CC BY
39
УДК 621.3.013
А.В. Проскурин, А.М. Сагалаков Устойчивость плоского течения Пуазейля в продольном магнитном поле A.V. Proskurin, A.M. Sagalakov Stability of Poiseuille Plane Flow in Longitudinal Magnetic Field
Исследуется устойчивость к малым возмущениям плоского течения электропроводящей вязкой жидкости при наличии продольного магнитного поля и больших числах Рейнольдса. Рассмотрена полная линеаризованная система уравнений магнитной гидродинамики. При исследованиях использовались методы коллокаций и дифференциальной прогонки. Обнаружена новая ветвь неустойчивости при больших числах Рейнольдса и скачкообразное изменение критических чисел Рейнольдса.
Ключевые слова: гидродинамическая устойчивость, магнитная гидродинамика.
The small perturbations’ stability of electrically conductive fluid plane flow in the presence of longitudinal magnetic field is investigated at high Reynolds numbers. Complete linearized magneto-hydrodynamics system is considered. The problem has been solving using the collocation method and the method of differential trial. We have discovered the new branch of instability at high Reynolds numbers and the jump change of the critical Reynolds numbers.
Key words: hydrodynamics stability, magneto-hydro-dynamics.
В статье рассмотрена классическая задача устойчивости плоского течения Пуазейля вязкой электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле. Проблемы изучения устойчивости напорных потоков вязкой жидкости являются весьма сложными. Эти проблемы постоянно привлекали к себе внимание крупнейших ученых в области математики, механики и физики: В. Гейзенберга, А.Н. Колмогорова, Г. Шлихтинга, К.И. Бабенко, В.И. Юдо-вича, Е.П. Велихова, О.А. Ладыженской, Г.И. Петрова, Н.Н. Яненко и других исследователей.
Рассмотрим две бесконечные параллельные плоскости, между ними помещена вязкая электропроводящая жидкость, которая течет под действием постоянного градиента давления. Ось х декартовой системы координат направлена по направлению течения, ось у - перпендикулярно плоскостям, ось 2 направлена перпендикулярно к остальным осям. Малые возмущения стационарного течения рассматривались в магнитогидродинамическом приближении. С помощью метода элементарных волновых решений линеаризованная система уравнений магнитной гидродинамики была преобразована в безразмерную систему уравнений для комплексных амплитуд возмущений
у(4) - 2к2у" + к\ = г'аЯе[(и- С)(у" - кгу) - П"у] -
- 1аМКе(ку" - к\); (1)
Ну” - к2ку = іаЯт(П- С)ку - іаЯту, (2)
где V = аух + р^2, ух и уг - проекции амплитуд возмущений скорости на соответствующие оси декартовой системы координат; ку - проекция амплитуды возмущения напряженности магнитного поля на ось
Н 2 V с!
у; А1 =------ число Альфвена; Яе = 2—0-----------чис-
4л:pV^j V
„ „ „ . 4п8v
ло Рейнольдса; Ят = 2У0 а—-— - магнитное число
Рейнольдса; Rm =
R
c
4nSv
- магнитное число
Яе с2
Прандтля, прямо пропорциональное электропроводности; р - плотность жидкости; с - скорость све-
3
та; а - электропроводность жидкости; и = ^(1 - у2) -
стационарный параболический профиль скорости; а - продольное волновое число; в - поперечное волновое число; к2 = а2 + в2; С = X + гУ - комплексная фазовая скорость, в которой X - собственно фазовая скорость, а аУ - декремент затухания возмущения (У < 0) или инкремент его нарастания (У > 0). В качестве масштабов выбраны ширина канала й, среднерасходная скорость У0, величина напряженности внешнего магнитного поля И0. Штрихом обозначено дифференцирование по у. Более подробно с постановкой задачи можно ознакомиться в [1].
Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект №14.1.740.11.035).
Стенки канала предполагаются непроницаемыми и идеально электропроводящими. Граничные условия для амплитуд возмущений имеют вид
V = 0, у' = 0, Ну = 0 при у = ±1. (3)
Уравнения (1)-(2) и граничные условия (3) определяют задачу на отыскание собственных значений С. Для решения данной задачи стандартные численные методы оказываются неэффективными из-за наличия пограничных слоев, в которых решения осциллируют и могут изменяться на несколько порядков. Это делает невозможным непосредственное нахождение остальных линейно-независимых решений задачи на собственные значения.
Для решения задач гидродинамической устойчивости В.А. Сапожниковым был разработан метод дифференциальной прогонки [2]. При использовании этого метода задача на собственные значения сводится к последовательности задач Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется численно. Преимущества данного метода - относительная простота, универсальность и высокая эффективность. Метод дифференциальной прогонки для данной задачи использовался авторами в [3].
Хорошим методом численного решения задач гидродинамической устойчивости является метод коллокаций [4, 5], который преодолевает описанные выше трудности путем высокого качества приближенного представления решения. Представим решение системы (1)-(2) в виде
у = ^аТ (у), ку =^[ЪТ (у), (4)
/=0 /=0
где ?(у) - полиномы Чебышева первого рода г -й степени; а, Ъ , - постоянные коэффициенты. Соответствующие производные:
у(к> = ^а?!(к)(у). (5)
/=0
Рассмотрим набор точек коллокации у, = = со$,(т/п) при г = 0, ..., п. Подставляя (4)-(5) в (1)-(2) и требуя обращения невязки в ноль в точках колло-кации, получим задачу на собственные значения
Лм> = СБм>, (6)
где w = {а0, ..., ап, Ъ0, ..., Ъп}; А,В - квадратные матрицы; С - собственное значение.
Граничные условия (3) приводят к уравнениям
£а? (±1) = 0, £а? (±1) = 0, £Ъ? (±1) = 0. (7)
/=0 /=0 /=0
Для учета граничных условий в системе (6) первое уравнение заменим на
&а? (-1) = С^а? (-1), (8)
/=0 /=0
где £ - произвольное комплексное число.
Легко показать, что £ впоследствии появится среди собственных значений, поэтому его нужно выбирать в стороне от спектра рассматриваемой задачи. Аналогично поступим для остальных гра-
ничных условий из (7). Полученная задача решалась при помощи ЬЛРЛСК.
На рисунке 1 приведены зависимости критических чисел Рейнольдса Яе* от магнитных чисел Прандтля при Л1 = 0,005. Предельные величины Рт = 1 и Рт = 10 соответствуют случаям хорошо электропроводящей и диэлектрической жидкости соответственно. При промежуточных значениях наблюдаются «просветы» устойчивости.
е-5 -----1------1-----1-----1-----
3.5 -
-4 -3 -2-10 1
1уРш
Рис. 1. Зависимости Яе*(Рт) при Л1 = 0,005
На рисунке 2 представлены критические зависимости Яе*(Л1) при Рт = 0,025. Штриховкой обозначено расположение области неустойчивости. При Л1 —> 0 критические числа Рейнольдса стремятся к величинам, соответствующим случаю плоского течения Пуазейля диэлектрической жидкости. При увеличении числа Альфвена критические числа Рейнольдса монотонно увеличиваются вплоть до Л1 ~ 0,007, после чего кривая критических зависимостей при Л1 ~ 0,007 разворачивается в сторону уменьшения чисел Альфвена, ограничивая область неустойчивости сверху. Выше данной области при числах Рейнольдса больше 106 обнаружена новая ветвь неустойчивости, критические зависимости которой представляют собой выпуклую вниз кривую. Данная кривая справа загибается вверх и при числе Альфвена чуть большем, чем 0,04, разворачивается влево аналогично нижней ветви критических зависимостей.
.4/
Рис. 2. Зависимости Яе*(Л1) при Рт = 0,025
На рисунке 3 представлены критические зависимости Re*(Al) при Рт = 0,01; Рт = 0,1; Рт = 1,0. Расположение областей неустойчивости аналогично рисунку 2. Кривая Рт = 0,01 также аналогична представленной на рисунке 2. Зависимости Рт = 0,1 и Рт = 1,0 несколько отличаются, верхняя ветвь критических зависимостей почти прямая и слабо возрастает при увеличении числа Альфвена.
Рис. 2. Зависимости Re*(Al) при Рт = 0,025
На рисунке 4 приведены верхние огибающие спектральных зависимостей У а при Рт = 1: Al = 0,01 и Re = 106 (1); Al = 0,04 и Re = 106 (2); Al = 0,01 и Re = 105 (3). Хорошо видно, что верхняя и нижняя ветви критических зависимостей обусловлены неустойчивостью разных спектральных мод при а ~ 1 и а ~ 10. В первом случае обе моды неустойчивы, во втором неустойчивы только длинноволновые моды, в третьем - только коротковолновые.
А1
Рис. 3. Зависимости Re*(Al) при Рт = 0,01 (1);
Рт = 0,1 (2); Рт = 1,0 (3)
Численные расчеты производились только для двумерных возмущений. Авторами в работе [3] бы-
ло показано, что критические числа Рейнольдса для двумерных возмущений меньше критических чисел Рейнольдса для трехмерных возмущений. Соответствующие графики можно получить путем простых смещений графиков критических зависимостей для двумерных возмущений, величина смещения определяется преобразованием Сквайра. На рисунках 1-3 графики следует смещать вверх.
їда
Рис. 4. Верхняя огибающая спектральных зависимостей Уа при Рт = 1: Al = 0,01 и Re = 106 (1);
Al = 0,04 и Re = 106 (2); Al = 0,01 и Re = 105 (3)
Увеличение числа Альфвена при определенных значениях параметров может приводить к скачкообразному увеличению критических чисел Рейнольдса. Обнаружены области устойчивости данного течения к малым двумерным возмущениям при числах Рейнольдса порядка 106 ~ 108. Подтверждено существенное влияние диссипации на устойчивость этого течения. При изменении магнитного числа Прандтля наблюдается существенное изменение критических чисел Рейнольдса, причем может наблюдаться скачкообразная стабилизация данного течения, для которого справедливы преобразования Сквайра, однако теорема Сквайра, вообще говоря, неприменима. Установлено, что существуют области, в которых двумерные возмущения затухают, а трехмерные - неустойчивы.
Таким образом, картина устойчивости течения электропроводящей жидкости в плоском канале при наличии продольного магнитного поля достаточно сложна и своеобразна. Выполненный подробный анализ зависимостей критических чисел Рейнольдса от магнитного числа Прандтля позволил обнаружить новую ветвь неустойчивости при больших числах Рейнольдса. Современные возможности вычислительной техники и эффективные численные методы позволили произвести подробные исследования данной ветви неустойчивости при числах Рейнольдса порядка 106 ~ 108.
Библиографический список
1. Проскурин А.В., Сагалаков А.М. Устойчивость МГД-течений. - Барнаул, 2007.
2. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. - Новосибирск, 1977.
3. Проскурин А.В., Сагалаков А.М. Новая ветвь неустойчивости магнитогидродинамического течения Пуазей-
ля в продольном магнитном поле // Письма в журнал технической физики. - 2008. - Т. 34, №5.
4. Henningson D.S., Schmid P.J. Stability and transition in shear flows. - New York, 2001.
5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. - М., 1986.
