Научная статья на тему 'Вакуумные формы материи'

Вакуумные формы материи Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
316
87
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ / УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА / Λ-ЧЛЕН / УРАВНЕНИЯ ФРИДМАНА / ВАКУУМ / λ-TERM / GENERAL THEORY OF RELATIVITY / EINSTEIN EQUATIONS / FRIEDMANN EQUATIONS / VACUUM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Клименко Алексей Владимирович, Клименко Владимир Антонович

Показано, что из уравнений общей теории относительности (ОТО) следует, что вакуум не бывает пустым. Он заполнен двумя видами материи. В случае плоского пространства-времени, вакуум заполнен идеальной гравитационно-нейтральной материей. Если четырёхмерное пространство-время кривое, то, кроме гравитационно-нейтральной материи, вакуум содержит тёмную энергию. Она описывается Λ-членом уравнений Эйнштейна. Показано, что нет необходимости вводить Λ-член в уравнения Эйнштейна для вакуума как некоторое дополнительное слагаемое, поскольку он в этих уравнениях при правильной их записи уже содержится. Высказана гипотеза о том, что гравитационно-нейтральной материи во Вселенной может быть больше, чем это принято считать.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

VACUUM FORMS OF MATTER

It is shown that from the equations of general relativity (GR) follows that the vacuum is not empty. It is filled with two kinds of matter. In the case of flat space-time, the vacuum is filled with ideal gravity-neutral matter. If the four-dimensional spacetime is curved, besides gravity-neutral matter, the vacuum contains dark energy. It described by Λ-term of the Einstein equations. It is shown that there is no need to introduce the Λ-term in Einstein equations, as some additional term. It is contained in the equations of general relativity for the vacuum. It is hypothesized that the gravitational-neutral matter in the universe may be greater than is commonly believed.

Текст научной работы на тему «Вакуумные формы материи»

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. №19 (310) Физика. Вып. 17. С. 72-77

А. В. Клименко, В. А. Клименко ВАКУУМНЫЕ ФОРМЫ МАТЕРИИ

Показано, что из уравнений общей теории относительности (ОТО) следует, что вакуум не бывает пустым. Он заполнен двумя видами материи. В случае плоского пространства-времени, вакуум заполнен идеальной гравитационно-нейтральной материей. Если четырёхмерное пространство-время кривое, то, кроме гравитационнонейтральной материи, вакуум содержит тёмную энергию. Она описывается Л-членом уравнений Эйнштейна. Показано, что нет необходимости вводить Л-член в уравнения Эйнштейна для вакуума как некоторое дополнительное слагаемое, поскольку он в этих уравнениях при правильной их записи уже содержится. Высказана гипотеза о том, что гравитационно-нейтральной материи во Вселенной может быть больше, чем это принято считать.

Ключевые слова: общая теория относительности, уравнения Эйнштейна, Л-член, уравнения Фридмана, вакуум.

1. ВВЕДЕНИЕ

Согласно общей теории относительности (ОТО), геометрические свойства четырёхмерного пространства-времени описываются метрикой

Лв2 = д^ (1х^(1ху. (1)

Метрические коэффициенты д^ являются функциями пространственно-временных координат ха = (х0, х1, х2, х3) (см., например, [1-6]). В основе ОТО лежит гипотеза о взаимосвязи гравитационного поля с геометрическими свойствми пространства-времени. Функции д^ дают описание этого поля.

В основополагающей работе «Основы общей теории относительности» (1916 г.) [5] Эйнштейн показал, что уравнения, описывающие гравитационное поле в вакууме (областях пространства, свободных от обычных форм материи), могут быть записаны в виде

В^ + Хд^В = 0, (2)

где X — некоторая константа; д^В^ = В — след тензора Эйнштейна В^; В^ — симметричный тензор, полученный свёрткой из тензора кривизны Римана Я£от:

В^ = (3) Тензор В^ может быть записан в виде

В^у = 2 (4)

где — тензор Риччи, а Я — его след (см., например, [1-6]). Тензор Риччи имеет вид

дГа дГа

я _ дГ + га гв — Гв Га (5)

дХа дХ + Г^Гав Г^а1ув‘ (5)

Символы Кристофеля Г^ определяются формулой

^ _ 9авГв^ _

_ 1 _ар д#вЁ + д^ _ дм) (6)

2 \ дху дх^ дхв / ’

Эйнштейн полагал, что с выбором уравнений гравитационного поля в виде (2) связан минимум произвола, поскольку, кроме В^, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из метрического тензора и его производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второй, и был бы линейным относительно последних.

Обычно считают (см, например, [1; 5]), что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме сводятся к уравнениям

_ 0. (7)

В общем случае это не так. При выполнении (7) уравнения (2) выполняются автоматически. В тоже время не все решения уравнений (2) являются решениями (7). Полный набор решений уравнений (2) для вакуума приведён в [7].

Эйнштейн считал, что уравнения (2) описывают гравитационное поле в пустых пространствах. В настоящее время считают, что вакуум не является пустым, он заполнен вакуумными формами материи (см., например, [6; 8]). В настоящей работе придерживаемся этой точки зрения.

Одним из видов вакуумных форм материи является тёмная энергия [9]. Предположение о её существовании является, по-видимому, самой нетривиальной гипотезой современной физики. Из интерпретации наблюдений в рамках стандартной ОТО, учитывающей эту гипотезу, следует, что в настоящее время Вселенная более чем на семьдесят три процента состоит из тёмной энергии [6; 8].

В настоящей работе показано, что описание тёмной энергии содержится в уравнениях (2) для гравитационного поля в вакууме. Это имеет место, когда четырёхмерное пространство-время является кривым. Возможность такого описания тёмной энергии исчезает, если считать, что уравнения (2) сводятся к уравнениям (7). Через год после написания работы [5] Эйнштейн дал описание тёмной энергии, введя в (7) так называемый Л-член [9]. При этом он исходил из физических соображений, но вовсе не из уравнений (2). Отметим также, что влияние Л-члена на динамику Вселенной он не связывал с существованием какой-то материи. Он трактовал его как описывающий влияние неустранимой кривизны пространства-времени. Идея истолкования Л-члена как описывающего некоторую необычную материю возникла значительно позже [10].

В настоящей работе показано, что уравнения для гравитационного поля в вакууме (2) содержат описание не только тёмной энергии, у которой уравнение состояния Р _ —е, но и гравитационно-нейтральной материи, уравнение состояния которой

1 2 1

Р _ _зрс _ _з(8)

Источником гравитационного поля в стандартной ОТО являются компоненты тензора энергии-импульса космической среды. Согласно стандартной ОТО (см., например, [2; 6]), космологическое ускорение

й, с которым происходит расширение однородной изотропной Вселенной, заполненной идеальной космической средой, плотность энергии которой е, а давление P, определяется формулой

4 а

a = - -(е + 3P) , (9)

3 c2

где а — масштабный фактор Вселенной. Из (9) видно, что среда, для которой уравнение состояния P = — 3е, является уникальной. В отличие от любых других сред она не меняет скорости расширения Вселенной,

а, следовательно, как мы полагаем, является гравитационно-нейтральной. В стандартной ОТО, по-видимому, других примеров гравитационно-нейтральных сред нет.

Гравитационно-нейтральная материя не искривляет четырёхмерного пространства-времени, но влияет на скорость его расширения (сжатия).

Учитывая идеальность гравитационнонейтральной материи, а также уравнение её состояния (8), из первого начала термодинамики

d (eV) = —PdV, (10)

находим

2

е V 3 = const. (11)

Согласно стандартной ОТО, const в (11) принимает вполне определённое значение. В настоящей работе высказана гипотеза о том, что реальное количество гравитационнонейтральной материи в природе может отличаться от предсказываемого стандартной ОТО. Оно определяется величиной универсальной постоянной, значение которой может быть установлено в астрономических наблюдениях.

2. ТЁМНАЯ ЭНЕРГИЯ

Покажем, что уравнения Эйнштейна для гравитационного поля в вакууме (2) содержат Л-член и нет необходимости вводить его дополнительно.

Используя соотношение (4), находим, что след тензора Эйнштейна B = —R, где R —

след тензора Риччи. Учитывая это, из уравнений (2) находим

R (1 + 4X) = 0.

(12)

Отсюда следует, что при всех X = -0, 25, скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени К равна нулю и уравнения (2) приводятся к виду

r; = 0.

(1З)

В тоже время, как видно из (12), при X = -0, 25 пространство в вакууме, может иметь скалярную кривизну К отличную от нуля. Это означает, что при X = -0, 25 могут существовать решения уравнений (2), не являющиеся решениями уравнений (13). Значение константы X связано с размерностью пространства-времени п (X = —1/п).

Покажем, что в вакууме скалярная кривизна К не может быть переменной величиной. Взяв ковариантную производную от левой части уравнения (2) и учитывая тождество Бьянки

Vv

0

(см., например, [1; б]), находим

0.

dR

(14)

(1Б)

Это

означает, что при X = _0,25

л = _1R,

4

уравнение (2) запишем в виде

rv — rs;

Ц. сл

лs;.

(1б)

(1Т)

Обычно это уравнение называют уравнением Эйнштейна с Л-членом для гравитационного поля в вакууме. Константа Л называется космологической постоянной (см., [6; 8]).

Не было никакой необходимости вводить Л-член в уравнения Эйнштейна как дополнительное слагаемое. Он уже содержался в работе [5]. Как видно из (16), в вакууме эта постоянная определяется скалярной кривизной четырёхмерного пространства-времени. Эйнштейн трактовал Л-член как описывающий неустранимую кривизну пространства-времени.

При наличии материи, уравнения Эйнштейна записывают в виде [1-6]

8nG

(1В)

где Т^ — тензор энергии-импульса материи. В ОТО материю описывают в рамках механики сплошных сред. Если среда является идеальной, то

tv = (є + P) _ P s; ,

(19)

где е и Р — скаляры, плотность энергии и давление среды, соответственно; — её 4-ре скорость (см. 1 2

Учитывая (17), (18) и (19), часто (см. [6; 8]) Л-член в уравнениях Эйнштейна рассматривают как описывающий вакуумную форму материи, называемую тёмной энергией. Считают, что эта материя является идеальной, а её термодинамические свойства определяются формулами

скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени в вакууме может быть не равной нулю, но является постоянной величиной. В тоже время отметим, что это вовсе не означает, что кривизна соответствующего трёхмерного пространства остаётся постоянной (см., например, [7]).

В случае, когда скалярная кривизна К отлична от нуля, используя обозначение

Рл

л с2 8п G'

^л = _єл = _рл с

(2O)

где рл и Pa — плотность и давление тёмной энергии. В такой интерпретации Л-члена кривое четырёхмерное пространство-время никогда не бывает пустым. Оно, по крайней мере, заполнено тёмной энергией.

Часто гипотетически и в присутствии других видов материи считают, что Л = const и тёмную энергию рассматривают как термодинамически независимую компоненту космической среды. При этом уравнения Эйнштейна (2) записывают в виде

r; _1 rs;

Ц. сл

8nG ті + лs;, (21)

4 ; ; V >

C4

где Т^ — тензор энергии-импульса части материи, не включающий тёмную энергию [2; 6].

4

C

В современной физике полагают, что значение космологической постоянной Л « 10-56 см-2 [2; 6; 8]. В силу малости Л, влияние тёмной энергии проявляется на больших масштабах. В современной космологии считают, что без тёмной энергии невозможно объяснить астрономические наблюдения, для которых важны космологические эффекты [6; 8].

Замечание. Из (21) следует, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 2п G

Л = - - R--------------------^ T,

4 с4

(22)

где T — след тензора энергии-импульса обычной материи. Утверждение, что Л = const в вакууме, было доказано в начале этого пункта. В случае присутствия электромагнитного поля, для которого T = 0 (см., например, [1]), утверждение, что Л = const, также кажется правильным. В тоже время в случае присутствия материи, состоящей из частиц, масса которых не равна нулю, T = const и параметры могут меняться в пространстве и времени (см. [1; 2]), считать, что Л = const, по-видимому, не правильно. Косвенно на «несовершенство» варианта, предполагающего термодинамическую независимость тёмной энергии от других компонент космической среды, указывает существование нефизичных, на наш взгляд, экспоненциально расходящихся решений, описывающих динамику Вселенной, полученных в предположении Л = const [2; 6; 8]. Расходимости, обусловленные Л-членом, присутствуют и при описании Вакуума [7]. На наш взгляд, это является серьёзной проблемой тёмной энергии.

3. ГРАВИТАЦИОННОНЕЙТРАЛЬНАЯ МАТЕРИЯ

Покажем, что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме, кроме тёмной энергии, содержат описание ещё и гравитационно-нейтральной материи. Чтобы это показать, рассмотрим в рамках уравнений (2) задачу о динамике Вселенной, из которой убраны все обычные формы материи. Такая идеализация является хоро-

шим приближением при описании динамики поздней открытой Вселенной. Она позволяет в «чистом» виде увидеть присутствие в вакууме как тёмной энергии, так и гравитационно-нейтральной материи.

Считаем, что трёхмерное пространство идеализированной вселенной, заполненной только вакуумными формами материи, является однородным и изотропным. Для описания геометрии этого пространства удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая его как однородную и изотропную трёхмерную гиперповерхность в четырёхмерном фиктивном пространстве (см., например, [1]). Геометрия этой трёхмерной гиперповерхности определяется параметром к, а также масштабным фактором а, который часто называют радиусом кривизны.

Параметр к может принимать три значения: к = —1,0, +1. При к = +1, —1,0 реализуются случаи трёхмерных поверхностей положительной, отрицательной и нулевой кривизны, соответственно. В нестационарных трёхмерных пространствах радиусы их кривизны а меняются во времени. В сопутствующей системе отсчёта метрику соответствующего четырёхмерного пространства-времени можно записать в виде [1; 2]:

ds2 = с2 dt2 — a2(t) х х {dx2 + f (х) (d02 + sin2 0 dф2)}

(23)

где

sin х

2" при к = +1;

f (х) = S sh х при k = —1;

X2 при k = 0.

(24)

Используя метрику (23), уравнения (2) стандартным образом (см., например, [2; 6]), можно преобразовать в космологические уравнения Фридмана:

а2

k с2

= Ac2 =

8п G

= Лс2 = —

8п G

-Pa.

(25)

(26)

Рассматривая левую часть этих уравнений как «геометрическую», а правую как «материальную», заключаем, что в них содержится описание некоторой материи. Как

2

2

а

а

с

2

а

а

а

с

показано в пункте 2 и как видно из уравнений (25), (26), для рассматриваемой задачи этой материей является тёмная энергия. Её параметры определяются формулами (20). Следовательно, если скалярная кривизна К четырёхмерного пространства-времени отлична от нуля, то можно считать, что вакуум заполнен тёмной энергией.

В случае, когда К = 0 (Л = 0), тёмной энергии нет. Пространство является открытым, так как при К = 0 параметр к, как видно из (25), (26), не может быть равным +1.

При К = 0 вакуум может быть не пустым. Чтобы это увидеть явно, уравнения (25), (26) запишем в виде

'а -2 0 ■ с2

2 | о + 7Г~

8п G

2 £k; с2

8п G

2 Pk, с2

(27)

(28)

где

£k

3 с4 k 8п G а2:

(29)

Pk — — 3 £k (k —0, — !)•

Из (27)-(29) видно, что при К = 0, к = 0, пространство является плоским, стационарным и пустым.

Принципиально другая ситуация при К = 0, к = -1. В этом случае уравнения (27), (28) можем трактовать как описывающие динамику плоского трёхмерного пространства однородно заполненного некоторой материей. Термодинамические свойства этой материи описываются формулами

3 с4 1 1

е = 8Пс а2’ р = - зе (30)

Поскольку уравнение состояния этой материи Р = — 3е, то эта материя является гравитационно-нейтральной. Эта материя является идеальной и её тензор энергии-импульса может быть записан в виде (19). Как видно из (27), (28), динамика идеализированной вселенной, заполненной гравитационно-нейтральной материей вида (30), определяется уравнением

Если слагаемые, описывающие гравитационно-нейтральную материю в плоском пространстве, из правой части уравнений Фридмана перенести в левую, то там они описывают кривизну. Материя исчезла, но появилась кривизна. Мы полагаем, что материя не исчезает, а кривизна трёхмерного пространства может быть истолкована как гравитационнонейтральная материя. Это аналогично тому, как Л-член, согласно Эйнштейну, описывает неустранимую кривизну четырёхмерного пространства-времени, а в современной космологии он трактуется как описывающий тёмную энергию.

В заключение выскажем следующую гипотезу. В общем случае термодинамические свойства гравитационно-нейтральной материи описываются уравнениями

2 1

з — const, P — —-£, (32)

3

в которых значение const может отличаться от того, которое является следствием стандартной ОТО.

Считаем, что реально количество этой материи больше, чем это следует из уравнений (2). В соответствии с этим полагаем, что в случае однородной изотропной открытой Вселенной параметры гравитационнонейтральной среды определяются формулами

£ — — p — I, (33)

£ — 8п G-2, P — — 3 £ (33)

где у — некоторая универсальная постоянная. Её значение больше единицы. Динамика идеализированной вселенной, заполненной гравитационно-нейтральной материей вида (33), определяется уравнением

a(t) — ±у ct.

(34)

a(t) — ±ct.

(31)

Отметим, что величина ^а/^£ не имеет смысла физической скорости частиц. Она определяет скорость изменения геометрических размеров материальной однородной изотропной гиперповерхности. Это наглядно продемонстрировано в работе [11] на модельном примере. Нет оснований считать, что скорость ^а/^£ не может быть больше, чем скорость света. В [12] показано, что в

а

а

а

а

а

сопутствующей системе отсчёта, в которой и записаны космологические уравнения Фридмана, даже при ^а/^£ ^ то скорость частиц, пролетающих мимо любого типичного наблюдателя, не больше скорости света.

Предположение о существовании «дополнительных» количеств гравитационнонейтральной материи во Вселенной означает, что существует вклад этой материи в тензор энергии-импульса стандартных уравнений Эйнштейна (18), связанный не только с Вакуумом, но и обычной формой материи.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Согласно точке зрения, изложенной в настоящей статье, вакуум не бывает пустым. Он заполнен двумя видами материи, определяемыми терминами тёмная энергия и гравитационно-нейтральная материя. Они являются идеальными средами. Их термодинамические свойства описываются формулами (20) и (33), соответственно. Плотность тёмной энергии определяется значением космологической постоянной Л, а плотность гравитационно-нейтральной материи значением постоянной у (см. (33)). Значения этих постоянных, вообще говоря, произвольные и должны находиться в процессе применения теории для объяснения наблюдений. В [11; 13] показано, что есть основания считать, что Л = 0, а у ~ 1, 4 ^ 1, 5.

Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума описаны в [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау, Л. Д. Теория Поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.

2. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М.: Наука, 1975.

3. Вайнберг, С. Гравитация и космология. М.: Платон, 2000.

4. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Д. Уиллер. М.: Мир, 1977.

5. Эйнштейн, А. Основы общей теории относительности // Собр. науч. тр. : в 4т. Т. 1. М.: Наука, 1965.

6. Горбунов, Д. С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего большого взрыва / Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. М. : ЛКИ, 2008.

7. Клименко, А. В. Геометрические свойства однородного изотропного вакуума / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 66-71.

8. Чернин, А. Д. Тёмная материя и всемирное антитяготение // УФН. 2008. Т. 178, №3. С. 267-300.

9. Эйнштейн, А. Вопросы космологии и общая теория относительности // Собр. науч. тр. : в 4 т. Т. 1. М.: Наука, 1965.

10. Глинер, Э. Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // УФН. 2002. Т.172, №2. С.221-228.

11. Клименко, А. В. О тепловой природе космологических сил отталкивания / А. В. Клименко, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 43-65.

12. Жилкин, А. Г. Динамика трёхмерных однородных изотропных релятивистских миров / А. Г. Жилкин, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып.17. С.29-42.

13. Клименко, А. В. Частицы, античастицы и гравитация. Гравтационно-нейтральная Вселенная / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19 (310). Физика. Вып. 17. С. 89-99.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.