ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ ПРИ ФАЗОВЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Использование модулярной арифметики при

фазовых измерениях

Гужов В.И., Кабак Е.С., Орлов И.С. Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

Аннотация: В статье рассматривается новый алгоритм перехода от модулярного представления чисел к позиционному, который может быть использован при фазовых измерениях в реальных системах.

Ключевые слова Теория чисел, модулярная арифметика, фазовая неоднозначность,

интерференционные методы измерений.

I. ВВЕДЕНИЕ

Интерференционные методы измерений в качестве эталона используют длину волны освещения. Следствием этого является периодичность результатов фазовых измерений, связанная с периодичностью световой волны. Для повышения динамического диапазона необходимо устранить фазовую неоднозначность.

Общий способ (развертка фазы), который применяется для устранения этой проблемы, основан на добавлении (или вычитании) значений кратных периоду к измеренным значениям.

Однако при использовании методов развертки фазы возникает ряд проблем. Процесс определения скачков фазовых переходов требует поэлементного сравнения фаз в смежных точках фазового поля. При наличии шумов фиксируются ложные фазовые переходы. Ошибочное определение фазового перехода приводит к распространению и накоплению ошибок по всей области поля, что приводит к неверной интерпретации формы восстановленного фазового профиля. Для устранения этих ошибок используются различные подходы, основанные на методах локальной и глобальной оптимизации, теории сигналов, обработки изображений, динамического программирования, статистических подходов к оценке вероятностей фазовых переходов, эвристических алгоритмов, искусственного интеллекта, комбинирования различных методов [1, 2].

В [3, 4] приведен метод восстановления абсолютных значений измеряемой величины по значениям нескольких измерений в пределах различных периодов. Если значения этих периодов соотносятся как взаимно простые числа, то максимальный диапазон абсолютных значений определяется произведением значений, поставленных в соответствие периоду. В литературе этот метод получил название О-Б алгоритм [5-8]. Достоинствами метода является возможность устранения фазовой неоднозначности в каждой точке независимо от других и существенное увеличение динамического диапазона.

(1)

Исходными данными являются результаты измерений одной и той же величины L при различных значениях периодов - m1 и т2. Если измеренные в пределах периода значения b1 и b2 отложить по осям вертикали и горизонтали, можно получить таблицу, значения которой будут удовлетворять абсолютным значениям искомой измеряемой величины. В общем случае, абсолютная величина L является решением системы сравнений

[ L ° Ь1 mod (m1) 1 L ° b2 mod (m2)

Максимальный диапазон однозначного определения абсолютных значений определяется наибольшими взаимно простыми сомножителями в значениях периодов. Если m1 и m2 - взаимно простые числа, то максимальный диапазон равен произведению m1 на m2.

Недостаток метода: он неустойчив. Даже небольшие погрешности при измерениях начальных фазовых значений приводят к значительным ошибкам при определении полной фазы, поэтому широкого распространения метод не получил.

В этой статье нами предлагается новый способ решения системы сравнений на основе геометрического подхода, который позволяет учесть погрешность измерений и преодолеть проблему неустойчивости решений.

II. МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА

Метод модулярной арифметики состоит в том, чтобы оперировать не непосредственно числом a, а его остатками от деления на некоторые числа т.

Ь\ = a mod mi, b2 = a mod m2,

bk = a mod mk.

(2)

Числа (Ь1,Ь2,... ,Ьк) легко вычислить делением числа а на простые целые числа т. И наоборот, зная (Ь1,Ь2..., Ьк), можно при некоторых условиях всегда восстановить а. Поэтому (Ь1,Ь2,.,Ьк) можно рассматривать как новый тип представления числа а.

Преимущество модулярного представления в том, что операции сложения, вычитания и умножения выполняются очень просто [9]:

(Ь], Ь2, ... , Ьк) + (с1, с2, ... , ск) =

=(b1 + с1 ) mod m1 ,..., (bk + ck ) mod mk

(bi, b2, . , bk) - (ci, C2, ... , Ck) = (3) =(b1 - c1 ) modm1 ,... ,(bk- ck ) modmk (bi, b2, . , bk) * (ci, C2, . , Ck) = =(b1 * c1 ) mod m1 ,..., (bk * ck ) mod mk

Если предусмотрена возможность

параллельного выполнения операций, применение модулярной арифметики дает значительное преимущество. Операции, связанные с разными модулями, могут выполняться одновременно, что приводит к сокращению времени их выполнения. Однако существует ряд недостатков модулярного представления, которые ограничивают его использование.

1. Трудно проверить является число в модулярном представлении большим или меньшим, чем другое.

2. Трудно проверить возникло ли переполнение в результате математической операции.

3. Сложно выполнить операцию деления. Поэтому применение модулярной арифметики

оправдано только в том случае, если существуют быстрые алгоритмы перехода от модулярного представления к позиционному и обратно.

Для нахождения числа по набору остатков можно использовать «китайскую» теорему об остатках. Частный случай этой теоремы был сформулирован китайским математиком Сунь Цю (между 280 и 473 г. н. э.). Примерно в это же самое время греческий математик Никомах сформулировал тот же частный случай. Известны также работы математиков средневековой Индии, посвященные этой проблеме. В общем виде теорема была сформулирована и доказана Чин Чжу-Шао (Jiushao Qin) (1247 г.).

Существует несколько формулировок китайской теоремы. Приведем одну из них [10].

Пусть каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления на целое положительное m, который называется модулем. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m. Сравнимость записывается как

a ° b (mod m), (4)

где знак (=) обозначает сравнение.

Числа сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m. Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет, равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы вычетов используют наименьшие неотрицательные вычеты 0,1,.. , m-1.

Рассмотрим систему сравнений первой степени с одним неизвестным:

x ° b (mod m^) x ° b2 (mod m2)

... (5)

x ° bk (mod mk)

Если модули являются взаимно простыми числами, то в некотором диапазоне существует единственное решение. Найти это решение можно воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема.

Пусть числа MS и NS определены из условий m1m2 . . . mk = MS mS, (6)

MsNs = 1 (mod ms\ (7)

и пусть

Xo =MiNibi + M2N2b2 +... + MkNkbk. (8)

Тогда совокупность значений X, удовлетворяющих системе сравнений (5), определяется сравнением

X = Xo(mod пит2 ■ ■ ■ ш)- (9)

Для перехода от модулярного представления к позиционной системе можно воспользоваться выражением (8). В диапазоне, определяемом произведением взаимно простых модулей m1m2 ...mk решение будет единственным. Коэффициенты Mt можно найти из равенства (6), Ni из сравнения (7). Решить сравнение (7) можно или простым перебором от 1, 2, 3 и т. д. до первого, удовлетворяющего значения, или воспользовавшись обобщенным алгоритмом Евклида [10]. Время для нахождения этих коэффициентов не важно, поскольку обычно мы работаем с системой с одним и тем же набором модулей и эту операцию надо выполнить один раз.

Однако вычисление с помощью выражения (8) требует k умножение и k-1 сложений для набора из k модулей. Кроме того, при вычислении необходимо переходить от вычислений с небольшим числом разрядов (определяемых соответствующими значениями модулей) к вычислениям многократной точности, что снижает область применения модулярных вычислений.

Ниже описывается быстрый алгоритм перевода чисел из модулярного представления к позиционной системе представления на основе геометрического подхода.

III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ

Можно представить геометрическое истолкование одного сравнения (4). Пусть m для определенности равно 7. Представим себе, что числовая прямая целых чисел навернута на окружность длины 7, так, что числа 7, 14, 21, и т. д. попадают на нулевую точку, числа 1, 8, 15, ... , а также -6, -13, -20, совмещаются со следующей целочисленной точкой окружности и т. д. [11], как показано на Рис. 1.

Рассмотрим, как выглядит геометрическое представление решения системы сравнений при двух модулях.

Рассмотрим случай для двух взаимно

простых модулей. Например: m1 = 11, m2 = 17. В этом случае: M1 = 17, M2 = 11, N1 = 2, N2 = 14. X0 =MiNi bi + M2N2b2(mod m 1m2) , (10a) X = 17'2b1 + 11 14b2 (mod 1117), (10b)

или

X=34 b1 + 154b2 (mod 187). (10c)

В этом случае таблица всех возможных результатов (таблица решений) будет иметь следующий вид (Рис. 2).

Видно, что числа возрастают от 0 до т^1 последовательно по главной диагонали, а затем по диагоналям, показанным на Рис. 2.

г <t. 3.10.1?..-.

-7.0,7,14,21,.

Рис. 1. Геометрическое представление сравнения a ° b (mod 7)

Число витков

■ ■ы Ь2 о 1 2 J 4 i 7 a 9 10 11 52 19 14 15 16

о. 14 11 г 5 2 16 П ТО 7 4 1 15 12 $ 6 3

1- ill 3 154 121 BS 55 ^ 176 из 1 ТО 77 165 132 99 66 33

t 6 34 155 122 В9 56 177 144 176 111 та 45 79 X 1Б6 133 100 67

> э 63 35 155 123 » 57 145 112 46 167 134 TOT

3 12 102 69 36 V 157 124 91 5В V 179 116 113 ED 47 163 1i5

И_ 5 15 136 № та 17 156 Т2* 92 53 130 т 114 «1 43 169

1 170 137 104 71 ЗЕ N 153 126 93 G0 1ST 143 115 82 49 X

.6 4 171 13S lias 72 зэ Л. 163 127 94 6i 182 149 116; 83 53

LL is 1 1С 5Т X 172 139 1Ш 73 40 161 123 95 Б2 133 150 117 £4 IIS

85 52 X ™ 140 107 74 41 X 162 123 96 63 134 151

S 1,3 115 36 S3 171 141 IDS 75 12 163 130 ST 64 165 152

jio 153 120 67 54 \ . 175 142 t09 76 43 154 13t 96 65 T66

-Число витков

Рис. 2. Последовательное изменение чисел в таблице решений системы сравнений (10с); Ь1 меняется от 0 до 10, Ь2 от 0 до

12

Если непрерывно соединить продолжения диагоналей при последовательном возрастании чисел можно заметить, что при склейке верхней и нижней горизонтальных строк и левого и правого столбца образуется тор (Рис. 3а).

Разрежем тор вдоль одного из своих меридианов. Тогда он превращается в круговой цилиндр с двумя краевыми окружностями. Закрепим неподвижно одну окружность и станем закручивать цилиндр вокруг себя так, чтобы вторая окружность сделала к-оборотов. Всякая прямолинейная образующая цилиндра при этом обратится в винтовую линию, обходящую ось

цилиндра &-раз. Если снова склеить оба края, то получим топологическое отображение тора на самого себя. При таком отображении тора, параллели тора превратились в винтообразные кривые и наоборот [12].

Решения системы сравнений последовательно будут возрастать по спирали на поверхности тора (Рис. 3б) от 0 до тт2.

Задачу перевода чисел из модулярного представления к позиционному можно свести к определению начального значения витка тора и числа точек на этом витке.

а) б)

Рис. 3. Иллюстрация метода: а - тор, образующийся в результате склейки таблицы решений; б - последовательное возрастание чисел по диагоналям в таблице решений при отображении на поверхность двумерного тора

Для удобства мы вычисляем начальные значения на витках тора. Это число равно целому числу витков, умноженному на размер витка. В нашем случае размер витка т1 = 11. Тогда сразу же можно определить само число X

X = n[i] ш\ + Ъ\.

(11)

Для нахождения числа витков (2 строка и 2 столбец в таблице на Рис. 2) можно воспользоваться следующим выражением, которое следует из (10а):

n[i] = M2N2 i (mod ш1ш2) = N2(i) mod ш2,

если

i = Ъ2 - Ъ]>= 0

(12a)

или для конкретного случая: (m1 = 11, m2 = 17,

M1 = 17, M2 = 11, N = 2, N2 = 14).

n(i) = 14 i (mod 17).

(12b)

Для случая, когда b2 - b1 < 0, таблицу решений можно представить в виде, в котором значения ниже 0 диагонали симметрично отображаются (Рис. 4).

Выражение (12a) перепишем в виде

n[i] = N2 . (Ъ2 - Ъ\) mod ш2 ,

если Ъ2 - Ъ>=0 (13а) n[i] = N2 . (Ъ2 - Ъ\ + Ш2) mod ш2,

если Ъ2 - Ъ < 0 (13Ъ)

Ь2 о 1 2 3 4 5 G 7 в 9 10 11 12 13 14 15 IE

ы 14 11 3 Ь 2 16 13 10 7 4 1 IS 12 9 6 3 -ЧИСЛО ОИТЧО&

0 3 154 121 № 55 22 176 143 110 77 44 165 132 35 66 33

1 6 34 155 122 вэ 56 23 177 144 111 78 45 166 133 100 57 34

2 э 6Ё 35 156 123 ЭО 57 24 173 145 112 73 46 167 134 1Q1 6® 35

3 12 102 69 36 ч 157 124 91 53 25 179 146 113 3D 47 168 135 102 65 36

i 15 136 103 70 37 158 125 92 59 2€ ISO 147 114 81 43 169 13« 103 70 37

5 1 170 137 104 71 Я 15Э 126 ЭЗ 60 27 181 14S 115 82 49 170 137 1» 71 38

е 4 ч 171 113 105 72 39 ISO 127 34 Si 23 132 149 116 83 50 171 133 105 72 39

7 7 51 ч 172 119 1<К 73 40 161 12В 95 62 2Э 133 150 117 34 51 172 139 106 73 40

Б 1С 85 52 ч 173 140 107 74 41 162 129 Э6 30 184 151 118 85 52 173 140 107 74 41

Э 13 11$ ее 53 X 174 141 1Ш 75 42 163 130 ■57 ы ii 145 152 IIS & 53 1?4 141 10$ 75

10 153 120 37 ы К 175 142 109 76 43 154 131 ЭЗ 65 32 I3B 153 120 37 54 175 142 109

42

Я [«

ЧиНПй Витков

Рис. 4. Определение числа витков на поверхности тора. На рис. 5 показаны 0 и 1 витки

Можно представить выражения (13) в следующем виде

n[i] = (N2 i ) mod ш2, (14)

где

i = Ъ2 - Ъ\, если Ъ2 - Ъ>= 0

i = Ъ2 - Ъ\ + ш2, если Ъ2 - Ъ\< 0

Выражение (12) для определения значений

чисел в таблице решений в этом случае будет выглядеть как

X = (N2 . (Ъ2 - Ъ1) шей ш2) ш1 + Ъ1, (15а) если Ъ2 - Ъ1>= 0 X = (N2 . (Ъ2 - Ъ1 + ш2) шой ш2) . ш1 + Ъ1,

(15Ъ)

если Ъ2 - Ъ1 < 0

или

X={N2 [(b2 - b1) mod m2 ] mod m2 } m1 +

+ bi, (16)

IV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ ДЛЯ УСТРАНЕНИЯ ФАЗОВОЙ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ ПРИ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Основной задачей при анализе интерференционных картин является определение

разности фаз j( X, y) по значениям зарегистрированных интенсивностей Ii (X, y).

При различных фазовых сдвигах di

интенсивность отраженного от объекта света можно представить в виде

Ii (x, У) =

= Ao(X, у) (1 + V(X, y) cos( j(x, y) + di), (17)

где A0(X, y)- средняя яркость, а V (x, у)-

контраст изображения, i= 1,2 ... m, при этом m -число фазовых сдвигов.

В [13-15] приведен обобщенный алгоритм расшифровки, который при известных значениях

d, позволяет определить значение фазового

распределения j( X, y). В [16-19] приведен способ решений системы уравнений (1) при неизвестных значениях di. Значения

j( X, y) будут меняться от 0 до 2п .

В результате мы имеем результаты косвенных измерений параметров объекта в зависимости от цены полосы m, которая является параметром определяемым схемой

интерферометра.

b (x, y)=y) m. (18)

2p

Если изменить значение цены полосы, и повторить измерения (4-1), то мы получим серию значений измеряемой величины (bi,b2 ,.,bk). Каждое значение определяется в диапазоне от 0 до mi-1.

Абсолютная величина L может быть найдена как решение системы сравнений

L ° h mod (m,)

1 ; ч. (19)

L ° b2 mod (m2)

При этом максимальный диапазон однозначного определения значений

определяется наибольшими взаимно простыми сомножителями в значениях цен полос.

Цена полосы может меняться либо изменением длины волны, либо изменением угла между интерферирующими полосами, либо изменением коэффициента преломления среды. При использовании методов голографической интерферометрии это может быть достигнуто методом двух длин волн, методом смещенного источника и иммерсионным методом [20].

Таким образом, задача расширения диапазона измерений сводится к задаче решения системы сравнений (19).

Однако решение системы сравнений задача неустойчивая. Даже небольшие погрешности при измерениях начальных значений bi приводят к значительным ошибкам при определении полного значения измеряемой величины.

На Рис. 5 показаны результаты реальных измерений методом структурированного освещения [21, 22] при двух ценах полос m1 = 167, m2 = 241.

Видно, что из реальные измерения достаточно сильно отличаются от идеальных. Это связано с нарушением синусоидальности проецируемых полос, неравномерностью освещения и другими факторами при проведении эксперимента. Однако использование

геометрического подхода позволяет восстановить полную фазу даже для такого случая.

Рассмотрим фрагмент таблицы решения (Рис. 6) с модулями m1=53 и m2=63. В этом случае максимальный диапазон может составить 53.63 = 3339.

Если ограничить максимальный диапазон измерений, это приведет к тому, что в таблице появятся разреженные диагонали. На этих диагоналях будут лежать значения абсолютных величин, попадающие в выбранный диапазон, а значения между диагоналями будут лежать за пределами этого диапазона.

М167 1 4

Рис. 5. Таблица решений с модулями т1=167 и т2=241

■ Ь2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 20 21 22 23 24 25 26 27 28 25 30 31 32

ы

и 1537 3074 1215 2756 501 2438 583 2120 265 1802 3335 1484 3021 1166 2703 848 2385 530 2067 1745 3286 1431 2568 1113 2650 755 2332 477 2014 155 16»

1 1356 1\ 1538 3075 1220 2757 502 2435 584 2121 256 1803 3340 1485 3022 1167 2704 845 2386 531 2068 1750 3287 1432 2565 1114 2651 756 2333 478 2015 160

2 320 1857 1535 3075 1221 2758 503 2440 585 2122 257 1804 3341 1486 3023 1168 2705 850 2387 532 2055 1751 3288 1433 2570 1115 2652 757 2334 475 20И

3 2176 321 1858 1540 3077 1222 2755 504 2441 586 2123 268 1805 3342 1487 3024 1165 2706 851 2388 533 2070 1752 3285 1434 2971 1116 2553 798 2335 480

4 НО 2177 322 1859 1541 3078 1223 2760 505 2442 587 2124 265 1806 3343 1488 3025 1170 2707 852 2385 534 2071 1753 3250 1435 2572 1117 2654 755 2331

5 2456 641 2178 323 1860 1542 3075 1224 2761 506 2443 588 2125 270 1807 3344 1489 3026 11Л 2708 853 2350 535 2072 1754 3251 1436 2573 1118 2655 800

6 550 2457 642 2175 324 1861 1543 3080 1225 2762 507 2444 589 2125 271 1808 3345 1490 3027 1172 2705 854 2391 536 2073 1755 3252 1437 2574 1115 2651

7 2816 Э61 2498 543 2180 325 1862 1544 3081 1226 2753 308 2445 550 2127 272 1805 3346 1491 3028 1173 2710 855 2352 537 2074 1756 3253 1438 2575 1121

г 1230 2817 562 2455 644 2181 326 1863 К 1545 3082 1227 2764 505 2446 591 2128 273 1810 3347 1452 3025 1174 2711 856 2353 538 2075 1757 3254 1435 2571

9 3136 1281 2818 563 2500 645 2182 327 1864 1546 3083 1228 2765 910 2447 552 2125 274 1811 3348 1453 3030 1175 2712 857 2354 535 2076 1758 3255 1441

10 1500 3137 1282 2819 554 2501 645 2183 328 1865 1547 3084 1225 2765 511 2448 553 2130 275 1812 3345 1454 3031 1175 2713 858 2355 540 2077 1755 32»

11 X. 1601 3138 1283 2820 555 2502 647 2184 325 1866 1548 3085 1230 2767 512 2445 554 2131 276 1813 3350 1455 3032 1177 2714 859 2356 541 2078 1761

12 1520 К. 1602 3135 1284 2821 566 2503 648 2185 330 1867 к 1545 3086 1231 2768 513 2450 555 2132 277 1814 3351 1456 3033 1178 2715 860 2357 542 2075

Рис.6. Фрагмент таблицы решения с модулями m1=53 и m2=63. В таблице выделены диагонали, значения на

которых меньше 300.

Рис. 7. Таблица решений с модулями m1=53 и m2=63 (справа увеличенная часть таблицы с

численными значениями).

Если представить всю таблицу решений (Рис. 7), то значения Ъ\ и ¿2 увеличиваются последовательно по основным диагоналям. На рисунке закрашена область (область грубых промахов), в которую может попасть измеряемая величина при наличии погрешности измерений.

Видно, что ближайшая точка, расположенная на допустимой диагонали, вероятно и будет правильным значением. Для правильного определения абсолютного значения величины Ь необходимо, чтобы погрешность исходных данных не превышала половины расстояния

между допустимыми диагоналями. Таким образом, результирующий диапазон определяется погрешностью исходных измерений. Для увеличения диапазона есть два пути: снижение погрешности измерений и увеличение числа измерений при различных модулях.

V. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ ПРИ ТРЕХ МОДУЛЯХ

Рассмотрим случай для трех взаимно простых модулей.

Например: т1 = 11, т2 = 13, т3 = 17.

В этом случае:

Mi = 221, M23 = 187, M33 = 143,

Ni = 1, N23 = 8, N33 = 5.

X =M1N1b1+M2N2b2+M3N3b3 (mod m1m2m3), (20a)

X =221.1b1 + 1878b2 1b1 +

+ 143 5b3 (mod 11 13 17;, (20b)

или

X =221 b1 + 1496b2 + 715 b3 (mod 2431). (20с)

Таблица решений для случая трех модулей будет выглядеть следующим образом (Рис. 8).

Рис 8. Таблица решений с тремя модулями mi = 11, m2 = 13, m3 = 17.

К сожалению, значения последовательно

увеличиваются только по главным диагоналям.

Двумерные срезы по осям х и у не позволяют

анализировать данные при наличии шумов.

Поэтому сложно анализировать окрестности

грубых промахов.

Однако эту таблицу можно свернуть в

трехмерный тор. Тогда задачу анализа

окрестности каждой точки можно свести к

анализу обычной двумерной таблицы.

Для этого представим решения для X в виде

двумерной таблицы, в которой по координате х

отложим значения витков.

Представим число в модулярном

з .

представлении для двух модулей ть т2 = т2 т3.

X =MiNibl + (M23N23+ M33N33) .(b23)

(21a)

Заметим, что M23N23+ M33N33= M22N22 , поэтому

X =MlNlbl + M22N22 .(b23)

(21b)

Для модулей ml = ll, m2 = 1317 = 22l. В этом случае: Ml = 22l, M22 = ll, Nl = l, N22 = 20l.

X =22l bl + 22ll b23 (mod 243l) (21c)

Заметим, что и в этом случае мы тоже будем работать в системе остаточных классов по модулю mm2m3=2431. Значения bl меняются от 0 до 11, b23 от 0 до 220.

Начальная часть таблицы решений (21с) показана на Рис. 9.

В таблице первая строка определяет число витков, которое будет определяться как

n(i) = N22 i mod (m2 m3), (22)

где i = b2 .

В разделе, в котором рассматривался двумерный случай (16), показано, что решение

(21) для двумерного случая можно представить в виде:

X = M22 {N22 [(b23 - b1) mod (m2 m3) ]mod (m2 m3) }+

+b1 (22а)

или

X = {N22 [(b23 - bj) mod (m2 m3) ] mod (m2 m3) }m2

m3 + bj (226)

■ а 1 2 3 4 4 « J E -a m 11 12 13 14 IS 16 17 13 19 к ZI s 23 Z4 H Ï £7 23 30 31 37 ;

H 1 1 2 } Щ f f I 1 ! i? 11 1! t 1 3 } 4 5 Ç 3 s 3 If 11 H 4 1 1 } * 5 Ç 1

il ы ■ 1 t 1 * I ( 7 1 S 19 11 ia 13 11 11 1( t 1 г 1 л f e T e i 1С 1i 11 13 ii 11 1

□ « an ltftl lttl 1441 1311 1111 B31 en Hi Z31 11 шг ял 1ЙЙ ne 1312 un M? № us &2 a 293 Î1113 12S3 nï3 1343 1IH «Il Ml (ft ÎSJ

1 HI l 2212 13Я 17j2 15t? 1312 111? tn E7Î A 7J." 13 22?3 Jffi îTsa 1K 1343 14) SOI Eli 24! 23 22» JCU 17« 147* u» r:j SÎ4 tu *74 i

1 «; IS г »13 177) 14» HH 11U m m J'," ш 13 1Ш № 17tt 1№ Ijli 11M sw Hl H Ï23S И15 17» 1175 ии 11K 3:3 № 4

3 sa UJ HI Î ant ТЫ 1771 115* 1)J1 11U ем f.1! ж 1' ж ЛМ 17Й 1% 1W HB № 2*5 a SX MIS 1-.4 H1S 11X H» К !

1 ш № 14 SA * гзи 1H ir^. 11» 13» 111! H F7S f); ns Z2ÎS № 1H ™ 134E 1126 № IX 1« Î4t as Z21T 2C1T и— 1341- 1117 <

s m» Bi- да- № t HIE 19H 177E ISM Щ lblE E* E7i- 4Н î* H W ИЮ7 17Г7 ISt7 1347 IHÎ7 5(7 H7 7" 77 Î32S K1S 174 144 13ЕЭ

S 13Л ll» H 1« и! at ( И17 1»7 1777 1»7 1317 "147 ВГ Pt НГ 17 ta »H 17» 15» Ш ita •m H ИЦ 24 a ггв M 17» 114

1 1147 no? Hi H "Т at ? aie lDt un пэзе m е № «H lit 23t 13 on Ш9 ITU 1«S 1HS 11» Stn ез« x:- a art M 2Û IX»

s ™ 1№ 13Л 1106 KB №1 № ZB E :na I396 17Л ни 13S 1119 № ET» 419 229 19 ÏÏS 2C1D 11*J us 1!И иза aij G» m ÏB X ¡341 Kil

s lies 17iS 1543 13Î3 11« № И !» s гга ЯН 1730 154 1340 11Д s» № w И ггя M1I Wïl 1S7I un ИЯ »11 И1 *71 H1 31 EUS

16 BID iwo 17Я Т/У. 1930 11ID № № 4» Z6 19 aîi 30*1 lTtl 1>1 1IÎ1 H1 £41 Kl HI и HH ai: 17K ига Ilii 1Ш w ew «Tî г« Я :

Рис. 9. Начальная часть таблицы решений (21с). (b2 меняются от 0 до 220).

Теперь нужно определить зависимость ¿2 от ¿2 и ¿3. Проанализировав таблицу решений на Рис. 8 и Рис. 9 можно заметить, что для одинаковых решений эти значения будут распределены так, как показано во второй и третьей строке таблица на Рис. 9.

В этом случае

М23 = 17, M223 = 13, M23 = 10, N223 = 4,

b23 = M223 {N223 ■[ (b3 - b2) mod (m2) ] mod (m2) } +

+b2

(25a)

или

b23 = {N223 [ (b3 - b2) mod (m2) ] mod (m2) } m2 + b2

(25b)

b23 = M123N123b2 + M223N223b3 (mod m2 m3). (24)

Эти решения показаны в таблице на Рис. 10.

и

■ 0 1 2 î i 5 G 7 8 5 10 11 12 13 15 16

0 0 52 1M 156 20S 39 51 143 196 2G 7B 13D 1S2 13 6S 117 16S

1 1;D 1 Б2 1D5 1Б7 2D5 4D 144 196 27 7Э 121 1S3 1/ 66 1 is

2 I 1Э I7I Z 54 ID6 I53 2ID 41 53 I45 157 23 SD 132 l£4 15 67

fiil Ш 17? ffi 1D7 1Б5 711 A? 54 14R 19Я Я1 1 Г.З 1Я5 16

4 17 6Э 121 17:- ^ 56 103 16D 212 43 Î5 147 155 3D S2 134 1SS

5 137 18 70 122 174 5 57 1109 1 ei 21 ï 44 9G 14S 20D 31 S3 135

G 12C 10û 1Э 71 123 175 G 5C 11D 1G2 21-i ¿5 07 145 2D1 32 64

7 SE 137 1SS 2D 72 124 176 7 55 111 IG: 215 46 98 1150 2D2 33

S 2A se 13S 190 21 73 125 177 s eu 112 1G4 21G 47 59 151 251

Э 2C4 35 S7 139 151 22 74 12G 17S 5 61 113 165 217 4Ê 1 DO 152

1С 1E3 20Б ÎS 110 152 21 75 127 17S 10 C2 111 1SG 21S ■15 151

П 1" Б1 1M 1ПД ZUS 1« i/ ?П7 ta Г-.Я 141 RO Ш 14? 1U f6 1Л 77 m ITS 11 1Я1 И 1? lib It/ R4 116 215 16Я bD "m

Рис. 10. Определение b2 по b2 (от 0 до 12) и Ьз (от 0 до 16).

Таким образом, решение для трех модулей

X

104

можно записать как X = {N22 [ (b23 - bj) mod (m2 m3) ] mod (m2 m3) }m2

m3 + b1, (26a)

или

X = {(N22 i) mod (m2m3) }m2 m3 + b1 , (26b) i = b23- b1 , если b23 - b1>= 0

i = b23- b1 + m2 m3 , если b23 - b1< 0

где

b23 = {N223 [(b3 - b2) mod (m2) ] mod (m2) }m2 + + b2 , (27a)

или

b23 = {(N223i) mod (m2) }.m2 + b2 , (27b) i = b3 - b2 , если b3 - b2 >= 0

i = b3 - b2 + m2 , если b3 - b2 < 0

Коэффициенты N22 и N223 рассчитываются следующим образом

mxN2 = 1 (mod ?w2 /н3), (28а)

m2N223 = 1 (mod /w3). (286)

Заметим, что в таблице решений (рис.9) значения последовательно увеличиваются по главным диагоналям. Поэтому при наличии погрешностей при измерениях начальных значений (b1, b2, b3) всегда можно ограничить диапазон (количество витков) для выделения окрестности грубых сбоев.

Ошибочные результаты, которые попадают в окрестность грубых сбоев, могут быть скорректированы к ближайшим диагоналям. Устранение этих ошибок может привести к значительному увеличению точности измерений. Таким образом, использование модулярной арифметики позволит не только увеличить диапазон измерений, но и снизить погрешность.

VI. ВЫВОДЫ

Реализован новый алгоритм перевода чисел из модулярного к позиционному представлению на основе геометрического подхода. В статье рассмотрены двумерный (решение системы сравнений с двумя модулями) и трехмерный случаи. Обобщение на многомерный случай с помощью процедуры предложенной в работе для трехмерного случая не представляет существенных сложностей.

Представление таблицы решений в виде многомерного тора позволяет упростить алгоритм перехода к позиционной системе. В этом случае, мы переходим от многомерной задачи к двумерной. Для этого необходимо определить число витков и найти положение на этом витке. Кроме того, при ограничении числа витков (при ограничении максимального диапазона) витки становятся разреженными, появляются окрестности грубых сбоев, которые позволяют скорректировать измерительные

погрешности.

В результате метод устранения фазовой неоднозначности становится устойчивым и его можно использовать при реальных интерференционных измерениях.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда

фундаментальных исследований по гранту № 14-08-01100 «Цифровая голографическая система реального времени для экспериментального исследования напряженно-деформированного состояния динамических объектов».

ЛИТЕРАТУРА

[1] D. Ghiglia and M. Pritt, Two-dimensional phase unwrapping theory, algorithms and software, John Wiley & Sons, 1998. 512 p.

[2] F. Qiangian, P.M. Meaney, and K.D. Paulsen, "The multidimensional phase unwrapping Integral and applications to microwave tomographical image reconstruction," IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 15, No. 11, 2006. pp. 3311-24.

[3] V.I. Gushov, Yu.N. Solodkin Automatic Processing of Fringe Patterns in Integer Interferometers// Optics and Lasers in Engineering.-1991.-Vol.14, Issues 4-5,- P.311-324.

[4] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov /Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.- March 2013, Volume 49, Issue 2, pp 178-183.

[5] Wengierow, M., Salbut, L.,Ramotowski, Z., Szumski, R., Szykiedans, K. Measurement System Based on Multi-Wavelength Interferometry for Long Gauge Block Calibration Metrology and Measurement Systems. - 2013. -Volume XX, Issue 3, pp. 479-49.

[6] Zhong, J., Zhang, Y. Absolute phase-measurement technique based on number theory in multifrequency grating projection profilometry. - Applied Optics. - 2001. -Vol.40, No.4 - pp.492-500.

[7] Kujawinska, M., Osten, W. Fringe pattern analysis methods: up-to-date review. - Proc. SPIE.-1998. - Vol. 3407, p. 56-66.

[8] Takeda, M., Gu, Q.,Kinoshita, M., Takai, H.,Takahashi, Y. Frequency-multiplex Fourier-transform profilometry: A single-shot three-dimensional shape measurement of objects with large height discontinuities and/or surface isolations -Applied Optics - 1997 - Vol.36, No.22 - pp. 5347-5354.

[9] Дональд Э. Кнут "Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы".- Третье издание.-М., 2007, 832 с.

[10] Виноградов И.М. Основы теории чисел - М: Главная редакция физико-технической литературы изд-ва "Наука".- 1972.- 168с.

[11] Арнольд И.В. Теоретическая арифметика - М: Государственное учебно-педагогическое из-во.- 1938.-480с.

[12] Гильберт Д., Кон_Фоссен С. Наглядная геометрия .-М.Наука.-1981.- 344с.

[13] Гужов В.И., Ильиных С.П. Компьютерная интерферометрия. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. -252с.

[14] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р. / Универсальный алгоритм расшифровки. // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №4(41) - С. 51-58.

[15] Generic algorithm of phase reconstruction in phase-shifting interferometry /Guzhov V., Ilinykh S., Kuznetsov R., Haydukov D.// Optical Engineering, - 2013.-Vol.52(3) - pp. 030501-1 - 030501-2.

[16] Гужов, В.И. Новый метод калибровки фазовых сдвигов [Текст] / В.И. Гужов, С.П. Ильиных, Д.С. Хайдуков, Р.А.

Кузнецов // Научный вестник НГТУ. — 2013. — №1(50). — С. 185-189.

[17] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р.// Устранение ошибок фазового сдвига в интерферометрии // Автометрия. - 2011. - Т. 47, №1.-С. 96-101.

[18] V.I. Guzhov, S.P. Il'yinykh, D.S. Khaidukov and A.R. Vagizov Eliminating phase-shift errors in interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.-2011., Vol.47, Nu.1.- pp. 76-80.

[19] Определение значений фазовых сдвигов по интерференционным картинам в фазосдвигающей интерферометрии /Гужов В.И., Ильиных С.П., Кузнецов Р.А., Хайдуков Д.С.// Автоматика и программная инженерия, Новосибирск , - 2013.-№1(3) - С. 10 - 15.

[20] Козачок А.Г. Голографические методы исследований в экспериментальной механике.- М.: Машиностроение, 1984.- 176 л.

[21] Гужов В.И., Ильиных С.П., Кузнецов Р.А. , Вагизов А.Р. / Решение проблемы фазовой неоднозначности методом целочисленной интерферометрии // Автометрия. - 2013. - Т. 49, №2.-С. 85-91.

[22] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov /Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.- March 2013, Volume 49, Issue 2, pp 178-183.

Гужов Владимир

Иванович - профессор кафедры ССОД Новосибирского Государственного Технического университета, доктор технических наук. Он является автором более 160 научных работ. Область научных интересов: высокоточные интерференционые измерения, безошибочные вычисления, теория чисел. e-mail: vig@nstu.edu.ru

Кабак Евгений Семенович

- аспирант ССОД НГТУ. Область научных интересов: программная инженерия, оптические измерительные системы. e-mail: vig@nstu.edu.ru

Орлов Иван Сергеевич -

ассистент кафедры ССОД НГТУ. Область научных интересов: мультимедиа-технологии, оптические измерительные системы. e-mail: mail@ivanorlov.com

The Use of Modular Arithmetic in Phase Measurements

V.I. GUZHOV, E.S. KABAK, I.S. ORLOV

Abstract: This paper gives a new algorithm for the transition from the modular representation of

numbers to the position, which can be used in phase measurements in real systems.

Keywords: Number theory, modular arithmetic, phase ambiguity, the interference measurement methods.

REFERENCES

[1] D. Ghiglia and M. Pritt, Two-dimensional phase unwrapping theory, algorithms and software, John Wiley & Sons, 1998. 512 p.

[2] F. Qiangian, P.M. Meaney, and K.D. Paulsen, "The multidimensional phase unwrapping Integral and applications to microwave tomographical image reconstruction," IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 15, No. 11, 2006. pp. 3311-24.

[3] V.I. Gushov, Yu.N. Solodkin Automatic Processing of Fringe Patterns in Integer Interferometers// Optics and Lasers in Engineering.-1991.-Vol.14, Issues 4-5,- P.311-324.

[4] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov /Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.- March 2013, Volume 49, Issue 2, pp 178-183.

[5] Wengierow, M., Salbut, L., Ramotowski, Z., Szumski, R., Szykiedans, K. Measurement System Based on Multi-Wavelength Interferometry for Long Gauge Block Calibration Metrology and Measurement Systems. - 2013. -Volume XX, Issue 3, p. 479-49.

[6] Zhong, J., Zhang, Y. Absolute phase-measurement technique based on number theory in multifrequency grating projection profilometry. Applied Optics. 2001. Vol.40, No.4. p.492-500.

[7] Kujawinska, M., Osten, W. Fringe pattern analysis methods: up-to-date review. Proc. SPIE.-1998. Vol. 3407, p. 56-66.

[8] Takeda, M., Gu, Q.,Kinoshita, M., Takai, H.,Takahashi, Y. Frequency-multiplex Fourier-transform profilometry: A single-shot three-dimensional shape measurement of objects with large height discontinuities and/or surface isolations -Applied Optics . 1997. Vol.36, No.22 - p. 5347-5354.

[9] Donal'd Je. Knut "Iskusstvo programmirovanija. Vol 2. Poluchislennye algoritmy".- Tret'e izdanie.-M., 2007, 832 p.

[10] Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel. M: Glavnaja redakcija fiziko-tehnicheskoj literatury izd-va "Nauka". 1972.- 168 p.

[11] Arnol'd I.V. Teoreticheskaja arifmetika M: Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe iz-vo. 1938. 480 p.

[12] Gilbert D., Kon_Fossen S. Nagljadnaja geometrija. M.Nauka. 1981. 344 p.

[13] Guzhov V.I., Il'inyh S.P. Komp'juternaja interferometrija. Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2004. - 252p.

[14] Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Hajdukov D.S., Vagizov A.R. Universal'nyj algoritm rasshifrovki. Nauchnyj vestnik NGTU. 2010. №4(41) p. 51-58.

[15] Generic algorithm of phase reconstruction in phase-shifting interferometry. Guzhov V., Ilinykh S., Kuznetsov R., Haydukov D. Optical Engineering, 2013. Vol.52(3) p. 030501-1 - 030501-2.

[16] Guzhov, V.I. Novyj metod kalibrovki fazovyh sdvigov [Tekst]. V.I. Guzhov, S.P. Il'inyh, D.S. Hajdukov, R.A. Kuznecov. Nauchnyj vestnik NGTU. 2013. №1(50). p. 185-189.

[17] Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Hajdukov D.S., Vagizov A.R.// Ustranenie oshibok fazovogo sdviga v interferometrii // Avtometrija. (Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing) 2011. T. 47, №1. p. 96-101.

[18] V.I. Guzhov, S.P. Il'yinykh, D.S. Khaidukov and A.R. Vagizov Eliminating phase-shift errors in interferometry. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.-2011., Vol.47, Nu.1. p. 76-80.

[19] Opredelenie znachenij fazovyh sdvigov po

interferencionnym kartinam v fazosdvigajushhej interferometrii. Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Kuznecov R.A., Hajdukov D.S. Avtomatika i programmnaja inzhenerija, Novosibirsk , - 2013.-№1(3) p. 10 - 15.

[20] Kozachok A.G. Golograficheskie metody issledovanij v jeksperimental'noj mehanike. M.: Mashinostroenie, 1984.176 l.

[21] Guzhov V.I., Il'inyh S.P., Kuznecov R.A. , Vagizov A.R.

Reshenie problemy fazovoj neodnoznachnosti metodom celochislennoj interferometrii. Avtometrija. - 2013. - T. 49, №2.-. 85-91.

[22] V.I. Guzhov, S.P. Il'inykh, R.A. Kuznetsov, A.R. Vagizov. Solution of the problem of phase ambiguity by integer interferometry. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. March 2013, Volume 49, Issue 2, p. 178-183.