CC BY
14
приборостроение, метрология и информационно-измерительные приборы и системы
УДК 535.411.854
йО!: 10.25206/1813-8225-2019-163-43-49
В. И. ГУЖОВ И. О. МАРЧЕНКО Г. А. ПОЗДНЯКОВ Е. Е. СЕРЕБРЯКОВА
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск
РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ФАЗОВОЙ ОДНОЗНАЧНОСТИ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ ПРИ ОСВЕЩЕНИИ
СИНУСОИДАЛЬНЫМИ КАРТИНАМИ С РАЗЛИЧНЫМИ ПЕРИОДАМИ_
В статье описывается способ устранения фазовой неоднозначности при использовании серии измерений с различными периодами. Получение фазовой информации осуществляется методом пошагового фазового сдвига. Для этого на объект проецируются три или более синусоидальные картины с заданным фазовым сдвигом.
В результате расшифровки картин интенсивности получается поле фазовых величин с периодом, определяемым величиной периода проецированной синусоидальной картины. Такое же фазовое распределение можно получить и с некоторым другим периодом.
В результате вычитания фазовых картин результирующий эквивалентный период разности будет больше, чем исходные периоды. Величина эквивалентного периода обратно пропорциональна разности исходных периодов. Для увеличения области фазовой однозначности необходимо выбирать близкие периоды. Однако в этом случае растет и погрешность измерения.
Предлагаемый в статье способ предусматривает получение трех или более серий синусоидальных картин с различными периодами для освещения объекта. Снижение погрешности обеспечивается путем комбинирования значений фазы, полученных для минимального периода со значениями фазовых переходов для расширенного диапазона, что позволяет устранить эффект увеличения погрешности и, соответственно,
снизить общую погрешность определения фазы. Области фазовых переходов автоматически определяются в результате вычитания профиля объекта, полученного при измерениях с разными периодами. Поскольку области фазовых переходов однородны, то можно предложить простую процедуру усреднения. Добавляя к полученному полю фазовых переходов результаты измерения при минимальном периоде, получим измерения с минимальной погрешностью. В этом случае периоды проецируемых картин не обязательно должны быть близкими. Такой выбор периодов обеспечивает устойчивость предлагаемого метода.
Ключевые слова: структурированное освещение, пошаговый фазовый сдвиг, фазовая неоднозначность, определение профиля, фазовые методы, погрешность измерения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка методов сверхразрешения в цифровой голографической интерферометрии» (Грант № 16-08-00565) и Министерством образования и науки РФ (гос. задание № 8.12007.2018/11.12).
Введение. Одним из факторов, сдерживающих широкое распространение интерференционных методов измерений, является ограниченный диапазон измерений. Фазовые значения могут однозначно восстанавливаться только в пределах периода от 0 до 2тс. Причина этого является периодический характер измерений. Величина периода полос (цена интерференционной полосы) определяется значениями интерференционных полос, при которых регистрируемая интенсивность меняется от минимума до максимума.
При использовании методов голографиче-ской интерферометрии для расширения области фазовой однозначности был предложен двух-частотный метод [1—4]. Двухчастотный метод заключается в том, что на одну фотопластинку записываются две голограммы одного и того же объекта при освещении с разными длинами волн и Хт Эквивалентная длина волны определяется
_
еЧ
(1)
с различными размерами периода Td и
C ■ h(x,y) =
Ф(х, y)
2п
T,
(2)
где Т — период, С — системная константа, зависящая от оптической схемы, а Ф(х, у) — абсолютное значение фазы.
Выражение, которое связы вает фазу Ф, период Т и величиоу профитя Ог(х( у) , имеет вид:
фху) = [C • h (x, y)/ T]• 2*.
(3)
Если мы делаем фазовые измерения с двумя периодами Т1 и Г2, фо разность двух фаз в пределах периода будет определяться следующим выражением:
ЛФ12 = Ф, -Ф2 = [С • О^у)/^0] • 2п,
(4)
Из выражения (1) видно, что чем меньше разность между длинами используемых волн, тем больше будет эквивалентн а я дли на волны.
Основной проблемой при использовании этого метода является воорсстанио пегрешности при определении фазы с расширенным диапазоном.
Этот недостаток можно преодолеть при использовании проекционных методов структурированного освещения, в которых можно проецировать синусоидальные кпртены с различными периодами [5 — 9].
Получим две серии синусоедальных картин
Т2. Вели-
чину профиля можно опред2лить с помощью следующего выражения:
где T2 = T, • 72 /|T2 - T — эквивалентный период. Выражение имеет такой же вид, что и (1).
Врлзугьтате двух фазовых измерений с разными периодами мы можем палучить только значения, определенныт в пределах периода от 0 до 2= — cpt и: ф= Сбсолютне- фаза Ф связана с ф отношением ф = Ф (mod 2тс). Пользуясь этим выр-жение— из (4), можно получить
Л<м12 = Л—2(фмУ 2а) = — и —] (фмУ 2а) = = [мм М2] (фмУ 2а) = {[с • O^y)/—;,9]: 2а} (вмУ 2а). (5)
Теким оЗразом, есл! сделать два измерения, при которы х пер и о д э кдималентной полосы е12 будет больше, чем измеряемы- диапазон, то задача устраненио фазовой неоднозначности будет решена в ьрддмлах диапаеона, опр2,аеляемого эквивалентным периодо м.
Недостмткоу эстэтмихода яв,—ется увеличение могрешзости при определении эквивалентной фазы. В статье предложен способ, который позволяет устраниоь ланный недостаток.
Оп=еделение фазового распределения. Для освещения объькта необходимо сформировать серию картин с синусеидаммныв ртспртделени-ем с зг-aн=ыа с,/:в:^еои[ фу= 1ме:иК]99,;ла /емиа 0014=1 выражент дад -оопьютереого моеелирования синьсгидaлиныи кьртин, ориентиротанных вдоль оси x:
I]i, j)
2cN„
i + И
(6)
где Nx — число точек в мессиве, Np — требуемое число -олос, - — фазм-ый сд-иг.
I
12 зависимости от величины ядеигов и их колите ства существуют различныс алгорттмы рлс-шифрквки. Нами полнено общее гыражение для опредкления фязового распределения [10, 11]
Гр к arctan
I -пр I -Нр
(7)
где /к(10,...,1ш_ )л — набор измеренных ин-тексрвностей с разлиоными фоз отыми сдвигк-мн - с мсаждор оснусоидальной карта не (х, у),
Н =с (сооГ0,. . . ,сооГш_Кл, Б? -о (ошГ0,. ..тшГш_0у , лаз-
мзрнмитГ Гноэкоои^иов 8сглределется ш-числом фазовых сдвигов 5с Н1 и п 1 вектора,ортогональные вектопап Н и Н соответственно. Используя выражение (7) по серии синусоидальных картин, получим полефаз.
Расширение области фазовой неоднпзнач-но сти с помощью эквивалентного периода. Для увеличения периода однозначного определения фазы используем методэквивалентного п н риода. Определить разность фаз:
— разность фаз ф12 = ф1^(_ 2;
— если(ф1—ф2) < 0,то к фе добавляем 2п.
Извыражения (5)видно, что поитгоо расиости
лззжноопределить профиль в пределах эквивалентного периода.
Пусть цена полосы (период) выражается в пикселях. Если взять фазонрге распределения с периодом Т1=60 точек и Т2 = 90, тогда эквивалентный период составит Л^В - ЛВ2 / | В - В - 60 - 90/]90 - 60) - 180 точек [12].
Алгоритм хорошо работает, если исходные фазы, определенные в пределах периода, определяются точно. Однако, если значения фаз определяются с некоторой ошибкой, погрешность определения профиля резко возрастает,
Рис. 1. Фазовые распределения: сверху с периодом 60 пикселей, в центре с периодом, равным эквивалентной длине волны 90 пикселей, снизу с периодом, равным эквивалентной длине волны 180 точек
что при высокоточных измерениях ограничивает областьприменения этого метода.
При 20 % случайного шума от амплитуды заданных синусоид погрешность определения фазы составит около 6,64 % от 2п при синусоиде с периодом 60 и 7,2 % при синусоиде с периодом 90. Снижение погрешности при определении фазы объясняется фильтрующими свойствами выражения (7). При выбранных параметрах расшифровки снижение относительной погрешности составляет примерно 3 раза.
Выбирая разный период синусоид, можно получить распределение фаз с различным периодом. Из двух синусоидальных наборов с пе-риодом60и 90 пикселей получим два фазовых распределения ф1 и ф2, по которым можно определить фазу с эквивалентным периодом (рис. 1). Эквивалентный период — 180 пикселей.
Из картины фазового распределения, соответствующего эквивалентной длине волны (нижняя часть рис. 1), видно, что при переходе через ноль
а)
б)
Рис. 2. Разность профиля с периодом, равным эквивалентной длине волны 180 точек, и профиля с периодом 60 пикселей (а) и разность профиля с периодом, равным эквивалентной длине волны 180 точек, и профиля с периодом 60 пикселей после устранения шумов (б)
Сезроа 63
/лав 3. Зрсстиносление полной фазы с помощью эквивалентной длины волны (размер изображения 1024x1024 точек)
Рис. 4. Разность профиля с периодом, равным эквивалентной длине волны 1260 точек,
и профиля с периодом 60 пикселей
возникают ошибки. Величину этих ошибок можно уменьшить, если учитывать величину погрешности следующим о бризом:
ф12 = ф! - фо,
если ф12 < -гс • noise / 33 => ф12 = ф12 + , (8)
где noise относительная погрешность при задании синусоидальной картины. Величина шума делится на 3, поскольку при определении фазы примерно настолько сокращ ает ся величина шума.
Поскольку фаз= ф12 обязуется разностью фаз ф1 и ф2, ее погрешность ^еличивается в два раза по сравнению с погрешно стями фаз ф1 и ф2 соответственно.
Уменьшение икаг=ешности м ито=аэ квиоувемт-ного периода. Профиль измеряемой поверхности с точностью до множителя С мфжно определить как
С • Н(с, и) = [ф.о ] Юоа
(9)
Из выражения (9) видно, значение абсолютной погрешности при определении профиля бъекта растет пропорционально увеличению эквивалентной длины волны. Погрешность можно уменьшить, если использовать для уточнения результирующей фазы, значения фаз при минимальном периоде.
Определим профиль объекта с помощью выражения (9) и вычтем из него профиль, полученный при минимальной длине волны (рис. 2а).
Из рис. 3 видно, что образуются однородные области, соответствующие числу фазовых переходов через период. В отсутствие шумов площадки должны быть прямыми. Для устранения шума достаточно взять ближайшее целое от деления разности профиля на п-Х1 и умножить целое на кто же значение. В результате получим прямые площадки, соответствующие числу (рис. 2б) фазовых переходов.
Добавляя значения профиля к зонам фазовых переходов при минимальном периоде, получим распределение фаз, в котором величина шума
Ф^ = 60
Ф2^2 = 70
Аф12^12 = 420
Аф123^123 = 1260
Аф23^23 = 315
Фз^з = 90
Рис. 5.Формирование разности фаз с помощью трех наборов фазовых распределений
б
Рис. 6. Разность профиля с периодом, равным эквивалентному периоду Т123=1260 точек, и профиля с периодом Т23=315 пикселей (а) и график профиля с периодом, равным эквивалентной длине волны 1260 точек, и погрешностью, соответствующей профилю с периодом 315 пикселей (б)
а
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
б
Рис. 7. Разность профиля с уточненным периодом, равным эквивалентной длине волны 1260 точзк, н прафилл с пезиодом 60 пикселей (а) и профиль с периодом, равным эквивалентной длине волны 1260 точек, и погрешностью, соответствующей профилю с периодом 60 пикселей (б)
не будет превыш ать величины шума в исходном распределении фазы, а диапазон будет определяться эквивалв нтным периодом.
Из рис. 1 видно, что выбранной величины эквивалентной волны не хватает для определения полной фазы по всему мрссиву. Для увеличения диапазона необходимо выбрать такие значения, чтобы знаменатель в выражении для определения эквивалентной длины волны (1) или эквивалентного периода становился меньше. Зафиксируем размер первой волны и будем уменьшать размер второйа т_г.а рри величинах периодов 60 и 63 получим разм ер экв ивалентной волны 1260 (20 максимальных периодов 63), который позволяет устранить фазовую неодто значность по всему полю (рис. 3).
Однако в этом случае нт удается определить зоны переходов через п ери од. Это видно из графика фазовых перенодон (рис. 4) для периодов 1260 и 60. Прямые горизонтальные площадки из-за влияния шума слилис/ и выделиг0 их не0ьзя.
В этом случае может быть использован процесс увеличения диапазо на по серии трех фазовых распределений. В резулктате мы мржем получить эквивалентную волну с помощью следующего выражеаия
тев — тевтев /\тев _ Тев I
119П — о / \119 190
(10)
Для примера, выберем три синусоидальные картины с тремя периодами Т1 = 60 пикселей, Т2 = 70 пикселей, Т3 = 90 пикселя [10].
Результирующая эквивалентная длина волны составит Т123= 1260 пикселей (рис. 5), как и для случая двух длин волн 60 и 63 пикселя (рис. 1). Но в этом случае можно методом обратной развертки снизить погрешность.
На первом этапе необходимо определить разность профилей, полученных с Т123 и Т23 (рис. 6а). Такая промежуточная разность вычисляется, т.к. сразу же определить разность профилей, полученных с Т123 и Т1, не удается из-за высокого уровня шумов при определении профиля с увеличенным диапазоном.
Затем восстанавливается полный профиль с уровнем шумов, соответствующих Т23 и динамическим диапазонам, соответствующим периоду Т123= 1260 пикселей (рис. 6б).
На втором этапе уже определяется разность уточненного профиля (рис. 7а) и профиля, полученного с периодом Т1, и восстанавливается полный профиль, но уже с уровнем шумов, соответствующих минимальному периоду (рис. 7б).
Таким образом, используя приведенный алгоритм, нарастания ошибок удаётся избежать.
Заключение. Представлен способ снижения погрешности при расширении области фазовой неоднозначности при проекции на объект синусоидальных картин с различными периодами. Способ основан на автоматическом определении зон фазового перехода и уточнении значений, полученных при расширенном диапазоне, величинами с минимальной ошибкой. Для расширения динамического диапазона необходимо увеличивать число проецируемых картин. Выбор периодов зависит от возможности автоматического определения зон фазовых переходов.
Достоинством метода является алгоритмическая простота. К недостаткам можно отнести — сложность подбора необходимых периодов, невозможность устранения фазовой неоднозначности в случае резких скачков и ограничение максимального диапазона при коррекции погрешностей.
а
При большом числе полос лучшие результаты дает алгоритм устранения фазовой неоднозначности с полосами, периоды которых являются взаимно простыми числами [13—16]. Однако используемый математический аппарат основан на целочисленной арифметике, который редко используется в инженерной практике.
Приведенные в статье результаты получены при использования языка программирования С# в бесплатной среде разработки Visual Studio Community 2017.
Библиографический список
1. Hildebrand B. P., Haines K. A. Multiple Wavelength and Multiple Source Holography Applied to Contour Generation // JOSA. 1967. Vol. 57, Issue. 2. P. 155-162. DOI: 10.1364/JOSA.57.000155.
2. Де С. Т., Козачок А. Г., Логинов А. В., Солодкин Ю. Н. Измерение параметров рельефа поверхностей методом двухдлинноволновой голографической интерферометрии // Голо графические измерительные системы: сб. науч. тр. / НЭТИ. Новосибирск, 1976. C. 23-29.
3. Cheng Y-Y., Wyant J. C. Multiple-wavelength phase shifting interferometry // Applied Optics. 1985. Vol. 24 (6). P. 804-807. DOI: 10.1364/AO.24.000804.
4. Creath K. Step height measurement using two-wavelength phase-shifting interfer- ometry // Applied Optics. 1987. Vol. 26 (14). P. 2810-2816. DOI: 10.1364/AO.26.002810.
5. Srinivasan V., Liu H. C., Halioua M. Automated phase-measuring profilometry of 3-D diffuse objects // Applied Optics. 1984. Vol. 23 (18). P. 3105-3108. DOI: 10.1364/ AO.23.003105.
6. Zhang S. High-resolution, Real-time 3-D Shape Measurement. Stony Brook University. 2005. P. 127. URL: https://engineering.purdue.edu/ZhangLab/publications/ papers/2005-zhang-thesis.pdf (дата обращения: 11.10.2018).
7. Zhang S., Yau S.-T. Generic nonsinusoidal phase error correction for three-dimensional shape measurement using a digital video projector // Applied Optics. 2007. Vol. 46 (1). P. 36-43. DOI: 10.1364/AO.46.000036.
8. Zhang S. Recent progresses on real-time 3D shape measurement using digital fringe projection techniques // Optics and Lasers in Engineering. 2010. Vol. 48 (2). P. 149158. DOI: 10.1016/j.optlaseng.2009.03.008.
9. Гужов В. И., Ильиных С. П., Уберт А. И. Проекционный метод измерения рельефа // Научный вестник НГТУ. 2012. № 1 (46). С. 23-28.
10. Гужов В. И., Ильиных С. П., Хайдуков Д. С., Кузнецов Р. А. Новый метод калибровки фазовых сдвигов // Научный вестник НГТУ. 2013. № 1 (50). С. 185-189.
11. Ильиных С. П., Гужов В. И. Обобщенный алгоритм расшифровки интерферограмм с пошаговым сдвигом // Автометрия. 2002. № 3. С. 123-126.
12. Wang Y., Zhang S. Superfast multifrequency phase-shifting technique with optimal pulse width modulation // Optics Express. 2011. Vol. 19 (6). P. 5149-5155. DOI:10.1364/ OE.19.005149.
13. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. 168 с.
14. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В 3 т. Т. 2. Получисленные алгоритмы / пер. Г. П. Бабенко, Ю. М. Банковского; под ред. К. И. Бабенко, В. С. Штаркма-на. М.: Мир, 1977. 724 с.
15. Гужов В. И., Солодкин Ю. Н. Использование свойств целых чисел для расшифровки интерферо-грамм // Оптика и спектроскопия. 1988. T. 65, вып. 5. С. 1123-1128.
16. Гужов В. И., Ильиных С. П., Кузнецов Р. А., Ваги-зов А. Р. Решение проблемы фазовой неоднозначности методом целочисленной интерферометрии // Автометрия. 2013. Т. 49, № 2. С. 85-91.
ГУЖОВ Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Системы сбора и обработки данных». SPIN-код: 6116-7131 AuthorID (РИНЦ): 111678 AuthorID (SCOPUS): 6603882920 Адрес для переписки: vigguzhov@gmail.com МАРЧЕНКО Илья Олегович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Системы сбора и обработки данных». SPIN-код: 7744-1591 AuthorID (РИНЦ): 583134 AuthorID (SCOPUS): 57193877973 Адрес для переписки: i.o.marchenko@gmail.com ПОЗДНЯКОВ Григорий Александрович, аспирант кафедры «Системы сбора и обработки данных».
Адрес для переписки: worlaff@gmail.com СЕРЕБРЯКОВА Екатерина Евгеньевна, ассистент кафедры «Системы сбора и обработки данных». Адрес для переписки: silver-kate94@mail.ru
Для цитирования
Гужов В. И., Марченко И. О., Поздняков Г. А., Серебрякова Е. Е. Расширение области фазовой однозначности проекционных методов при освещении синусоидальными картинами с различными периодами // Омский научный вестник. 2019. № 1 (163). С. 43-49. DOI: 10.25206/18138225-2019-163-43-49.
Статья поступила в редакцию 27.11.2018 г. © В. И. Гужов, И. О. Марченко, Г. А. Поздняков, Е. Е. Серебрякова
