Общие свойства вторичных несимметричных режимов в параллельных МГД-течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.84

A.M. Сагалаков, А.Ю.Юдинцев

Общие свойства вторичных несимметричных режимов в параллельных МГД-течениях

Рассматриваются общие свойства турбулентных статистически стационарных МГД-течений в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля. Доказываются теоремы сравнения турбулентного и ламинарного режимов течений. Описываются вторичные несимметричные режимы. При установлении таких режимов в МГД-течениях может возникнуть слабое вращение на общем фоне пульсаций и генерируется стационарное азимутальное магнитное поле.

При исследовании вторичных трехмерных автоколебательных режимов [1; 2] была установлена возможность существования вторичных режимов со спонтанной закруткой. Вероятно, подобные режимы могут существовать и в более сложных вторичных режимах, возможно, и в турбулентных течениях. Поэтому представляет интерес анализ произвольных трехмерных вторичных режимов.

Рассмотрим турбулентное статистически стационарное МГД-течение несжимаемой вязкой проводящей жидкости в прямой трубе кольцевого поперечного сечения под действием градиента давления и продольного внешнего магнитного ноля, направленного вдоль оси канала. Радиусы цилиндров — а и Ъ (а <Ъ). Стенки канала будем считать идеально проводящими. В качестве масштаба длины при обезразмеривании выберем

Rm = 4Р2 U0 (b — a) — магнитное число Рей-

ширину кольцевого зазора (Ъ «„ ................. — среднерасходную скорость

величину внешнего маг-

+ -

Ha2

(BV)B ,

Re Rm

— + (VV)B -(BV)V = — A B , dt Rm

V V = 0 , V B = 0 ,

V(~,j, z, t )= V(b,j, z, t) = 0 ,

a ~ b Л

-, b =-

b - a b - a

(1)

(2) (3)

нольдса; На = В0 (Ь - а^о/(руе2) — число

Гартмана; V — вязкость; о — проводимость; р — плотность жидкости; Во — характерные масштабы скорости и напряженности магнитного поля; с — электромагнитная постоянная. В качестве граничных условий выберем для скорости условия прилипания, а для магнитного поля — условия идеальной проводимости стенок [1; 2]:

уг=уф =у7=0, Вг={гВу)'={В:)'=0

при г = а,Ь . (4)

Определим среднее по цилиндру

^ = Ь ¿К 2Р ! ' (г,Ф, *,{)| *

и полное среднее

2 ~

f=) А=1frdr

(5)

а), масшта-

оа скорости — масштаба поля нитного поля.

Уравнения, описывающие МГД-течение, в обезразмеренной форме имеют следующий вид:

— + (УУ)У = -Ур + е 2Р +—А V +

Й Яе

Здесь Re=Uo(b—a)/V — число Рейнольдса;

Разложим движение на среднюю и пуль-сационную части:

' V V V, Вг, В9, В2, р]=

= [V + Ы,У9+ у,У2 + Вг + +/, В9+ g, В0 + В2 + и, р+р.]

Средние значения пульсаций по определению равны нулю. Будем называть статистически стационарными такие турбулентные течения, для которых средние по цилиндру величины не зависят от времени. Следует также отметить, что движения, названные статистически стационарными, не обязательно являются турбулентными, например, установившиеся ламинарные течения также удовлетворяют определению статистической стационарности.

Интересным свойством вторичных течений является возможность существования несимметричных осредненных профилей скорости и магнитного поля. Из уравнения неразрывности и условий прилипания на стенках канала для скорости и условий идеальной проводимости стенок канала следует

V = 0 , В = о . *

После осреднения по цилиндру системы МГД-уравнений (1) легко получить систему уравнений, определяющую продольные и ази-

c

мутальные компоненты осрсднсннои скорости и магнитного поля:

-2

V,

1 d f -2-+--(ru

r dry '

v2 d P ■ — + —

r dr

Ha1

Re Rm

1 д_

r dr

2

r dr

i uv (ruv)+--=

J_

Re

+

Ha2

1 d_ r dr

1 д ,

g

.V

dr

B

r

(6)

V,.

+

Re Rm

1 д ( —

--(ruw

r dr

r dr

)- pv ]=

+

fg

(7)

d_

Re r dr

1

Rm

' d V л

r—-dr

1 d_

r dr

+HL1 l^)

Re Rm r dr

(8)

dr

B,„

(9)

1 d ( — -f-\ vf ug

-(rug - rfV---^ ;

r dr r r

.dB.

dr

1 d_ r dr

(ruh-rfw). (10)

(rM (r)) = Re

— Ha1 -r

uv--fg

Rm Re

(11)

сти потока момента импульса

2

M (r ) = Re)

uv -

Ha1 Rm Re

fg

+ Const/r .

Одна из стенок излучает, а другая, в соответствии с законом сохранения момента импульса, поглощает равное количество момента импульса. Таким образом, если установится вторичный режим с вращением (с ненулевым моментом импульса), для поддержания вращения не нужно никаких внешних массовых сил.

Проинтегрировав уравнение (12), легко получить выражение для профиля скорости закрутки:

На 2 т- ъ

/к 1г-

V, (r) '(r

В2 (r2

If

r Re /

r 1 — uv

r

В V

-В2)г 2г Re

1 У ~ r

Re Rm

uv -

Ha1 Re Rm

fg

dr.

Из формулы (8) получаем выражение для деформации продольной скорости в случае перехода ко вторичому режиму при фиксированном градиенте давления:

Re

д_

Я.ш г дг

Особый интерес представляет азимутальная компонента стационарной поправки — V' (г), свидетельствующая о возможности появления осредненного вращения. Из уравнения (7) легко получить уравнение для азимутальной компоненты плотности потока момента импульса на стенки трубы М (г ) = г2 д/дг (,/г) ,

т=г

. »г

ln(f/В)г

uw -

ln(r/f) fRe'

r

Ha2 Re Rm

Ha2

fh

dr

uw--fh

Re Rm

dr.

Здесь штрих означает дифференцирование по г. Интегрируя выражение (11) один раз, получаем явное выражение для плотно-

(12)

Из условий прилипания для скорости u(~) = u(b ) = v(~) = v(b )= 0 и граничных условий для магнитного поля f (a ) = = f (b ) = 0 следует, что плотности потока момента импульса на внутреннюю и внешнюю стенки канала равны соответственно: M (f) = Const/a Ц M (~) = Const, а полные потоки момента импульса одинаковы по величине:

M (~ )2яВ = M (~ )2л~ .

Из уравнений (9,10) определяем стационарные поправки второго приближения для магнитного поля вДг), вг . Краевые задачи (9,10) и (4) определяют функции Bqt(r),Bz(r) только с точностью до произвольных слагаемых вида Const и Const//-соответственно. Эти слагаемые возникают из-за выбранной электродинамической постановки задачи — условий абсолютной проводимости стенок — и представляют собой разрывы тангенциальных компонент магнитного поля, связанные с поверхностными токами. Кроме того, краевые условия в виде равенства нулю производных на границах интегрирования (4) налагают ограничение на возможный вид правой части — решение таких задач существует только в том случае, если интеграл от правой части (9,10) в пределах от а до Ь равен нулю. Как легко видеть, правые части представляются в виде производных от функций, которые равны нулю иа границах интегрирования и, очевидно, удовлетворяют краевым условиям. Таким образом, для определения стационарных поправок магнитной индукции недостаточно условий идеальной проводимости стенок. Доопределить задачу можно с помощью введения дополнительных условий для поля. Например, потребуем сохранения потока магнитной индукции в продольном и азимутальном направлениях. Тогда для

r

r

2

r

r

2

r

2

r

В^, В2 получим недостающие условия в виде [ В2 (г )йг = 0 (сохранение потока магнит-

•/а

ной индукции через поперечное сечение канала ) и [ В (г )г = 0 (сохранение потока в

За

азимутальном направлении).

Генерация стационарных компонент поля приводит к появлению соответствующих компонент стационарных токов. Используя уравнения (9; 10), легко получить для азимутального тока 7ДТ) = -1/ г д/дг (В2 (г)) уравнение

/ /

(г 2 ТЛг)) =-Ят{г (иИ - № ж

j~) = = 0; для продольного тока

= -1/ r d/dr (Bç (r )) уравнение

/ / ijp) = Rm{r (ug - Jv)} ,

Ш=Ш=0.

(13)

TZTr)=

(14) учетом pa-

]\ ( /— Ha

k(r ) uw -

2

Re Rm

2 _Л

Jh

D = — +

R

+

Ha2

uw--Jh

Re Rm

+

+

(~2 -) 2r lnh

>uw

/ r

Ha2 Jh, Re Rm r

+

Ha2

JW )V + )(ug - vf )2

+

— Ha -pr-

uv--Jg

Re Rm

где D >

r2

- Ha2 ^

uv--Jg

Re Rm

> 0,

0 — диссипативная функция;

( ) (~2- ~ ) k(r ) = r + —,-^ =

V ' (2lnh)r

(15)

(16)

Проинтегрировав (13,14) с венства нулю первообразной от правых частей при г = а, г = Ь , получаем явный вид для стационарных токов, индуцируемых в

результате нелинейных эффектов: / /

/Дг) =- Ят{г (иИ - ^)}; / / 72Гг) = Ят{г ^ - Р)}.

Из уравнений для энергии пульсаций и первого интеграла уравнения для осредпеп-ной по цилиндру продольной скорости (8) вытекают следующие общие свойства для пульсаций скорости и магнитного поля, обобщающие аналогичные соотношения общей гидродинамики [3], но с учетом возможности спонтанной закрутки:

Г { uW - RekJh

= 2(P V ]- P[U ])g(h )- — (V - U2 ), Re

где

у(Л)=1/8[а2+Ь+(Ь2-а2)/1пл]=1/8[(1+л2)/(1-Т12) +

+(1+л)/((1-л)1пл)Ь

у(0)=1/8>у(л)>У(1)=1/12.

Здесь /'| / | — перепад давления, обеспечивающий ламинарное течение жидкости с средней скоростью U; p[V2 ] — перепад давления, определяющий поток массы турбулентного течения (Vz ^, который определяется формулой

b - a 2

V =

J rV2dr = 2Re .

v b - a a Из соотношения (15) вытекает очевидное неравенство

\ œ Ha2 w

k(r ) uw-

Jh

> 0.

(17)

Яе Ят'

Из формул (16,17) следуют теоремы сравнения для статистически стационарного турбулентного МГД-течения Пуазейля и соответствующего ламинарного течения:

Статистически стационарное турбулентное МГД-течение Пуазейля имеет меньший поток массы < чем ламинарное течение Пуазейля с тем же самым приложенным градиентом давления Р[К2 ] = Р\и].

Статистически стационарное турбулентное МГД-течение Пуазейля имеет больший приложенный градиент давления Р[К2]> Р\и], чем ламинарное течение с тем же самым

2

2

r

2

потоком массы ()V( = )U\ ).

Литература

Сагалаков A.M., Юдшщев А.Ю. Автоколебания магнитогидродинамических течений в трубе кольцевого сечения в цродолыюм магнитном ноле // Магнитная гидродинамика. 1992. ц1. Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Трехмерные автоколебания мапштогидродииамичеекого течения жидкости конечной проводимости в канале кольцевого сечения при наличии продольного магнитного ноля // Магнитная гидродинамика. 1993. №1.

3. Sagalakov A.M., Yudintsev A.Yu., Yavorsky N.l. The Mechanism of Spontaneous Loss of Symmetry in MUD Flows//Russian Journal of Engeneering Theruiophysics. 1995. №4.

4. Гольдштик M.A., Штерн В.II., Яворский II.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск, 1989.

5. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости/ Перев. с англ. ЮЛ. Беляева, II.М. Яворской; Под ред. Г.И. Петрова. М., 1981.

1

2