом структуры ХЖК, успешно применяется для анализа экспериментальных спектров пропускания и отражения света в плнарном слое ХЖК [1]. Однако для анализа экспериментальных спектров пропускания света в планарном слое ХЖК с большим шагом спирали при наклонном падении света по отношению к оптической оси ХЖК требуется учет многоволновой структуры поля в кристалле [4].
В настоящей работе для описания оптики ХЖК с большим шагом спирали в рамках многоволнового приближения при незначительных отклонениях 0 волны от оси холестерика развивается подход, который существенным образом в качестве малого параметра 0 учитывает отклонение 0 волны от оптической оси.
Вне области селективного отражения при наклонном падении света холестерик аналогичен одноосному кристаллу [1]. Однако приближение плоской линейно поляризованной волны становится несправедливым, если длина волны оказывается порядка А « РО .
Основное внимание в данной работе уделим дифракции циркулярно-поляризованной волны при малых углах 0 отклонения падающей волны от оптической оси ХЖК с большим шагом спирали.
В связи с этим для анализа многоволновой структуры поля при малых углах 0 целесообразно напомнить основные уравнения, описывающие двухволновую структуру поля при распространении волн вдоль оси т ХЖК [1].
Тензор диэлектрической проницаемости ХЖК имеет вид
ё(х) =
(е + еОсовя ±еО$тъ ±ёО$тъ е-еОсовя
0 0
Л
0
0
е-еО
(1)
О 55 I» £
55 П П Н
о ы
а
где ось г направлена вдоль спиральной (оптической) оси,
е = (е +е2)2 , 5 = (е + е),
& Л , ¿^Л ¿^Л
главные значения тензора диэлек-
трической проницаемости. Два знака в (1) отвечают двум геометрическим возможностям: плюс - правой, а минус - левой холестерической спирали, т = 4я/Р /
Разложим тензор (1) в ряд Фурье по векторам обратной т :
&(2) = Х&веХР(^т) , (2)
где
(е 0 0 ^ 0 е 0
ч 0 0 е-е5у
е5 = 0 при Ы ^ 2
е5
( 1
+1
+1 -1
0 ^ 0
V 0 0 0у
Для волны, распространяющейся вдоль оптической оси г ХЖК, уравнения Максвелла с диэлектрической проницаемостью (2) принимают вид
д2Ё е д2Е
(3)
д22
С2 дг2
где Ё - вектор электрического поля, перпендикулярный оси г. Поле в кристалле представляется в виде суммы двух плоских волн:
Ё = п-Е= ехр
¡(Ь + —) г - ¡аг 2
+ п+ Е+ ехр
¡(Ь--)г - ¡аг
2
, (4)
а
«
а б
где п± = (х ± ¡у)/42 - единичные орты циркулярных поляризаций, а - частота света. Подставляя (4) в (3), приходим к следующей системе уравнений для амплитуд поля в (4):
[х2 - (Ь + Т2)2 ]Е++5х2Е-= 0 ,
5^2Ё ++[х2 -(Ь-т/2)2]£-= 0,
Х = ®4е/ с (5)
Из условия разрешимости системы (5) приходим к характеристическому уравнению для Ь:
[х2 - (Ь + Т2)2 ][х2 - (Ь -т/2)2 ]-52х4 = 0,
откуда находим параметр Ь:
Ь = ±
22 х +т
/4 ±х4т2 +52х2 ] .
(6)
Два решения (4), отвечающие второму знаку плюс в (6), описывают две волны слабо взаимодействующие с кристаллом, так как отношение амплитуд волн Ё + и Е- оказывается меньше единицы. Эти две волны отличаются только направлением распространения. Волны Ё + и Ев этом случае в (4) оказываются поляризованными по кругу в направлении, противоположном знаку спирали кристалла.
Два других собственных решения, отвечающие второму знаку минус в (6), описывают волны сильно взаимодействующие с кристаллом, так как для них отношение амплитуд Ё + и Е- в (4) оказывается порядка единицы вблизи брег-говской частоты
ав = ст
Волны Ё+
и
Е в собст-
венных решениях (4) оказываются поляризованными по кругу в направлении, совпадающем со знаком спирали кристалла. По мере отклонения частоты а от брегговской частоты ав отношение амплитуд Ё + и Е- быстро уменьшается, так что мы имеем две циркулярно-поляризованные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Однако при дальнейшем возрастании частоты, когда начинает выполняться соотношение 5х ~ т , ука-
Ё,
и
Е- снова
занное отношение амплитуд возрастает
В настоящей работе мы рассматриваем кристалл с большим шагом спирали, 5х~т. При больших частотах (предел Могена [1]), 5х >> т , длина волнового вектора к0 = Ь + т/2 в (6)
оказывается равной 1 ± 5 , а отношение амплитуд Ё + и Е- равно ± 1. Поэтому в первом случае сумма амплитуд Ё + и Е- циркуляр-но-поляризованных волн в (4) дает линейную поляризацию, совпадающую с направлением длинной оси молекул в каждой точке кристалла, а во втором случае - линейную поляризацию перпендикулярную длинной оси молекул в каждой точке кристалла. Это обстоятельство далее будем учитывать при анализе частотной зависимости коэффициента пропускания падающей на кристалл циркулярно-поляризованной волны.
Пусть теперь на кристалл падает циркуляр-но-поляризованная волна под малым углом в к оптической оси г. Диэлектрическую проницаемость внешней среды, то есть диэлектрическую проницаемость внешних оболочек планарного слоя ХЖК, считаем равной средней диэлектрической проницаемости е кристалла. Таким об-
ь\= к, =
2
разом мы не учитываем возможное отражение света (отражение Френеля) на границах планар-гого слоя ХЖК. Частотная зависимость интенсивности проходящей через кристалл циркуляр-но-поляризованной волны, совпадающей с циркулярной поляризацией падающей волны (или противоположной циркулярной поляризации) определятся разностью дифракционных изменений волновых векторов к0 = Ь + т/2 и
к1 = Ь - т /2 в (6) . Разумеется для тех частот, при которых коэффициент пропускания фиксированной циркулярной поляризации должен был бы обратиться в ноль вследствие дифракционных изменений волновых векторов, отражение Френеля на практике приведет к ненулевому значению рассматриваемого коэффициента пропускания. Однако частотная зависимость коэффициентов отражения Френеля определяется частотной зависимостью диэлектрической проницаемости, которая пренебрежимо мала по сравнению с частотной дифракционной зависимостью волновых векторов к0 и к1 . Поэтому
отражение Френеля на границах планарного слоя не может оказать влияния на положение частотных максимумов и минимумов коэффициентов пропускания света фиксированной циркулярной поляризации.
Считаем, что волновой вектор % циркуляр-но-поляризованной волны во внешней среде составляет малый угол 0 с оптической осью т,
где % = (о4е/ с. Для рассматриваемого диапазона частот (О% « т ) в выражениях для амплитуд поля Е + и Е- в (6) сохраняем слагаемые
порядка О. Непоперечность волн для произвольных направлений распространения в кристалле, как известно [1], также порядка О. Проектирование векторных амплитуд Е + и Е- на направления, перпендикулярные к волновым векторам к0 и к1 определяется множителем сов0 . Поэтому допустимые значения угла 0 оказываются порядка л/О . Отношение модулей
векторных амплитуд Е + и Е- в (6) при решении граничной задачи определяет коэффициент пропускания воны фиксированной циркулярной поляризации:
Т+ = 1 - Т- , Т- = (%О/г)2мп2 Ьг/2 , (7)
где r = (j2â2 +Т1)
.2 \l/2
Отсюда несложно получить выражения, описывающие частотную зависимость кругового дихроизма.
Таким образом при малых углах 0 изменяется только поляризация или фаза падающей циркулярно-поляризованной волны волны. Однако при rL = 2як, k = 1,2,... , T_ = 0 , а при rL = 2лк + ж, к = 1,2,..., Т+ = 0 . По мере увеличения частоты амплитуда колебаний спектров T+ и T_ увеличивается до единицы. Это связано с тем обсуждавшимся выше фактом, что при больших частотах (предел Могена) падающая на кристалл под малым углом 0 цирку-лярно-поляризованная волна возбуждает в кристалле обе собственные линейные поляризации одинаковой амплитуды, одна из которых параллельна длинной оси молекул (параллельна директору), а другая собственная линейная поляризация перпендикулярна длинной оси молекул (перпендикулярна директору) в каждой точке кристалла. Разность между частотными максимумами (минимумами) спектров (7) точно совпадает с соответствующими частотными интервалами экспериментальных спектров пропускания света в скрещенных поляроидах [4]. Таким образом, использованное выше двухволновое приближение при малых углах 0 адекватно определяет дифракционную природу биений частотных зависимостей коэффициентов пропускания света, обусловленную возбуждением в кристалле двух собственных мод в (6). Детальный расчет коэффициентов пропускания света в скрещенных поляроидах требует учета ориентации директора (длинной оси молекул) на входной поверхности планарного слоя и будет изложен в следующей публикации.
Литература
1. Беляков, В.А., Сонин А.С. Оптика холесте-рических жидких кристаллов. // М. : Наука, 1982. - 320 с.
2. Полещук О.А., Рубинштейн А.И., Шипов Н.В. О двухволновом приближении дифракции света в холестерических жидких кристаллах с большим шагом спирали. // Вестник МГУЛ - Лесной Вестник. 2016. Т. 20, вып. 6. С. 150-154.
3. Шипов Н.В. Вариант обобщения теоремы Штейнгауза о равномерно равносходящихся рядах Фурье. // Инновации и инвестиции. Сер. Современные технологии, 2017. № 12. С.244-247.
4. Хоштария Д.Г., Осадчий С.М., Чилая Г.С. Дифракция света в холестериках с большим шагом спирали. // Кристаллография, 1985. Т.30. Вып. 4. С. 755 - 757.
О в
£
В
m fi H
Circular wave diffraction in cholesteric liquid crystal with large helical period in the case of small wave direction divergence with respect to helical axis
Shipov N.V.
BMSTU (Mytishchi branch)
It is shown that the two-wave approximation is correct in the case of small wave direction divergence 6 with respect to helical axis z of the cholesteric liquid crystal with large helical period P ~ A / 5 , where A is light wave length, 5 -dielectric anisotropy of the cholesteric liquid crystal. The analysis is carried out in the case of multi-wave approximation. The frequency dependencies of light transmission and reflection coefficients T+ (w) , T- (w) are found, where « + » and « — « art the circular wave polarization signs. The variation amplitude of the light transmission and reflection coefficients T+ (w) , T— (w) may reach unity. For example the light circular polarization may be transformed into opposite light circular polarization under wave length A ~P 5 and 6 ~ 20 degree of circle. The maximum and minimum positions of frequency dependencies T+ (w) , T—(w) are found. The theoretical and experimental maximum and minimum positions of frequency dependencies T+ (w) , T- (w) are lying in good agreement.
Key words: circular wave, optical axes, planar layer,
References
1. Belyakov V.A., Sonin A.S. Optika kholestericheskikh zhidkikh
kristallov. [Optics of choltsteric liquid crystals ] M. : Nauka Publ., 1982, 320 p
2. Poleschuk O.A., Rubinstein A.I., Shipov N.V. Two wave diffraction of light in cholesteric liquid crystals with large period.// Lest. Vest.- Forestry bulletin, 2016. Vol.. 20, № 6. p. 150-154.
3. Shipov N.V. About Steinhaus theorem on evenly equiconverged Fourier series.// Innovations and Investments, 2017, № 12, p. 244-247.
4. Khoshtariya D.G., Osadchiy S.M., Chilaya G.S. Difraktsiya sveta v
kholesterikakh s bol'shim shagom spirali. [Light diffraction in cholesteric liquid Crystals with large helical period ] Kristallografiya. [Crystallography] 1985,Vol.30, no.4, p. 755757.
U
a
s
«
a б
