Устойчивость тонкой полосы из анизотропного материала при правке растяжением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.983; 539.974

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОЙ ПОЛОСЫ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ПРАВКЕ РАСТЯЖЕНИЕМ

К.С. Ремнев

Приведена математическая модель операции правки тонкой полосы из материала, обладающего плоскостной анизотропией механических свойств, растяжением. Определены условия устойчивого протекания операции правки растяжением анизотропной полосы.

Ключевые слова: анизотропия, правка, растяжение, напряжение, деформация, устойчивость.

При правке растяжением полосу или лист 1 с двух сторон закрепляют в зажимах 2 правильно-растяжной машины и подвергают одноосному растяжению за пределом упругости силами Р (рис. 1).

Правка растяжением позволяет получать высокую степень плоскостности тонких широких полос и листов из высокопрочных сталей и специальных сплавов, правка которых другими способами не дает удовлетворительных результатов.

А-А

Рис. 1. Правка листа растяжением

Величина относительного удлинения полосы при правке зависит от механических свойств металла, характера и степени коробоватости и колеблется в пределах от 0,5 до 3 %.

В процессе правки полоса может потерять устойчивость из-за выпучивания с образованием волнистости (рис. 1).

Основные уравнения и предположения. Принимаем, что правке растяжением подвергается длинная тонкая полоса с прямолинейными боковыми кромками.

Плоскость ху прямоугольной системы координат хоу совместим с

серединной плоскостью полосы (рис. 2). Ось х направим вдоль полосы, по линии действия растягивающих сил Р; начало координат расположим в центре полосы.

Обозначим через Ьо, Во и начальные длину, ширину и толщину полосы, а через Ь, В и ? - длину, средние значения ширины и толщины полосы после деформирования.

Средние величины относительного удлинения ехс и относительного сужения еус полосы, возникающие под действием растягивающих сил

Ь - Ь

"0 .

е ус =

Ьо

В - В0 АВ

8

Во

Во

1 +1/Яа

(1)

где Я

а

>0 ^ 1Т1 '“а

показатель пластической анизотропии металла в направлении

растяжения полосы, определяемой по формуле Яа = епа / е

^а

Рис. 2. Схема правки полосы растяжением с малыми удлинениями

Растягивающая сила для гладкой полосы

р = ЧхсВ, (2)

где цхс = охс - среднее нормальное напряжение, определяемое по деформации е хс =8 р согласно экспериментальной зависимости между интенсивностями напряжений О} и деформаций е;- • в предположении, что полоса находится в условиях равномерного одноосного растяжения.

Поскольку деформации в процессе правки растяжением невелики, то при расчетах напряженно-деформированного состояния полосы следует пользоваться действительной кривой зависимости О} - е;-.

Правка растяжением является активным процессом пластической деформации, который можно представить состоящим из ряда равновесных состояний. При этом каждое из значений растягивающих напряжений будем рассматривать как предел текучести, соответствующий некоторой за-

данной стадии процесса деформации. Принимая во внимание также, что в процессе правки растяжением предел упругости превышается лишь незначительно, для приближенного определения напряжений о х, о у и т ху, возникающих в полосе, можно воспользоваться решениями соответствующих упругих задач. Полученные таким способом значения напряжений можно считать первым приближением в смысле метода упругих решений А.А. Ильюшина [2].

Эксперименты показывают, что выпучивание полосы происходит с возникновением цилиндрической формы потери устойчивости, приводящей к образованию продольной, направленной вдоль оси х, волнистости [3]. Влияние касательных напряжений тху на выпучивание полосы невелико, и им можно пренебречь.

Концы полосы, к которым приложены растягивающие силы Р, жестко закреплены в зажимах правильно-растяжной машины. Действия зажимов на полосу заменим растягивающими нагрузками напряженностью

дх и чу, приложенными соответственно к поперечным сечениям х = ± — Ь

2

полосы и к боковым ее кромкам на участках, по длине равных ширине зажимов Ьо (рис. 2).

Продольная нагрузка Чх, возникающая непосредственно под действием растягивающих сил Р, в общем случае распределяется неравномерно. Принимая параболический закон распределения, имеем

у 2

Чх = Чх 0 + АЧ

, V, . (3)

(В /2)

здесь величина Ачх <> 0, а чхо определяется, при заданных Ачх и Р, из условия равновесия.

В правильно-растяжных машинах с гидравлическими зажимами подобное распределение продольной нагрузки Чх достигается регулировкой давления в зажимах.

Боковая нагрузка Чу является следствием поперечного сужения нее.

зажатой части полосы. В соотношении еу = Ц—(с2 ои + с'22 оу) для пластически ортотропного материала в главных осях напряжений, полагая в зажимах е ус = е у = 0, а также ои = чх, о у = Чу, получим

Ч =-----‘Ъс----. (4)

у (1 +1/Яа) ' '

Правка с малыми удлинениями. Выпучивание и образование волнистости при правке растяжением является следствием возникновения

в полосе сжимающих напряжений Оу, действующих поперек полосы. Для

определения характера распределения и приближенной оценки величины этих напряжений рассмотрим правку с малыми удлинениями.

При правке с малыми относительными удлинениями (5р £ 0,01) искривление боковых кромок полосы от поперечной деформации невелико, и им можно пренебречь.

Остановимся сначала на действии продольной нагрузки 4х.

На краях полосы должны удовлетворяться, с учетом формулы (3), граничные условия

у2

1

о X = 4x0 + Д4х 0,

у

(в /2)2

1

>х = ± — Ь; 2

т

ХУ

Согласно граничным условиям для функции напряжения ф0 имеем соотношения

у2

1 -

Эх2 Э 2ф0 ЭхЭу

У

(в /2)

2

0

Э 2Ф0 Эх 2

Э 2ф0 ЭхЭу

= 0,

= 0,

У = ± — Ь. 2

По данным С.П. Тимошенко эти соотношения удовлетворяются, если положить

2

1---------

У

6 А1

в

+ а1

1 2 к 1 1Ь 1 2 2 у2 - А1 ^ - в 2 "

1 2 у 1 1 12 у 1

2

где а1 - постоянная а1 =

д4х

Гл \4

Ь

в

64 256

+

7 49

99

а в \ 2 \Ь у

+

64

7

вЛ 4

\ЬУ

1

Нормальные напряжения определяются по выражению:

о

У

Э 2Ф0

Эх

2

или с учетом выражения (5) получим

о У =

3х"

(Ь /2)2

У

(В /2)2

(6)

где а1 = 1,305 + 2,283

Ґ т \2 2

Ь

V В у

+

V Ь у

Согласно формуле (6) при Ддх > 0 напряжения ои = /(дх) по продольному серединному сечению (у = 0) полосы, на среднем участке

(х = ±-^^ Ь) являются сжимающими, а по краям, вблизи зажимов, -2л/3

растягивающими. При Ддх < 0, наоборот, о у > 0 на среднем участке и

о у < 0 вблизи зажимов. В случае Ддх = 0 напряжения о у равны нулю по

всей длине полосы.

Из формулы (6) видно, что наименьшее значение коэффициента а1,

а следовательно, и наибольшая величина

о

У

Ь Л

возникают при — = 1 В

При оценке влияния боковой нагрузки 4у фактическую ширину &0 зажимов будем считать достаточно малой ^0 << Ь0 по сравнению с длиной полосы. Это позволяет распределенную нагрузку 4у заменить сосредоточенными силами Q, приложенными к боковым кромкам полосы в точках с

координатами х

(2) и (4)

= ± — (Ь + Ьо) равными Q = цУЬо1, 2

Q =

?0<, или с учетом выражений

(7)

в(1 +1/Да)'

Следовательно, вопрос о влиянии нагрузки 4 у на напряженное состояние полосы сводится к задаче о поперечном растяжении полосы сосредоточенными силами Q. Используя метод решения упругой задачи о полосе, сжимаемой сосредоточенными силами [1], найдем, что в продольном серединном сечении (у = 0) полосы под действием боковой нагрузки

2

1

1

ду возникают нормальные напряжения о у = /'(ду):

у

у

о у = к

ЬпР

гЕА

1 +

Д

а у

где к' - коэффициент, значения которого приведены в табл. 1.

(8)

Таблица 1

Значения коэффициента к'

х / В 0 0,262 0,524 0,675 0,785 1,045 1,57

к' 1,840 0,933 0,143 0 -0,038 -0,032 -0,0046

х = 1 (Ь + *0)- х есть расстояние точки полосы (х, у = 0) от середины зажима.

Из формул (7) и (8), в частности, следует, что напряжения о у возрастают с увеличением &0 и Да.

Согласно формуле (8) напряжения о у = / (ду), быстро уменьшаясь

по мере удаления от зажимов, приобретают нулевое значение при х = 0,675В, а затем, изменив знак на обратный, становятся сжимающими; наибольшее сжимающее напряжение

*0 Р

о У = —0,04 2,

(9)

tB2 (1 +1/Да)’ возникает на расстоянии х = 0,875В.

При значениях х > 1,57В боковая нагрузка ду уже не оказывает

существенного влияния на напряженное состояние полосы.

Из формул (6) и (9) следует, что возникновение сжимающих напряжений о у и потеря устойчивости с образованием волнистости возможно

как вблизи зажимов, так и в средней части полосы.

Напряжения сжатия о у = /' (ду) вблизи зажимов могут быть

уменьшены наложением напряжений растяжения о у = / (дх) путем подбора соответствующих значений Адх и размеров полосы Ь0, В0.

На среднем участке полосы выпучивание возможно вследствие действия сжимающих напряжений о у = / (дх), возникающих от продольной

нагрузки (Адх > 0). Максимальное значение этих сжимающих напряжений, равное согласно формуле (6)

Адх

а1

1

возникает в центре полосы при х = у = 0 .

Участки полосы, где действуют сжимающие напряжения, можно рассчитать на выпучивание и определить критическую толщину полосы.

Рассмотрим, например, средний участок полосы, где действуют сжимающие напряжения о у = f (дх).

Сжимающие напряжения о у, действующие по ширине и длине участка, представим в виде равномерно распределенной сжимающей нагрузки

средней интенсивности о УС, приложенной по боковым сторонам у = ±1В

2

на длине х = ± . Поскольку изменение о у по осям х и у носит пара-

болический характер, то с учетом формулы (10) получим

о ус =— 2 ^ (11)

* 3 а1

Средний участок полосы, ограниченный боковыми сторонами у = ± 1В и сечениями х = ± ^, будем рассматривать как прямоуголь-

ную пластинку, сжимаемую по сторонам у = ± — В напряжениями оуС и

растягиваемую по сторонам х = ± нагрузкой дхе.

Под действием сжимающих напряжений оуС средний участок полосы может потерять устойчивость и выпучиться.

Для определения критической толщины воспользуемся энергетическим методом.

Стороны среднего участка полосы обозначим: а = В, Ь = -1 Ь, нал/3

против их соответственно по осям и и V прямоугольной системы координат ит; по сторонам и = 0, и = а будут действовать нормальные напряжения ои = оуС < 0, а по сторонам п = 0, п = Ь - нормальные напряжения

°у = дхе > 0.

Вблизи точки разветвления равновесных состояний изогнутые формы сколь угодно близки к плоской форме, и, следовательно, деформацией серединной поверхности полосы при выпучивании можно пренебречь. Поэтому будем считать, что стороны V = 0, V = Ь свободны и выпучивание среднего участка происходит с образованием цилиндрической формы потери устойчивости.

Эксперименты показывают, что натяжение полосы предотвращает поворот кромок и = 0, и = а, и эти кромки можно считать защемленными.

Указанным условиям удовлетворяет функция прогибов

1 Л 2риЛ

ш = 2 «0

1 - cos

а

(12)

где

Выражение для удельной работы деформации

4

ё ' ' сзз

Э 2

Ж - — Ер1 2т р

1 (С22%2 - С12СиХу + С11С2)+ 7^ %2у -(1 - и )= С2

о

хи -'

Эи

2

2

Ху -

Эу

2;

Хиу -

ЭиЭп

(13) х=Си + тоХу;

ё - С11 с22 - с12 .

Выражение (13) при условии (12) принимает вид

с22

Ж 2т Ер 17

ё

(1 - и )=

ко

X2,

(14)

где Хи

2 2ри

2р «о cos-----------

_________________а_

*2

Выражение для определения полной работы деформации, совершенной изгибающим и крутящим моментами внутренних сил по всей площади срединной поверхности пластины, принимает вид

Ьа

А1 = и = Л Wdudn. (15)

00

Из выражений (15) и (14) с учетом формулы (12) после интегрирования следует, что работа внутренних сил при выпучивании среднего участка анизотропной полосы

А - и1 -— Ер 7

2т

с2

22

ё

(1 - и )=

к

2р4Ь«о2

3

а'

Для случая изотропной полосы (а - 0, Ях - Яу; Я

у, -ху

(16)

1/3), исполь-

зуя соотношения, получим:

1) выражения (10) принимают вид

С11 - 2; с12 - -1; с22 - 2 ; с33 - 6; т - ^ ;

2

2) из (19) и (21) с22 - 2 и ё - 3;

3) из (27) и (33) ко - 2ко;

4) Ер - тс11Ер - Ер ;

5) (1 - и)-

4у

"Г

В результате для изотропной полосы выражение (16) принимает вид

103

/

А1 - и1 - -1 1 9

V а у

У

к о

ЕрР 4Ь«02

(17)

Выражение (17) соответствует определению работы внутренних сил для изотропной пластины, предложенной Головлевым В.Д. [1].

Работа контурных сил при выпучивании элемента [5]

1 аЬ( 2 2\

А = - 21 - - оЮи + № . (18)

00

После интегрирования с учетом (12) получим

а 1 2 2? I

А = -ТЮ0р Ьои“.

4 а

(19)

Изменение АП полной потенциальной энергии пластины при ее выпучивании записывается в следующем виде:

- (С22Си - 2С12ХиХу + С11%2) + Хт - Х

_ 8 С33

Ьа

1

2т

00

к,

о

х

1

х dxdy + — Л 2 00

N

и

Эи

+ N

V им у

Эу

V у

dudv.

(20)

где Си

"; ХУ

2 ; х - оихи + 0уХу .

Эи2 ЭУ

Полагая АП = 0, найдем критическое напряжение:

оик

2

3т

V а у

Ерр

с22

2-(1 - и) к

ё к о

(21)

Полагая ои£ = о уС, где о уС = - 2 —^, получим выражение для кри-

3 а1

тической толщины полосы

а

2тАд

х

а1 Ес

с22

/

ё

(1 - и У

(22)

где

к о- с11 + 2 с12 то + с22 т0; то-0УІ ои, а1 -1,305 + 2,283

ҐЬ Л2 Г Вл 2

В

+

ч^у

Ч^У

с11 - 1 + VЯх ; с12 - -1; с22 - 1 + VЯу ; с33 - 2/Яху ;

3

1

f 4 2 2 4

с'ц = сц cos a + (2 c\2 + c33)sin a cos a + C22sin a;

C12 = Ci2 + (сц + с22 - 2 ci2 - C33) sin2 a cos2 a;

> ‘

t 4 2 2 4 ?

c'22 = C22 cos a + (2 C12 + C33)sin a cos a + cusin a;

22

c33 = c33 + 4(с11 + с22 -2c12 -c33)sin acos a.

£ = C11 c22 - c12 ; Ep = =; ai = ^ei ,

ei

тогда Ep = C1/na(n-1)/n; a,- = aw.

Результаты расчетов. Приведенные выше соотношения позволили оценить влияние относительной длины полосы Lq / Bq , относительной величины Aqx (Aqx = Aqx / а,о) и отношения напряжений ma на устойчивость полосы при правке.

На рис. 3 - 5 представлены графические зависимости изменения относительной критической толщины полосы 1кр = 1кр /t* (t* = 1 мм) от относительной длины полосы Lq / Bq , относительной величины Aqx и отношения напряжений ma при следующих исходных данных: Bq = 300 мм;

Lq = 600 мм; a = 0°; Aqx = 0,1. Расчеты выполнены для трех листовых материалов, широко используемых в промышленности, механические характеристики которых представлены в табл. 2 [6].

Анализ графических зависимостей и результатов расчетов показывает, что при увеличении параметра ma от -0,1 до -0,05 значение относительной критической толщины полосы tкр уменьшается на 17 % и лежит в

интервале от 1,2 до 1 для стали 08кп, от 1,55 до 1,4 - для латуни Л63 и от 1,7 до 1,55 - для алюминиевого сплава АМг6 (Aqx = 0,1).

Таблица 2

Механические характеристики исследуемых материалов

Материал Sio, МПа С, МПа n Ro R90 R45

Сталь 08кп 268 802,5 0,173 1,306 2,122 0,704

Алюминиевый сплав АМг6 298 461,3 0,124 0,725 0,653 0,85

Латунь Л63 216,4 665,1 0,278 0,666 0,759 0,82

Изменение относительной величины Ддх от 0,1 до 0,2 приводит к увеличению величины относительной критической толщины полосы 1кр

на 42 %, для стали 08 кп от 1,0 до 1,42, а для латуни Л63 и алюминиевого сплава АМг6 от 1,25 до 1,75. Уменьшение относительной длины полосы влечет за собой увеличение значения относительной критической толщины полосы к на 40 %, здесь для латуни Л63 и алюминиевого сплава АМг6

значения к близки и лежат в интервале от 1,25 до 1,75, а для стали 08кп

относительная критическая толщина полосы к увеличивается от 1,0 до

1,4.

3 /

і

Рис. 3. Зависимости изменения ґкр от та:

1 - сталь 08кп; 2 - алюминиевый сплав АМг6; 3 - латунь Л63

(Во = 300 мм; Ьо = 600 мм; Адх = 0,1)

3\

2

^ 1

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

Рис. 4. Зависимости изменения їкр от Адх:

1 - сталь 08кп; 2 - алюминиевый сплав АМг6; 3 - латунь Л63

(В0 = 300 мм; Ь = 600 мм; та = -0,1)

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 10/Б0

Рис. 5. Зависимости изменения їкр от отношения Ь / В0:

1 - сталь 08кп; 2 - алюминиевый сплав АМг6; 3 - латунь Л63

(Ацх = 0,1; та = -0,1)

106

Приведенные выше соотношения позволяют оценить условия устойчивого протекания операции правки растяжением анизотропного листа.

Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.

Список литературы

1. Головлев В. Д. Расчет процессов листовой штамповки. М.: Машиностроение , 1974. 136 с.

2. Илюшин А.А. Пластичность. М.: ОГИЗ, 1948. 376 с.

3. Правильно-растяжная машина для правки полос из рулона / И.С. Победин [и др.] // Вестник машиностроения, 1968. № 1. С. 47-48.

4. Головлев В. Д. Складкообразование анизотропного листа при вытяжке // Сб. Института машиноведения АН СССР, 1967. С. 118-135.

5. Яковлев С.С., Ремнев К.С., Калашников А.Е. Энергетический критерий устойчивости анизотропной тонколистовой прямоугольной пластины // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2011. Вып. 4. С. 114-123.

6. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.

Ремнев Кирилл Сергеевич, канд. техн. наук, доц., [email protected]. Россия, Тула, Тульский государственный университет

STABILITY OF A THIN STRIP OF ANISOTROPIC MATERIAL EDIT STRETCHING

A mathematical model of the editing operation of the thin strip of material having inplane anisotropy of mechanical properties, stretching. The conditions for steady flow of the editing operation anisotropic stretching bands.

Key words: anisotropy, editing, stretching, stress, deformation, stability.

Remnev Kirill Sergeevich, candidate of technical science, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University