CC BY
36
УДК 537.84:532.542.2
А.М. Бубенчиков, Р.З. Ливаев
некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики
Рассматриваются две автомодельные задачи о движениях электропроводящей жидкости в круглой трубе, находящейся в поперечном магнитном поле. Первая задача относится к стационарному течению на участке стабилизированного движения (течение Гартмана); вторая - к пульсирующему движению на этом же участке, где все искомые характеристики также не зависят от аксиальной координаты. Дается описание эффективного числового метода решения указанных задач. Изучены структура индуцированных электрических полей и характер влияния магнитного поля на картину течения электропроводящей жидкости в осесимметричном канале течения.
Магнитная гидродинамика изучает движение электропроводящей среды при наличии магнитного поля. Существенная особенность такого движения состоит в том, что возникающие в жидкости электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца. Если эти заряды обладают свободой перемещения, т.е. среда электропроводящая, то в ней возникают индуцированные электрические токи, которые взаимодействуют с обусловившим их магнитным полем двояким образом. Первый вид взаимодействия выражается в появлении действующих на среду пондеромоторных сил, второй проявляется в возмущении самого исходного магнитного поля. Совокупность этих эффектов составляет предмет изучения магнитной гидродинамики. Эти эффекты можно разбить на две группы - динамические и электромагнитные.
Динамические эффекты обусловлены появлением добавочного (по сравнению с общей гидродинамикой) поля электромагнитных сил. Такие силы, подобно вязким силам, являются диссипативными. Электромагнитные силы вызывают целую серию разнообразных эффектов, среди которых можно упомянуть изменение гидравлического сопротивления, перестроение профилей скорости, подавление турбулентности, изменение условий устойчивости ламинарных течений, влияние на отрыв пограничного слоя [1-3]. Таким образом, к первой группе относятся явления, в которых внешнее магнитное поле можно считать неизменным независимо от движения жидкости.
В магнитной гидродинамике, как и в обычной, электропроводящая среда, которая может быть сжимаемой (плазма) и несжимаемой (жидкие металлы), рассматривается как континуум, т.е. предполагается, что средний свободный пробег заряженных частиц (электронов, положительно и отрицательно заряженных ионов) и нейтральных частиц (атомов, молекул) пренебрежимо мал по сравнению с характерным размером области движения.
Гипотеза о сплошности среды позволяет считать определяющие течения функции непрерывными. Это дает возможность составлять уравнения, описывающие движение среды, не рассматривая структуру и свойства отдельных частиц. Указанные свойства учитываются лишь через плотность, вязкость, теплопроводность, электропроводность среды [4].
Течения в трубах являются наиболее распространенным классом МГД-те-чений. Они наблюдаются, например, в проточных трактах МГД-устройств. Разнообразные МГД-устройства - насосы, дозаторы, расходомеры и др. - находят все более широкое применение в различных областях техники - энергетике, металлургии и транспортных установках [6]. Кроме того, течение крови в условиях воздействия на организм электромагнитных полей также следует рассматривать как задачу магнитной гидродинамики.
Важное прикладное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналитических решений объясняет тот факт, что течение в трубах в теоретическом плане является наиболее полно исследованным разделом магнитной гидродинамики. Интерес к течениям в круглых трубах повышается в связи с разработкой управляемых термоядерных реакторов, в которых жидкий металл (литий), протекающий по гидравлической системе бланкета, находится под воздействием сильного магнитного поля произвольной ориентации. Обобщение теоретических исследований ламинарных течений в каналах дано в [1]. Однако наряду с обстоятельными теоретическими исследованиями численное изучение МГД-потоков в трубах и каналах далеко ещё от завершения.
Физическая постановка задачи
Ниже мы будем рассматривать нестационарное полностью развитое течение в трубе с неизменной формой сечения, предполагая также, что постоянное магнитное поле распределено вдоль потока равномерно и вектор магнитной индукции В перпендикулярен оси канала. Будем полагать, что течение является изотермическим, а под средой будем понимать жидкость, подобную жидким металлам, с постоянными плотностью р, проводимостью о, вязкостью V. Такие течения обладают двумя важными особенностями.
Первое свойство, доказанное для общего случая Хантом [5], состоит в том, что в трубах постоянного сечения при воздействии постоянного поперечного магнитного поля устанавливается течение с параллельными линиями тока. Это дает возможность исключить нелинейные конвективные члены в уравнении движения.
Второе свойство в какой-то мере связано с первым и заключается в том, что индуцированное в движущейся среде поперечное магнитное поле может быть найдено независимо от поля течения.
Математическая постановка задачи
В среде, подобной жидким металлам, магнитную проницаемость цо и проводимость о можно считать скалярными величинами, не зависящими от напряженности электрического и магнитного полей, т.е. полагать, что среда однородна и изотропна. Электроста-
тистическими силами, обусловленными взаимодействием электрических зарядов с электрическим полем, а также магнитостатисти-ческими силами в жидких металлах обычно пренебрегают как малыми величинами по сравнению с силой Лоренца у х В . К такой среде применимо уравнение движения [1]:
— + (У -У)У = -1 Ур + 2 V +——го1;(В х В) (1) д Р Мч)Р
и уравнение электромагнитного поля [1]: дв 1
— =-V 2В + го^У х в), (2)
д1 цсс
к которым необходимо добавить также условия divV=C, ^уВ=0 и обобщенный закон Ома у/с = Е + V х В .
Приведем полученные уравнения к безразмерному виду. Как следует из основной системы уравнений, МГД-явления имеют в общем случае три определяющих критерия подобия, которые составляются из известных или заранее заданных характерных скорости, давления, напряженности магнитного поля и др. [6]. В качестве характерных величин выберем радиус Я, скорость Ус, величину напряженности магнитного поля Вс и давление рУ^ и отнесем к ним соответствующие величины в уравнениях (1),(2). Тогда получим
— + (У-У)У = -Ур +—У2У + А1 • го^В х В);
дВ Яе V
— = го^У х В)+—V 2В, divV = С, divB = С. (3)
дt } Яет
В системе (3) все величины безразмерные, однако для них сохранены прежние обозначения.
В уравнения (3) входят три безразмерных комплекса: число Рейнольдса Яе = УсЯ/н, число Альвена А1 = ВС /(цСрКС2) и магнитное число Рейнольдса Яет = УсЯ/(1 /цсс). Число Альвена А1 имеет физический смысл отношения плотности магнитной энергии Вд /(2цс) к плотности потока импульса (кинетической энергии) рУ^ / 2 . Магнитное число Рейнольдса Яет характеризует соотношение между процессами диффузии магнитного поля и его
конвективным переносом в движущейся среде, и иногда его трактуют как отношение характерных величин напряженности индуцированного и приложенного извне магнитных полей.
Рассмотрим движение в безындукционном приближении (Rem<<l). В этом случае можно пренебречь возмущениями приложенного магнитного поля, что приведет к существенному упрощению постановки магнитогидродинамической задачи. Примем дополнительно в качестве характерных величин для напряженности электрического поля VoBo, а для тока - cV0B0 и приведем к безразмерному виду выражения закона Ампера и закона Ома:
rotB=Rem-j, j = E + V х B = -grad9 + V x B, где ф - потенциал электрического поля.
Так как при Rem<<l возмущениями приложенного извне магнитного поля В0 можно пренебречь, то всюду В заменим на В0. Тогда уравнение движения (1) запишем в следующем виде: dv
Sh — + Re(V • V)V = -Re Vp + V2 V +
dt
+ Ha2 (- grad9 + V x B0 )x B0. (4)
Мы получили уравнение движения в безындукционном приближении. В это уравнение вошли Sh = V02t0/v и новый учитывающий МГД-взаимодействие комплекс Ha = B0l0 (c/v )17 2, имеющий физический смысл отношения электромагнитной силы к силе вязкого трения. Уравнение для потенциальной функции в (4) можно получить из законов Ампера и Ома, выполнив в них операцию дивергенции:
V 2Ф = div(V х B0). (5)
Предполагая, что является справедливым свойство, доказанное Хантом, и принимая во внимание, что одна из линий тока есть осевая линия (ось трубы), будем считать, что вектор скорости имеет лишь одну осевую компоненту
V=(«,0,0). (6)
Так как вектор B=B0=const перпендикулярен оси канала, то
В=(0, Br, Be), (7)
причем ВГ=В0 cos e, Вг= -В0 sin e и орт e - указывает направление движения стрелки часов. С учетом (6), (7) уравнения (1), (2) могут быть переписаны так:
ди „ др 1 д ( ди Л 1 д2и
— = —Яе— +--1 г— | + —г—-
дГ дГ г дг У дг) г2 д92
тт 21 0080 дф . _ дф + На21--- + 8ш9 —— — и
+
д0
1«.(г дФЛ+^
г2 де2
дг
0080 ди . п ди
--+ 81П0-.
г д0 дг
(9)
г дг У дг
К уравнениям (8), (9) нужно добавить следующие граничные условия на стенке канала: условие прилипания для скорости
и\ = 0 (10)
'г=Я
и условие электрической непроницаемости стенки
дф / дг|г=Д = 0. (11)
Условие при г=0 будет рассмотрено ниже. Так же нужно записать начальное условие или начальное приближение (при решении стационарной задачи итерационным методом) для скорости и:
и[=0 = и0. (12)
Схема решения задачи
Уравнения (8), (9) с граничными (10), (11) и начальным (12) условиями интегрируются численно с применением итераций и полинейного метода, который опирается на процедуры прогонок по каждому из координатных направлений [8]. Область изменения независимых переменных (круг) покроем сеткой с равномерными шагами по г и 0 (рис. 1).
Первоначально рассмотрим уравнение (8). Входящие в него члены аппроксимируем следующим образом:
ди
/.к
и/к — и
/,к
(13)
где верхнее расположение индексов отвечает верхнему слою по времени, нижнее - нижнему слою по времени, т - шаг по времени;
1 ди г дг У дг
/,к
1
г}к
/+1, к / ,к и — и-1
/ ,к /—1,к и^ — и-1
'/+1/2
—г
/—1/2
г/к
У
2 1.'/+1 /2и/ +1,к У/+1/2 + г/—1/2 )и/"к + г/—1/2и
/,к—1
], (14)
г
х
И
И
где Г/--1/2 = ■
координате;
г/ -1 + г/
г
г/ + 1
ди Г2 ш2"
1+1/2 М
Л - шаг по радиальной
1 им+1 - 2и]'к + и1'к-1
(15)
где 5 - шаг по угловой координате;
тт 2( 0089 5т . - 5т На21--- + 81п9——
г 59
дг
1,к
(
На2
0089 к т -т • ^ т -т
к — + 81и9, -
г/
V 1
25
[На2и]]к « На
2Л
2„ 1'к и .
(16) (17)
Рис. 1. Область изменения независимых переменных Введём следующие обозначения [8]:
/'к-1
= ии/ ' и
/'к+1
— иЕ ' и
/+1'к
— и \г ' и
1-1'к _
1 'к _ .
— и8 ' и" — и
где индексы Е, N обозначают стороны света (рис. 1). Тогда уравнению (8) будет соответствовать разностный аналог следующего вида:
аРиР — ашиш + аЕиЕ + амим + а5и5 + Ь - Яе
дР дх
(18)
где
= 1
а& = Гг52 г1 5
1
аЕ — -
Е „2 с 2
г1.5
'1-1/2 г1А 2
1+1/2 г;.А2
аР — аж + аЕ + а5 + а^ + / ф+ На2. Л.М. Симуни предложил [7] оригинальный и эффективный способ нахождения градиента давления применительно к стационар-
37
2
2
2
5
г
р
а8 —
ам —
ным двумерным течениям несжимаемом жидкости одновременно с полем скорости. Этот подход предполагает, что для сеточных значений функции и=и(Х, г, В) справедливо представление
дР
и1 'к = + —. (19)
дг
После подстановки (19) в (18) получим
аРКР = + аЕ™Е + ам™м + + Ь , (20)
аргр = а№г№ + аЕгЕ + амгм + а8г8 - Яе . (21)
Системы уравнений (20) и (21) не содержат градиента давления и могут быть разрешены независимо друг от друга и от процедуры расчёта распределения давления. Рассмотрим, например, систему (20). Ее численное решение может быть найдено итерационным методом в сочетании с прогонками по каждому из координатных направлений (полинейный метод). В процедуре указанного решения в рамках одного шага по времени можно выделить два этапа:
(I) apwm = а^'т + aEwm + а^;-1 + а^-1 + Ь ,
(II) apwm+1 = а^ + aEWmE + а^+1 + аЛт+1 + Ь ,
где т - номер итерационного слоя. (I) соответствует прогонке по угловому направлению, (II) - радиальному. Разрешая системы уравнений (20) и (21), находим совокупности сеточных значений искомых функций W1'к } {г1 'к }, после чего находим градиент давления
дР = ^)" ^ , (22)
где
К 2п
дх Jz
К 2п К 2п
Jw = II гwdQdг , Jz = 11 ггёШг,
w
0 0 0 0
а 0(() = || гud9dг - заданный объёмный расход жидкости через
00
поперечное сечение канала. После вычисления градиента давления по формуле (19) определятся сеточные значения {11,к }.
Параллельно с интегрированием уравнения (8) для скорости и ищется решение и уравнения (9) для потенциала ф. Уравнению (9) будет соответствовать разностный аналог следующего вида:
арфр = ашфш + аЕфЕ + аыфы + а5ф5 + Ь , (23)
где
rj-1/2 rj+1/2
W 2c2 ' E 2c 2 ' S 2 ' N . 2 '
rj5 rj 5 rj h г^ h
ap = + aB + as + ,
L cos9k j+1 -ujk-1 . A uj+u -uj-u
b =---+ sin9,-.
r} 25 k 2h
Нахождение решения для потенциала ф по предложенному выше способу также разбивается на два этапа. Запишем разностный аналог, соответствующий граничным (10), (11) и начальному (12) условиям:
uN ,k = 0, (24)
ф^к =фN-1,k, (25) u,k = U о. (26)
где N - количество разбиений по радиусу
и1 'к -
Вывод граничного условия на оси канала
Решение разностных задач в круге осложнено отсутствием в случае несимметричных процессов условия, задаваемого при г=0. Для скорости на оси течения введем обозначение и\ т.е. будем полагать, что и(0,к)=и0 для всех к е [1,М ], где М- число лучей на рис. 1.
Уравнение (8), умноженное на г, будем интегрировать по г в пределах от 0 до к и по 9 в пределах от 0 до 2п, заменяя отдельные производные конечными разностями. Тогда для левой части получим 2пк д 0 -
г^г * БЪпк2 . (27)
0 0 д т Здесь и0 - значение скорости на оси канала на верхнем слое по времени, и0 - на нижнем. Первый член правой части (8) будет
2Рк дР дР
ГГ- Яе —г^г — -Яе—пк2, (28)
00 дх дх
так как Р не зависит ни от г, ни от 9. Второе слагаемое правой части имеет вид
ГгАГгди'1 сТОд — Тк— ^»У^—^-У (и1 к -и0) (29) ГГ0 дг V дг J { дг г—к к к '
где 5=2п/М - шаг по угловой координате, М - количество разбиений по координате 9. Третье слагаемое даст
1
1
2пй 1 д2 2п
г [1 Цлъаг = Г гг г зе2 г
1 ди
г Ж
2п
^г = О,
(30)
т.к. принимается, что ди/Ш - непрерывная функция. Группа членов, содержащих На , записывается следующим образом:
2пИ
0 0
[Г На2 [ С08е — + 8шг — - иг \drde =
де '
5ф
дг
2пИ
ИНа2
5фС08е
дгф
+ 81пе--- иг
<зе дг
2пИ
На2 Ц
0 О 2пИ
И 2п 2пИ
На2 |фС08е|2П + На21hф(h,e)зinede - На2 Ц
^ На2И5^ф1Д 8ш(*5)- На2 %И2и0.
*=0
Собирая (27)-(31) вместе, будем иметь
2 и0 - и,
0
Ф
пИ2Яе — + £( * - и0)
м
+ На25И X ф1* эт(*5) - На2пИ
к=0
2-'-2и0.
При И ^ 0 из (32) получим
м
¿(и1* - и0) 5 = 0
к=0
или с учётом того, что 5 = 2пМ, будем иметь
м
0 1 V 1 к п и = — X и = 0,
(31)
(32)
(32')
(33)
м к=0
т.е. значение скорости на оси канала есть среднеарифметическое всех соседних значений.
Напишем условие (33) в интегральном виде. Переходя в (32') к пределу, устремив число разбиений М к бесконечности, получим
и0 = udy, (33')
где у - длина элементарной окружности, содержащей осевую точку. Иногда вместо (33') удобно пользоваться условием вида
0
u0 =
udYi - udY 2
у, 3У2 у2
(33")
где у1, у 2 - две ближайшие к осевой точке элементарные окружности. Технология реализации условия на оси канала
Рассмотрим схему реализации радиальных прогонок. Пусть требуется найти решение следующей системы трехточечных уравнений [9]:
Г А, -1,к -С]Ли,к + В]Ли+1,к = - . Л < . < N -1 (34) \и^к = 0,. = N. (34)
Пусть, согласно [5], имеет место связь
и+1, * = Р]+1, и.* + +1, . = 0, 1, ...,N -1, (35)
где Р. * , д. * - прогоночные коэффициенты, определяемые по следующим рекуррентным соотношениям:
р = Ад = . + B^^,kQ^^+l,k
С - В Р ' . * С - В Р '
. = N -1, N - 2,..., 0. (36)
Так как на стенке канала скорость равна нулю, то из прогоноч-ной формулы (35) при . = N -1 следует, что * = 0, QN * = 0 .
По формулам (36) находим все прогоночные коэффициенты и, таким образом, для .=0 из (35) имеем
и1* = Р1*и0 + ди, (37)
где PN *, QN * известны для всех * = 1,М . Подставим (37) в (33):
- k=0
Отсюда окончательно находим
0
, M , ч
u0 = M , ZPuU0 + ßi,k )= 0. (38)
m +1 k=0 ' '
u = А • (39)
1 M 1 M
гДе P = Pik , Ö1 = ßik - среднеарифметические
M +1 k=0 M +1 k=0
значения соответствующих прогоночных коэффициентов.
Определение траекторий движения зарядов
Рассмотрим закон Ома
j = c(E + V х B) . (40)
Движущийся электрический заряд является электрическим током. Заряд не создаётся и не исчезает, а плотность заряда pe является функцией координат и времени. Для плотности заряда справедлив закон сохранения (аналогичный закону сохранения массы):
+ divj = 0 . (41)
dt
Для многих проводящих сред, в частности для металлов, эффект
релаксации заряда мал, и им пренебрегают. Тогда
dt
divj = 0 (42)
или
dx (rJx (rjr )+Jj=|: (rJr )+U=0, (42')
так как jx = 0 . Введём функцию тока
£ = J"2=-J" (43)
dr d9 Взяв rot от обеих частей (40), получим
rotj = c[rotE + rot(V х B0)] . (44)
Т dB0 0
Так как магнитное поле стационарно, т.е. —- = 0, то по закону
dt
электромагнитной индукции Фарадея rotE = 0 . С другой стороны, rot(V х B0) = (Bo • V)V - (V • V)B0 = (Bo • V)V, (45) поскольку (V • v)b 0 = 0 как конвективная часть в стабилизированном потоке в канале.
Рассмотрим левую часть (44). Спроектируем её на оси цилиндрических координат и получим:
д (■ ) djr
1
rot x =-
r
1
rot r = —
-(rje)-^
дг ш ae # ■ )-■
dr dx
(44') (44'')
rote=j. (44''')
dr dr
Примем, что продольный ток отсутствует (jx = 0) и электро-магнитогидродинамическое поле однородно относительно аксиальной координаты, т. е.
j = dje = о . (46)
dx dx
В этом случае проекции (44'') и (44''') будут нулевыми. Легко убедиться, что r, e-проекции правой части (44) при V=(0, 0, u) тоже будут нулевыми. Проецируя (44) на ось х и учитывая (43) и (45), получим:
1 Sw д 2w 1 д 2w ( du „cu Л
--- + —2.+ -r—2. = el B— + Be—I . (47)
r dr dr2 r2 ae2 ^ r dr e ae J
В нашем случае Br = B0cose, Be = -B0sine. Пусть масштабом у будет величина w0 = eV0B0R, другие масштабы будут прежними. Тогда безразмерный вид уравнения (47) будет следующим:
1 dw д2w 1 д2w „ du sine du .„„.
--- + —2. +—2. = cose----. (48)
r dr dr2 r2 ae2 dr r ae
Согласно (42') и (43), найденные из решения уравнения (48) линии w=const будут векторными линиями поля векторов j, т.е. будут показывать траекторию движения зарядов.
Все приводимые ниже результаты получены при числах Re=100, Sh=100 и На=0, 1, 3, 5, 1 0.
Стационарный случай
В этом случае расход был G(t)=nR2. В результате вычислений получены распределения скоростей течения, соответствующие различным числам На. Пространственные фигуры, представляющие поле скоростей в указанных случаях, показаны на рис. 2, из которого видно, что с ростом числа Гартмана от 0 до 10 параболоид Пуазейля сплющивается «деформирующим усилием», направленным вдоль оси канала. Под отмеченным усилием понимается неоднородная по сечению канала аксиально-направленная сила Лоренца. Надо заметить, что указанные деформации приводят к появлению несимметричной пространственной фигуры (рис. 2, b - е), что хорошо видно по профилям, представленным на рис. 3.
Рис. 2. Фигуры распределения осевой компоненты скорости в канале при различных числах На
075
о» ей
ООО
00 О« ОЭ 01 04 Об 00 о/ оо о в
00 01 03 0> 04 09 ОО от О* О» 1(1
Рис. 3. Распределение скорости по 9-направлению
Следует отметить, что все полученные распределения оказываются симметричными относительно вертикального сечения, проходящего через ось канала. В частности, это хорошо видно по контурам, представляющим циркуляцию отрицательных зарядов (контуры тока), показанных на рис. 4. Из этих рисунков также видно, что отмеченные контуры растянуты в нижней половине канала и сжаты в верхней. Причем эти деформации тем сильнее, чем выше число На - с увеличением числа Гартмана несимметричность становится гораздо заметней.
Рис. 4. Эффект Гартмана для контуров тока
Если стенки канала непроводящие, то контуры индуцированного тока будут замыкаться через тонкие пристеночные слои. Здесь мы встречаемся с так называемым эффектом Гартмана для контуров тока [6]. Еще имеется эффект Гартмана для поля скоростей (рис. 5), проявляющийся в том, что в ядре потока вследствие подтормаживающего действия электромагнитной силы профили скорости выравниваются, а в пристеночных сдвиговых слоях электромагнитная сила, наоборот, ускоряет движение жидкости, увеличивая поперечные градиенты скорости, что приводит к возрастанию напряжения трения. В целом же этот эффект обуславливает более высокое сопротивление движению по сравнению с аналогичными течениями обычной жидкости.
Рис. 5. Распределение скорости по лучу, параллельному вектору магнитной индукции внешнего поля В0
Рис 6. Зависимость перепада давления при различных числах На
Рис. 6 представляет влияние напряженности магнитного поля на приведённый к единице длины перепад давления, необходимый для проталкивания электропроводящей жидкости с заданным расходом по каналу, находящемуся в поперечном магнитном поле. Как видно из рисунка, отмеченный перепад в стационарном случае существенно возрастает с ростом На.
Нестационарный случай
Теперь расход задаётся как величина, меняющаяся во времени по гармоническому закону G(t)=nR2 (a + b • sin((at)), где ю = 2п/cek ,a = b = 1. Получены распределения скоростей течения, соответствующие различным числам На в различные моменты времени. Пространственные фигуры распределения скоростей в отмеченных случаях показаны на рис. 7.1-7.3. 46
Рис. 7.1. Изменение структуры течения в рамках одного цикла колебаний при На=0
Рис. 7.2. Изменение структуры течения в рамках одного цикла колебаний при На=3
1 1
1 1
Рис. 7.3. Изменение структуры течения в рамках одного цикла колебаний На=10
Выполненные расчёты пульсирующего течения показывают тот же характер влияния магнитного поля, что и в стационарном случае, при котором вытянутые профили Вомерсли сплющиваются неоднородно распределенной по сечению канала силой Лоренца. При этом эффект возвратных токов (отрицательные локальные скорости при положительном среднем по сечению движении), ярко выраженный при На=0, практически исчезает при На=10.
Умножим на г уравнение (8) и проинтегрируем по г от 0 до 1 и по 0 от 0 до 2п, получим выражение следующего вида:
¡=Р+Р+Ь, (49)
Т д° - Р Р дР
где Т = Ьп — - инерционный член, Р = -лке— дt дх
представляет
2п
действие сил давления, F = [—(1,9)9 - сил трения, L
0 дг
2п1
= Ha2\ ii[ cos9—+ rsin9— jdrd9-G(t) - лоренцевых сил. Ре-
10 0 v S9 дг J
зультаты вычислений указанных членов представлены на рис. 8.
о.{й и.я а ¡с а.№ т 1й мя 1.'/$ цв
1
Рис. 8. Градиент давления в пульсирующем режиме при различных числах На
Проверим баланс всех сил по уравнению (49) и также вычислим невязку 5 = —1+Р+Р+Ь. На рис. 11-12 показаны зависимости от времени указанных членов и невязки 5 при различных числах Гартмана. Согласно данным вычислений невязка уравнения для всех чисел На составляет величину не более 3,5 %. Эффект воздействия магнитного поля на величину градиента давления Р проявляется при увеличении числа На через смещение центра колебаний указанной величины и увеличение фазового сдвига в сравнении с колебаниями расхода (рис. 8). При этом частота и амплитуда колебаний не меняются. Воздействие же магнитного поля на колебание величины интегрального трения (проинтегрированной по контуру сечения канала локальной величины напряжения трения) Б связано лишь со смещением центра колебаний (рис. 9), аналогично тому, как это происходит в случае простых колебаний материальной точки в присутствии постоянной по величине и направлению силы.
На рис. 10 приведены кривые изменения силы Лоренца Ь в течение двух циклов колебаний при различных значениях чисел На. Естественно, что амплитуда колебаний указанной величины увеличивается с ростом напряженности магнитного поля.
НжН)
ЧЛО рз а.вс С.и 1ЛС 1Л 130 1.73 1Л0 1
Рис. 9. Силовое воздействие со стороны боковой поверхности канала в пульсирующем режиме при различных числах На
Рис. 10. Зависимость величины силы Лоренца от времени при различных числах На
Однако, как видно из рис. 11, 12, вклад лоренцевой силы Ь в общий баланс сил становится сопоставимым со вкладами инерционных сил I и сил давления Р лишь при высоких значениях числа Гартмана (На=10). Кроме этого, легко заметить, что сила трения Б практически всегда на порядок меньше сил I и Р. При этом ее колебание осуществляется в противофазе с колебаниями отмеченных сил, но в одной фазе с колебанием силы Лоренца Ь. 50
Рис. 11. Изменение сил Т, Р, Б, Ь со временем при На=5
Рис. 12. Изменение сил Т, Р, Б, Ь со временем при На=10
Заключение
Разработан почти неявный алгоритм решения автомодельных задач магнитной гидродинамики, использующий расщепление по координатным направлениям и процедуру согласованного с полем скорости расчета градиента давления.
Применение алгоритма для исследования движения вязкой электропроводящей жидкости в однородных поперечных магнитных полях позволило выявить структуру полей индуцированных электрических токов и связанный с этой структурой эффект Гартмана, изучить воздействие магнитного поля на характер течения и величину сопротивления движению в стационарных потоках, выявить вклад электромагнитных эффектов в силовом балансе пульсирующего движения электропроводящей среды в осесимметричном канале.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ватажин А.В., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970.
2. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика / Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1978.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1982.
4. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. М.: Энергоатомиз-дат, 1987.
5. Hunt J.C.R. A uniqueness theorem for magnetohydrodynamic duct flows. Proc. Cambridge // Philos. 1969. Vol. 65, № 2. P. 319.
6. Тананаев А.В. Течение в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979.
7. Симуни Л.М. Численное решение задачи при неизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе // ИФЖ. 1966. Т. 10, № 1. С. 86-91.
8. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. / Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984. С. 28, 54-57.
9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. С. 40-41.
10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978. С. 86-90.
