Течение электропроводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 3(7)

УДК 612.13

А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. Конончук

ТЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В СКРЕЩЕННОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ1

Произведены расчеты течения электропроводящей жидкости в прямоугольном канале, реализующегося под воздействием градиента давления и скрещенного электромагнитного поля. Описана математическая модель и представлена вычислительная технология. Выполнены расчеты с различным воздействием внешнего электрического поля.

Ключевые слова: электропроводящая жидкость, электрическое поле, магнитная индукция, ламинарное течение.

В ряде областей физики, механики и техники возникает необходимость изучения движений электропроводных жидкостей. К таким областям относится разработка магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, электромагнитных насосов, используемых для перекачки жидких металлов, плазменных ускорителей. Течения в трубах являются наиболее распространенным классом движений, наблюдаемых в проточных трактах МГД-устройств. Важное прикладное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналитических решений объясняют продолжающийся интерес к изучению магнитогидродинамических течений в трубах и каналах.

Физическая постановка задачи

Будем рассматривать течение вязкой электропроводящей жидкости на участке стабилизированного движения в канале прямоугольного сечения с непроводящими стенками, находящемся в поперечном электромагнитном поле (рис. 1).

Рис. 1. Физическая область с гидроэлектромагнитыми воздействиями (показано стрелками)

Здесь В0 - вектор напряженности внешнего магнитного поля - задан и является постоянной величиной при переходе от точки к точке во внешности канала,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).

U0 - вектор скорости на входе в канал, Ex - постоянный вектор напряженности внешнего электрического поля.

Математическая модель

Теоретической основой для изучения установившихся МГД-течений являются векторные уравнения Навье - Стокса, неразрывности и стационарные уравнения Максвелла [1]:

р(V-V)V = - gradp + ^V2V + jxB; divV = 0 ; (1)

rot B = ц0j; divB = 0; rot E = 0; div E = 0. (2)

Здесь p - плотность жидкости, p - ее вязкость, ц0 - магнитная проницаемость вакуума, p - давление; V, B, E, j - векторы скорости магнитной индукции, электрического напряжения и плотности электрического тока. Для замыкания системы (1), (2) необходимо добавить закон Ома, который обычно записывают в виде

j = a(E + VхB), (3)

где о - электропроводность жидкости. Взаимодействие электромагнитных и гидродинамических полей осуществляется через последнее слагаемое уравнения На-вье - Стокса (j х B), которое представляет собой пондеромоторную силу, или силу Лоренца.

Первое уравнение (2) представляет собой закон Ампера; второе - означает условие отсутствия магнитных зарядов в любой точке рассматриваемой среды; третье - условие потенциальности электрического поля; последнее - условие отсутствия электрических зарядов в рассматриваемой жидкой среде.

Выполнение третьего условия в (2) означает, что существует такая функция ф,

что

E = - grad ф. (4)

Другими словами, электрическое поле имеет скалярный потенциал ф. Подставляя (4) в (3), найдем

j = ст(- grad ф + V х B). (3')

Теперь заменим векторную величину j , стоящую в левой части последнего

соотношения, используя закона Ампера, тогда получим

—rot B = <з (-grad ф + V х B). (5)

Но

Взяв операцию div от обеих частей (5), найдем

У2ф = div (V х B). (6)

При получении последнего уравнения использовано, что

div (rot а) = 0, V«,

div(grad ф) = V 2ф, Уф.

Теперь вернемся к векторному уравнению Навье - Стокса и найдем проекцию этого уравнения на направление, параллельное вектору входной скорости, т.е. на направление оси Oz. Для этого, прежде всего, вычислим векторные произведения

V x B и (- grad ф + V x B) x B. Пусть вектор напряженности внешнего магнитного

поля B0 = const направлен по оси Oy, тогда в автомодельном потоке вектор индуцированного магнитного поля будет направлен вдоль оси Oz. А вектор магнитной индукции, входящий в уравнения магнитной гидродинамики (1), будет определяться компонентами B = (0, B0, B), вектор же скорости в автомодельном течении есть V = (0,0, U). Пусть также i, j, k - орты стационарной декартовой системы отсчета, тогда

= -iU ■ Bo,

а также

i j k

V x B = О 0 U

О Bo B

(-grad ф + V x B )x B =

.(дф дф -b° --b rJ|„B°

і j k

UBo +|X J Эф дф

dy dz

о Bo B

+f) в + k ( -UBo dx J

B

(7)

Тогда проекция первого уравнения (1) на ось Ох с учетом (7) запишется следующим образом:

HV2U = dp + a^UBo +|xу Bo.

(В)

Как упоминалось выше, градиент давления в автомодельном течении в трубе определяется постоянной величиной. Выберем эту константу следующим образом:

dp -Ap

— = const = -

dz

/

Здесь Ар - перепад давления на длине 10, тогда вместо (8) получим

иу2и = -^ + стГ ив0 + ^1- В0.

In

дх

(9)

Для заданной конфигурации векторных полей V = (0,0, и), В = (0, В0, В), Е = (Ех, 0,0) уравнение (6) перепишется в виде

ди

V> = - Во

дх

(10)

Уравнения (9) и (10) составляют основу математической модели рассматриваемых ниже процессов.

Обезразмеривание определяющих уравнений

Если в качестве масштабов скорости и электрического потенциала выбрать следующие величины [2]:

и. -^, ф., (11)

И (цст)

а в качестве геометрического масштаба взять x* = y* = z* = 10 и перейти в уравнениях (9), (10) к безразмерным искомым величинам U, ф по формулам

U = U* -U, ф = ф* -ф, (12)

то в безразмерной форме определяющие уравнения будут иметь вид

V2U = -1 + Ha2U + Ha^, V2Ф = -Иа — . (13)

dx dx

Здесь и в дальнейшем по соображениям простоты черта над знаками функций скорости и электрического потенциала будет опущена; U - продольная компонента вектора скорости, ф - потенциал индуцированного электрического поля;

Ha = 10B0 (ст/ц)1/2 - число Гартмана, определяющее порядок отношения электромагнитной силы (силы Лоренца) к силе вязкого трения.

Таким образом, мы получим систему двух уравнений, определяющих автомодельное МГД-течение, в котором неизвестными являются U и ф . Можно получить иную систему, эквивалентную вышепостроенной, но неизвестными в ней будут U и B . Для этого возьмем операцию rot от обеих частей (5), спроецируем результат на ось Oz и обезразмерим полученное уравнение, приняв B = B* B,

B* = Ар10ц0 (ст/ц)1/2 . Тогда диффузионное уравнение для скорости, в источниковой части которого будет B, а также уравнение индукции (уравнение для B ) будут иметь вид

V2U = -Ha — -1, V2B = -Ha—. (14)

dy dy

Системы (13) и (14) являются самодостаточными на уровне уравнений и эквивалентными друг другу. Результаты сопоставления данных по скорости, найденной сначала по (13), а затем по (14) представлены ниже на рис. 6. Уравнения (13) удобны тем, что позволяют легко реализовать принцип суперпозиции электрических полей [3].

Граничные условия для решения этих уравнений будут следующие:

дф

U Y = о,

Y dn

= 0 , в\Y = 0 . (15)

Y

Метод решения

Для аппроксимации всех производных, входящих в математическую постановку задачи, используем однородную регулярную ортогональную сетку (рис. 2) и двухсторонние симметричные разности второго порядка точности, выполненные на симметричном шаблоне (рис. 3). Далее подставляем их в МГД-уравнения и выражаем значения искомых функций в центральном узле шаблона. Используем эти формулы как основные рекуррентные соотношения метода простой итерации.

Рис. 2. Разностная сетка

Все дифференциальные уравнения математической модели имеют вид уравнения Пуассона:

V 2Ф = Ъ. (16)

Здесь V2 - плоский оператор Лапласа, Ф = и, В, ф. В декартовых координатах

У2Ф =

д2Ф д2Ф

дх2 ду2

Таким образом, значения производных искомых функций в центральном узле шаблона могут быть аппроксимированы следующим образом:

д2Ф фі+і,/ - 2фі,/ +фі-і,/

дх 2 Ах 2

д2Ф Ф /+і - 2ф, і + Ф і-і

-о(Ах );

ду 2

Ау 2

-о(Ау );

дФ ф+і,у -Ф-і,у _,л „2,

дх 2Ах

дф фі, ]+1 -фі, у-1

ду

2Ау

-о(Ах );

-о(Ау 2).

(17)

(18)

(19)

(20)

Подставим полученные формулы в обезразмеренные определяющие уравнения (13), получим

и;+,; + и,-,, и і +1+и і, ^ тт

- + —--------^---------На

і+І,] _г и г-1,] + и і,у+1 "И и і,у-І На І ФІ+1,] Фг-1,] _ ^ г,у | + у

Ах

Ау 2

2Ах

2 2 2 —2 + —у + На 2 Ах2 Ау2

(21)

Фі+1,і + Фі-1,і + Фі,і+1 + Фі,і-1 + На и+1,і - иі-и

Фі. і =-

Ах2

АУ2

2Ах

Ах2 Ау2

(22)

0

X

Для системы (14) будем иметь

и+1,у + и1 -1, у_ + и1, у+1 + и1, у-1 _ На ( \ у+1 - В1,у-1

и,у =-^------------------------------------------^ ^ 2Ау -; (23)

Ах2 Ау2 В+Ц + В-1,] + В,]+1 + В,]-1 + На иг,] +1 - и1,]-1

В,] = —^. (24)

Ах2 Ау2

Результаты решения уравнений

Предварительно было рассчитано течение непроводящей жидкости, т.е. случай На = 0, при этом получено (как результат вычислений) |ф|< 10-4, |£| < 10-4, а профили скорости и хорошо соответствуют аналитическим распределениям, представленным в [1].

Далее рассчитано собственно МГД-течение проводящей жидкости. На рис. 4 и 5 представлены поверхности скоростей и изолинии продольной компоненты скорости. Ниже на рис. 6 представлены результаты сопоставления скоростей, найденных с использованием двух различных форм уравнений.

Рис. 4. Поверхность скорости при На = 9.

Слева - расчет по уравнениям (13), справа - по уравнениям (14)

0.2 0.4 0.6 0 8 1 12 14 1.6 1.8

X

0 0.2 0.4 0 6 0.В 1 12 1.4 16 18 2

X

Рис. 5. Изолинии скорости при На = 9.

Слева - расчет по уравнениям (13), справа - по уравнениям (14)

X у

Рис. 6. Профили скоростей в сечениях, проходящих через центр канала параллельно осям Ох и Оу соответственно. Сплошная линия - расчет по уравнениям (13), пунктир - по уравнениям (14)

На рис. 7 - 10 представлена электромагнитная составляющая рассматриваемой МГД-задачи. Так, на рис. 7 и 8 - поверхность и изолинии потенциала индуцированного электрического поля; на рис. 9 и 10 - поверхность и изолинии магнитной индукции.

Рис. 7. Поверхность потенциала индуцированного электрического поля

X

Рис. 8. Изолинии потенциала индуцированного электрического поля

Рис. 9. Рассчитываемая компонента вектора магнитной индукции

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1..

х

Рис. 10. Изолинии индуцированной магнитной индукции

Теперь покажем воздействие внешнего электрического поля на скорость и направление движения жидкости. Возьмем значения внешнего электрического поля, равные -0,04, 0,04, 0,2.

X у

Рис. 11. Воздействие внешнего электрического поля на направление и скорость движения жидкости. На = 9. 1 - Ех = 0; 2 - Ех = -0,04; 3 - Ех = 0,04; 4 - Ех = 0,2

Из рис. 11 видно, что, воздействуя на электропроводящую жидкость внешним электромагнитным полем, можно управлять как величиной ее скорости, так и направлением ее движения.

Далее покажем, что полный ток в канале равен нулю. Формула для вычисления полного тока [2]:

I(x) = JГ— + U1 dy = const = 0 . (25)

0 V dx /

Интеграл находим численно при помощи формулы трапеций. В результате этого

был получен следующий график (рис. 12)

Как видно на рис. 12, значения полного тока приближенно можно считать нулевыми. С увеличением количества точек повышается и точность решения, а абсолютные значения полного тока еще более уменьшаются.

Заключение

Таким образом, в работе построена математическая модель автомодельного МГД-течения проводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле. Предложен простейший вычислительный алгоритм решения данной задачи. Расчетами продемонстрирована возможность управления потоком вязкой, проводящей жидкости целенаправленным воздействием внешнего электромагнитного поля.

x

Рис. 12. Значения полного тока найденного по (25), при На = 9. Пунктирная линия - расчет на сетке 30 х 30. Сплошная линия - на сетке 40 х 40

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 607 с.

2. Тананаев А.В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979. 368 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

БУБЕНЧИКОВ Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: bubenchikov@mail.tomsknet.ru

ФЕДИН Дмитрий Борисович, аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: dfedin@list.ru

КОНОЧУК Алексей Сергеевич, аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: vestnik_tgu_mm@math.tsu.ru

Статья принята в печать 04.09.2009 г.