Уточненный метод быстрой оценки давления на поверхности гладких затупленных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕВАЗРОГИДРОДИНАМИК^

УДК 533.6.011.31.5:532.582.33

В. П. К о т е н е в, В. А. С ы с е н к о

УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ГЛАДКИХ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ

На основе уравнения для специальной контурной функции разработан метод быстрой оценки давления на участке поверхности гладкого затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Рассмотрены примеры применения метода для осесиммет-ричных течений газа.

E-mail: kotvp@mail.ru

Ключевые слова: сверхзвуковой поток, осесимметричные течения газа, звуковая точка.

В практических расчетах часто требуется быстро оценить давление на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Для этого обычно используется формула Ньютона. При расчете давления по этой формуле получается результат, который не зависит от формы тела, что не всегда допустимо даже для получения приближенной оценки. Как правило, теория Ньютона дает удовлетворительный результат вблизи затупления, но плохо работает, когда угол наклона касательной к поверхности тела стремится к нулю. А именно такие тела наиболее интересны с точки зрения практических расчетов. В работе предлагается метод быстрой оценки давления на поверхности тел. Результаты показали, что такой подход дает лучший результат по сравнению с расчетами по формуле Ньютона.

Безразмерные параметры. Давление р отнесем к давлению в точке торможения p'0, которое определяется по известной формуле Рэлея:

Р0=У V-M J

у+1

у-1 у —

2MJ

i

у-1

где у — показатель адиабаты (для совершенного газа у = 1,4); М« — число Маха набегающего потока; р« — давление газа в набегающем потоке.

Тогда безразмерные плотность и скорость вычислим следующим образом:

р =ру Уу; v = - Д.

у-1

Расчет газодинамических параметров на поверхности тела будем проводить для областей а е [0; <г*], а е [а*; 90°], где <г — угол между осью тела и вектором скорости в произвольной точке на его поверхности; а* определяет положение звуковой точки на поверхности тела [1].

Расчет давления при а е [а*; 90°]. Для определения положения

звуковой точки на поверхности тела сначала найдем ее на поверхности сферы, используя аппроксимационные формулы для давления на сфере [2]:

Р2въ +Р,в2 = ln p, (1)

где 0 — центральный угол.

Кроме того, учтем, что давление в звуковой точке, отнесенное к

7

давлению в точке торможения, p* = получим уравнение

З3 , оа2 У

( 2 ^

/-1

у +1

' 2 >

. Тогда из равенства (1)

ДО3 +ДГ —ln

= 0,

d2 f/do2

у-\ I

решив которое, найдем положение звуковой точки на сфере: -ж-а

СТ^ — и **. 2

Вычислим для сферы в звуковой точке отношение где/ — контурная функция, которая рассчитывается по формуле

/ = —, (2)

тру

г(о) — цилиндрический радиус, описывающий геометрию тела; р(ст) — плотность частиц газа; у(ст) — модуль скорости.

Все производные вычисляют по аргументам, изменяющимся вдоль тела, т. е. при постоянной энтропии. В качестве аргументов при дифференцировании вдоль поверхности тела используются давление

р или угол а. Учитывая, что — =--, перепишем выражение для

dp ру

контурной функции (2) в виде

/ ; (3)

т dp

df _ dr/da dv 1 d2v dp da r2 dp r dp2 da'

d2f _(d2r/da2)r2 -2r(dr/da)2 dv

da2 r4 dp

2

2 dr/da d v dp 1 d v ( dp j ^ 1 d v d p

r2 dp2 da r dp3 ^ da J r dp2 da2

Однако

d2v M2 -1

-v = •

dp2 p2v3

, а в звуковой точке M = 1, поэтому

d v dp2

= 0. Тогда

d

2f _ (d2rld°2 )r 2 " 2r (dr!da f dv 1 d3v f dp

da2

dp r dp3 v da )

d

2 f ¡da2 _ 2 (dr/da)2 -(d2rlda2) r

r ~ 2 ,3 I T

/ т

После ряда преобразований получим

dp ^ da

-Т- . (5)

d2v M2 -1 f dv_^

v dp J

dp2 p2v3

ni

__ fr- 1)pr

yp

f Г-Л

2Г-p

1 - p

т. е. при M = 1

(r-1)

Pv

d v 1

£-1 2(r-1)

p 7 - p 7

dp yp

2y-p2

f rz! V

1 - p 7

v J

(6)

Давление в окрестности звуковой точки и при а е [а-*; 90°] можно вычислить по формуле

Найдем

da = sin 2ст

. 2 P* ~ sin ст* 2

p = sin ал--2-c°s

cos ct«

dp p* - sin a*

= 2sinacosCT-2--2-cosasina =

cos a*

f 2 • 2 ^ cos CT* - P* + sin (Ts

2

cos CT«

sin 2a = (1 - P*)-2—

cos <т*

Тогда в звуковой точке сферы dp da

sin

= (1 - p*)-2-= 2(1 - P*)tg а**.

2

cos ст*

(8)

тг 1 dp

Для тел, отличных от сферы, -

da

= 2(1 -p*)tgст*. Формула (7)

имеет ту же структуру, что и классическая формула Ньютона, и при а е [ст«; 90°] или а е [ст««; 90°] также дает хорошие результаты. Подставим выражения (6) и (8) в уравнение (5). Учитывая, что для сферы с радиусом кривизны R = 1 цилиндрический радиус г(ст) = cos ст, вычислим

значение

d2 f/da2

f

. Очевидно, что это отношение не зависит от R.

d2 f/da

Согласно работе [1], предположим, что значение

f

в звуковой точке произвольного тела такое же, как на сфере. Тогда

с учетом pv

нение

d 3v

dp3

= const при p = p* получим нелинейное урав-

d2 f /de

f

(dr/dCT|*)2 d2r/dCT2^ jr(ст*)

r2 (ст*)

-pF

d 3v

dp3

f dp \

* ^do * J

Решив его, найдем ст*. Теперь на интервале [ст«;90°] вычислим

по уточненной формуле (7) давление на произвольном гладком затупленном теле.

Расчет давления на поверхности тела при а е [0; о-*]. Найдем

такую точку с0, в которой-= 0.

¿а

■

«

«

а2у м2-1 /ч

Поскольку —2 = —т0 с учетом соотношений (3) и (4) ёр1 р1Г

ё/ _ ёт/ёд _1_ 1 м2 -1 ар _0

ёа г2 ру г р\ъ ёа Таким образом, в точке <г0 должно выполняться равенство

-f

f drjda M2 -1 dp ^

v r pv da j

= 0. (9)

Из условий обтекания выпуклого тела следует:

1) вдоль тела давление падает, т. е. для выпуклого тела (ст убы-

. dp

вает)-> 0;

da

dr dr

2) радиус тела r > 0, а-< 0, причем-= 0 при а = 0 для тел

da da

рассматриваемого класса.

dr

Для выпуклых затупленных тел с -= 0 при а = 0 существует

da

~ df Л

такая точка <г0, для которой-= 0, поскольку первое слагаемое вы-

da

ражения (9) стремится к нулю снизу при а ^ 0, а второе при M > 1 неотрицательно и равно нулю только при M = 1.

Тогда из выражения (9), учитывая, что f ^ 0, получим

= 0. (10)

r pv da

При нахождении точки <г0 из нелинейного уравнения (10) давление в ее окрестности вычислим по формуле

/ \ sin2 а .л 1Ч

Р = (Р* "Р^)—2— + Р^. (11)

Sin ст«

Следовательно,

dp . sin2CT

— = (Р* -P^)—— da sin ct«

Формула (11) является вариантом формулы Ньютона. Она дает хорошие результаты в относительно малой окрестности звуковой точки. Поэтому на участке <ге[о-0;о-*] используем формулу (11) для расчета давления.

С учетом

M2 -1_ pv2 /yp -1_ 1 YP

ру2 ру2 ур урру2 УР УрМ2

выражение (10) превращается в нелинейное уравнение относительно ст. Решив его, получим искомый угол ст0 е[ст0;с«].

йо

ется по параболическому закону с коэффициентами А и В на интервале [0;ст«]:

Поскольку

= 0, предположим, что функция f (ст) изменя-

При ст = ст0

при ст = ст*

f = A(CT-CTo)2 + B. (12)

f (^o) = fo =

f (ст*) = f* = a(a*-ст0)2 + b.

f* f0 (CT* -CTo)2

Тогда а = ———и уравнение (12) примет вид

f* fo (ст* -CTo)2

f = , У* yV^o)2 + fo. (13)

Здесь f* =

г (ст*)р( p(CT*))v( р(ст*))

БШ2 СТ

Чтобы определить f0, вычислим р(ст0) = (p* - p^, )—2—0 + Р

sin (Г*

Тогда

1

г (ст'0)р(рр(СТ0) ^рр(СТ0) У Подставив выражение (13) в уравнение (1), получим

-1-= 1« ~ /02 (ст-ст0)2 + /0,

г(я)р(р)у(р) (ст* -СТ0)

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

0 S 10 1Б 20 2Б 30 ЗБ 40 4Б SO 55 60 6S 70 7S 30 AS 90*

а

Рис. 1. Зависимость давления р от угла наклона а при Ь / а = 1 / 2,

----по формуле Ньютона;.....— по предлагаемому методу;

О 5 Ю 15 20 25 ЗО 35 40 45 ВО 55 ЕЛ 65 70 75 ВО Б5 ТО*

г

полученная при М = 2 (а); 4 (б); 6 (в) и 20 (г):

■ ■ ■ — по табличным данным [3]

или

1 / 7-1

1 - Рг =-ГГ-". (14)

2у г (ст) /« 7\2(а-00)2 + Г

^ (СТ«-СТ0)

Уравнение (14) при фиксированном ст является нелинейным относительно р. Решив его, найдем распределение давления на интервале [0; <г0] как функцию <г.

Анализ результатов. Для примера приведем результаты расчетов по предложенному методу для эллипсоидов двух типов с отношением полуосей Ь / а = 1 / 2 (рис. 1) [3] и Ь / а = 3 / 2 (рис. 2) [4] при различных значениях числа Маха. Из сравнения расчетных данных с табличными [3, 4] видно, что при расчете давления на эллипсоиде с отношением полуосей Ь / а = 1 / 2 при низких значениях числа Маха можно получить удовлетворительный результат, используя формулу Ньютона. Однако при больших значениях числа Маха для эллипсоида с соотношением полуосей Ь / а = 3 / 2 имеется значительное рассогласование давления, рассчитанного по формуле Ньютона, с данными [3, 4]. В то же время предлагаемый метод в отношении всего представленного набора исходных параметров дает вполне приемлемые результаты для быстрой оценки давления на поверхности тела.

у. s. •

7 / •■

/. •

/

/у

/

у

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 30 85 90

а

Рис. 2. Зависимость давления р от угла наклона <гдля Ь / а = 3 / 2,

----по формуле Ньютона;.....— по предлагаемому методу;

О В lO 1S 20 25 ЗО 35 40 45 50 55 60 65 70 75 ВО В5 $0"

б

у. у •

х

У

у .

/ .*

У У ■ У . •

-т^

У

У

У .* у.'

•у-

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

в

полученная при М = 4 (а); 6 (б) и 20 (в):

■ ■ ■ — по табличным данным [4]

Выводы. Новый метод позволяет определить давление и другие параметры течения газа на поверхности тела с достаточной для практики точностью; при этом не требуется существенных затрат времени.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К о т е н е в В. П. Определение положения звуковой точки на поверхности выпуклого затупленного тела // Вестн. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естествознание. Спец. вып. Мат. моделирование. - 2011. - С. 150-153.

2. П о к р о в с к и й А. Н., Ф р о л о в Л. Г. Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // Механика жидкости и газа. - 1985. - № 2. -С. 185-190.

3. Л ю б и м о в А. Н., Р у с а н о в В. В. Течения газа около тупых тел. - М.: Наука, 1970.

4. Б е л о ц е р к о в с к и й О. М. Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной // Расчетные формулы и таблицы полей течения. - М.: ВЦ АН СССР, 1961. - 56 с.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.