Определение положения звуковой точки на поверхности выпуклого затупленного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011.31.5:532.582.33

В. П. К о т е н е в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЗВУКОВОЙ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЫПУКЛОГО ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА

На основе уравнения для специальной контурной функции разработан метод определения звуковой точки на поверхности выпуклых затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Рассмотрены примеры применения метода для осесимметричных течений газа.

Е-тш1:ко1ур@тш1.ги

Ключевые слова: сверхзвуковой поток, звуковая точка, осесимметричные течения газа.

В настоящее время существуют работы [1], в которых на основе анализа экспериментов и численных методов получены аппроксимации распределения параметров сверхзвукового газового потока поверхности сферы. В общем случае используется правило местных сфер, когда давление на элементе поверхности тела произвольного очертания берется тем же, что и на элементе сферы с одинаковым углом наклона по отношению к набегающему потоку. Такой подход не всегда имеет удовлетворительную точность. Применение теории Ньютона дает результат, который не зависит от формы тела, что часто приводит к значительным погрешностям [2]. Большое значение для получения универсальных зависимостей имеет знание положения звуковой точки на теле. В данной работе предлагается новый способ определения звуковой точки на выпуклых отличных от сферы телах вращения при их обтекании сверхзвуковым потоком невязкого газа.

1. Рассмотрим задачу сверхзвукового обтекания под нулевым углом атаки выпуклых затупленных тел вращения. В работе [3] получено уравнение, связывающее характеристики течения газа с геометрическими параметрами:

df+f=- (1)

д о2 дщ

Здесь f (о,щ) = ——, r (ст, у) — цилиндрический радиус, описываю-rpV

щий геометрию линии тока; р(ст, у) — плотность частиц газа; V(ct, у) — модуль скорости; R (ст, у) — радиус кривизны линии тока.

В качестве одного из независимых аргументов выбран ст — угол между осью тела и вектором скорости в произвольной точке на линии

тока (в том числе и на контуре тела, так как поверхность тела представляет собой одну из линий тока). Другим независимым аргументом

является функция тока: dy = - rpvdz + rpudr, т. е. ^^ = -rpv, ^^ = rpu;

dz dr

u, v — компоненты вектора скорости на осевое и радиальное направления соответственно.

На поверхности тела y = const все искомые функции, входящие в уравнение (1), зависят только от ст. В окрестности звуковой точки уравнение (1) удобно представить в виде

1 d 2f , dR

--+1 =-,

f да2 ду

-ТЗ +1 = — PVr- (2)

Все параметры течения газа в звуковой точке, где скорость совпадает с местной скоростью звука, известны. В рамках теории Ньютона ударный слой является бесконечно тонким, значение угла о*, при котором скорость становится звуковой, для разных тел одно и то же, а правая часть уравнения (2) есть производная радиуса кривизны тела по нормали к нему и тоже одинакова.

о тг дЯ

2. Допустим теперь, что величина -руг имеет одно и то же

ду

значение для рассматриваемого класса тел в звуковой точке не только при условии справедливости теории Ньютона, но и в реальном течении. При этом значение угла о**, при котором скорость становится звуковой для сферы, не совпадает с соответствующим значением о* для других тел. Тогда, определяя положение о** звуковой точки на сфере, например, из [1] и полагая правую часть (2) такой же, как на сфере, из (2) легко найти о* для произвольного выпуклого затупленного тела с известной геометрией. Необходимое для реализации этого метода распределение давления на поверхности произвольного тела в окрестности звуковой точки вычислялось по формуле

р Г П „2

, sin2a +

P 1 0

P* ■ 2 — - sin а*

P P0

cos а (3)

cos2 а

P*

Для совершенного газа — =

Pa

Y

\

Y +1

Y-1

, где y— показатель адиаба-

ты. Плотность и модуль скорости связаны с давлением с помощью известных изэнтропических формул и интеграла Бернулли.

Используя данные таблиц [4, 5], разработанный подход был проверен для эллипсоидальных тел с различными отношениями полуосей в/а.

2

-0,71

М=4 Ь/а=0.5

51

60J00 5i.i1 SßJB! 55,23

Sj5,23 Sj3.S4 у05 5|3.45 J.86 4^7.27 4^.38 уДЭ VTA у.91 3р.32 ^7.73 ^5.1« 3|4.5Э у ,36 ^3.7

Рис. 1. Зависимость отношения давлений —7 от угла а для эллипсоида с отношением полуосей в/а = 0,5: р

--данные из [4, 5]; • — расчет с помощью разработанного подхода; о — из [6]

_О,Б» —0,61

М=20 Ь/а=1.5

—0.55 —0.52 —0.« —0.46 —043 —0,40 —030 —0.35 —0.32 —о.гэ —0.21, —023 —0.20 —0)7 —0.14 -0.12 —О.ОЭ —0,06 —0.03

-ч

1.94 —ода 60.00 ¡.06 - 5.11 1.17 5 222 9 0.28 ¡.33 4 >.Э9 44.44 42.50 4, 1.5S : ¡.61 : ¡.67 |4.72 3270 ; юз г 8.«

I I I

Рис. 2. Зависимость отношения давлений —7 от угла а для эллипсоида с отношением полуосей в/а = 1,5: р

--данные из [4, 5]; • — расчет с помощью разработанного подхода; о — из [6]

Во всех рассмотренных случаях получено хорошее согласование расчетных данных по разработанному подходу с данными из [4]. На рис. 1-2 представлены результаты применения разработанного подхода для эллипсоидов с разным отношением полуосей. По оси абсцисс отложен угол о, по оси ординат — давление из таблиц [4], отнесенное к давлению торможения. Практически совпадающие кружочки характеризуют совпадение положения звуковой точки, полученное с помощью рассмотренного подхода, с данными таблиц [4]. Здесь же показаны результаты работы [6], дающие большое рассогласование, что может привести к ошибке в определении давления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. П о к р о в с к и й А. Н., Ф р о л о в Л. Г. Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // Механика жидкости и газа. - 1985. - № 2. -С. 185-190.

2. Ч е р н ы й Г. Г. Газовая динамика. - М.: Наука, 1986. - 424с.

3. К о т е н е в В. П. Уравнения двумерных течений газа в динамических переменных // Информационные технологии. - 2007. - №1. - С. 37-41.

4. Л ю б и м о в А. Н., Р у с а н о в В. В. Течения газа около тупых тел. - М.: Наука, 1970. - Т. 1. - 287 с. Т. 2 - 380 с.

5. Б е л о ц е р к о в с к и й О. Н. Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной (расчетные формулы и таблицы полей течения) - М.: ВЦ АН СССР, 1961. - 56 с.

6. М и н а й л о с А. Н. Параметры подобия и аппроксимационные зависимости осесимметричного сверхзвукового течения у эллипсоидов // Механика жидкости и газа. - 1973, - №3. - С. 176-180.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Котенев Владимир Пантелеевич родился в 1956 г., окончил в 1978 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Начальник отдела ОАО «ВПК «НПО машиностроения». Д-р техн. наук, профессор кафедры вычислительной математики и математической физики. Автор более 40 научных работ в области прикладной математики, численных и аналитических методов исследования течения газа при обтекании поверхности летательных аппаратов.