Устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.4

A.B. Проскурин, А.М. Сагалаков Устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля

Введение. В этой работе в рамках линейной теории исследована устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля по отношению к малым возмущениям. Для этого использован метод дифференциальной прогонки [2].

Полученные ранее результаты исследования устойчивости течения хорошо проводящей жидкости носят разрозненный характер. Возросшие в последнее время возможности компьютерного моделирования позволяют провести более подробный анализ устойчивости и определить критические параметры в широком диапазоне магнитных чисел Прандтля.

Постановка задачи. Рассмотренная конфигурация представлена на рисунке 1. Это два коаксиальных цилиндра, между которыми течет проводящая жидкость. Магнитное поле однородно и направлено вдоль оси цилиндров, невозмущенное движение предполагается стационарным и параллельным с профилем скорости V, зависящим только от г:

V = аг2 + Ь 1п(г) + с,

21п| К)

1+24-| ^ 1 + 2< + 2^“ J |1п| (l+t)

b = —а

1 + 2ц

с = а

Ц‘+і);

(1 + 2^)1п(£,)

(1)

In

(1+t)

atr

Рис. 1. Конфигурация течения проводящей жидкости

где буквой X обозначен безразмерный радиус внутреннего цилиндра.

Движение жидкости и магнитное поле в ней определяются уравнениями магнитной гидродинамики

ЗУ

~öt

+

+(w)v = -v 1

р + А

Н

+ —AV Re

^■ + (V'T)H =(HV)V +—АН )

(2)

Яд'

где R ей.

div V = 0, div H = 0,

число Альфвена;

VrA

- число Гартмана; Re ---------- - число Рейнольд-

са; К -1 ()d~

дса.

- магнитное число Рейноль-

В рамках линейной теории решения ищем в виде основного течения и малой добавки

V = V + v,

Н = Н0+Ь р = р0 + р.

Подставив (3) в (2) и пренебрегая величина' ми второго порядка малости, получим систе му уравнений для возмущений

—+ (У0У)Ь + (тУ)Н0 =

= {1[.\ Ь+(1Л +

div V = 0, div Ь = 0.

Элементарное волновое решение этой системы будем искать в виде

( ) = М)юФ()ю()

() Ф() () } а(- )+ Ф’

®()®ф()<в() - компоненты амплитуды

возмущения

скорости, () ф() () -

ком-

поненты амплитуды магнитного поля, q - амплитуда давления. Подставляя (5) в (4), получим задачу на отыскание собственных значений = + (комплексной фазовой скорости) для

системы уравнений

®Ф = -У - У + а ф+‘

У

+—ю

, ( ю')

ю + ю =- а +—-—-

)'( У г

О Ф = аю + ПА— ф

fí }

С,, у /

О ф аюф + ('£■

О = аю + '

+-

( ')

(ю )

( )

= -уюф - аю ,

= -У ф - а ,

= а( - )+-+— , О= а( - )+-1-,

У - —. Систему уравнений (6) после преобразований удобно представить в виде

где

-у - а

Г

I у

'у а 1

а

у Т

У О' 'I

О

а

а

О

а

О

а

- а

1

а

(8)

с граничными условиями

Ю- , при - ^ х+ .

Численныйанализ.Спектральная задача (7), (8) решалась методом дифференциальной прогонки. При использовании данного метода исходная задача сводится к последовательности задач Коши для вспомогательной системы дифференциальных уравнений Е, вводимой следующим образом:

У

/

+

0

вблизи границ канала, далее прогонка ведется по схеме

(10)

навстречу со стыковкой в некоторой точке, где сформулировано дисперсионное соотношение

(+()- -())- . (11)

где знаками «+» и «—» обозначены прогоноч-ные соотношения, начатые от разных границ канала. Обычно в качестве точки стыковки выбирается критическая точка гс, в которой

^(С) = х. с

Сначала рассмотрим зависимость критичес-

ких чисел Рейнольдса Ие, от

при

фиксированном числе Гартмана. На рисунке 2 представлены графики таких зависимостей при X = 0,25, т = 0. Как и следовало ожидать, при малых Р критические числа Рейнольдса при

Рис. 2. Зависимости Ие, при т = 0, X - 0,25

На =100 намного больше, чем при На = 20, и стремятся к разным значениям в предельном случае слабо проводящей жидкости. При увеличении Р величины Ие, практически перестают зависеть от числа Гартмана и при Р ® ¥ стремятся к значению, соответствующему случаю непроводящей жидкости. Это обусловлено тем, что напряженность магнитного поля входит в уравнение Навье-Стокса вместе с числом Альфвена, которое стремится к нулю при Р ® ¥.

Рассмотрим два предельных случая: непроводящей и хорошо проводящей жидкости. Соответствующие критические зависимости представлены на рисунках 3 и 4. При X - 4 зависимости Ие,(Х) для разных азимутальных мод почти сливаются, причем самой опасной

Рис. 3. Зависимости Ие, от X при т = 0, 1, 2, 3 для непроводящей жидкости

Рис. 4. Зависимости Ие, от X при т = 0, 1, 2, 3 для хорошо проводящей жидкости при Рт = 10 и А = 0,01

из них остается мода с т = 0. При уменьшении X критические числа Рейнольдса для т 2 быстро возрастают. Поведение зависимостей Ие,(Х) для мод т = 1 и т = 2 более сложное. Эти зависимости имеют выраженный минимум при X » 0.3 и X » 1.1, который в определенных пределах слабо зависит от проводимости и величины внешнего магнитного поля. Как и следовало ожидать, при уменьшении X все критические зависимости быстро возрастают. На рисунке 5 представлены зависимости Ие,(Х) при Р = 0.4, А = 0.01. При этих значениях параметров критические числа Рейнольдса существенно больше.

Зависимости критических чисел Рейнольдса от величины представлены на рисунках 6 и 7 для случаев X - 0.25 и X - 3. При Рт = 0 графики для разных А сходятся к одной точке: для рисунка 6 - 9153, для рисунка 7 - 10269, что соответствует случаю непроводящей жид-

Рис. 5. Зависимости Ие, от X при т = 0, 1, 2, 3 для проводящей жидкости при Р = 0,4, А = 0,01

2 4 6 8 Рт 10

Рис. 6. Зависимости Re, от р

* m

при X =3 для разных A (m = 0)

Рис. 8. Зависимости Ие, при Рт= 0,001

кости (зависимости Ие, (А) для близкого случая при Рт = 0,001 представлены на рисунке 8). При увеличении Р функции Ие, (Р ) имеют два максимума, а далее, при Р ®¥, стремятся к определенным постоянным величинам. Первый максимум изображен лишь на рисунке 7 для А = 0.001, а уже при А = 0.005 максимальное значение не помещается на приведенных графиках. Второй максимум меньше. Замечательно, что при Р в (6) уравне-

ния с магнитным полем отщепляются от основной системы, которая после этого соответствует системе для непроводящей жидкости, но с другими обозначениями:

С рисунком 6 связан еще один интересный вопрос: точки В и С соответствуют одинаковым магнитным числам Рейнольдса - 5000, что приводит к так называемому перезамыканию нейтральных кривых, построенных при фиксированных И и А (см. [3]).

Выводы. Магнитное поле существенно стабилизирует рассмотренную систему. При промежуточных Р движение более устойчиво, чем при Р = 0 и Р ®¥. Для X > 3 критические зависимости для разных практически сливаются.

Рис. 7. Зависимости Re от P

* m

при X = 0,35 для разных A (m = 1)

Литература

1. Велихов Е.П. Устойчивость плоского Пуазей-лева течения идеально-проводящей жидкости в продольном магнитном поле // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. №4.

2. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск, 1977.

3. Сагалаков А.М., Сидоров Г.С., Тюлюпин Е.Н. Устойчивость магнитогидродинамического течения Пуазейля в плоском канале с непроводящими стенками // Магнитная гидродинамика. 1989.