CC BY
20
ФИЗИКА
УДК 537.84
А.В. Проскурин, А.М. Сагалаков Образование ограниченных областей неустойчивости мгд-течений в каналах
В работе рассмотрена устойчивость магнитогидродинамического течения в зазоре кольцевого сечения. Детально исследовано пере-замыкание нейтральных кривых с образованием островка неустойчивости вблизи носика нейтральной кривой линейной теории.
1. Введение
Известно, что МГД-течения со стабилизацией являются более удобным объектом для численного анализа, чем просто течения в каналах. В частности, в [1] обнаружено возникновение устойчивых автоколебаний при потере устойчивости магнитогидродинамического течения в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля. В работе [2] исследована тиринг-неустойчивость плазменного цилиндра и обнаружено мягкое возбуждение неустойчивости. Наличие магнитного поля является эффективным фактором стабилизации течений в том смысле, что при потере устойчивости ламинарного движения можно наблюдать возникновение устойчивых вторичных течений.
В данной работе исследуется устойчивость течения проводящей жидкости в зазоре кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля. При исследовании устойчивости этого течения обнаружено перезамыкание нейтральных кривых линейной теории с образованием замкнутого островка неустойчивости. При увеличении числа Рейнольдса вновь наблюдается возникновение неустойчивости.
2. Постановка задачи
Рассмотренная конфигурация представляет собой два коаксиальных цилиндра, между которыми течет проводящая жидкость. Магнитное поле однородно и направлено вдоль оси цилиндров, невозмущенное движение предполагается стационарным и параллельным с профилем скорости V, зависящим только от г
V = аг2 +А1п(г)+с.
2tajl + l)
(1)
ь=-аЛ1Ж, с=я(1±^)_*2 1п(, + £)' • где буквой 4 обозначен безразмерный радиус внутреннего цилиндра.
Движение жидкости и магнитное поле в ней определяются системой уравнений магнитной гидродинамики
.Я2"1 Р + Л —
Tr+G'vy—
dt
+ a(hv)h+—ДИ
Re ■
— + (ю)п = (н?у +—ьн
divV = 0, divH = 0,
(2)
где
dH0 [a y0d
na----- число Гартмана, Ke = —— -
, 4 па
число Рейнольдса, - М з- — магнитное чис-
с
. На2
ло Рейнольдса, л - - число Альфвена,
с ~ скорость света, у и ц - кинематическая и динамическая вязкости, о — проводимость.
В рамках линейной теории решения ищем в виде суммы параметров основного течения и малых добавок
У = У0+*.
Н = Н0 + Н, (3)
Р = Р0 +р.
Подставив (3) в (2) и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим систему уравнений для возмущений
ВИ
(4)
— + (y0V)h + (vV)tf о = (tf 0V).. + (A V)K0 + J- ДА
~ + (vV)^ = ~Vp - AV(H0h)+ A(H0V)h + — Ду
01 Re ’
dim - 0 ■
divh = 0 •
Элементарное волновое решение этой системы будем искать в виде
где <or(r),(ov(r\a>t(r) - компоненты амплитуды возмущения скорости, K(r).hv{r\h2(r) - компоненты амплитуды магнитного поля, q - амплитуда давления. Подставляя (5) в (4), получим следующую систему дифференциальных уравнений для малых возмущений
Uwr - -ц - Ah'z + Aiahr
fwn
= -У? - ЛуЛ, + Aiahv +
Re
r
Deo, + (orV() = -iaq
Rc r
QJiv = iu(ur +--------
M
(6)
fk)l
nii^ = icuov + —
Am
QA. = ia<o2 + hrVq +
+*4
і (гл;)
(nor)
^І = -у
Г
о = ,„(к0-с)+^- + ііІ
' Яе/-2 Яс ’
П = /а^д - с)+ ~~~2 + , У = —,
V Кт г ’
С=Х + ІУ ~ комплексная фазовой скорость.
Систему уравнений (6) после некоторых преобразований удобно представить в виде У = Ту№ + ТАУ , (7)
И" = 71^ + ^, (8)
где IV = {г0>л.'1<0ф,(0(|),гАф,гАг), =
О -у -iar О
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 і —
п
г,=
0 0 0 0
0 г 0 0
0 0 1 0
г
0 0 0 0
0 0 0 — iar
7І-
О
Г
2у
^0Re
.5s.
г
0
0
О Re г 0
0
/аЯ„,
0
0
Dr Rc
0
0
0 іаЛ
г
іаЛ Rc 0
г
0 0
0 ЙИ-
a г
2у
г г2
О —1________ІВ-
Re г Re
у Re 0 0
iar Re 0 0
0 0 0
0
0
0
-iaArRc
о SL
о
о
о
Граничные условия имеют вид <я = 0. Л = 0 при г = 4,4 +1.
При постановке граничных условий предполагалось, что стенки канала являются иде-альнопроводящими.
3. Численный анализ
Спектральная задача (7), (8) решалась методом дифференциальной прогонки. При использовании данного метода исходная задача сводится к последовательности задач Коши для определенной вспомогательной системы дифференциальных уравнений. Вблизи стенок канала схема дифференциальной прогонки выбиралась в виде
№ = (9)
Здесь через А обозначена прогоночная матрица. Далее использовалась схема прогонки У = Л~11Г (10)
со стыковкой в определенной точке, где формулируется дисперсионное уравнение.
(Ц^(<Г)-.4-(с))=0, (11)
где знаками «+» и «-» обозначены значения про-гоночной матрицы, полученные при интегрировании от различных границ канала. Обычно в качестве точки стыковки выбирается критическая точка гс, в которой (/0(с)=Лг.
В работе [3] было обнаружено образование замкнутого островка неустойчивости. Нами
І8 Ис
18 Р.
Рис. 5. Критические зависимости от Рт при £ = 1,3 и А = 0,005
Рис. 6. Нейтральные кривые для Рт = 0,01, £ = 1,3, А = 0,001
^ Яс
Рис. 7. Нейтральные кривые
Рис. 8. Нейтральные кривые для Рт = 0,01, 4 = 1,3, А = 0,003
ІеЯе
Рис. 9. Нейтральные кривые для Рт = 0,01, £ - 1,3, А = 0,004
^ Яе
Рис. 10. Нейтральные кривые для Рт = 0,01, £ = 1,3, А = 0,005
