Уточненная модель риска катастроф при движении воздушных судов по одному маршруту на одной высоте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.7.052.001.76

УТОЧНЕННАЯ МОДЕЛЬ РИСКА КАТАСТРОФ ПРИ ДВИЖЕНИИ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ ПО ОДНОМУ МАРШРУТУ НА ОДНОЙ ВЫСОТЕ

В.В. ДУПИКОВ, С.В. КУЗНЕЦОВ, А.А. ТАРАКАНОВ

Статья представлена доктором технических наук Спрысковым В.Б.

В статье строго в соответствии с рекомендациями ИКАО получено аналитическое выражение риска катастроф при движении ВС по одному маршруту на одной высоте.

Ключевые слова: модели риска катастроф, эшелонирование, организация воздушного движения.

Введение

Движение воздушных судов (ВС) по одному маршруту на одной высоте является самым распространенным типом относительного движения. Более того, все другие типы относительного движения, для которых в российских правилах использования воздушного пространства [1] или в международных правилах аэронавигационного обслуживания «Организация воздушного движения» [2] указаны минимумы эшелонирования ВС, включают в себя полет ВС друг за другом по одному маршруту на одной высоте.

В этой связи для решения различных задач обеспечения и управления безопасностью полетов важно владеть адекватной моделью риска катастроф Nax для продольного

относительного движения. Здесь уместно сделать важное уточнение. Следует различать риски катастрофы для пары ВС, совершающей полет по одному маршруту на одной высоте, и риски катастроф при движении ВС в очереди (in trail) по одному маршруту на одной высоте.

Первой признанной моделью риска для продольного относительного движения является модель Брукера и Ллойла 1978 года [3]. Модель описывала продольный риск как разновидность вертикального риска Naz или риска катастроф ВС при потере бокового эшелонирования Nay,

формальному описанию которых посвящены наиболее известные работы П. Дж. Рейха 1966 года [4,5]. Модель в [3] описывала риск на основе статистических данных о несоответствии фактических времен пролета ВС контрольных точек маршрута полета по отношению к намеченным плановым временам пролета этих же пунктов.

Рейховский подход к моделированию продольного риска катастроф ВС

Главная особенность моделирования продольного риска катастроф ВС связана с тем фактом, что признанные ИКАО модели Nax [3, 6] относятся к виду так называемых Рейховских моделей риска.

Известно, что формализм любой модели Рейха математически описывает физику столкновения ВС только в ситуации продольного перекрытия, т.е. когда фактическое относительное расстояние между двумя ВС становится меньше наперед заданной величины.

В связи с этим, любая модель риска катастроф ВС Рейховского вида (Nax, Nay или Naz)

должна состоять из двух частей, описывающих:

- вероятность попадания траектории случайного процесса относительного расстояния между ВС в замкнутый объем столкновения W при продольном перекрытии;

- вероятность появления ситуации продольного перекрытия ВС.

Формализм модели Брукера и Ллойда соответствовал формализму модели Рейха, но оперировал временными отклонениями, а сама модель [3] предназначалась для обоснования продольных минимумов эшелонирования ВС по времени. Еще через 20 лет, в 1998 году, была опубликована модель оценки продольного риска катастроф ВС, основанная на расстоянии (модель Андерсона) [6], которая в настоящее время является наиболее цитируемой

специалистами. Новые аспекты моделирования продольного риска Ысх будем рассматривать

именно на базе модели Андерсона.

Можно показать, что для О в форме прямоугольного параллелепипеда и при условии [7] продольного перекрытия ВС, риск катастроф ВС при движении по одному маршруту на одной высоте следует описать выражением

х

У И +-

21 21 21

(1)

Оценка вероятности продольного перекрытия ВС и уточненная модель продольного риска Лах

Основная трудность моделирования риска Лах связана с оценкой вероятности продольного перекрытия ВС. Искомую вероятность будем оценивать отношением времени, проведенного ВС в состоянии продольного перекрытия, к общему полетному времени ВС. Для этого определяем вероятность возможности продольного перекрытия пары ВС, совершающих полет друг за другом по одному маршруту на одной высоте за период времени [0, гр ], в течение которого ни экипажи ВС по собственной инициативе, ни служба УВД не могут изменить режимы полетов ВС для предотвращения нарушений минимального интервала эшелонирования.

На основе анализа графика изменения фактического относительного расстояния Лх(0 между ВС для г е [0; гр ] можно показать, что

Лх (г) = ^ + (у—£) + (V —1^) • г + р- г, (2)

где у, £ - позиционные ошибки определения координат ВС; 5 = ух(0) — х2(0) - номинальное расстояние между ВС при 1=0; У'1,У2 - номинальные (плановые) путевые скорости ВС; ф = у1 — у2; разность ошибок выдерживания плановых скоростей.

Для любых номинальных значений 5 > 0 и (V — У2) = 0 или не сильно отличающихся от нуля всегда найдутся такие значения фактических случайных переменных у ,£ и ф, при которых

Лх( г) может с некоторой вероятностью стать меньше наперед заданного значения 1х, равного усредненной длине фюзеляжа ВС (рис. 1).

Пара ВС находится в состоянии продольного перекрытия за период времени [0, гр ] тогда и только тогда, когда Лх(гр) < 1х. Вероятность этого события обозначим как и(5) = и(5 / г е [0, гр ]) = 1’\Лх(1Р) <1х}. Можно показать, что

и(5) = }/ф(ф) •р(5 +(— ^ • гр +ф^р)ф (3)

где р (... ) - вероятность события, которое заключается в том, что в момент времени гр фактическое относительное расстояние между ВС не превосходит 1х при условии, что в начальный момент времени г0 номинальное относительное расстояние равнялось 5 > 0 ; /Ф(Ф) — плотность вероятностей отклонений от плановой относительной путевой скорости ВС

(V — К*).

Рис. 1. Пример изменения фактического относительного расстояния при движении ВС друг за другом по одному маршруту на одной высоте

Пара ВС находится в состоянии продольного перекрытия за период времени [0, гр ] тогда и только тогда, когда Дх(гр) < 1х. Вероятность этого события обозначим как и(я) = и(я /г є [0, гр]) = РІЛх(гР) < 1х}. Можно показать, что

U(s) = J/j(j)- F(s + (V1 - V2)- tF +j- tF)dj,

(3)

где F(...) - вероятность события, которое заключается в том, что в момент времени tF фактическое относительное расстояние между ВС не превосходит 1Х при условии, что в начальный момент времени t0 номинальное относительное расстояние равнялось s > 0; fv(j) — плотность

вероятностей отклонений от плановой относительной путевой скорости ВС (V - V2).

Вероятность U(s) была получена в предположении, что во время t = 0 номинальное расстояние между ВС рассматриваемой пары равнялось s > 0. Если рассматривать поток с плотностью вероятности номинальных интервалов между соседними ВС w(s), то средняя

вероятность возможного продольного перекрытия пары ВС за интервал [0, tF ] должна определяться как J U(s)w(s)ds .

s

Рассмотрим некоторый маршрут, по которому воздушные суда летят друг за другом на одной высоте. Пусть время полета ВС по маршруту равно D летных часов (flyght hours).

Используя неравенство Pr |Д u А2 и... и Ak }< Pr {A1} + Pr {A2}+... + Pr |Ak }, можем оценить вероятность возможного продольного перекрытия пары ВС при полете по маршруту в течение D летных часов следующим образом

возможного продольного

P

=D.p

возможного продольного перекрытия пары ВС при полете друг за другом в течение Б летныхчасов

— • и(5), для пары ВС;

перекрытия пары ВС за интервал времени

tF ]

D • J U(s)w(s)ds, с плотностью вероятности

tC’

для потока ВС

плановых интервалов w(s).

F

<

s

Рассмотрим некоторый календарный период K часов (o'clock). Так как мы оцениваем вероятность продольного перекрытия отношением суммарного времени перекрытия ВС к суммарному полетному времени, то календарный период K должен быть как можно большим.

Пусть за период K часов по рассматриваемому маршруту за каждый час пролетает одна пара ВС, т.е. число ВС на маршруте строго равно 2.

За K часов общее количество ВС на маршруте составит (K • 2) ВС, а общее количество соседних пар ВС - (K • 2 -1) пар ВС.

Общий налет (K • 2) ВС на рассматриваемом маршруте составит (K • 2 • D) летных часов. Общая продолжительность времени, в течение которого (K • 2 -1) пар ВС находятся в перекрытии, составит

2 • St • (K • 2 -1) •— • U(s) летных часов.

tF

Тогда вероятность продольного перекрытия пары ВС на рассматриваемом маршруте будет равна продольное

2 • St • (K • 2 - !)• D U(s)

P

перекрытие пары ВС

а риск катастрофы ВС будет равен

Nax = 2- d]U (S) - P, (0)- P, (0)-

l J7

У

(4)

Пусть за период K часов (o'clock) по рассматриваемому маршруту за каждый календарный час пролетает N ВС. За K часов общее количество ВС на маршруте составит (K • N) ВС, они образуют (K • N -1) пар соседних ВС.

Общий налет (K • N) ВС составит (K • N • D) часов налета. Общее полетное время, в течение

которого ВС будут находиться в перекрытии, составит величину 2 • St • (K • N -1)------J U(s)w(s)ds .

tF s

Тогда вероятность продольного перекрытия ВС, имеющих плотность вероятности плановых интервалов w(s) , будет равна

' ' 2 • $• (KN - !)•— • J U(s)w(s)ds

P

продольного перекрытия ВС, имеющих плотность вероятности продольных интервалов ^(5)

tE

K-N-D

St- J U (s)w(s)ds

а риск катастроф ВС будет равен

2 - St - J U(s)w(s)ds

N..

Pv (0)-Pz (0)-

\y\

(5)

Модели рисков (4) и (5) могут использоваться для решения различных задач управления и

обеспечения безопасности полетов.

Например, модель (5) целесообразно использовать для обоснования минимумов продольного процедурного эшелонирования или требований безопасности полетов к частоте связи «экипаж-диспетчер» (Хр) или к уровню навигационного обеспечения полетов при процедурном эшелонировании. Для этих целей целесообразно модель усовершенствовать следующим образом.

s

2

s

t

F

s

t

F

Известно, что в общем виде 8х представляет собой выражение 8х

. По условиям

построения модели (5) в начальный момент интервала [0, Хр ] номинальное расстояние между ВС принималось равным 5. Исходя из специфики поставленной задачи (обоснование процедурных минимумов, требований безопасности к Хр или навигации), 5 должно быть не меньше минимума эшелонирования £хт;п : 5 > £хт;п. По условиям задачи в интервале [0,Хр ] может произойти

-1

V >С_Л>\ —А тттттт и >

отн.х р

продольное перекрытие ВС. Из этого следует, что Уотн х • хр > 5 -1 > 8Х

Тогда становится очевидным соотношение

2 • 8 • |и(5)0(5)ё5 4 • 1Х • |и(5)«(£)й5

<

S

f х min

С учетом (6) модель (5) целесообразно записать в форме

=-

4-Л

Sr

-Л

jU (s)w(s)ds-Py (0)-P (0)

-Л

X

2 ■ Л 2 -Л 2 ■ Л

(6)

(7)

Модель (4) целесообразно использовать для обоснования минимумов эшелонирования при наблюдении, а также требований безопасности к частоте обновления информации наблюдения и точности наблюдения, в связи с тем, что диспетчер решает задачу эшелонирования по конкретной паре ВС. В этом случае, строго в соответствии с приведенными ранее рассуждениями, следует использовать модель вида

N

4-Л-

s_„ - Л

■U (s)- Py (0)-Pz (0) ■

x

\y z

-h-------—----------h-

2 - Л 2 - Л 2 - Л

(8)

В случае оценки риска катастрофы ВС при анализе опасного сближения или нарушения минимума эшелонирования при продольном относительном движении следует использовать модель (4) в форме

4 • 1 • 1x1

N. =—^— и(5)-Ру(0>р(0> +^+-

2 - Л 2 - Л 2 - Л

(9)

^ -1

где £ос - величина сближения ВС ( £ос < £Хтт ).

Наконец, рассмотрим еще один новый аспект моделирования риска Ыах, связанный с представлением выражений и(5) и |и (5)а>(5)ё5 в элементарных функциях.

5

Вспомним, что согласно модели (3)

и(5) = }МФ)^р(5 +(VI-^хр +р^р)dj,

где Р(а) = | 11%(С)^1¥(С -7)ёСёу ; /%(0, /у(У) - плотности вероятностей отклонений

а-Лх

фактических положений ВС от номинальных; /9(ф) - плотность вероятностей фактических значений скорости сближения ВС в продольном направлении Уотнх .

v

отн . х

s

s

Документ ИКАО [6] рекомендует использовать в качестве плотностей /о(С) и /¥(у) плотности

С ^ И

двустороннего экспоненциального распределения вида /(г) =-е И , а в качестве /9(ф) свертку

2И -

1 V

двустороннего экспоненциального распределения плотностей вида (у) =----------е И , описывающих

2И

для каждого ВС фактические значения путевых скоростей. Для верхнего воздушного пространства параметр И плотности вероятностей случайных значений путевой скорости ВС равен [6]

И = 10,78 [км/ч].

Этих сведений достаточно, чтобы в элементарных функциях записать вероятность и(5) . Получим

5 5 5 5

и(5) = 5-е И ■а1(гр.,И,И) + 5-е Ир -а2(гр,И,И) + 5-е И -а3(Гр,И,И) + 5-е Ир -аА(гр,И,И), где а1(гр,Иг,И),а2(гр,И,И),аъ(гр,Иг,И),аА(гр,И,И) - числовые коэффициенты, значения

которых зависят от значений параметров гр , И, И.

Для вычисления интеграла | и(5)а(5)ё5 воспользуемся тем, что в документе [6] описан общий

5

вид плотности вероятности с(5) плановых интервалов между соседними ВС при полетах по одному маршруту на одной высоте, полученный экспериментальным путем.

Было указано, что интервалы между ВС, следующих друг за другом на одном эшелоне, равномерно распределены в пределах от минимального интервала 50 морских миль до интервала эшелонирования 100 морских миль. При этом, в указанном диапазоне интервалов находится 20% всей плотности вероятностей интервалов между соседними ВС.

Этому описанию может соответствовать следующая аналитическая форма записи с'о(5)

1 V £ £ 2 V *

’ хшт 5 хшт *

co(s)-

5S___

s~2Sxmi„ (10)

1

• e xmin , s > 2Sx

Существенным недостатком аналитической формы эмпирической плотности (10) является то, что в ней отсутствует параметр, характеризующий интенсивность полетов ВС. В качестве альтернативы (10) можно рассмотреть сдвинутую экспоненциальную плотность вида

l e~Xs(s~Sxmin) s > S ■

Ф)=rs e , s >Sxmm’ (11)

l 0,0 < S < Sxmin .

Сравним две плотности (10) и (11) по степени влияния на риск Nax. Будем считать, что чем большую вероятность интервалов между ВС в диапазоне [Sx min,2Sx min ] обеспечивают плотности (10) и (11), тем предпочтительней их использование в решении задач управления и обеспечения безопасности полетов. Для (10) эта вероятность строго равна 0,2. Для (11) она определяется соотношением

2 S

^'“-’x min

J 1s • e ~Л* ( S“Sx т“0 dS = 1 - в ~A' Sx1

Неравенство 1 -е И'^> 0,2 выполняется при И5 ■ 8Х^п > 0.22315. (12)

Можно показать, что неравенство (12) эквивалентно неравенству

0 22315Ж н 1.22315-

S

x min

где 1Ь - фактическая временная (часовая) интенсивность потока ВС, плотность вероятности линейных интервалов которого задана формулой (13); Ж - путевая скорость потока ВС; 5^т1п -минимальный интервал продольного эшелонирования.

Для Ж = 900 [км/ч] и 5.т1п е (90,150) км максимальная правая часть неравенства (13) не превосходит величину 1,83 ВС/ч. Таким образом, для любого потока ВС на маршруте при движении на одном эшелоне с интенсивностями 2 и более ВС в час плотность (11) обеспечивает более сильное влияние на N. по сравнению с рекомендованной ИКАО плотностью (10).

С учетом этого интеграл | С5)и(5)^5 может быть записан в элементарных функциях в виде

5

5

_ хт1п

|с5)и(5;и,и,гр)ёа = 5хтт-е И -МИ5,И,И,гР) +

5

5 5 5

_ хтт _ хтт _ хтт

+5™,-е И,,рЛИ.Иг,И,>р)+е И ЛИ,И,И, 1р)+е И'р -ь4(И,И.и,>р),

где Ь1(И5,Иг,И,гр),Ь2(И,Иг,Иу,гр),Ь3(И5,Иг,Иу,гр),Ь4(И5,Иг,И,гр) - числовые коэффициенты,

значения которых зависят от значений параметров И5 ,ИГ, И и Хр .

Пример практического использования модели N.

Модель (8) предназначена для решения задачи управления безопасностью полетов при эшелонировании ВС в условиях радиолокационного наблюдения за движением ВС по одному маршруту на одной высоте. На рис. 2 показан выбор параметра точности наблюдения сг5 [км],

обеспечивающий приемлемый уровень риска катастроф 2,5 х10-9 1/ л.ч при продольном

эшелонировании ВС с минимальным интервалом 30 км, для КЫР5 и гр = 6, 10, 20 с.

вщш.

tf = 6 пае ■ =10 пае

tf = 20 пае ТЬ8 = 2.5 * 10А-9

а

Рис. 2. Значения рисков катастроф при продольном эшелонировании для КЫР5 и їр = 6, 10, 20 с.

Модель (7) предназначена для решения задачи управления безопасностью полетов при эшелонировании ВС в условиях процедурного контроля за движением ВС по одному маршруту на одной высоте. На рис. 3 показан выбор значения параметра навигационного обеспечения полетов КЫР [морских миль], обеспечивающий приемлемый уровень риска катастроф

2,5 х10-9 1/л.ч при продольном эшелонировании с минимальным интервалом 50 морских миль для различных часовых интенсивностей потока ВС при гр = 30 мин. Решение аналогичной задачи, но при Хр = 10 мин. показано на рис. 4.

RNP

Рис. 3. Параметр ЯКР при продольном эшелонировании при гр = 30 мин.

Рис. 4. Параметр КОТ при продольном эшелонировании при гр = 10 мин.

Заключение

Строго в соответствии с рекомендациями ИКАО получено расчетное аналитическое выражение риска катастроф Nax при движении ВС по одному маршруту на одной высоте. Общее выражение Nax может быть адекватно адаптировано для решения задач управления

безопасностью полетов при процедурном и радиолокационном контроле за относительными расстояниями между ВС, а также для оценки безопасности полетов при нарушениях минимальных продольных интервалов и опасных сближениях ВС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федеральные правила использования воздушного пространства Российской Федерации. Утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 22.09.99. № 1084. - М., ФСВТ, 1999.

2. Правила аэронавигационного обслуживания. Организация воздушного движения (PANS ATM). - изд. 15-е. - Монреаль, ИКАО, Doc. 4444-AN/501/2007.

3. Brooker, P. and Lloyd,D.E. Collision Risk and Longitudinal Separation Standards for North Atlantic Air Traffic, DORA communication 7801, Civil Aviation Authority, London, 1978.

4. Reich P.G. Analysis of Long Range Air Traffic System - Separation Standards, Part I, II and III // Journal of the Institute of Navigation, vol.19, 1966.

5. Reich P.G. Specifying the Colibration of Static Pressure System for the Safe Use of 1000 ft Vertical Separation Standard in NAT Jet Traffic. - RAE Technical Report 66156, May, 1966.

6. Руководство по методике планирования воздушного пространства для определения минимумов эшелонирования. ICAO Doc. 9689. - Монреаль, ИКАО. - изд. 1-е, 1998, с добавлениями от 30.08.2002.

7. A Unified Framework for Collision Risk Modelling in Support of the Manual on Airspace Planning Methodology for the Dtermination of Separation Minima (Doc 9689). Cir 319 AN/181. Montreal, ICAO, 2009.

A REFINED MODEL OF THE ACCIDENT RISK OF AIRCRAFT ON THE SAME ROUTE AND FLIGHT LEVEL

Dupikov V.V., Kusnetsov S.V., Tarakanov A.A.

The paper describes derivation of an analytical expression of the accident risk of aircraft on the same route and flight level elaborated strictly in accordance with ICAO recommendations.

Key words: air crash risk model, separation, air traffic management.

Сведения об авторах

Дупиков Валентин Владимирович, 1982 г.р., окончил МГТУ ГА (2005), начальник сектора ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», автор 8 научных работ, область научных интересов - системы связи, навигации и наблюдения/организации воздушного движения, моделирование.

Кузнецов Сергей Вадимович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2008), младший научный сотрудник ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», аспирант кафедры технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - системы наблюдения при организации воздушного движения, безопасность воздушного движения.

Тараканов Андрей Александрович, 1985 г.р., окончил МГТУ ГА (2008), младший научный сотрудник ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», аспирант кафедры технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, автор 3 научных работ, область научных интересов - системы наблюдения при организации воздушного движения, безопасность воздушного движения.