CC BY
29
УДК 537.84
A.M. Сагалаков, А.К). Юдинцев
Генерация магнитного поля при потере устойчивости магнитогидродинамического течения в кольцевой трубе
Введение
В последнее время большое внимание уделяется изучению вторичных несимметричных автоколебательных режимов, развивающихся после потерн устойчивости стационарных симметричных течений. Такие режимы течения изучались в работах [1-3], в которых была обнаружена возможность спонтанного возникновения вращения. В работе [2] исследовано появление автоколебаний МТД-течения в плоскопараллельном канале при продольном магнит ном поле, которые сопровождаются спонтанным возникновением поперечного к градиенту давления среднего течения. Аналогичный трехмерный несимметричный режим, ответвляющийся от МТД-течения в трубе кольцевого се-[3]
магнитных чисел Рейнольдса.
В данной работе решается полностью самосогласованная задача о ветвлении трехмерных автоколебаний МТД течения жидкости произвольной проводимости в канале кольцевого сечения в продольном магнитном поле.
Уравнения для возмущений
основного течения
Рассмотрим МТД течение несжимаемой вязкой жидкости конечной проводимости между коаксиальными идеально проводящими цилиндрами с радиусами 4 и 4 +1 соответственно. Будем использовать безразмерную форму записи. В качестве масштаба длины выберем ширину зазора, масштаба скорости — среднерасход-нуго скорость, масштабом поля — величину внешнего магнитного поля. Аксиальную ось цилиндрической системы координат направим по оси цилиндров вдоль потока. Внешнее магнитное поле В0 = (0,0,1) параллельно основному стационарному течению V = (0,0, U(г )). Здесь
U(r) = Ar 2 - B ln(r) + D, где величины
(1)
A =
(2)
V = V + г(Г, ^ - а)^;
P = p0 + p(r- С) / Re,
в = в0 + ъ(г№ - а),
где V = (и,у^),р,Н = Ъ/Pm = (/&И) — возмущения скорости, давления и магнитного поля соответственно ( С — скорость распространения возмущений). Подставив (2) в систему уравнений магнитной гидродинамики в случае конечной проводимости, получим нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных
йи
Dv -Re0 (U - C)dv/dz + e
2 dh
и +Vp
dr
+ Ha2 — = (vV )v - Ha2Pm(h V ) h;
dz
D h- PmRe0
(U - с)Hh - e
dz
dU
z 7 J
dr
d h
H
= Pm{(v V)h- (h V)v};
_21П(1 + 1/ 4)_;
(1 + 24-(1 + 24 + 242)1п(4 + V 4))' в=а (24+1)/1п(1+1/4); Б = в 1п(4) - А42
определены из условий прилипания жидкости на стенках и равенства единице среднерасход-ной скорости. Представим скорость, давление и иоле в виде
V V = 0, (3)
описывающую поведение возмущений. Здесь ег орт оси Ог; {и,/}- г — компоненты возмущений скорости и поля соответственно, На — число Гартмана, Рт = Rm/Re — магнитное число Прандтля.
Уравнения автоколебаний МГД-течения
В соответствии с методом Ляпунова-Шмидта представим возмущения основного течения вблизи нейтральной поверхности линейной теории при Re = Re0 +е25,(s = ±1) в виде разложения в ряды по малому параметру надкритич-ности е
ReC = Re0C0 + Re0 (е£х + е2С2 +.. .);
{V р ,к}=е{у1, р Л}+е2 , Р2 А}+--где Ее0,С0 — значения параметров на нейтральной поверхности. Используя разложения (4), преобразуем нелинейную систему МГД уравнений для возмущений (3) в рекуррентную систему линейных неоднородных уравнений. Для этого подставим (4) в (3) и сгруппируем
е
результате получим:
йи V '
-ик +VРk
D vk - Reo
(U - Co )HVk
d + ez d ■ z
dr
+ Ha2d ■ hk/d ■ z = Fk;
+
A hk - PmRe0
(U - Co)
д • h
д + д • z
dU dr
fk
+д • Vk / д •z = Gk ; Ñ vk = 0; k = 1,2,3..., (5)
где правые части Fh,Gh — зависят квадратичным образом от функции предыдущих приближений. Решения (5) в первом и втором приближениях представляются в виде:
{vi,pi,hi}= Au аи en + Ai, -i ai,-i ei,-i + k.с
{v2 , p2 ,h2 }=lAii I2 a00 + I Ai,-i I2 a0,-0 + Aii2 ai,i e22 +
+ Ai,-i a2,-2 e2,-2 + AnAi,-i a20 + + AiiAi,-i a02 e02 + k.c.
Здесь
вектор
i (r ) =
Lawu + iakHa2htí + wklr"2 - U'(r )r
e0ukl
- iakRe0 pkl = Fkl(3);
Nklfkl + iakukl- 2imlr 2gkl = Gkl ;
-2 (2) Nklgkl + iakvkl + 2imlr fkl = Gkl ;
Nklhkl + iakwkl + V -
r -2. = ^ (з)
(6)
F00 = •
G00 =:
= {иы (г \ ^ (г \ wкl (г \ Pkl (г )»ЛI (г )»gkl (г \ Кы (г )} составлен из компонент возмущении скорости гы (г )={иы (г), vkl (г), wkl (г)}, возмущении давления Ры1 (г) и компонент магнитного ноля
Ь-ы(г) = {Ум(г \ gkl(г IКк1(г)};
еы1 (<р,х) = ехр(/'окг + ш1ф); буквами к.с. обозначены комплексно-сопряженные периодические слагаемые; Ли,Л1,_1 — комплексные коэффициенты, подлежащие определению.
Для определения параметров ответвляющегося автоколебательного режима необходимо найти, по крайней мере, решения первого и второго приближений системы (5). Учитывая свойства симметрии векторов ак1 :
{ик1 ^ы > ,Рк1,ук1,gkl > К1} = = {ик, _1 ^к, _1»wk, _1 > Рк, _1 > ук, _1 _gk, _1»Кк, _1} можно ограничиться определением лишь пяти вектор-функций а00 ,а22 ,а20 ,а02 ,аи, которые находятся из следующих рекуррентных систем обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений:
Ьк1ик1 + /окНа2Ук1 _ 2ш1г~2vk1 _
_ Кео Рк1 = рк1(1) ; + /окШ2 gkl + 21ш1г ~\к1 _
_ м- _1ке0 Рк1 = ^и(2);
- PmRe0U '(r f = Gk
(ruk¡) + imlvkl + iakrwkl = 0 , где штрих обозначает дифференцирование по
d i d (ml )2 /, \2 Mkl -—r-(ka)2, dr r dr r 2
Lki ° Mki - iakReo(u - С), Nki °Mki - iakReoPm(u - Со). Правые части имеют вид
F„ °(Fi(1 >,F12Fil3>)= (o,0,0);
G„ ° (GIIg{2>,Gli3j)= (o,0,0);
:2^jvne v11*-PmHa2 hu® h*ii}; 2^{yn* e v11 - hii* e h11}; F22 = v1ie v11 - PmHa2 h1ie h11 ; G22 = Pm(v„ e hii - h„e vil); F20 = v1ie v1,-1 + v1,-ie v11 -- PmHa2 (h11 e h1-1 + h1-1 e h11 ) G20 = Pm(v11 e h1>_1 + v1>_1 e h11 -
- hi -ie vil - hne vi -i); f02 = viie v i,-i+v i-ie vii-
O / Л Л \
- PmHa2 (hii e h i-i + h i-i e hii )• G02 = Pm(viie h*i-i+ v*i-ie hii -
- h*i-ie vii - hiie v'1,-1 ).
Здесь символом © обозначена операция
mn kl [(v„m enmÑ)hkl ekl ]/ n+k,m+1'
Условия прилипания жидкости на стенках канала и идеальной проводимости стенок приводят к следующим граничным условиям для компонент скорости и поля системы (6):
"j^nm ,Vnm ,Wnm , fnm ,(rgnm ) ,hnm }= 0,
при r = X,X+1. (")
Уравнения разветвления, из которых определяются амплитуды Aii,Ai-i, поправка к фазовой скорости С2 и характер ветвления s автоколебаний, получаем из условия разрешимости системы (5) при к=3. В результате имеем уравнения разветвления для случая кратного спектра (m ф0) [1...3]
Aii(sIi + | Aii |2 I2 + | Ai,- |2 /4 -/О^/з)= 0; Ai,-i(sIi +1 Ai,-i |212 +1 Aii |2 /4 -iaRe0C213)= 0;
(8)
Комплексные коэффициенты Ii, 12, 13, I4 представляют собой квадратуры от собственных функций первого и второго приближений. Система (8) имеет следующие решения:
Aii (Ai,-i )= 0;| Ai,-i |2 (Aii |2 )= у; у2 = -s^ji! 3*}/ ^{z 213*} aRe0C2 = sз{!зI2*}/ ^I2*} (9)
l Aii |2 =|Ai,-i |2 =¿2 °-s*{IiI3*}/2 +14)13*}
aRe0
r , a
C2 = sSj/i (l2* +1* )}/^{l3(l2* +1*)}
(10)
+
устойчиво спи-,2
Знак 5 выбирается так, чтобы квадраты модулей амплитуд были положительными и указывает на закритичсский (5 > 0 ) или докрити-чсский (5 < 0 ) характер ветвления автоколебаний. Решение (9) соответствует возникновению вторичного режима типа спиральной волны. Решение (10) определяет осссимметричные автоколебания, распространяющиеся в продольном направлении. Устойчивость вторичных режимов определяется знаком соотношения
282 _ /2 ■ Когда оба режима ветвятся в закри-
тичсскую область, при 282 < 72
ральное решение, а при 282 >72 — осесим-метричное. Таким образом, устойчиво решение с большей энергией пульсаций. Если же хотя бы один из вторичных режимов имеет докрити-чсский характер ветвления, то оба они являются неустойчивыми.
Деформация исходного профиля скорости
и возникновение закрученного течения
Установившееся вторичное автоколебательное течение типа спиральных волн содержит наряду с осцилляторными модами стационарные компоненты — деформации начального ламинарного профиля скорости жидкости и магнитного поля. Отметим, что в приближении слабой проводимости жидкости, Ят << 1 стационарных поправок для поля не возникает.
Из уравнения неразрывности для жидкости и магнитного поля, граничных условий следует, что радиальные компоненты стационарных поправок для скорости и00 (г) и пол я У00 (г) равны нулю. Отличная от нуля осевая компонента w00 (г) представляет собой деформацию исходного профиля, а наличие азимутальной компоненты v00 (г) свидетельствует о возможности появления осредненного вращения. Уравнения для v00 (г), w00 (г) легко интегрируются. В результате полччасм:
(r )=
X+1)2 fe2 - r2) (2X+1>
x+1
v„ / r - PmHa2 fug1i / r )dr +
+ r
X+i
J2^(Mi>„
v„ / r - PmHa2f„gn / r
)dr ;
v (r)-- ln(r/X) 00 [r> - ln(i +1 / X)
J2^(Mi>„
/r - PmHa2 fuhu /r )dr +
-J2^(«nwii
/r - PmHa2 f11h*1 /r
)dr.
Стационарная поправка wq (r),
соответст-
вующая случаю возникновения автоколебании при постоянном расходе жидкости, определяется через профиль основного течения и стационарную поправку для случая фиксированного градиента давления
Х+1 Х+1
wq\rl
(r)-w00(r)-U(r)J w00(r)rdr/ Ju(r)rdr.
В установившемся автоколебательном режиме типа спиральной волны имеет место осред-ненное вращательное течение с ненулевым моментом импульса. Потоки момента на стенки канала ненулевые в отличие от плоскопараллельного течения [2]. При этом одна стенка излучает, а другая поглощает равное количество момента импульса и, в соответствии с законом сохранения момента импульса, общее количество момента остается постоянным. Распределение азимутальной скорости поддерживается напряжениями Рейнольдса (квадратичное по скорости слагаемое в правой части) и пон-деромоторными напряжениями (квадратичное по полю слагаемое).
Генерация стационарных магнитных полей
Рассмотрим стационарные поправки второго приближения для магнитного поля g00 (г) и К00 (г), Они определяются из следующих задач:
(g00 (r))
- 2Pm
^fcign - fiivi*J
(11)
X < r <x+ i,(rg00 (r)) - 0 при r -X,r = X+1;
и ^h00 rj - 2Pm^jr(uug'u - f iv* i)}
X< r <x+ i,h'00 (r)-0 при r -X, r - X+1; (12)
Краевые задачи (11) и (12) определяют функции h00 (r) и g00 (r) только с точностью до произвольных слагаемых вида {const} и {const/r} соответственно. Эти слагаемые возникают из-за выбранной электродинамической постановки задачи — условий абсолютной проводимости стенок и представляют собой разрывы тангенциальных компонент магнитного поля, связанные с поверхностными токами. Кроме того, краевые условия в виде равенства нулю производных на границах интегрирования налагают ограничение на возможный вид правой части (решение таких задач существует только в том случае, если интеграл от правой части в пределах от ^ до X +1 равен нулю). Как легко видеть, правые части представляются в виде производных от функций, которые равны нулю на границах интегрирования и, очевидно, удовлетворяют краевым условиям.
Таким образом, для определения стационарных поправок магнитной индукции недостаточно условий идеальной проводимости стенок.
r
Доопределить задачу можно с помощью введения дополнительных условий для поля, например, потребуем сохранения потока магнитной индукции в продольном и азимутальном направлениях. Тогда для g00 (г), к00 (г) получим
недостающие условия в виде J к00\
hoo(r }dr = 0 in через
g 00(r = 0
(сохранение потока магнитной индукции через
поперечное сечение канала) и ^
(сохранение потока в азимутальном направлении ).
Генерация стационарных компонент поля приводит к появлению соответствующих компонент стационарных токов. Используя уравнения (11), (12), легко получить для азимутального = - 1/д/ к. (г)
уравнение
Г2 jj (r))' = (mhAj*! - />„ )]f, (13)
jj(x)= jj(x +1)= 0;
тока jz(r)=-Yr d/drg00(r)
тока jj(r)=- 1r ydrh00
для продольного
Ур.'ПИК'ПИС
jz(r) = 2Pm^{<ng1"i -/uv-
Г =2Р^ В^п" /пуп},
Л (4)= Л (4 +1)= 0; (14)
Проинтегрировав (13), (14) с учетом равенства нулю первообразной от правых частей при г = 4 , г = 4+1 получаем явный вид для стационарных токов, индуцируемых в результате нелинейных эффектов:
Литература
(г) = -2рт^(и„к1*1 - />„)/ г, А(г)= 2рт^{и1^1*1 - /пу'и }
Численные расчеты и анализ результатов
При проведении численных расчетов значение магнитного числа Прандтля было выбрано Рш=0,001. Для канала кольцевого сечения с 4
даются раньше осесимметричных при На>167,5. Так, например, устойчивый трехмерный автоколебательный режим типа спиральной волны осуществляется при На=168 вблизи носика нейтральной кривой а = 1,73002, С=0,27866, Ке 3(1822. т 3. При увеличении поля до величины, соответствующей На=170.5, устойчивым является осесим-метричный режим (с критическими параметра -
а
С 0.277628. Ке 31265. т 3).
Таким образом, учет конечной проводимости жидкости при установлении автоколебаний приводит наряду с возникновением стационарных добавок скорости к генерации стационарного магнитного поля с ненулевой азимутальной компонентой и возбуждению соответствующих стационарных токов. Бифуркация такого вторичного режима в результате потери устойчивости ламинарного МГД течения в трубе кольцевого сечения при наличии внешнего продольного магнитного поля может служить интересным примером динамического МГД динамо.
1. Гольдштик М.Л.. Жданова K.M.. Штерн 15.11. Возникновение вращательного движения в результате гидродинамической неустойчивости// Изв.ЛИ СССР. Механика жидкости и газа. 1985. N 5. С.50-55.
2. Сагалаков A.M., Юдшщев А.Ю. Устойчивость трехмерных автоколебаний нлоеконаралле.ъных
потоков электропроводящей жидкости в иродоль-иом машитиом ноле// Магнитная гидродинамика. 1991. N 4. С. 15 2(1.
3. Сагалаков A.M., Юдшщев А.Ю. Автоколебания машитогидродинамических течений в трубе кольцевого сечения в продольном магнитном ноле// Магнитная гидродинамика. 1992. N 1. С.7-12.
