Вакуумные формы материи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. №19 (310) Физика. Вып. 17. С. 72-77

А. В. Клименко, В. А. Клименко ВАКУУМНЫЕ ФОРМЫ МАТЕРИИ

Показано, что из уравнений общей теории относительности (ОТО) следует, что вакуум не бывает пустым. Он заполнен двумя видами материи. В случае плоского пространства-времени, вакуум заполнен идеальной гравитационно-нейтральной материей. Если четырёхмерное пространство-время кривое, то, кроме гравитационнонейтральной материи, вакуум содержит тёмную энергию. Она описывается Л-членом уравнений Эйнштейна. Показано, что нет необходимости вводить Л-член в уравнения Эйнштейна для вакуума как некоторое дополнительное слагаемое, поскольку он в этих уравнениях при правильной их записи уже содержится. Высказана гипотеза о том, что гравитационно-нейтральной материи во Вселенной может быть больше, чем это принято считать.

Ключевые слова: общая теория относительности, уравнения Эйнштейна, Л-член, уравнения Фридмана, вакуум.

1. ВВЕДЕНИЕ

Согласно общей теории относительности (ОТО), геометрические свойства четырёхмерного пространства-времени описываются метрикой

Лв2 = д^ (1х^(1ху. (1)

Метрические коэффициенты д^ являются функциями пространственно-временных координат ха = (х0, х1, х2, х3) (см., например, [1-6]). В основе ОТО лежит гипотеза о взаимосвязи гравитационного поля с геометрическими свойствми пространства-времени. Функции д^ дают описание этого поля.

В основополагающей работе «Основы общей теории относительности» (1916 г.) [5] Эйнштейн показал, что уравнения, описывающие гравитационное поле в вакууме (областях пространства, свободных от обычных форм материи), могут быть записаны в виде

В^ + Хд^В = 0, (2)

где X — некоторая константа; д^В^ = В — след тензора Эйнштейна В^; В^ — симметричный тензор, полученный свёрткой из тензора кривизны Римана Я£от:

В^ = (3) Тензор В^ может быть записан в виде

В^у = 2 (4)

где — тензор Риччи, а Я — его след (см., например, [1-6]). Тензор Риччи имеет вид

дГа дГа

я _ дГ + га гв — Гв Га (5)

дХа дХ + Г^Гав Г^а1ув‘ (5)

Символы Кристофеля Г^ определяются формулой

^ _ 9авГв^ _

_ 1 _ар д#вЁ + д^ _ дм) (6)

2 \ дху дх^ дхв / ’

Эйнштейн полагал, что с выбором уравнений гравитационного поля в виде (2) связан минимум произвола, поскольку, кроме В^, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из метрического тензора и его производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второй, и был бы линейным относительно последних.

Обычно считают (см, например, [1; 5]), что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме сводятся к уравнениям

_ 0. (7)

В общем случае это не так. При выполнении (7) уравнения (2) выполняются автоматически. В тоже время не все решения уравнений (2) являются решениями (7). Полный набор решений уравнений (2) для вакуума приведён в [7].

Эйнштейн считал, что уравнения (2) описывают гравитационное поле в пустых пространствах. В настоящее время считают, что вакуум не является пустым, он заполнен вакуумными формами материи (см., например, [6; 8]). В настоящей работе придерживаемся этой точки зрения.

Одним из видов вакуумных форм материи является тёмная энергия [9]. Предположение о её существовании является, по-видимому, самой нетривиальной гипотезой современной физики. Из интерпретации наблюдений в рамках стандартной ОТО, учитывающей эту гипотезу, следует, что в настоящее время Вселенная более чем на семьдесят три процента состоит из тёмной энергии [6; 8].

В настоящей работе показано, что описание тёмной энергии содержится в уравнениях (2) для гравитационного поля в вакууме. Это имеет место, когда четырёхмерное пространство-время является кривым. Возможность такого описания тёмной энергии исчезает, если считать, что уравнения (2) сводятся к уравнениям (7). Через год после написания работы [5] Эйнштейн дал описание тёмной энергии, введя в (7) так называемый Л-член [9]. При этом он исходил из физических соображений, но вовсе не из уравнений (2). Отметим также, что влияние Л-члена на динамику Вселенной он не связывал с существованием какой-то материи. Он трактовал его как описывающий влияние неустранимой кривизны пространства-времени. Идея истолкования Л-члена как описывающего некоторую необычную материю возникла значительно позже [10].

В настоящей работе показано, что уравнения для гравитационного поля в вакууме (2) содержат описание не только тёмной энергии, у которой уравнение состояния Р _ —е, но и гравитационно-нейтральной материи, уравнение состояния которой

1 2 1

Р _ _зрс _ _з(8)

Источником гравитационного поля в стандартной ОТО являются компоненты тензора энергии-импульса космической среды. Согласно стандартной ОТО (см., например, [2; 6]), космологическое ускорение

й, с которым происходит расширение однородной изотропной Вселенной, заполненной идеальной космической средой, плотность энергии которой е, а давление P, определяется формулой

4 а

a = - -(е + 3P) , (9)

3 c2

где а — масштабный фактор Вселенной. Из (9) видно, что среда, для которой уравнение состояния P = — 3е, является уникальной. В отличие от любых других сред она не меняет скорости расширения Вселенной,

а, следовательно, как мы полагаем, является гравитационно-нейтральной. В стандартной ОТО, по-видимому, других примеров гравитационно-нейтральных сред нет.

Гравитационно-нейтральная материя не искривляет четырёхмерного пространства-времени, но влияет на скорость его расширения (сжатия).

Учитывая идеальность гравитационнонейтральной материи, а также уравнение её состояния (8), из первого начала термодинамики

d (eV) = —PdV, (10)

находим

2

е V 3 = const. (11)

Согласно стандартной ОТО, const в (11) принимает вполне определённое значение. В настоящей работе высказана гипотеза о том, что реальное количество гравитационнонейтральной материи в природе может отличаться от предсказываемого стандартной ОТО. Оно определяется величиной универсальной постоянной, значение которой может быть установлено в астрономических наблюдениях.

2. ТЁМНАЯ ЭНЕРГИЯ

Покажем, что уравнения Эйнштейна для гравитационного поля в вакууме (2) содержат Л-член и нет необходимости вводить его дополнительно.

Используя соотношение (4), находим, что след тензора Эйнштейна B = —R, где R —

след тензора Риччи. Учитывая это, из уравнений (2) находим

R (1 + 4X) = 0.

(12)

Отсюда следует, что при всех X = -0, 25, скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени К равна нулю и уравнения (2) приводятся к виду

r; = 0.

(1З)

В тоже время, как видно из (12), при X = -0, 25 пространство в вакууме, может иметь скалярную кривизну К отличную от нуля. Это означает, что при X = -0, 25 могут существовать решения уравнений (2), не являющиеся решениями уравнений (13). Значение константы X связано с размерностью пространства-времени п (X = —1/п).

Покажем, что в вакууме скалярная кривизна К не может быть переменной величиной. Взяв ковариантную производную от левой части уравнения (2) и учитывая тождество Бьянки

Vv

0

(см., например, [1; б]), находим

0.

dR

(14)

(1Б)

Это

означает, что при X = _0,25

л = _1R,

4

уравнение (2) запишем в виде

rv — rs;

Ц. сл

лs;.

(1б)

(1Т)

Обычно это уравнение называют уравнением Эйнштейна с Л-членом для гравитационного поля в вакууме. Константа Л называется космологической постоянной (см., [6; 8]).

Не было никакой необходимости вводить Л-член в уравнения Эйнштейна как дополнительное слагаемое. Он уже содержался в работе [5]. Как видно из (16), в вакууме эта постоянная определяется скалярной кривизной четырёхмерного пространства-времени. Эйнштейн трактовал Л-член как описывающий неустранимую кривизну пространства-времени.

При наличии материи, уравнения Эйнштейна записывают в виде [1-6]

8nG

(1В)

где Т^ — тензор энергии-импульса материи. В ОТО материю описывают в рамках механики сплошных сред. Если среда является идеальной, то

tv = (є + P) _ P s; ,

(19)

где е и Р — скаляры, плотность энергии и давление среды, соответственно; — её 4-ре скорость (см. 1 2

Учитывая (17), (18) и (19), часто (см. [6; 8]) Л-член в уравнениях Эйнштейна рассматривают как описывающий вакуумную форму материи, называемую тёмной энергией. Считают, что эта материя является идеальной, а её термодинамические свойства определяются формулами

скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени в вакууме может быть не равной нулю, но является постоянной величиной. В тоже время отметим, что это вовсе не означает, что кривизна соответствующего трёхмерного пространства остаётся постоянной (см., например, [7]).

В случае, когда скалярная кривизна К отлична от нуля, используя обозначение

Рл

л с2 8п G'

^л = _єл = _рл с

(2O)

где рл и Pa — плотность и давление тёмной энергии. В такой интерпретации Л-члена кривое четырёхмерное пространство-время никогда не бывает пустым. Оно, по крайней мере, заполнено тёмной энергией.

Часто гипотетически и в присутствии других видов материи считают, что Л = const и тёмную энергию рассматривают как термодинамически независимую компоненту космической среды. При этом уравнения Эйнштейна (2) записывают в виде

r; _1 rs;

Ц. сл

8nG ті + лs;, (21)

4 ; ; V >

C4

где Т^ — тензор энергии-импульса части материи, не включающий тёмную энергию [2; 6].

4

C

В современной физике полагают, что значение космологической постоянной Л « 10-56 см-2 [2; 6; 8]. В силу малости Л, влияние тёмной энергии проявляется на больших масштабах. В современной космологии считают, что без тёмной энергии невозможно объяснить астрономические наблюдения, для которых важны космологические эффекты [6; 8].

Замечание. Из (21) следует, что

1 2п G

Л = - - R--------------------^ T,

4 с4

(22)

где T — след тензора энергии-импульса обычной материи. Утверждение, что Л = const в вакууме, было доказано в начале этого пункта. В случае присутствия электромагнитного поля, для которого T = 0 (см., например, [1]), утверждение, что Л = const, также кажется правильным. В тоже время в случае присутствия материи, состоящей из частиц, масса которых не равна нулю, T = const и параметры могут меняться в пространстве и времени (см. [1; 2]), считать, что Л = const, по-видимому, не правильно. Косвенно на «несовершенство» варианта, предполагающего термодинамическую независимость тёмной энергии от других компонент космической среды, указывает существование нефизичных, на наш взгляд, экспоненциально расходящихся решений, описывающих динамику Вселенной, полученных в предположении Л = const [2; 6; 8]. Расходимости, обусловленные Л-членом, присутствуют и при описании Вакуума [7]. На наш взгляд, это является серьёзной проблемой тёмной энергии.

3. ГРАВИТАЦИОННОНЕЙТРАЛЬНАЯ МАТЕРИЯ

Покажем, что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме, кроме тёмной энергии, содержат описание ещё и гравитационно-нейтральной материи. Чтобы это показать, рассмотрим в рамках уравнений (2) задачу о динамике Вселенной, из которой убраны все обычные формы материи. Такая идеализация является хоро-

шим приближением при описании динамики поздней открытой Вселенной. Она позволяет в «чистом» виде увидеть присутствие в вакууме как тёмной энергии, так и гравитационно-нейтральной материи.

Считаем, что трёхмерное пространство идеализированной вселенной, заполненной только вакуумными формами материи, является однородным и изотропным. Для описания геометрии этого пространства удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая его как однородную и изотропную трёхмерную гиперповерхность в четырёхмерном фиктивном пространстве (см., например, [1]). Геометрия этой трёхмерной гиперповерхности определяется параметром к, а также масштабным фактором а, который часто называют радиусом кривизны.

Параметр к может принимать три значения: к = —1,0, +1. При к = +1, —1,0 реализуются случаи трёхмерных поверхностей положительной, отрицательной и нулевой кривизны, соответственно. В нестационарных трёхмерных пространствах радиусы их кривизны а меняются во времени. В сопутствующей системе отсчёта метрику соответствующего четырёхмерного пространства-времени можно записать в виде [1; 2]:

ds2 = с2 dt2 — a2(t) х х {dx2 + f (х) (d02 + sin2 0 dф2)}

(23)

где

sin х

2" при к = +1;

f (х) = S sh х при k = —1;

X2 при k = 0.

(24)

Используя метрику (23), уравнения (2) стандартным образом (см., например, [2; 6]), можно преобразовать в космологические уравнения Фридмана:

а2

k с2

= Ac2 =

8п G

= Лс2 = —

8п G

-Pa.

(25)

(26)

Рассматривая левую часть этих уравнений как «геометрическую», а правую как «материальную», заключаем, что в них содержится описание некоторой материи. Как

2

2

а

а

с

2

а

а

а

с

показано в пункте 2 и как видно из уравнений (25), (26), для рассматриваемой задачи этой материей является тёмная энергия. Её параметры определяются формулами (20). Следовательно, если скалярная кривизна К четырёхмерного пространства-времени отлична от нуля, то можно считать, что вакуум заполнен тёмной энергией.

В случае, когда К = 0 (Л = 0), тёмной энергии нет. Пространство является открытым, так как при К = 0 параметр к, как видно из (25), (26), не может быть равным +1.

При К = 0 вакуум может быть не пустым. Чтобы это увидеть явно, уравнения (25), (26) запишем в виде

'а -2 0 ■ с2

2 | о + 7Г~

8п G

2 £k; с2

8п G

2 Pk, с2

(27)

(28)

где

£k

3 с4 k 8п G а2:

(29)

Pk — — 3 £k (k —0, — !)•

Из (27)-(29) видно, что при К = 0, к = 0, пространство является плоским, стационарным и пустым.

Принципиально другая ситуация при К = 0, к = -1. В этом случае уравнения (27), (28) можем трактовать как описывающие динамику плоского трёхмерного пространства однородно заполненного некоторой материей. Термодинамические свойства этой материи описываются формулами

3 с4 1 1

е = 8Пс а2’ р = - зе (30)

Поскольку уравнение состояния этой материи Р = — 3е, то эта материя является гравитационно-нейтральной. Эта материя является идеальной и её тензор энергии-импульса может быть записан в виде (19). Как видно из (27), (28), динамика идеализированной вселенной, заполненной гравитационно-нейтральной материей вида (30), определяется уравнением

Если слагаемые, описывающие гравитационно-нейтральную материю в плоском пространстве, из правой части уравнений Фридмана перенести в левую, то там они описывают кривизну. Материя исчезла, но появилась кривизна. Мы полагаем, что материя не исчезает, а кривизна трёхмерного пространства может быть истолкована как гравитационнонейтральная материя. Это аналогично тому, как Л-член, согласно Эйнштейну, описывает неустранимую кривизну четырёхмерного пространства-времени, а в современной космологии он трактуется как описывающий тёмную энергию.

В заключение выскажем следующую гипотезу. В общем случае термодинамические свойства гравитационно-нейтральной материи описываются уравнениями

2 1

з — const, P — —-£, (32)

3

в которых значение const может отличаться от того, которое является следствием стандартной ОТО.

Считаем, что реально количество этой материи больше, чем это следует из уравнений (2). В соответствии с этим полагаем, что в случае однородной изотропной открытой Вселенной параметры гравитационнонейтральной среды определяются формулами

£ — — p — I, (33)

£ — 8п G-2, P — — 3 £ (33)

где у — некоторая универсальная постоянная. Её значение больше единицы. Динамика идеализированной вселенной, заполненной гравитационно-нейтральной материей вида (33), определяется уравнением

a(t) — ±у ct.

(34)

a(t) — ±ct.

(31)

Отметим, что величина ^а/^£ не имеет смысла физической скорости частиц. Она определяет скорость изменения геометрических размеров материальной однородной изотропной гиперповерхности. Это наглядно продемонстрировано в работе [11] на модельном примере. Нет оснований считать, что скорость ^а/^£ не может быть больше, чем скорость света. В [12] показано, что в

а

а

а

а

а

сопутствующей системе отсчёта, в которой и записаны космологические уравнения Фридмана, даже при ^а/^£ ^ то скорость частиц, пролетающих мимо любого типичного наблюдателя, не больше скорости света.

Предположение о существовании «дополнительных» количеств гравитационнонейтральной материи во Вселенной означает, что существует вклад этой материи в тензор энергии-импульса стандартных уравнений Эйнштейна (18), связанный не только с Вакуумом, но и обычной формой материи.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Согласно точке зрения, изложенной в настоящей статье, вакуум не бывает пустым. Он заполнен двумя видами материи, определяемыми терминами тёмная энергия и гравитационно-нейтральная материя. Они являются идеальными средами. Их термодинамические свойства описываются формулами (20) и (33), соответственно. Плотность тёмной энергии определяется значением космологической постоянной Л, а плотность гравитационно-нейтральной материи значением постоянной у (см. (33)). Значения этих постоянных, вообще говоря, произвольные и должны находиться в процессе применения теории для объяснения наблюдений. В [11; 13] показано, что есть основания считать, что Л = 0, а у ~ 1, 4 ^ 1, 5.

Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума описаны в [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау, Л. Д. Теория Поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.

2. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М.: Наука, 1975.

3. Вайнберг, С. Гравитация и космология. М.: Платон, 2000.

4. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Д. Уиллер. М.: Мир, 1977.

5. Эйнштейн, А. Основы общей теории относительности // Собр. науч. тр. : в 4т. Т. 1. М.: Наука, 1965.

6. Горбунов, Д. С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего большого взрыва / Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. М. : ЛКИ, 2008.

7. Клименко, А. В. Геометрические свойства однородного изотропного вакуума / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 66-71.

8. Чернин, А. Д. Тёмная материя и всемирное антитяготение // УФН. 2008. Т. 178, №3. С. 267-300.

9. Эйнштейн, А. Вопросы космологии и общая теория относительности // Собр. науч. тр. : в 4 т. Т. 1. М.: Наука, 1965.

10. Глинер, Э. Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // УФН. 2002. Т.172, №2. С.221-228.

11. Клименко, А. В. О тепловой природе космологических сил отталкивания / А. В. Клименко, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 43-65.

12. Жилкин, А. Г. Динамика трёхмерных однородных изотропных релятивистских миров / А. Г. Жилкин, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып.17. С.29-42.

13. Клименко, А. В. Частицы, античастицы и гравитация. Гравтационно-нейтральная Вселенная / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19 (310). Физика. Вып. 17. С. 89-99.