Устойчивые множества в кооперативных играх с ограниченной структурой коммуникации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УСТОЙЧИВЫЕ МНОЖЕСТВА В КООПЕРАТИВНЫХ ИГРАХ С ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУКТУРОЙ КОММУНИКАЦИИ

И. Н. Корман

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение. Кооперативной игрой п лиц с трансферабельной полезностью называется пара (Ы,у), где N = {1,...,п} — множество игроков, V : 2^ ^ М — отображение, заданное на множестве всех подмножеств Б С N, и предполагается, что v($) = 0. Любое Б С N называется коалицией.

Дележом игры ) € Г0 называется вектор х € М|№ I, удовлетворяющий двум условиям:

( хг ^ 0 для каждого г € N,

\ х(N) = v(N).

Решением игры называется подмножество множества дележей. Одним из видов решения кооперативной игры является устойчивое множество М\, введённое Р. Ауманом и М. Машлером в статье [1]. Между игроками для любого дележа игры определены понятия угрозы и контругрозы. Делёж принадлежит устойчивому множеству, если на любую угрозу существует контругроза. Доказательство существования М\ приведено в работах М. Дэвиса и М. Машлера [2, 3], а также для более общего случая в работах Б. Пелега [4, 5].

Впоследствии возникли различные модификации устойчивого множества, появилось множество работ, посвящённых данной теории. Подробный обзор можно найти в статье М. Машлера [6].

Н. И. Наумова [7] обобщила устойчивое множество М\. Был рассмотрен случай, когда угрозы и контругрозы разрешены между элементами некоторой системы коалиций А, а при осуществлении угроз и контругроз могут быть использованы любые коалиции. Получившееся в результате А-устойчивое множество было обозначено Мд. В случае, когда элементами А являются все одноэлементные коалиции, множества и М\ совпадают.

В работах [7, 8] были получены достаточные условия на систему коалиций А, гарантирующие существование непустого множества для любой игры из широкого класса кооперативных игр, включающего в себя почти все кооперативные игры.

Позднее Н. И. Наумова [9] получила более слабое достаточное условие на систему коалиций А, которое также является необходимым, если число игроков не превышает 5.

В статье [9] было введено понятие сильного А-устойчивого множества М1Л заменой контругрозы на сильную контругрозу в определении множества Мд. Теорема существования множества М1Л подобна теореме для Мд, кроме того, М1Л С .

В данной статье изучаются устойчивые множества в кооперативных играх с ограниченной коммуникационной структурой, представленной неориентированным графом у>. Такие игры предложил рассматривать в 1977 году Р. Майерсон [10].

© И.Н.Корман, 2010

Для них множество вершин N графа р является множеством игроков. Набор множеств вершин всех связных подграфов графа р обозначается В(р) и является полным набором разрешённых в игре ) коалиций.

Множества р-М\ и р-М\ определяются подобно М\ и М\ соответственно. Разница заключается лишь в том, что элементы системы А, а также коалиции, используемые в определениях угроз и контругроз, должны быть разрешёнными.

В статье получены необходимые и достаточные условия на граф р, гарантирующие существование непустого множества р-М\ для любой системы коалиций А С В(р) в любой игре из широкого класса кооперативных игр. То же сделано и для множества р-М гл.

1. Определения. Обозначим через Г0 множество таких игр (^ V), что v({г}) = 0 для каждого игрока г € N и v(S) ^ 0 для любой коалиции Б С N. (Такие игры являются 0-нормализацией игр (^ v), в которых ге3 v({г}) < v(S) для любой коалиции Б С N.)

В дальнейшем будем рассматривать только игры ) € Г0.

Для вектора х обозначим хс = {хг}гЕс и х(С) = ^ хг.

гЕО

Пусть р — неориентированный связный граф с множеством вершин N, В(р) —множество всех таких Б С N, что Б является множеством вершин некоторого связного подграфа графа р.

Пусть (^ v) — кооперативная игра, К, Ь € В(р), х — делёж игры (^ v). Пара (С, у с) называется р-угрозой К против Ь при х, если выполнены следующие условия:

С € В(р), К С С, Ь П С = 0, у(С)= v(C),

уг > хг для каждого г € С.

Пара (В, г^) называется р-контругрозой на данную р-угрозу, если

в € В(р), ь с в, к с в,

г(В) = v(В),

гг ^ хг для каждого г € В,

гг ^ уг для каждого г € С П В.

Пара (В, г^) называется сильной р-контругрозой на данную р-угрозу, если

В € В(р), Ь С В, К П В = 0, г (В) = v(В),

гг ^ хг для каждого г € В, гг ^ уг для каждого г € С П В.

Если на р-угрозу не существует р-контругрозы, то она называется р-обоснованной.

Если на р-угрозу не существует сильной р-контругрозы, то она называется слабо р-обоснованной.

В дальнейшем полагаем А С В(р).

Делёж х игры ^,у) принадлежит рА-устойчивому множеству игры ^,у), обозначаемому р-Мд N, v), если для любых К, Ь €А не существует р-обоснованной угрозы К против Ь при х.

Делёж х игры ^,у) принадлежит сильному рА-устойчивому множеству игры ^,у), обозначаемому р-М\^,у), если для любых К, Ь € А не существует слабо р-обоснованной угрозы К против Ь при х.

Заметим, что р-М\^,у) С р-М\^,у).

Следующие определения будут использованы для формулировки достаточных условий существования множеств р-М\ и р-М\.

Ориентированный граф О называется рА-допустимым, если А является множеством его вершин и существует отображение /, заданное на множестве всех дуг графа О, которое каждой дуге (К, Ь) ставит в соответствие пару /(К, Ь) = ^, г) (^ € В(р), г € М) и удовлетворяет трём условиям:

С1) если / (К, Ь) = ^, г), то К С Q, Q П Ь = 0, |^| > 1;

С2) если /(К, Ь) = ^, г), /(Е, Р) = (Б,Ь), Ь С Б, К С Б, то Q П Б = 0;

сз) если /(К, ь) = ^, г), /(Е, Р) = (Б, Ь), Ь С Б, К С Б, то г > Ь.

Ориентированный граф О называется слабо рА-допустимым, если А является множеством его вершин и существует отображение /, заданное на множестве всех дуг графа О, которое каждой дуге (К, Ь) ставит в соответствие пару /(К, Ь) = ^, г) ^ € В(р), г € М) и удовлетворяет трём условиям:

С1) если д(К, Ь) = ^, г), то К С Q, Q П Ь = 0, ^| > 1;

С 2') если д(К, Ь) = ^, г), д(Е, Р) = (Б,Ь), Ь С Б, К П Б = 0, то Q П Б = 0;

С 3') если д(К, Ь) = ^, г), д(Е, Р) = (Б,ь), Ь С Б, К П Б = 0, то г> Ь.

2. Вспомогательные результаты. Следующая теорема даёт условия на систему А, достаточные для существования непустого множества р-М\ ^,у). Она является простой модификацией теоремы 4 из статьи [9].

Теорема 1. Пусть р —связный неориентированный граф с множеством вершин N, А С В(р). Если для каждого слабо рА-допустимого графа множество концов его дуг не покрывает N, то р-М\N, V) = 0 для любой игры N, V) € Г0.

Леммы, приведённые ниже, будут использованы для получения необходимых условий существования рА-устойчивых множеств.

Лемма 1. Пусть р —связный неориентированный граф, К, Ь € В(р), пара (Q,УQ) является р-угрозой К против Ь при х. Пусть Б € В(р), Ь С Б, К С Б. Тогда р-контругроза (Б, гз) на данную р-угрозу существует тогда и только тогда, когда (у - х)^ П Б) < у(Б) - х(Б).

Доказательство данной леммы совпадает с доказательством леммы 1 в статье [9].

Для каждого ориентированного графа О обозначим множество концов его дуг с помощью Епё,(О).

Ориентированный граф назовём +1-орграфом, если любые две его дуги имеют различные концы.

Пусть G является рА-допустимым +1-орграфом и f — соответствующее отображение, определённое на множестве дуг G. Тогда f задаёт для каждого L G End(G) значения Q(L) G В(р) и r(L) G R с помощью выражения (Q(L), r(L)) = f (K, L), где (K, L) — дуга графа G.

Лемма 2. Пусть р — связный неориентированный граф с множеством вершин N, A С В(р). Если существует р A-допустимый + 1-орграф G, множество концов дуг которого покрывает N, и для каждого L G End(G)

N \ Q(L) С D(r(L)), где D(i) = (J S, (1)

SeEnd(G):r(S)^i

то р-М\(N,v) = 0 для некоторой игры (N,v) G Г0.

Доказательство. 1

Определим игру (N,v) следующим образом:

( v(N) = 1,

< v(Q(L)) = 1 для каждой L G End(G),

[ v(T) = 0 для остальных коалиций T С N.

Заметим, что (N,v) корректно определена, так как |Q(L)| > 1 в силу C1.

Докажем, что р-М\(N,v) = 0.

Предположим, что существует x0 G р-МгЛ(N,v). Докажем с помощью индукции по r(L), что x0(L) =0 и x0(Q(L)) = 1 для каждой L G End(G). Множество End(G) покрывает N, поэтому получим, что x°(N) = 0, что противоречит x°(N) = v(N) = 1. Определим r0 следующим образом: r0 = min r(L).

LeEnd(G)

Рассмотрим (K,L) —дугу графа G, для которой r(L) = r0. Предположим, что x0(L) > 0. Тогда x0(Q(L)) < 1 и существует р-угроза K против L при х0. Существует р-контругроза (D,zd) на эту р-угрозу. Получаем, что v(D) = zd(D) ^ x°(L) > 0, следовательно, v(D) = 1 и D = Q(P) для некоторой P G End(G). По определению р-контругрозы, L С D, K С D и из C3 следует r(P) < r(L) = r0, но r0 — минимально. Таким образом,

x°(L) = 0 для любой L G End(G), где r(L) = r0,

также х0(D(r0)) = 0. Учитывая (1), получаем, что

x°(Q(L)) = 1 для любой L G End(G), где r(L) = r0.

Предположим, что x°(L) =0 и x°(Q(L)) = 1 для r(L) < i.

Пусть r(L) = i, (K,L) —дуга G. Предположим, что х0(L) > 0, тогда x0(Q(L)) < 1 и v(Q(L)) — x°(Q(L)) > 0, следовательно, существует р-угроза K против L при х0 (Q(L),pq(l)). Существует р-контругроза (S,zs) на эту р-угрозу. Поэтому v(S) = zs(S) ^ x°(L) > 0, следовательно, v(S) = 1 и S = Q(T) для некоторой T G End(G). По определению р-контругрозы L С S, K С S, поэтому в силу C3 получаем r(T) < r(L). По индукционному предположению x°(S) = 1, следовательно, v(S) — x0(S) = 0. По лемме 1

v(S) — x0(S) > yQ{L)(S n Q(L)) — x0(S n Q(L)).

1 Данное доказательство является частью доказательства теоремы 4 из статьи [9].

По условию С2 Б П Q(Ь) = 0, и по определению р-угрозы

уящ(Б П Q(Ь)) - х0(Б П Q(Ь)) > 0.

Получено противоречие с тем, что у(Б) - х0(Б) = 0, следовательно, х0(Ь) = 0. Таким образом,

х0(Ь) = 0 для любой Ь € Епй(О), где г(Ь) = %.

В силу (1)

х0^(Ь)) = 1 для любой Ь € Епй(О), где г(Ь) = %.

□

Лемма 3. Пусть р — связный неориентированный граф с множеством вершин Мр, ф — его связный подграф с множеством вершин Мф, А С В(ф) и существует такая игра (М.ф,Уф) € Г0, что ф-Мгл(Мф,Уф) = 0.

Тогда существует игра (Мр,ур) € Г0 с пустым множеством р-Мг£(р)(Мр,ур).

Доказательство. Рассмотрим игру (Мр,ур) € Г0:

Г Ур(Мр) = Уф(Мф),

I ур(мф) уф (Мф ^

Г ур(Б) = Уф (Б) для любой коалиции Б €А,

^ ур(Б) = 0 для оставшихся коалиций.

Пусть хр —делёж игры (Мр, ур). Рассмотрим два случая.

Случай 1. хр({%}) = 0 для любого % € Мр \ Мф.

Пусть хф ({%}) = хр ({%}) для любого % € Мф. Тогда хф является дележом игры

(МФ, Уф).

Известно, что хф € ф-М1л(Мф, Уф), следовательно, существует ф-обоснованная угроза К против Ь при хф ^, УQ) в игре (Мф, Уф), где К, Ь €А.

Очевидно, что К, Ь € В(р), поэтому ^, УQ) является р-угрозой К против Ь при хр в игре (Мр,ур). Покажем, что эта угроза р-обоснована.

Предположим, что существует р-контругроза (Р, гр). Тогда в силу леммы 1

Ы - хр)(Я П Р) < ур(Р) - хр(Р). (2)

Пусть Б = Р П Мф, тогда либо ур(Р) = Уф (Б), либо ур(Р) = 0. Получаем, что

Ур(Р) - хр(Р) = Ур(Р) - хф (Б) < Уф (Б) - хф (Б). (3)

Также Q С Мф, Q П Р = Q П Б, следовательно,

Ы - хф)(Я П S) = (УQ - хр)(Я П Р). (4)

Из равенств (2)-(4) следует, что

^ - хф) ^ П Б) < Уф (Б) - хф (Б).

В силу леммы 1 (Q,УQ) не является ф-обоснованной угрозой К против Ь при хф, получили противоречие. Поэтому хр € р-М1£р(Мр,у1р).

Случай 2. Существует такой игрок ¿0 € \Ыф, что хр ({¿0}) > 0, поэтому хр(Ыф) <

у^(Ыф). Значит, существует (Ыф,у) — р-угроза Ыф против {¿о} при хр. Кроме того, ур(Б) = 0, хр(Б) > 0 для любой коалиции Б, содержащей го, Б = Ыр. Следовательно, угроза р-обоснована в силу леммы 1, поэтому хр ф р-Л4гв^(М1р,у1р). □

3. Основные результаты. Приведём условия на р, необходимые и достаточные для непустоты множества р-М\(Ы, у) для любой системы коалиций А С В(р) в любой игре (Ы,у) € Г0. Сделаем то же для множества р-Мгл(Ы,у).

Расстоянием между двумя вершинами в связном неориентированном графе называется минимальное число рёбер, необходимых, чтобы пройти от одной вершины к другой.

Диаметром связного неориентированного графа называется максимальное расстояние между его вершинами.

Теорема 2. Пусть р —связный неориентированный граф с множеством вершин N.

1. Множество р-М\(Ы,у) непусто для любой системы коалиций А С В(р) в любой игре (Ы,у) € Г0 тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий:

(a) р является деревом, и в нём существует вершина, смежная с к ^ \Ы\ — 2 другими вершинами р;

или

(b) \ы\ < 3.

2. Множество р-М\(Ы,у) непусто для любой системы коалиций А С В(р) в любой игре (Ы,у) € Г0 тогда и только тогда, когда р является деревом, и в нём существует вершина, смежная с к ^ \Ы\ — 2 другими вершинами р.

Ниже приведён рисунок, изображающий варианты графа р, при котором множество р-М\(Ы, у) непусто для любой системы коалиций А С В(р) в любой игре (Ы, у) € Г0.

Доказательство. Заметим, что в любой игре (Ы,у) € Г0 условия на граф для непустоты множества р-М\(Ы,у) для любой системы коалиций А С В(р) эквивалентны условиям непустоты множества р-М.г£(^)(Ы,у). Аналогично для множества р-МД.

Доказательство организовано следующим образом.

Шаг 1. Доказывается, что из условия (а) следует существование непустого множества р-МЩф)(Ы,у) в любой игре (Ы,у) € Г0. Ввиду того, что р-Мщр)(Ы,у) С

р-МВы (Ы,у), получим также, что условие (а) является достаточным для непустоты

Шаг 2. Показывается, что (Ь) является достаточным условием непустоты р-МЩ^.

Шаг 3. В случае, когда условия а и Ь не выполнены, доказывается существование игры, для которой множество р-М1в{р) пусто, а следовательно, и р-Мпусто.

Шаг 4. В случае, когда \Ы\ ^ 3 и условие (а) не выполнено, строится игра с пустым

множеством р-МД для некоторой системы коалиций А С В(р).

Шаг 1. Пусть выполнено условие (а). Покажем, что в этом случае выполняются условия теоремы 1 для А = В(р). Предположим, что существует слабо рВ(р)-допу-стимый орграф О, множество концов дуг которого покрывает N. Пусть г — вершина дерева р, смежная с к ^ \Ы\ — 2 другими вершинами, (К, Ь) —такая дуга графа О, что г € Ь, /(К, Ь) = ^, г). Существует два возможных случая.

Случай 1.1. Вершина г смежна с к = N\ — 1 другими вершинами.

Известно, что Q € В(р) и, кроме того, ^ > 1 в силу условия С1, поэтому г € Q. Получили противоречие с условием Ь П Q = 0.

Случай 1.2. Вершина г смежна с к = N\ — 2 другими вершинами.

В силу условия С1 получаем, что Q = {р, д}, где р и ц смежны, р смежна с г, ц не смежна с г.

Очевидно, что р € Ь, следовательно, существует такая дуга (Б, Т), что р € Т. Пусть /(Б, Т) = (М, ¿), тогда Q П М = 0. Знаем, что \М\ > 1 в силу С1, следовательно, г € М, поэтому Т С Q и Б П Q = 0. По условию С2', Q П М = 0, а это противоречит тому, что Q П М = 0 .

Таким образом, для каждого слабо рВ(р)-допустимого графа О множество концов его дуг не покрывает N, поэтому множество р-МВ(Р) непусто для любой игры (Ы, у) € Г0 в силу теоремы 1.

Шаг 2. Пусть выполнено условие (Ь). Остаётся рассмотреть только случай, когда \Ы\ = 3 и р является полным графом, так как иначе выполнено условие (а).

В этом случае непустота множества р-М1В(р) в любой игре (Ы, у) € Г0 доказана в статье [9] (пример 5).

Шаг 3. Пусть \Ы\ > 3 и граф р не удовлетворяет условию (а). Покажем, что р имеет такой подграф ф, что для некоторой системы коалиций А С В(ф) существует фА-допустимый +1-орграф О, удовлетворяющий условиям леммы 2. Тогда в силу лемм

2 и 3 существует игра (Ы,у) € Г0 с пустым множеством р-Мщ^Ы, у).

Случай 3.1. Граф р не является деревом.

Тогда он содержит цикл х с множеством вершин Ых = {*!,... ,%и} и множеством

Возьмём ф = х, А = |{*1, *2}, {*2, ¿з}, {¿з}, {¿л}, ..., и +1-орграф О с множеством вершин А и множеством дуг < ({¿3}, {%1,г2}), ({¿1}, {*2,*з}), ({г1,г2}, {¿г}) : I =

р-Мг?Ы.

Случай 3.1.1. к > 3.

4,...,к>. Рассмотрим отображение /, заданное на множестве дуг О:

/«¿зК {гl, ¿2}) = (Ых \ {гl, г2}, 1);

/ ({¿1, ¿2}, {¿г}) = ({¿1, ¿2, *з}, 2), где I € 4,...,к;

/№1^ {г2, *з}) = (Ых \ {г2, *з}, 1).

Отображение / удовлетворяет условиям в определении фА-допустимого графа, сле-

довательно, О является фА-допустимым, кроме того, О удовлетворяет условиям леммы 2.

Случай 3.1.2. к = 3.

Тогда существует подграф ф с множеством вершин Ыф = {¿1,..., ¿4} и множеством дуг |(*ь*2), (¿2,*з), (¿з,*1), (*з,*4^. Возьмём А, орграф О и отображение / такие же, как в случае 3.1.1 при к = 4.

Случай 3.2. р является деревом, тогда диаметр р больше 2, так как иначе р удовлетворяет условию (а).

Случай 3.2.1. Диаметр графа р равен 3.

Граф р не удовлетворяет условию (а), поэтому существует подграф ф с множеством вершин {¿1,. ..,¿6} и множеством дуг |(«2, ¿5), (¿3, ¿в), (гг, гг+1) : I €{1, 2, 3} |.

Возьмём А = |{«2}, {*з}, {¿1, ¿2, ¿5}, {¿3, ¿4, ¿в}| и +1-орграф О с множеством вершин

А и множеством дуг {({¿2}, {¿3, ¿4, гв}), ({¿з}, {¿1, ¿2, ¿5})}.

Рассмотрим отображение /, заданное на множестве дуг О:

/ ({г2}, ^ г4, ¿6}) = ({г2, ¿5 }, 1);

/({гзК {гl, г2, ¿5}) = г4}, 1).

Граф О удовлетворяет условиям леммы 2.

Случай 3.2.2. Диаметр графа р больше 3.

Существует подграф ф с множеством вершин {¿1,...,*5К и множеством дуг {(гг, ¿г+1) '■ 1 €{1,..., 4}}.

Возьмём А = |{«1}, {¿5}, {¿1, г2, *з}, {*з, ¿4, ¿5} | и +1-орграф О с множеством вершин

А и множеством дуг {({¿1}, {¿3, ¿4, ¿5}), ({¿5}, {¿1, ¿2, ¿3}}.

Возьмём следующее отображение /:

/({г1} {г3, г4, ¿5}) = ({гЬ г2}, 1);

/ ({г5}, {гl, г2, ¿3} = ({г4, ¿5 }, 1).

Граф О удовлетворяет условиям леммы 2.

Шаг 4. Пусть \Ы\ ^ 3 и условие (а) не выполнено, тогда \Ы\ = 3 и р является полным графом с множеством вершин Ы. В статье [9] (теорема 6) доказано, что для \Ы\ ^ 5 и полного графа р существование слабо рА-допустимого графа О с множеством концов дуг, покрывающим Ы, является достаточным условием существования игры (Ы, т) € Г0 с пустым множеством р-М\(Ы,т).

Возьмём А = | {1}, {2}, {3}, {1, 2} |, О — граф с множеством вершин А и множеством

дуг {({1, 2}, {3}), ({3}, {2}), ({2}, {1})}.

Рассмотрим отображение /, удовлетворяющее условиям С1, С2' и С3;:

/ ({1, 2}, {3})=({1, 2}, 1);

/({3}, {2}) = ({1, 3}, 2);

/({2}, {1}) = ({2, 3}, 3).

Получаем необходимость условия (а) для непустоты множества р-M1Л(N, v) в любой игре (N, v) G Г° для любой системы коалиций А С В(р). □

Следствие: Пусть |N| ^ 4, р — дерево с множеством вершин N. Тогда множество р-М.\(N,v) непусто для любой системы коалиций A С В(р) в любой игре (N,v) е Г0.

Литература

1. Aumann R. J., Maschler M. The bargaining set for cooperative games // Advances in Game Theory. M. Dresher, L. S. Shapley and A. W. Tucker, eds. Annals of Mathematics Studies. No.52. Princeton: Princeton University Press. 1964. P. 443-476.

2. Davis M., Maschler M. Existence of stable payoff configurations for cooperative games // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 69. P. 106-108.

3. Davis M., Maschler M. Existence of stable payoff configurations for cooperative games // Essays in Mathematical Economics in Honor of Oskar Morgenstern. Princeton: Princeton Univ. Press. 1967. P. 39-52.

4. Peleg B. Existence theorem for the bargaining set Ml // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 69. P. 109-110.

5. Peleg B. Existence theorem for the bargaining set Ml // Essays in Mathematical Economics in Honor of Oskar Morgenstern. Princeton: Princeton Univ. Press. 1967. P. 53-56.

6. Maschler M. The bargaining set, kernel and nucleolus // Handbook of Game Theory with Economic Applications.1992. Vol. 1. P. 591-668.

7. Наумова Н. И. Существование некоторых устойчивых множеств для игр с дискретным множеством игроков // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1976. №7. С. 47-54.

8. Наумова Н. И. М-системы отношений и их применение в кооперативных играх // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1978. №1. С. 60-66.

9. Naumova N. I. Generalized kernels and bargaining sets for families of coalitions // Contributions to Game Theory and Management. The International Conference Game Theory and Management June 28-29 2007. St.Petersburg. Russia. Collected Papers. Graduate School of Management St.Petersburg State University. P. 346-360.

10. Myerson R. B. Graphs and cooperation in games // Mathematics of Operations Research. 1977. Vol. 2. P. 225-229.

Статья поступила в редакцию 27 апреля 2010 г.