Научная статья на тему 'Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума'

Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
225
101
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОСМОЛОГИЯ / ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ / УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА / Λ-ЧЛЕН / ВАКУУМ / λ-TERM / COSMOLOGY / GENERAL THEORY OF RELATIVITY / EINSTEIN EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Клименко Алексей Владимирович, Клименко Владимир Антонович

Показано, что в отсутствие обычных форм материи существует семь типов решений, описывающих в рамках общей теории относительности (ОТО) геометрические свойства однородных изотропных трёхмерных пространств. Решение уравнений ОТО, описывающее динамику однородной изотропной Вселенной, в предельном случае исчезающе малого влияния обычной материи на метрические свойства пространства-времени, должно переходить в одно из них.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

GEOMETRIC PROPERTIES OF THE HOMOGENEOUS ISOTROPIC VACUUM

It is shown that there are seven types of solutions describing, in the framework of general relativity (GR), the geometric properties of homogeneous isotropic three-dimensional spaces. Solution of the equations of general relativity, which describes the dynamics of a homogeneous isotropic universe, in the extreme case of vanishingly small influence of ordinary matter by the metric properties of space must go to one of them.

Текст научной работы на тему «Геометрические свойства однородного изотропного Вакуума»

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. №19 (310)

Физика. Вып. 17. С. 66-71

ВАКУУМ И ГРАВИТАЦИЯ

А. В. Клименко, В. А. Клименко

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ВАКУУМА

Показано, что в отсутствие обычных форм материи существует семь типов решений, описывающих в рамках общей теории относительности (ОТО) геометрические свойства однородных изотропных трёхмерных пространств. Решение уравнений ОТО, описывающее динамику однородной изотропной Вселенной, в предельном случае исчезающе малого влияния обычной материи на метрические свойства пространства-времени, должно переходить в одно из них.

Ключевые слова: космология, общая теория относительности, уравнения Эйнштейна, Л-член, вакуум.

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматриваются геометрические свойства Вакуума. Термином «Вакуум» обозначаем идеализированную однородную изотропную Вселенную, в которой отсутствует обычные формы материи: «барионная компонента», состоящая из электронов, протонов и нейтронов; «релятивистская компонента», состоящая из фотонов и нейтрино; а также «тёмная материя», состоящая из частиц, физическая природа которых пока понятна не вполне [1; 2].

Геометрические свойства четырёхмерного пространства-времени описываются метрикой

Лв2 = д^уЛх^Лх4. (1)

Метрические коэффициенты д^у являются функциями пространственно-временных координат ха = (х0, х1, х2, х3) (см., например, [3-6]). В основе ОТО лежит гипотеза о взаимосвязи гравитационного поля и метрических свойств пространства-времени. Функции д^у дают описание этого поля.

В основополагающей работе «Основы общей теории относительности» (1916 г.) [8] Эйнштейн показал, что уравнения, описывающие гравитационное поле в вакууме (областях пространства, свободных от обычных

форм материи), могут быть записаны в виде

х д^В = °ї (2)

где X — некоторая константа; д^В^ = В — след тензора Эйнштейна В^; В^ — симметричный тензор, полученный свёрткой из тензора кривизны Римана Ярот:

В^ = Я°оу- (3)

Тензор В^ может быть записан в виде

В\1У = 2 Яд^> (4)

где — тензор Риччи, а Я — его след (см.,

например, [3-6]). Тензор Риччи имеет вид

дГа дГа

я = дГ + га гв — Гв Га (5)

дХа дХ + Г^Гав Г^а1ув- (5)

Символы Кристофеля Г^ определяются формулой

^ = давГв,^ =

= 2 дав / ддв£ + ддві _ дд^Л (6)

2 \ дху дх^ дхв / -

Эйнштейн полагал, что с выбором уравнений гравитационного поля в виде (2) связан минимум произвола, поскольку, кроме В^, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из метрического тензора

д^ и его производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второй, и был бы линейным относительно последних.

Эйнштейн считал (см, [8]), что уравнения (2) для гравитационного поля в вакууме сводятся к уравнениям

В^ = 0.

(7)

Я(1 + 4Х) = 0.

(8)

Значение коэффициента перед параметром X равно четырём и это связано с четырёх-мерностью пространства-времени. Из (8)

следует, что при всех X = —0, 25, скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени Я равна нулю и уравнения (2) приводятся к стандартным уравнениям Эйнштейна для вакуума

я; = о.

(9)

В общем случае это не так. При выполнении (7) уравнения (2) выполняются автоматически. В тоже время не все решения уравнений (2) являются решениями (7). В случае однородных изотропных пространств возможны два решения уравнений (7). Первое описывает плоское однородное трёхмерное стационарное пространство, расстояние между любыми точками которого остаётся постоянным. Второе — кривое открытое однородное трёхмерное пространство, радиус кривизны которого увеличивается (уменьшается) со скоростью света. В настоящей работе покажем, что уравнения (2) для Вакуума имеют и другие решения.

Пространства в Вакууме рассматриваем как предельный случай пространств реальной Вселенной, заполненных обычной материей при стремлении её плотности к нулю. В этом случае решения, описывающие однородные изотропные пространства в Вакууме, являются предельными для решений, описывающих динамику однородных изотропных пространств Вселенной. В связи с этим важно знать свойства этих предельных решений.

2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Космологические уравнения Фридмана

Используя соотношение (4), находим, что след тензора Эйнштейна В = —Я, где Я — след тензора Риччи. Учитывая это, из уравнений (2) находим

В тоже время, как видно из (8), при X = —0,25 пространство-время в вакууме может иметь скалярную кривизну Я отличную от нуля. Это означает, что при X = —0,25 могут существовать решения уравнений (2), не являющиеся решениями уравнений (9).

Покажем, что скалярная кривизна Я в вакууме не может быть переменной величиной. Взяв ковариантную производную от левой части уравнения (2) и учитывая, что

Я _ 1Я 8!

И О и

0

(см., например, [1; 3]), находим

дЯ дхи

0.

(10)

(11)

Это означает, что при X = —0, 25 скалярная кривизна четырёхмерного пространства-времени Я в вакууме хотя и может быть не равной нулю, но является постоянной величиной. В тоже время отметим, что это вовсе не означает, что кривизна соответствующего трёхмерного пустого пространства остаётся постоянной.

В случае, когда скалярная кривизна Я отлична от нуля, используя обозначение

Л = _1 Я,

4

(12)

уравнение (2), учитывая (4), запишем в виде

Я! _ 1Я 8И и о и

Л8И-

(13)

Это уравнение является уравнением Эйнштейна с Л-членом для вакуума. Константа Л называется космологической постоянной (см., например, [4; 7]). Эйнштейн трактовал Л-член как описывающий неустранимую кривизну пространства-времени. В настоящей работе мы придерживаемся этой точки зрения.

Найдём решения уравнений (2) для Вакуума. Предполагаем, что в рассматриваемом случае соответствующие трёхмерные пространства являются однородными и изотропными.

Для описания геометрии однородных изотропных нестационарных трёхмерных пространств удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая эти пространства как однородные и изотропные трёхмерные гиперповерхности в четырёхмерном пространстве (см., например, [3]). Геометрия этих трёхмерных однородных изотропных пространств определяется параметром k, а также масштабным фактором а, который часто называют радиусом кривизны.

Параметр k может принимать три значения: k = -1, 0, +1. При k = +1, -1, 0 реализуются случаи трёхмерных пространств положительной, отрицательной и нулевой кривизны, соответственно. В нестационарных пространствах радиусы их кривизны а изменяются во времени. Метрику четырёхмерного пространства-времени, соответствующую рассматриваемым трёхмерным пространствам, можно записать в виде

ds2 = c2dt2 — (I.)

—a2(t) {dx2 + f (x)(d02 + sin2 0 dф2)} , ( )

где

!sin2 x при k = +1,

sh2 x при k = —1, (15)

x2 при k = 0

(подробности см., например, в [3; 4]).

Используя метрику (14), уравнения (2) стандартным образом преобразуем в космологические уравнения Фридмана:

Формула, определяющая скалярную кривизну Я четырёхмерного пространства-времени через масштабный фактор а(і), имеет вид

R—-

б

с2 а2

(kc2 + ай + а2).

(19)

2.2. Трансформационные свойства уравнений Фридмана

Отметим, что уравнения Фридмана (16), (17) не меняются при преобразованиях вида: а ^ _а; і ^ _і; і ^ і + Ді, где Ді -константа. Этот результат является ожидаемым, поскольку в уравнение (14), которое определяет метрику пространства, масштабный фактор а(і) входит в квадрате, а время і не входит явно.

3. ПЛОСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ТРЁХМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВАКУУМА

3.1. Плоское трёхмерное стационарное пространство

При к = 0 и значении параметра X = 0, решением уравнений (16), (17), удовлетворяющим условию (18), является функция

а — а0 — const.

(20)

Это решение описывает стационарное плоское трёхмерное пространство, расстояние между любыми точками которого остаётся постоянным. Скалярная кривизна Я четырёхмерного пространства-времени в этом случае равна нулю.

а2

„ , „ kc2\ „, (а2 kc2 а .

3 ( ~тт +-) + бХ ( ~тт +-;т---1-) — О,

а2 а2 а2 а2 а

й a2 kc2

а2 kc2 а

(16)

2—I—2 +----2" +6Х I —2 I-2—I— ) — О. (17)

а а2 а2 а2 а2 а

Уравнения (16), (17) совместны при выполнении условия

3.2. Плоские трёхмерные инфляционные пространства

Кроме стационарного решения (20), при значении параметра X = —0, 25 уравнения (16), (17) для плоского трёхмерного пространства имеют нестационарные решения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а^) — а0 exp ( ±— t0

йа - а2 - kc2 — О.

(1В) где а0 — ct0, t0 — свободный параметр.

Решения со знаком плюс описывают экспоненциально расширяющиеся, а со знаком минус сжимающиеся плоские пространства. Функции (21) не являются решениями стандартных уравнений Эйнштейна (9). Они являются решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом (13). Взаимосвязь между характерным временем £о и космологической постоянной Л определяется формулой

Л

3

,2+2 '

с2 і

(22)

Согласно решениям (21), относительные скорости сближения (разлёта) точек этих трёхмерных пространств могут быть сверхсветовыми.

Замечание. В настоящей работе факт экспоненциальной расходимости масштабного фактора а(і) определяем словом инфляция.

4. ОДНОРОДНЫЕ КРИВЫЕ ТРЁХМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ВАКУУМА

При значении параметра X = _0, 25 трёхмерные однородные пространства могут быть не только плоскими, но и кривыми. Параметр к, определяющий тип геометрии этих пространств, может принимать значения +1 и _1.

При к = +1 кривое трёхмерное однородное изотропное пространство имеет конечный объем и является замкнутым. Кривые однородные трёхмерные пространства бесконечного объёма являются открытыми и описываются метрикой (14), в которой параметр к = _1. Найдем решения уравнений (16), (17), соответствующие случаям к = _1, X = _0, 25 и к = +1, X = _0, 25.

4.1. Открытые однородные трёхмерные кривые пространства

4.1.1. Равномерно расширяющееся (сжимающееся) открытое пространство

При к = —1 условие (18) выполняется, если радиус кривизны

а(£) = И .

Функция (23) описывает равномерное расширение (сжатие) однородного трёхмерного открытого кривого пространства со скоростью света. Она удовлетворяет уравнениям (16), (17) в случае, когда скалярная кривизна Я = 0, а, следовательно, значение космологической постоянной Л = 0.

4.1.2. Осциллирующие трёхмерные пространства

Кроме решений (23), при к = —1 имеются и другие решения уравнений (16), (17), удовлетворяющие условию (18). Они описывают осциллирующие однородные трёхмерные открытые кривые пространства. Эти решения имеют вид

а(£) = ат

і

81П — £і

(24)

где атах = с £ 1, £1 — свободный параметр. Имеется бесконечное множество таких решений. Они отличаются амплитудами атах и периодами колебаний Т = п £1.

В случае, когда радиус кривизны а определяется формулой (24), скалярная кривизна

Я=

12

> 0,

космологическая 2

(25)

постоянная (24) явля-

Л = —3/атах < 0. Решения ются вполне физичными. Остаётся лишь понять физический смысл Л-члена.

4.1.3. Открытые инфляционные пространства

При к = —1 и Л > 0 решения, описывающие открытые однородные пространства, имеют вид

а = а2

вИ — £2

(26)

где а2 = с £2, £2 — свободный параметр. Космологическая постоянная Л и характерное время £2 связаны соотношением

(23)

Л

3

22

с2 і

(27)

и

2

а

а

4.1.4. Особая точка решений

Все три типа решений, описывающие открытые однородные трёхмерные пространства, содержат точку а = 0. Значение а = 0 является допустимым в решениях уравнений Фридмана (16), (17). В тоже время не совсем ясно, что происходит с пространством при а, обращающемся в ноль. Возможно, что в этот момент происходит уничтожение пространства и рождение нового. Полагаем, что в этом случае естественно продолжать решение далее, предполагая, что «новое» пространство продолжает эволюцию «старого».

4.2. Замкнутые инфляционные трёхмерные однородные пустые пространства

При к = +1 уравнения (16), (17) имеет решения

а — атт СЬ Г- , (28)

где ат;п = £3с, £3 — свободный па-

раметр. Область существования решений: —то < £ < +то. Они удовлетворяют начальным условиям

а(0) = атщ, а(0) = 0. (29)

Согласно (28), замкнутые однородные трёхмерные пространства, рождаясь в бесконечности, сжимаются до некоторого минимального объёма, а затем, обратимым образом расширяясь, снова уходят на бесконечность. В любой момент времени £ объём трёхмерного пространства конечен и определяется формулой:

V = 2 п2а3(£) (30)

(см., например, [3]). Функция (28) является решением уравнений (16), (17) лишь при значении параметра X = —0, 25. Недостаток решений (28) заключается, как и в случаях (21) и (26), в их экспоненциальной расходимости, а вследствие этого, сложности физической интерпретации этих решений. Скалярная кривизна пространств, описываемых решениями (28):

12

Я =-----< 0. (31)

а2

тт

Соответствующее значение космологической постоянной Л = Э/а^ш > 0.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

Показано, что ОТО допускает возможность существования семи типов решений, описывающих геометрические свойства однородных изотропных трёхмерных пространств Вакуума. Они могут быть не только плоскими, но также кривыми, открытыми и замкнутыми. Характер эволюции этих пространств схематично изображён на рисунке.

Динамика этих пространств описывается функциями:

1) a(t) = ао = const;

2) a(t) = а0 exp(t/t0), t0 = а0/с;

3) a(t) = а0 exp(—t/t0);

4) a(t) = amax |sin(t/ti)|, ti = amax/c; (32)

5) a(t) = |ct| ;

6) a(t) = a2 |sh(t/t2)|, t2 = a2/c;

7) a(t) = amin ch(t/t3), t3 = amin/c.

Решения уравнений ОТО, описывающие динамику однородной изотропной Вселенной, в предельном случае исчезающе малого влияния обычных форм материи материи на метрические свойства пространства, должны переходить в одно из перечисленных выше решений, описывающих динамику однородных трёхмерных пространств Вакуума.

Считаем, что физически интересными среди них являются решения 1, 4 и 5, не являющиеся инфляционными (см. рисунок). Полагаем, что правильный учёт влияния материи на свойства пространства-времени может устранить особенность в точке а = 0, присущую решениям 4 и 5.

Плоские (а), кривые открытые (Ь), и кривые замкнутые (с) пространства.

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Термин «вакуум» широко используется в научно-технической литературе и имеет много различных смыслов. Приведём некоторые из них. Технический вакуум — разреженный газ. Физический вакуум — состояние квантового поля, соответствующее минимуму его энергии. Эйнштейновские ваку-умы — решения уравнений ОТО для пустого, без обычной материи пространства. Введённый в работе термин «Вакуум» — это краткое обозначение однородных изотропных эйнштеновских вакуумов.

2. Решения, записанные в настоящей работе, описывают геометрические свойства однородного изотропного Вакуума. Эти же решения могут быть интерпретированы и как описывающие свойства Вакуума, заполненного двумя видами вакуумных форм материи: тёмной энергии и гравитационнонейтральной материи (см. [9]). Согласно последней интерпретации, Вакуум не бывает пустым.

В ОТО физика и геометрия тесно взаи-

мосвязаны. Обе интерпретации дополняют друг друга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горбунов, Д. С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего большого взрыва / Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. М.: ЛКИ, 2008.

2. Чернин, А. Д. Тёмная материя и всемирное антитяготение // УФН. 2008. Т. 178, №3. С. 267-300.

3. Ландау, Л. Д. Теория Поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М.: Наука, 1988.

4. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М.: Наука, 1975.

5. Вайнберг, С. Гравитация и космология. М. : Платон, 2000.

6. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Д. Уиллер. М.: Мир, 1977.

7. Эйнштейн, А. Вопросы космологии и общая теория относительности // Собр. науч. тр.: в 4 т. Т.1. М.: Наука, 1965.

8. Эйнштейн, А. Основы общей теории относительности // Собр. науч. тр. : в 4 т. Т. 1. М. : Наука, 1965.

9. Клименко, А. В. Вакуумные формы материи / А. В. Клименко, В. А. Клименко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. №19(310). Физика. Вып. 17. С. 72-77.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.