CC BY
27
ИНФОРМАТИКА
УДК 519.17
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОРГРАФОВ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ МИНИМАЛЬНОГО ВЕРШИННОГО 1-РАСШИРЕНИЯ
М. Б. Абросимов1,0. В. Моденова2
1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Аспирантка кафедры теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Граф С* называется вершинным 1-расширением графа С, если граф С можно вложить в каждый граф, получающийся из графа С* удалением любой его вершины вместе с инцидентными ребрами. Вершинное 1-расширение С* графа С называется минимальным, если граф С* имеет на одну вершину больше, чем граф С, а среди всех вершинных 1 -расширений графа С с тем же числом вершин граф С* имеет минимальное число ребер. Рассматривается задача описания ориентированных графов, минимальное вершинное 1-расширение которых имеет заданное число дополнительных дуг. Дается решение, когда число дополнительных дуг равно одному или двум.
Ключевые слова: минимальное расширение, точное расширение, отказоустойчивая реализация, граф.
ВВЕДЕНИЕ
Ориентированным графом (далее — просто орграфом) называется пара G = (V,а), где V — конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а* — отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности. Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом (или просто неографом). Далее используются основные понятия преимущественно в соответствии с работой [1].
Симметризацией орграфа G = (V, а) называется неограф G = (V, (а U а-1 )\Д), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель.
Граф G* = (V*, а*) называется минимальным вершинным k-расширением (МВ-кР) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:
1) граф G* является вершинным k-расширением G, то есть граф G вложим в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его к вершин;
2) граф G* содержит n + к вершин, то есть |V*| = |V| + к;
3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1) и 2).
Граф G* = (V*,а*) называется точным вершинным k-расширением (ТВ-кР) n-вершинного графа G = (V, а), если граф G изоморфен каждому подграфу графа G*, получающемуся из графа G* путем удаления любых его к вершин и всех связанных с ними дуг (ребер).
В данной работе мы будем рассматривать в основном случай, когда к = 1.
Понятие минимального вершинного к-расширения введено на основе оптимальной к-отказоустой-чивой реализации, которое было предложено Хейзом (J. P. Hayes) в работе [2]. Оказалось, что задача является вычислительно сложной [3]. Исследования данной проблемы развивались в двух направлениях. Основное направление — поиск минимальных расширений для интересных классов графов: цепей, циклов, деревьев. Второе — описание графов, минимальные расширения которых имеют заданное число дополнительных дуг или ребер. В работе [4] исследовалась задача описания неографов с заданным числом дополнительных ребер. Были получены следующие результаты (теоремы 1-5).
Теорема 1. Минимальное вершинное к-расширение, причем единственное с точностью до изоморфизма, вполне несвязного n-вершинного графа On есть вполне несвязный (n + к)-вершинный граф On+k. Никакие другие графы не могут иметь минимальных вершинных к-расширений с нулевым числом дополнительных ребер.
Теорема 2. Графы со степенным множеством {1,0} и только они имеют минимальное вершинное 1-расширение, которое отличается на одно дополнительное ребро, причем это расширение единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 3. Среди связных графов только цепи имеют минимальное вершинное 1-расширение, которое отличается на два дополнительных ребра, причем это расширение единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 4. Среди несвязных графов без изолированных вершин только графы вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1 при п > 1 имеют минимальное вершинное 1-расширение, которое отличается на два дополнительных ребра, причем это расширение имеет вид Сп+1 и Сп+1 и ... и Сп+1, и оно единственно с точностью до изоморфизма.
Теорема 5. Связные графы, имеющие минимальные вершинные 1-расширения с тремя дополнительными ребрами, могут иметь только следующий вид:
1) полный граф К3;
2) графы с вектором степеней вида (3,..., 3, 2,2,2), имеющие точное вершинное 1-расширение;
3) графы с вектором степеней (3,3,3,..., 3,2,..., 2,1) особого вида.
Тема данной работы связана с изучением аналогичного вопроса для ориентированных графов.
В работе [5] показана связь между МВ-1Р неориентированных графов и ориентированных.
Лемма. Пусть орграф С* есть минимальное вершинное к-расширение орграфа С. Тогда симметризация орграфа С* является вершинным к-расширением симметризации орграфа С.
Следствие. Число дополнительных дуг минимального вершинного к-расширения орграфа С — не менее числа дополнительных ребер минимального вершинного к-расширения симметризации орграфа С.
Очевидно, что для орграфов теорема 1 тоже выполняется.
Теорема 6. Минимальное вершинное к-расширение, причем единственное с точностью до изоморфизма, вполне несвязного п-вершинного орграфа Оп есть вполне несвязный (п + к)-вершинный орграф Оп+к. Никакие другие орграфы не могут иметь минимальных вершинных к-расширений с нулевым числом дополнительных дуг.
1. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ДУГА В МВ-1Р
Учитывая следствие из леммы, получаем, что орграфы, имеющие одну дополнительную дугу в МВ-1Р, могут быть получены из графов теорем 1 и 2 с помощью ориентации дуг, а также добавления петель и изолированных вершин.
Теорема 7. Среди орграфов без петель орграфы, полученные объединением п 2-вершинных цепей с т изолированными вершинами, где т > 0, и только, они имеют минимальные вершинные 1-расширения с одной дополнительной дугой, причем эти расширения единственны с точностью до изоморфизма.
Доказательство. По условиям теоремы рассматриваем только орграфы без петель. С учетом следствия из леммы получаем, что только ориентации графов из теоремы 2 (рис. 1) могут иметь МВ-1Р с одной дополнительной дугой.
У таких графов есть только одна неизоморфная ориентация.
И МВ-1Р неографов такого вида имеет единственную ориентацию, которая, очевидно, будет МВ-1Р ориентации неографа, причем с одной дополнительной дугой.
Покажем единственность.
Вершины, инцидентной двум дугам, в МВ-1Р такого графа быть не может, так как при удалении такой вершины будут удалены 2 дуги, а при построении расширения была добавлена только одна. Отсюда — МВ-1Р, построенное по предложенной схеме (рис. 2), является единственным с точностью до изоморфизма.
0 0 0 0 0 0
6
О о
о
о
Рис. 1. Ориентация графов из теоремы 2
т
О о
о _\
о
—
т+1
О о
ПГ"
п-1
о _\
Рис. 2. Орграфы из теоремы 7 и их МВ-1Р
Теорема 8. Среди орграфов с петлями орграфы, полученные объединением п вершин с петлями (п > 0) и т изолированными вершинами (т > 0), и только они, имеют минимальное вершинное
О--0
о ••• о
1-расширение с одной дополнительной дугой, причем это расширение единственно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Учитывая следствие леммы, рассмотрим графы из теорем 1 и 2.
1. В графах из теоремы 1 нет ребер. Тогда ориентанция таких графов — вполне несвязные орграфы, для которых уже доказано, что они имеют МВ-1Р с нулевым числом дополнительных дуг.
В теореме рассматриваются графы с петлями. Тогда рассмотрим огра-фы, получающиеся из вполне несвязных добавлением петель к нескольким (не обязательно всем) вершинам (рис. 3), т.е. получим орграфы, состоящие из п вершин с петлями (п > 0) и т изолированных вершин (т > 0).
Очевидно, что если добавить ещё одну вершину, а затем провести петлю в любой изолированной вершине, то получим МВ-1Р, отличающееся на одну дополнительную дугу.
Также очевидно, что это расширение единственно с точностью до изоморфизма, так как есть только два варианта добавления дуги — петля и соединение двух вершин. Первый вариант соответствует предложенной схеме. Второй вариант не подходит, так как число петель в МВ-1Р тогда останется таким же, что и в исходном орграфе.
2. Теперь рассмотрим графы из теоремы 2. Уже доказано, что если просто ориентировать такие графы, то их МВ-1Р отличается на одну дополнительную дугу (рис. 4). Но это графы без петель, а в данной теореме рассматриваются графы с
Рис. 3. Добавление петель к вершинам графов из теоремы 1
О-в
т
О
о
—V-
т+1
О
о
Рис. 4. Орграфы из теоремы 8 и их МВ-1Р
петлями. Тогда рассмотрим добавление ненулевого количества петель к такому графу.
Тогда в МВ-1Р должно быть больше на одну петлю и на одну 2-вершинную цепь. Очевидно, что с помощью одной дополнительной дуги такое расширение построить нельзя.
Следствие. Орграфы, полученные объединением п вершин с петлями (п > 0) с т изолированными вершинами (т > 0), имеют минимальные вершинные к-расширения с к дополнительными дугами, причем эти расширения единственны с точностью до изоморфизма.
2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ДУГИ В МВ-1Р
Теорема 9. Среди связных орграфов только гамильтоновы цепи имеют минимальное вершинное 1-расширение, которое отличается на две дополнительные дуги, причем это расширение единственно с точностью до изоморфизма для цепей с количеством вершин больше двух. Для 2-вершинной цепи существует два неизоморфных МВ-1Р: циклическая и транзитивная тройки.
Доказательство. Так как мы рассматриваем только связные графы, то с учетом следствия из леммы необходимо рассмотреть только ориентации графов из теоремы 3, то есть ориентации цепей.
Очевидно, что у гамильтоновой цепи МВ-1Р будет гамильтонов цикл. Причем если в цепи 3 и более вершин, то расширение единственно, если п = 2, то легко проверить, что существует два неизоморфных МВ-1Р — циклическая и транзитивная тройки.
Теперь нужно показать, что никакие другие ориентации цепей не имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами. Допустим обратное, что существует некая цепь, негамильтоновая, МВ-1Р которой имеет две дополнительные дуги. Очевидно, что симметризация такого расширения должна быть циклом.
Как минимум, одна из вершин та- 1 кой цепи будет стоком или источником. Предположим, что эта вершина — источник, обозначим ее уг (рис. 5).
Рассмотрим два варианта удаления вершин — удаление вершины уг-1 и уг-2. Если уг — источник, то в первом случае получаем, что один конец цепи имеет полустепени (1,0), а во втором получаем, что второй конец цепи имеет полустепени (0,1).
Теперь при удалении уг-2 запишем цепь, начиная с конца с полустепенями (0,1): уг-1, уг, Уг+1,
Уг+2 . . .
Рис. 5. Пример цепи с вершиной-источником
Рис. 6. 4-вершинная гамильтонова цепь и ее МВ-1Р
Рис. 7. Пример орграфа из теоремы 10 и его расширение
При удалении уг+2 тоже запишем цепь, начиная с конца с полустепенью (0,1): 1, уг, уг-1, Уг-2, ■ ■ ■
Сравнивая эти 2 цепи (рис. 6), получим, что уг-1 и уг+1 должны иметь одинаковые степени.
Тогда у цепи, получающейся удалением уг, О КЗ Ю КЗ О«: КЗ КЗ будут одинаковые полустепени концов. По-
лучили противоречие. Следовательно, среди ориентаций цепей только гамильтоновы цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами. □
Теорема 10. Среди несвязных орграфов без изолированных вершин и без петель при п > 2 только орграфы вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1, где графы Сп+1 являются контурами, а граф Рп — гамильтоновой цепью, имеют минимальное вершинное 1-расширение, отличающееся на две дополнительные дуги, причем это расширение имеет вид Сп+1 и ... и Сп+1, где Сп+1 — контуры, и оно единственно с точностью до изоморфизма. При п = 2 существует два орграфа (объединение 2-вершинной цепи и транзитивных троек, объединение 2-вершинной цепи и циклических троек), МВ-1Р которых отличаются на две дополнительные дуги.
Доказательство. Учитывая следствие из леммы и условия теоремы, что рассматриваем несвязные орграфы без петель и изолированных вершин, будем проверять только ориентации графов из теоремы 4 (рис. 7). Выше доказано, что только гамильтоновы цепи имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами. Отсюда очевидным образом получается утверждение теоремы. □
Теорема 11. Среди несвязных орграфов с изолированными вершинами и без петель МВ-1Р с двумя дополнительными дугами имеют только орграфы вида:
1) объединение гамильтоновых п-вершинных цепей (п > 1) с любым количеством изолированных вершин. При п > 2 МВ-1Р единственно с точностью до изоморфизма, при п = 2 существует два неизоморфных МВ-1Р;
2) объединение 3-вершинной негамильтоновой цепи и т изолированных вершин, где т > 2 (МВ-1Р — объединение двух изоморфных цепей и т"2 изолированных вершин, единственно с точностью до изоморфизма);
3) объединение орграфов вида Рп и Сп+1 и ... и Сп+1 при п> 2, где графы Сп+1 являются контурами, а граф Рп — гамильтоновой цепью, с изолированными вершинами (МВ-1Р единственно с точностью до изоморфизма);
4) объединение 2-вершинной цепи с транзитивными или циклическими тройками и любым количеством изолированных вершин (расширение будет единственным с точностью до изоморфизма).
Доказательство. Учитывая следствие из леммы, рассмотрим графы из теорем 1-4.
В графах теоремы 1 нет ребер, а графы из теоремы 2 допускают единственную ориентацию, которая имеет МВ-1Р, отличающееся на 1 дополнительную дугу.
Случай 1 очевидным образом получается из теоремы 9.
Случай 2. По теореме 9 негамильтоновы цепи не имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами. Однако если объединить 3-вершинную негамильтонову цепь и, как минимум 2, изолированные вершины, то можно постоить МВ-1Р с двумя дополнительными дугами: нужно добавленную вершину соединить с двумя изолированными так, чтобы получилась точно такая же цепь (рис. 8).
Случаи 3 и 4 очевидным образом получаются из теоремы 10. □
о—о-Ю СИ—о—ю
о
о
о о—о—ю
о
Рис. 8. 3-вершинная цепь, объединенная с изолированными вершинами, и ее МВ-1Р
Следствие. Объединение п-вершинных негамильтоновых цепей с п — 1 изолированными вершинами имеет вершинные 1-расширения c п — 1 дополнительными дугами.
Теорема 12. Среди несвязных орграфов с изолированными вершинами и с петлями только орграфы следующего вида имеют минимальные вершинные 1-расширения с двумя дополнительными дугами:
1) объединение п (п > 0) 2-вершинных цепей с петлями в источниках с т (т > 0) 2-вершинными цепями, с р (р > 0) вершинами с петлями и г (г > 0) изолированными вершинами;
2) объединение п (п > 0) 2-вершинных цепей с петлями в стоках с т (т > 0) 2-вершинными цепями, с р (р > 0) вершинами с петлями и г (г > 0) изолированными вершинами;
3) объединение п (п > 0) 2-вершинных цепей с петлями на концах с т (т > 0) вершинами с петлями и р (р > 0) изолированными вершинами;
4) объединение п (п > 0) 2-вершинных цепей с т (т > 0) вершинами с петлями и р (р > 0) изолированными вершинами.
Доказательство. С учетом леммы рассмотрим только ориентации графов из теорем 1-4. Графы из теоремы 1 являются вполне несвязными, и добавление петель приведет к орграфам, МВ-1Р которых отличаются на 1 дополнительную дугу. А ориентации графов из теорем 3 и 4 уже имеют 2 дополнительные дуги в МВ-1Р, и, очевидно, добавление хотя бы одной петли к таким графам приведетк тому, что в МВ-1Р будет, как минимум, 3 дополнительные дуги.
Поэтому будем использовать только результаты теоремы 2. Выше доказано, что ориентации таких графов единственны и имеют МВ-1Р, отличающиеся на 1 дополнительную дугу.
Рассмотрим различные варианты добавления петель к таким графам (рис. 9-13).
1. Добавление петель к изолированным вершинам (см. рис. 9, а). В таком орграфе т > 0, п > 0, р > 0.
о
о
о
6 $ -ф
т
О
о
р
о
о
о
... 6
V
т+1
V
и+1
О ... о
__I
V
р-2
О
о о
о
о
1Г р-1
о о
о
1Г
т
••• о о Ф •••
о
о
V
р-1
Рис. 9. Орграф (а) и 3 его неизоморфных МВ-1Р (б-г)
Очевидно, что в МВ-1Р должно быть: а) больше на одну 2-вершинную цепь; б) больше на одну петлю. Для этого как раз требуется 2 дополнительные дуги. Причем можно построить 3 неизоморфных орграфа, обладающих такими свойствами.
Легко убедиться, что приведенные орграфы являются МВ-1Р, отличающимися на 2 дополнительные дуги. Следует отметить, что число изолированных вершин в исходном орграфе обязательно должно быть больше 0. Если в таком орграфе не будет изолированных вершин, то получается, что каждая вершина инцидентна, как минимум, 1 дуге. В МВ-1Р такого графа, отличающегося на 2 дополнительные дуги, обязательно будут такие же вершины, инцидентные 1 дуге. А следовательно, удаляя смежные вершины, мы будет получать изолированные вершины. Очевидно, что такой граф не будет МВ-1Р.
Если р = 1, то у орграфа только 2 неизоморфных расширения, если р > 1, то 3 (см. рис. 9, б-г).
2. Добавление петель к вершинам цепей.
Рассмотрим случай, когда петли добавлены к источникам некоторых цепей (см. рис. 10). В этом случае считаем, что т > 0, п > 0, г > 0.
о
о
о
о
о
С)
1Г
т
о
V—
о
Рис. 10. Орграф из пункта 2) доказательства теоремы 12
б
а
в
г
Легко видеть, что МВ-1Р такого орграфа можно построить следующим образом: добавить новую вершину, соединить ее с одной из изолированных, и в источник получившейся цепи добавить петлю. И такое МВ-1Р отличается как раз на 2 дополнительные дуги.
Данное семейство орграфов можно расширить ещё. Если добавить петли к некоторым изолированным вершинам (но не более г — 1), то МВ-1Р такого орграфа будет строиться аналогичным образом (см. рис. 11, а, б). Здесь т > 0, п > 0, р > 0, г > 0.
о
о о
о
т
О
о
- ¿^-"бо - о
о о
о
V
р
V
т+1
о
- 6 ф - ф о - о
р
-> *-у-'
г-1
а б
Рис. 11. Орграф с петлями в изолированных вершинах и источниках (а) и его МВ-1Р (б)
Аналогично доказывается для случая, когда петли добавляются не к источникам, а к стокам орграфа.
Рассмотрим случай, когда у одних цепей петли в источниках, а у других — в стоках. Тогда в МВ-1Р должно быть больше на одну цепь с петлей в источнике и на одну цепь с петлей в стоке. Либо в МВ-1Р должна быть цепь с петлей и в стоке, и в источнике. И по условиям теоремы можно добавить только две дуги. Очевидно, что для построения новой цепи (цепей) в исходном графе должны быть вершины в петлями, не входящие ни в какую цепь. Тогда в МВ-1Р вершин с петлями, не входящими ни в какую цепь, будет на одну или на две больше (в зависимости от выбранного варианта построения расширения). Тогда, удаляя вершину с петлей из какой-либо цепи исходного графа, получим, что все 2-вершинные цепи вкладываются, а вершин с петлями, не входящих в цепи, не хватает. Следовательно, такие графы не имеют МВ-1Р с двумя дополнительными дугами.
Рассмотрим последний случай, когда к 2-вершинным цепям добавляются петли и в источник, и в сток (у одной и той же цепи). Очевидно, что в таком ографе должны быть вершины с петлями, не входящие в состав цепей, потому что по условию в МВ-1Р должно быть две дополнительные дуги (см. рис. 12, а, б). Здесь т > 0, п > 0, р > 0.
О
о
о
- о о - о Ф - Ф о - о
о
о
о
- о о - о Ф - Ф о - о
т
V"
р
—
т+1
V"
р
V
г-1
аб Рис. 12. Орграф с петлями в изолированных вершинах и стоках (а) и его МВ-1Р (б)
Заметим, что такие орграфы не могут содержать 2-вершинных цепей без петель, что доказывается аналогично предыдущему случаю. Легко видеть, что МВ-1Р таких орграфов (см. рис. 13, а) можно построить с помощью двух дополнительных дуг по схеме, приведенной на рис. 13, б.
$ 9
«...«о -
АГ
т
J К.
О
V
р
$ 9
V
т+1
...
V
л-1
о
V
р
Рис. 13. Орграф из пункта 3) теоремы 12 (а) и его МВ-1Р (б)
Библиографический список
1. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. Vol. C.25, № 9. P. 875-884.
3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 5. С. 643-650.
4. Абросимов М. Б. Характеризация графов с заданным числом дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения // Прикладная дискретная математика. 2012. № 1. С. 111-120.
5. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. Т. 23, № 2. С. 93-102. ЭО!: 10.4213/ёш1144.
Characterization of Graphs with a Small Number of Additional Arcs in a Minimal 1-vertex Extension
M. B. Abrosimov, O. V. Modenova
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected], [email protected]
A graph G* is a k-vertex extension of a graph G if every graph obtained from G* by removing any k vertices contains G. k-vertex extension of a graph G with n + k vertices is called minimal if among all k-vertex extensions of G with n + k vertices it has the minimal possible number of arcs. We study directed graphs, whose minimal vertex 1 -extensions have a specific number of additional arcs. A solution is given when the number of additional arcs equals one or two.
Key words: minimal vertex extension, exact extension, fault tolerance, graph theory.
References
1. Abrosimov M. B. Grafovye modeli otkazoustoichivosti [Graph models of fault tolerance]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2012, 192 p. (in Russian).
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system. IEEE Trans. Comput., 1976, vol. C.25, no. 9, pp. 875-884.
3. Abrosimov M. B. On the Complexity of Some Problems Related to Graph Extensions. Math. Notes, 2010, vol. 88, no. 5, pp. 619—625.
УДК 629.78
4. Abrosimov M. B. Characterization of graphs with a given number of additional edges in a minimal 1-vertex extension. Prikladnaya Diskretnaya Matematika [Applied Discrete Mathematics], 2012, no. 1, pp. 111-120 (in Russian).
5. Abrosimov M. B. Minimal vertex extensions of directed stars. Diskr. Mat., 2011, vol. 23, no. 2, pp. 93-102 (in Russian). DOI: 10.4213/dm1144.
К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕАКТИВНОГО СНАРЯДА ЗАЛПОВОГО ОГНЯ
Д. К. Андрейченко1, К. П. Андрейченко2, В. В. Кононов3
1 Доктор физико-математических наук, зав. кафедрой математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2 Доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа, Саратовский государственный технический университет, [email protected]
3Ассистент кафедры математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Проведено исследование влияния продольного ускорения на устойчивость дискретно-континуальной модели однока-нальной системы угловой стабилизации с запаздывающим аргументом упругого вращающегося стержня. Развиты методы построения областей асимптотической устойчивости и анализа импульсных переходных функций рассматриваемой комбинированной динамической системы, уравнения движения которой могут быть проанализированы лишь на основе численных методов либо методов асимптотического интегрирования. Определены критические значения продольного ускорения.
Ключевые слова: комбинированные динамические системы, системы стабилизации.
