УСТРАНЕНИЕ ФАЗОВОЙ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ В СИСТЕМАХ ИЗМЕРЕНИЯ ПРОФИЛЯ ОБЪЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Устранение фазовой неоднозначности с использованием модулярной арифметики в системах измерения профиля объектов

Гужов В.И., Плешкевич А.А. ФГБОУ ВПО НГТУ, Новосибирск, Россия

Аннотация: В системах измерения профиля объектов, построенных на основе проецирования синусоидальных картин, возникает задача устранения фазовой неоднозначности. В статье описывается программная система, основанная на проекции серии картин с различными периодами, которая позволяет эффективно решать эту проблему. Приведены примеры восстановления профиля.

Ключевые слова 3Б сканеры, пошаговый фазовый сдвиг, устранение фазовой неоднозначности, модулярная арифметика.

ВВЕДЕНИЕ

Для восстановления профиля поверхности разрабатываются оптические системы с использованием структурированного освещения. Такие системы наиболее привлекательны, поскольку они способны осуществлять бесконтактный неразрушающий контроль элементов и изделий. В настоящее время разработано множество различных вариантов картин для использования в системах структурированной подсветки, представляющих собой как серии изменяющихся картин (картины с временным мультиплексированием), так и неизменные картины с использованием различных вариантов цветовой кодировки. В качестве подсветки выбираются геометрические формы, которые легко распознаются при проекции на объект. Наиболее простые проецируемые картины: набор точек, линии, сетки [1, 2, 3].

Преимущество 3D-сканеров, использующих структурированную двумерную картину, в их скорости и точности работы. Вместо сканирования одной точки в один момент времени или одной линии структурированные сканеры сканируют одновременно все поле зрения сразу. Большой интерес представляют системы измерения профиля, основанные на выделении фазовой информации. Фазовые методы, основанные на проекции синусоидальных картин, обладают как рядом преимуществ перед традиционными методами

структурированного освещения: более высокими точностными характеристиками, возможностью полностью автоматизировать процесс получения профиля, так и рядом недостатков, одним из которых является фазовая неоднозначность, которая возникает из-за периодичности проецируемой синусоидальной структуры [4].

Выделение фазовой информации по набору синусоидальных распределений имеет ту же специфику, что и для интерференционных и голографических систем, в которых синусоидальная структура возникает в результате интерференции опорного и объектного пучков [5]. Поэтому можно использовать разработанный для таких систем математический аппарат.

Основная задача расшифровки -определение фазовых значений по картинам зарегистрированных камерой полос,

проецируемых на объект. Наиболее часто для выделения фазовой информации используется способ пошагового фазового сдвига (PSI, phase sampling, phase shifting interferometry).

Картину полос можно описать с помощью следующей системы m уравнений

It ( я, >0 = h (Х У)(1 + F (x У) cos(p X У) + st )

(1)

где / = 0,1,...,т -1, /0(х,у) - средняя интенсивности, V(х, у) - средняя видность или контраст, р - разность фаз, возникающая в результате отклонения профиля объекта от плоскости, 3. - известный сдвиг фаз.

Получить систему картин интенсивности (1) можно проецируя на объект синусоидальные картины со сдвигом 3..

При трех произвольных сдвигах, решая тригонометрическую систему, состоящую из трех уравнений (1), можно получить следующее выражение:

р = arctg

(I2 -13) • sin(3) + (I3 - Ii) • sin(^) + (I1 -12) • sin(4) (I3 -12 ) • cos(3, ) + (Ii -13 ) • cos(3 ) + (I2 - Il ) • cos(3, )

(2)

Для четырех сдвигов 00, 900, 1800 и 2700

х, У) =

I4(x, y) - x, у)

X, а его остатками от деления на некоторые числа m.

(3)

x, у) - Ц х, у)

Универсальный алгоритм определения фазовых значений р(х,у) для произвольного значения т уравнений описан в [4, 7].

Фазовые значения могут однозначно восстанавливаться только в пределах периода от 0 до 2п. Необходимо устранить фазовую или, как её называют, 2л - неоднозначность, после этого можно определить профиль поверхности, который зависит от полной фазы и известных геометрических параметров установки [6].

Выражение, которое связывает полную фазу Ф(х, у), и величину профиля Н(х, у) имеет вид:

к(х, у) = С • Ф( х, у) . (4)

где С - системная константа, зависящая от геометрии оптической схемы.

Первые работы по фазовому развертыванию строились на сравнении соседних значений в столбцах и строках массива. При этом использовалась информация о предыдущих восстановленных точках для определения волнового фронта в следующих точках. Поскольку процедура развертывания на каждом шаге зависит от предыдущих вычислений, единичная ошибка приводила к лавинообразному нарастанию погрешности.

Лучшие результаты дает модификация метода с использованием анализа по областям [8]. Однако и этот алгоритм имеет существенные недостатки, основные из которых: необходимость ручной коррекции зон монотонности; небольшое число анализируемых областей, что ограничивает диапазон измерений.

Существует метод устранения 2п-неоднозначности на основе модульной арифметики [9-12]. В литературе этот метод получил название G-S алгоритм [13-16]. Достоинствами метода является возможность устранения фазовой неоднозначности в каждой точке независимо от других и существенное увеличение динамического диапазона. Используемый математический аппарат основан на целочисленной арифметике, который редко используется в инженерной практике. Поэтому хотя метод и предложен давно, он до сих пор не применяется в практических измерениях.

Целью данной работы является построение полностью автоматического алгоритма устранения фазовой неоднозначности на основе алгоритма для определения рельефа объектов при проекции на поверхность объекта серии синусоидальных картин.

I. МЕТОД УСТРАНЕНИЯ ФАЗОВОЙ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ НА ОСНОВЕ МОДУЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ

Метод модулярной арифметики состоит в том, чтобы оперировать не непосредственно числом

(4)

b = X mod Щ b2 = X mod m2

Исходными данными являются результаты измерений b и b2 одной и той же величины X при различных значениях периодов - Щ и m2.

Максимальный диапазон однозначного определения абсолютных значений определяется наибольшими взаимно простыми сомножителями

в значениях периодов. Если модули Щ и m2

взаимно просты, то максимальный диапазон

равен произведению Щ на Щ [4, 17].

Пусть каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления на целое положительное m, который называется модулем.

Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток Г, то они называются равноостаточными по модулю т. Сравнимость записывается как

a=b (mod m) ^

где знак (=) обозначает операцию сравнения. В этом случае систему уравнений (4) можно записать как систему сравнений

X = h mod щ

1 1 . (6) X = b mod m2

Если модули являются взаимно простыми числами, то в некотором диапазоне существует единственное решение. Для нахождения числа по набору остатков можно использовать «китайскую» теорему об остатках [9, 10].

Пусть числа и Ns определены из

условий

щ■ m2 = Msms (7)

MsNs = 1 mod щ (8)

и пусть

X0 = MNb + M2N2b2 ■ (9)

Тогда совокупность значений X, удовлетворяющих системе сравнений (6), определяется сравнением

X = X0 mod (щ • щ ) (10)

Если измеренные в пределах периода значения b и b отложить по вертикали и горизонтали,

можно получить таблицу, значения X которой будут удовлетворять абсолютным значениям искомой измеряемой величины. На рисунке 1 приведена таблица решений системы сравнений с двумя взаимно простыми модулями: mi=11 и т^=17.

Видно, что числа возрастают от 0 до mi-1 последовательно по главной диагонали, а затем по диагоналям, показанным стрелками на Рис. 1. Если непрерывно соединить продолжения диагоналей при последовательном возрастании

чисел можно заметить, что при склейке верхней и нижней горизонтальных строк и левого и правого

столбца образуется тор.

Рис. 1. Последовательное изменение чисел в таблице решений системы сравнений с ш=11 и m2=17 (¿1 меняется от 0 до 10, Ь2 от 0 до 16)

К сожалению, по двумерной таблице трудно проследить полные витки. Только нулевой виток полностью помещается на одной диагонали, другие витки начинаются в нулевой строке и продолжаются на диагоналях, начинающихся с соответствующих значениях на столбцах. Поэтому придется хранить два массива количества витков по строкам и по столбцам (на

Рис. 1 - вторая строка и второй столбец содержат информацию о числе витков).

Этот процесс можно упростить. Для этого необходимо хранить расширенный массив п\/\

размером т + т — 1, где ' меняется от щ до

т — 1. (Рис. 2) Отрицательные индексы в этом

массиве будут соответствовать второму столбцу на Рис. 1.

Ь2 0 1 2 3 4 5 6 7 3 Э 10 11 12 13 14 15 16

13 10 7 4 1 15 12 Э Б 3 0 14 11 3 5 2 16 13 10 7 4 1 15 12 9 6 3

\ 0 154 121 33 55 22 176 143 110 77 44 11 165 132 99 66 33

\ 34 1 155 122 В9 56 23 177 144 111 78 45 12 166 133 100 67

63 35 2 156 123 ЭИ 57 24 173 145 112 79 46 13 167 134 101

102 69 36 3 157 124 91 53 25 179 146 113 30 47 14 163 135

135 103 70 37 4 153 125 92 59 26 130 147 114 31 43 15 169

170 137 134 71 33 5 159 126 ЭЗ 60 27 131 143 115 32 49 16

17 171 133 105 72 39 6 160 127 94 61 23 132 149 116 33 50

\ 51 18 172 139 196 73 40 7 161 123 95 62 29 133 150 117 34

N 55 52 19 173 140 107 74 41 3 162 129 96 63 30 134 151 113

\ ,115 36 53 20 174 141 103 75 42 9 163 130 97 64 31 135 152

120 37 54 21 175 142 103 76 43 10 164 131 93 65 32 136

Рис. 2. Последовательное изменение чисел в таблице решений системы сравнений с т1=11 и т2=17 (¿1 меняется от 0 до 10, Ь2 от 0 до 16) Тогда

х=n[b2—ь]• m + b ■ (n)

Например: если b = 10 и b2 = 0: b2 — b = -10,

n[b2—b ]=13, n[b2 — ь ] • m=143,

n[b — b ] • m + b = 153 (Рис. 2).

Однако из таблиц на Рис. 1 и Рис. 2 видно, что даже малые ошибки в исходных данных приводят к большим ошибкам в определении результата. Поэтому метод существенно неустойчив. Для повышения устойчивости необходимо разработать способ анализа ошибочных данных.

II. АНАЛИЗ ТАБЛИЦЫ СРАВНЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОЧНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Если ограничить максимальный диапазон определения, то витки будут разрежены (Рис. 1). Это приведет к тому, что в таблице появятся разреженные диагонали. На этих диагоналях будут лежать числа, попадающие в выбранный диапазон, а значения между диагоналями будут лежать за пределами этого диапазона (Рис. 3).

Если у нас есть априорная информация о максимальном размахе отклонений профиля, то ограничив этим значением допустимый диапазон, можно увидеть, что правильные измерения дадут нам точное значение величины профиля, а из ошибочных данных получим числа, которые не входят в область допустимых значений. Эти числа будут выходить за пределы, выбранного нами диапазона.

На Рис. 3 закрашена область (область грубых промахов), в которую может попасть измеряемая величина при наличии погрешности измерений. Необходимо каким-либо образом скорректировать эти ошибочные значений.

Рис. 3. Таблица решений с модулями Ш1=53 и Ш2=63 (справа увеличенная часть таблицы с численными значениями)

Это можно сделать двумя способами:

- полностью игнорировать ошибочные значения;

- скорректировать их к ближайшей правильной диагонали.

Работа с расширенным массивом п\/ ] позволяет легко организовать работу при наличии сбойных (ошибочных) начальных данных. Для этого необходимо априорно установить, какой максимальный диапазон имеет измеряемый объект. Пусть, например, это 5 витков. Максимальный диапазон равен 5 Щ +52=317. В этом случае мы можем задать массив п\г ], в котором все значения больше 5 будут равны нулю. И все диагонали, таблицы, начинающиеся с нуля, тоже будут равны нулю. Таким образом, будут подсчитываться только значения точек, попадающих на диагонали (Рис. 4а).

Необходимо скорректировать сбойные точки. Это можно сделать следующим образом. Нулевые промежутки в массиве п\1 ] заполняем ближайшим значением допустимой диагонали (Рис. 4б).

Ь2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 10 11 12 13 14 15 16 17 1S 19 2D 21 22 23 24 25

- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 с 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0

а)

1 1 1 1 1 | | | Ь2С 1 2 3 4 5 6 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 115 2D 21 22 23 [24 25 I

...... С С С С С С с с с с с • Е Е Е Е Е Е Е Е 4 4 4 4 4 4 4 4

б)

Рис. 4. Фрагмент массива: а) фрагмент массива n\i] с модулями щ = 53 и щ = 63; желтым цветом показаны диагонали меньшие или равные; б) фрагмент массива n\i] с модулями щ = 53 и щ = 63, дополненный допустимыми

значениями диагоналей

Значение чисел в таблице можно вычислять Эти области выделены различными цветами,

(11) как допустимые диагонали обозначены белым.

X = n[b2 — b ] • Щ + b (12)

Пусть щ = 167 и m = 241 (взаимно простые

числа), тогда таблица решений показана на Рис. 5.

На этом Рис. 5 показаны области, при попадании в которые значения (b , b2) корректируются к соответствующей диагонали.

Рис. 5. Таблица решений с модулями Ш1=167 и Ш2=241; выбраны первые 13 диагоналей

III. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ОБЪЕКТА ПРИ ПРОЕЦИРОВАНИИ СЕРИИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ КАРТИН

В качестве объекта выберем объект с диффузной поверхностью (Рис. 6).

Рис. 6. Исходный объект

Проецируем с помощью проектора, (как показано на Рис. 7) на объект серию полос с

фазовыми сдвигами 0 (Рис. 5).

900, 1800 и 2700

Рис. 7. Схема проекции

На Рис. 8 показан объект после ввода в компьютер.

Рис. 8. Объект, покрытый синусоидальными полосами

Делаем две таких серии измерений для полос

с периодами Щ = 167 и Щ = 241. Фазовая

разность может определяться по серии картин с помощью выражения (3) (Рис. 9).

Рис. 9. Фазовые значения при проекции двух серий полос с периодами Щ = 167 и Щ = 241

На Рис. 10 приведены результаты измерения профиля объекта после наложением текстуры. Для построения разных ракурсов использована компьютерная модель объекта, полученная на основе измерений.

Рис. 10. Измеренный профиль

Максимальная погрешность измерений зависит от качества синусоидальных полос и может достигать 0,01 части полосы. При размере одной полосы 1 см, можно определять профиль с разрешением порядка 100 мкм [5].

Поскольку Щ = 167 и Щ = 241 взаимно

простые числа, то максимальный диапазон измерений может составить 241 периодов, соответствующих синусоидальной картины с

Щ = 167. Если размер полосы, соответствующей картине полос с периодом 167-1 см, то максимальный диапазон составит 241 см.

Для достижения устойчивости диапазон необходимо сократить. Если ограничить максимальный диапазон до 13 полос, то

максимальный размер значений профиля (по z -координате) может быть 13 см (13 полос по 1 см).

Если необходимо увеличить диапазон, то можно проводить измерения не при двух значениях взаимно простых модулей, а при трех или более [17].

IV ВЫВОДЫ

В статье описана оптическая система измерения профиля.

Фазовая неоднозначность устранена методом, основанном на модулярной арифметике.

Описан быстрый алгоритм анализа ошибочных измерений, который позволяет устранить неустойчивость решения.

Показан пример использования метода при восстановлении профиля объекта в системе с проекцией серии синусоидальных картин.

В результате работы впервые показано практическое использование G-S алгоритма. Поскольку метод значительно расширяет диапазон фазовых измерений, его можно использовать в интерференционных и голографических измерительных системах с разными длинами волн, используемыми для освещения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка методов

сверхразрешения в цифровой голографической интерферометрии» (Грант № 16-08-00565).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Song Zhang. High-resolution, Real-time 3-D Shape Measurement. - Abstract of the Dissertation. - Doctor of Philosophy in Mechanical Engineering. - Stony Brook University. - 2005. - Рр. 127

[2] J. Salvi, J.i Pages, J. Batlle. Pattern codification strategies in structured light systems // Pattern Recognition 37 (2004). - Pp. 827-848.

[3] Гужов В.И. Методы измерения 3D профиля объектов. Контактные, триангуляционные системы и методы структурированного освещения: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2015.-82с.

[4] Гужов В.И. Методы измерения 3D профиля объектов. Фазовые методы: Учеб. пособие.-Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016.-83с.

[5] Гужов В.И., Ильиных С.П. Компьютерная интерферометрия. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 252с.

[6] Гужов В.И., Ильиных С.П., Уберт А.И. / Проекционный метод измерения рельефа. // Научный вестник НГТУ. - 2012. - №1(46) - С. 23-28.

[7] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р. / Универсальный алгоритм расшифровки. // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №4(41) - С. 51-58.

[8] Гужов В.И., Плешкевич А.А. Устранение фазовой неоднозначности методом выделения зон монотонности при разработке 3D сканеров / // Автоматика и программная инженерия, Новосибирск, - 2016. №4(18). С. 53-56

[9] V.I. Gushov, Yu.N. Solodkin Automatic Processing of Fringe Patterns in Integer Interferometers// Optics and Lasers in Engineering.-1991.-Vol.14, Issues 4-5. P.311-324.

[10] Гужов В.И., Солодкин Ю.Н. Использование свойств целых чисел для расшифровки интерферограмм // Оптика и спектроскопия. 1988. т.65. вып.5. С. 1123-1128. (Guzhov V.I., Solodkin Yu.N. Using integer properties for interferogram analysis. Optica & Spectroscopia 65 (5) (1988) 11231228)

[11] Гужов В.И., Солодкин Ю.Н. Оценка точности целочисленного интерферометра // Оптика и спектроскопия. 1988. т.65. вып.6. С. 1313-1316. (Guzhov V.I., Solodkin Yu.N. Estimate of integer interferometer precision. Optica & Spectroscopia 65 (5) (1988) 1313-1316).

[12] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov /Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. March 2013, Volume 49, Issue 2, pp 178-183.

[13] Wengierow, M., Salbut, L.,Ramotowski, Z., Szumski, R., Szykiedans, K. Measurement System Based on Multi-Wavelength Interferometry for Long Gauge Block Calibration Metrology and Measurement Systems. - 2013. - Volume XX, Issue 3, pp. 479-49.

[14] Zhong, J., Zhang, Y. Absolute phase-measurement technique based on number theory in multifrequency grating projection profilometry. - Applied Optics. -2001. - Vol.40, No.4 - pp.492-500.

[15] Kujawinska, M., Osten, W. Fringe pattern analysis methods: up-to-date review. - Proc. SPIE.-1998. - Vol. 3407, p. 56-66.

[16] Takeda, M., Gu, Q.,Kinoshita, M., Takai, H.,Takahashi, Y. Frequency-multiplex Fouriertransform profilometry: A single-shot three-dimensional shape measurement of objects with large height discontinuities and/or surface isolations -Applied Optics - 1997 - Vol.36, No.22 - pp. 53475354.

[17] Использование модулярной арифметики при фазовых измерениях / Гужов В.И., Кабак Е.С., Орлов И.С. // Автоматика и программная инженерия, Новосибирск. 2015. №1(1) С. 97-107.

Eliminating of Phase Ambiguity Using Modular Arithmetic in the Profile Measurement Systems

V.I. GUZHOV, A.A. PLESHKEVICH

Abstract: In systems for measuring the profile of objects constructed based on the projection of sinusoidal pictures, the problem of eliminating phase ambiguity arises. The paper describes a software system based on the projection of a series of paintings with different periods that allows to effectively solve this problem. Examples of profile recovery are given.

Key words: 3D scanners, step-by-step phase shift elimination of phase ambiguity, modular arithmetic.

REFERENCES

[1] Song Zhang. High-resolution, Real-time 3-D Shape Measurement. - Abstract of the Dissertation. - Doctor of Philosophy in Mechanical Engineering. - Stony Brook University. - 2005. - Рр. 127

[2] J. Salvi, J.i Pages, J. Batlle. Pattern codification strategies in structured light systems // Pattern Recognition 37 (2004). - Pp. 827-848.

[3] Guzhov V.I. Metody izmerenija 3D profilja ob#ektov. Kontaktnye, trianguljacionnye sistemy i metody strukturirovannogo osveshhenija.: Ucheb.posobie.-Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2015.-82s

[4] Guzhov V.I. Metody izmerenija 3D profilja ob#ektov. Fazovye metody.: Ucheb.posobie.- Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2016.-83s.

[5] Guzhov V.I., Il'inyh S.P. Komp'juternaja interferometrija. - Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2004. -252s.

[6] Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Ubert A.I. / Proekcionnyj metod izmerenija rel'efa. // Nauchnyj vestnik NGTU. -2012. - №1(46) - S. 23-28.

[7] Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Hajdukov D.S., Vagizov A.R. / Universal'nyj algoritm rasshifrovki. // Nauchnyj vestnik NGTU. - 2010. - №4(41) - S. 51-58 .

[8] Guzhov V.I., Pleshkevich A.A. Ustranenie fazovoj neodnoznachnosti metodom vydelenija zon monotonnosti pri razrabotke 3D skanerov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija, Novosibirsk , - 2016.-№4(18) - S. 53-56

[9] V.I. Gushov, Yu.N. Solodkin Automatic Processing of Fringe Patterns in Integer Interferometers// Optics and Lasers in Engineering.-1991.-Vol.14, Issues 4-5,-P.311-324.

[10] Guzhov V.I., Solodkin Yu.N. Using integer properties for interferogram analysis. Optica & Spectroscopia 65 (5) (1988) 1123-1228

[11] Guzhov V.I., Solodkin Yu.N. Estimate of integer interferometer precision. Optica & Spectroscopia 65 (5) (1988) 1313-1316.

[12] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov / Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.- March 2013, Volume 49, Issue 2, pp 178-183.

[13] Wengierow, M., Salbut, L.,Ramotowski, Z., Szumski, R., Szykiedans, K. Measurement System Based on Multi-Wavelength Interferometry for Long Gauge Block Calibration Metrology and Measurement Systems. - 2013. - Volume XX, Issue 3, pp. 479-49.

[14] Zhong, J., Zhang, Y. Absolute phase-measurement technique based on number theory in multifrequency grating projection profilometry. - Applied Optics. -2001. - Vol.40, No.4 - pp.492-500.

[15] Kujawmska, M., Osten, W. Fringe pattern analysis methods: up-to-date review. - Proc. SPIE.-1998. - Vol. 3407, p. 56-66.

[16] Takeda, M., Gu, Q.,Kinoshita, M., Takai, H.,Takahashi, Y. Frequency-multiplex Fouriertransform profilometry: A single-shot three-dimensional shape measurement of objects with large height discontinuities and/or surface isolations -Applied Optics - 1997 - Vol.36, No.22 - pp. 53475354.

[17] Guzhov VL, Kabak E.S., Orlov I.S. Ispol'zovanie moduljarnoj arifmetiki pri fazovyh izmerenijah // Avtomatika i programmnaja inzhenerija, Novosibirsk , - 2015.-№1(1) - S. 97 - 107.

Владимир Иванович Гужов - профессор кафедры ССОД Новосибирского Государственного Технического университета, доктор технических наук. Он является автором более 190 научных работ. Область научных

интересов: высокоточные

интерференционные измерения, безошибочные вычисления, теория чисел. E-mail: vigguzhov@gmail.com

Александр Плешкевич

- магистрант 2 курса каф. ВТ НГТУ.