CC BY
51
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Математика и механика № 3(7)
УДК 612.13
А.М. Бубенчиков, Д.Б. Федин, А.С. Конончук
ТЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В СКРЕЩЕННОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ1
Произведены расчеты течения электропроводящей жидкости в прямоугольном канале, реализующегося под воздействием градиента давления и скрещенного электромагнитного поля. Описана математическая модель и представлена вычислительная технология. Выполнены расчеты с различным воздействием внешнего электрического поля.
Ключевые слова: электропроводящая жидкость, электрическое поле, магнитная индукция, ламинарное течение.
В ряде областей физики, механики и техники возникает необходимость изучения движений электропроводных жидкостей. К таким областям относится разработка магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, электромагнитных насосов, используемых для перекачки жидких металлов, плазменных ускорителей. Течения в трубах являются наиболее распространенным классом движений, наблюдаемых в проточных трактах МГД-устройств. Важное прикладное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналитических решений объясняют продолжающийся интерес к изучению магнитогидродинамических течений в трубах и каналах.
Физическая постановка задачи
Будем рассматривать течение вязкой электропроводящей жидкости на участке стабилизированного движения в канале прямоугольного сечения с непроводящими стенками, находящемся в поперечном электромагнитном поле (рис. 1).
Рис. 1. Физическая область с гидроэлектромагнитыми воздействиями (показано стрелками)
Здесь В0 - вектор напряженности внешнего магнитного поля - задан и является постоянной величиной при переходе от точки к точке во внешности канала,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).
U0 - вектор скорости на входе в канал, Ex - постоянный вектор напряженности внешнего электрического поля.
Математическая модель
Теоретической основой для изучения установившихся МГД-течений являются векторные уравнения Навье - Стокса, неразрывности и стационарные уравнения Максвелла [1]:
р(V-V)V = - gradp + ^V2V + jxB; divV = 0 ; (1)
rot B = ц0j; divB = 0; rot E = 0; div E = 0. (2)
Здесь p - плотность жидкости, p - ее вязкость, ц0 - магнитная проницаемость вакуума, p - давление; V, B, E, j - векторы скорости магнитной индукции, электрического напряжения и плотности электрического тока. Для замыкания системы (1), (2) необходимо добавить закон Ома, который обычно записывают в виде
j = a(E + VхB), (3)
где о - электропроводность жидкости. Взаимодействие электромагнитных и гидродинамических полей осуществляется через последнее слагаемое уравнения На-вье - Стокса (j х B), которое представляет собой пондеромоторную силу, или силу Лоренца.
Первое уравнение (2) представляет собой закон Ампера; второе - означает условие отсутствия магнитных зарядов в любой точке рассматриваемой среды; третье - условие потенциальности электрического поля; последнее - условие отсутствия электрических зарядов в рассматриваемой жидкой среде.
Выполнение третьего условия в (2) означает, что существует такая функция ф,
что
E = - grad ф. (4)
Другими словами, электрическое поле имеет скалярный потенциал ф. Подставляя (4) в (3), найдем
j = ст(- grad ф + V х B). (3')
Теперь заменим векторную величину j , стоящую в левой части последнего
соотношения, используя закона Ампера, тогда получим
—rot B = <з (-grad ф + V х B). (5)
Но
Взяв операцию div от обеих частей (5), найдем
У2ф = div (V х B). (6)
При получении последнего уравнения использовано, что
div (rot а) = 0, V«,
div(grad ф) = V 2ф, Уф.
Теперь вернемся к векторному уравнению Навье - Стокса и найдем проекцию этого уравнения на направление, параллельное вектору входной скорости, т.е. на направление оси Oz. Для этого, прежде всего, вычислим векторные произведения
V x B и (- grad ф + V x B) x B. Пусть вектор напряженности внешнего магнитного
поля B0 = const направлен по оси Oy, тогда в автомодельном потоке вектор индуцированного магнитного поля будет направлен вдоль оси Oz. А вектор магнитной индукции, входящий в уравнения магнитной гидродинамики (1), будет определяться компонентами B = (0, B0, B), вектор же скорости в автомодельном течении есть V = (0,0, U). Пусть также i, j, k - орты стационарной декартовой системы отсчета, тогда
= -iU ■ Bo,
а также
i j k
V x B = О 0 U
О Bo B
(-grad ф + V x B )x B =
.(дф дф -b° --b rJ|„B°
і j k
UBo +|X J Эф дф
dy dz
о Bo B
+f) в + k ( -UBo dx J
B
(7)
Тогда проекция первого уравнения (1) на ось Ох с учетом (7) запишется следующим образом:
HV2U = dp + a^UBo +|xу Bo.
(В)
Как упоминалось выше, градиент давления в автомодельном течении в трубе определяется постоянной величиной. Выберем эту константу следующим образом:
dp -Ap
— = const = -
dz
/
Здесь Ар - перепад давления на длине 10, тогда вместо (8) получим
иу2и = -^ + стГ ив0 + ^1- В0.
In
дх
(9)
Для заданной конфигурации векторных полей V = (0,0, и), В = (0, В0, В), Е = (Ех, 0,0) уравнение (6) перепишется в виде
ди
V> = - Во
дх
(10)
Уравнения (9) и (10) составляют основу математической модели рассматриваемых ниже процессов.
Обезразмеривание определяющих уравнений
Если в качестве масштабов скорости и электрического потенциала выбрать следующие величины [2]:
и. -^, ф., (11)
И (цст)
а в качестве геометрического масштаба взять x* = y* = z* = 10 и перейти в уравнениях (9), (10) к безразмерным искомым величинам U, ф по формулам
U = U* -U, ф = ф* -ф, (12)
то в безразмерной форме определяющие уравнения будут иметь вид
V2U = -1 + Ha2U + Ha^, V2Ф = -Иа — . (13)
dx dx
Здесь и в дальнейшем по соображениям простоты черта над знаками функций скорости и электрического потенциала будет опущена; U - продольная компонента вектора скорости, ф - потенциал индуцированного электрического поля;
Ha = 10B0 (ст/ц)1/2 - число Гартмана, определяющее порядок отношения электромагнитной силы (силы Лоренца) к силе вязкого трения.
Таким образом, мы получим систему двух уравнений, определяющих автомодельное МГД-течение, в котором неизвестными являются U и ф . Можно получить иную систему, эквивалентную вышепостроенной, но неизвестными в ней будут U и B . Для этого возьмем операцию rot от обеих частей (5), спроецируем результат на ось Oz и обезразмерим полученное уравнение, приняв B = B* B,
B* = Ар10ц0 (ст/ц)1/2 . Тогда диффузионное уравнение для скорости, в источниковой части которого будет B, а также уравнение индукции (уравнение для B ) будут иметь вид
V2U = -Ha — -1, V2B = -Ha—. (14)
dy dy
Системы (13) и (14) являются самодостаточными на уровне уравнений и эквивалентными друг другу. Результаты сопоставления данных по скорости, найденной сначала по (13), а затем по (14) представлены ниже на рис. 6. Уравнения (13) удобны тем, что позволяют легко реализовать принцип суперпозиции электрических полей [3].
Граничные условия для решения этих уравнений будут следующие:
дф
U Y = о,
Y dn
= 0 , в\Y = 0 . (15)
Y
Метод решения
Для аппроксимации всех производных, входящих в математическую постановку задачи, используем однородную регулярную ортогональную сетку (рис. 2) и двухсторонние симметричные разности второго порядка точности, выполненные на симметричном шаблоне (рис. 3). Далее подставляем их в МГД-уравнения и выражаем значения искомых функций в центральном узле шаблона. Используем эти формулы как основные рекуррентные соотношения метода простой итерации.
Рис. 2. Разностная сетка
Все дифференциальные уравнения математической модели имеют вид уравнения Пуассона:
V 2Ф = Ъ. (16)
Здесь V2 - плоский оператор Лапласа, Ф = и, В, ф. В декартовых координатах
У2Ф =
д2Ф д2Ф
дх2 ду2
Таким образом, значения производных искомых функций в центральном узле шаблона могут быть аппроксимированы следующим образом:
д2Ф фі+і,/ - 2фі,/ +фі-і,/
дх 2 Ах 2
д2Ф Ф /+і - 2ф, і + Ф і-і
-о(Ах );
ду 2
Ау 2
-о(Ау );
дФ ф+і,у -Ф-і,у _,л „2,
дх 2Ах
дф фі, ]+1 -фі, у-1
ду
2Ау
-о(Ах );
-о(Ау 2).
(17)
(18)
(19)
(20)
Подставим полученные формулы в обезразмеренные определяющие уравнения (13), получим
и;+,; + и,-,, и і +1+и і, ^ тт
- + —--------^---------На
і+І,] _г и г-1,] + и і,у+1 "И и і,у-І На І ФІ+1,] Фг-1,] _ ^ г,у | + у
Ах
Ау 2
2Ах
2 2 2 —2 + —у + На 2 Ах2 Ау2
(21)
Фі+1,і + Фі-1,і + Фі,і+1 + Фі,і-1 + На и+1,і - иі-и
Фі. і =-
Ах2
АУ2
2Ах
Ах2 Ау2
(22)
0
X
Для системы (14) будем иметь
и+1,у + и1 -1, у_ + и1, у+1 + и1, у-1 _ На ( \ у+1 - В1,у-1
и,у =-^------------------------------------------^ ^ 2Ау -; (23)
Ах2 Ау2 В+Ц + В-1,] + В,]+1 + В,]-1 + На иг,] +1 - и1,]-1
В,] = —^. (24)
Ах2 Ау2
Результаты решения уравнений
Предварительно было рассчитано течение непроводящей жидкости, т.е. случай На = 0, при этом получено (как результат вычислений) |ф|< 10-4, |£| < 10-4, а профили скорости и хорошо соответствуют аналитическим распределениям, представленным в [1].
Далее рассчитано собственно МГД-течение проводящей жидкости. На рис. 4 и 5 представлены поверхности скоростей и изолинии продольной компоненты скорости. Ниже на рис. 6 представлены результаты сопоставления скоростей, найденных с использованием двух различных форм уравнений.
Рис. 4. Поверхность скорости при На = 9.
Слева - расчет по уравнениям (13), справа - по уравнениям (14)
0.2 0.4 0.6 0 8 1 12 14 1.6 1.8
X
0 0.2 0.4 0 6 0.В 1 12 1.4 16 18 2
X
Рис. 5. Изолинии скорости при На = 9.
Слева - расчет по уравнениям (13), справа - по уравнениям (14)
X у
Рис. 6. Профили скоростей в сечениях, проходящих через центр канала параллельно осям Ох и Оу соответственно. Сплошная линия - расчет по уравнениям (13), пунктир - по уравнениям (14)
На рис. 7 - 10 представлена электромагнитная составляющая рассматриваемой МГД-задачи. Так, на рис. 7 и 8 - поверхность и изолинии потенциала индуцированного электрического поля; на рис. 9 и 10 - поверхность и изолинии магнитной индукции.
Рис. 7. Поверхность потенциала индуцированного электрического поля
X
Рис. 8. Изолинии потенциала индуцированного электрического поля
Рис. 9. Рассчитываемая компонента вектора магнитной индукции
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1..
х
Рис. 10. Изолинии индуцированной магнитной индукции
Теперь покажем воздействие внешнего электрического поля на скорость и направление движения жидкости. Возьмем значения внешнего электрического поля, равные -0,04, 0,04, 0,2.
X у
Рис. 11. Воздействие внешнего электрического поля на направление и скорость движения жидкости. На = 9. 1 - Ех = 0; 2 - Ех = -0,04; 3 - Ех = 0,04; 4 - Ех = 0,2
Из рис. 11 видно, что, воздействуя на электропроводящую жидкость внешним электромагнитным полем, можно управлять как величиной ее скорости, так и направлением ее движения.
Далее покажем, что полный ток в канале равен нулю. Формула для вычисления полного тока [2]:
I(x) = JГ— + U1 dy = const = 0 . (25)
0 V dx /
Интеграл находим численно при помощи формулы трапеций. В результате этого
был получен следующий график (рис. 12)
Как видно на рис. 12, значения полного тока приближенно можно считать нулевыми. С увеличением количества точек повышается и точность решения, а абсолютные значения полного тока еще более уменьшаются.
Заключение
Таким образом, в работе построена математическая модель автомодельного МГД-течения проводящей жидкости в скрещенном электромагнитном поле. Предложен простейший вычислительный алгоритм решения данной задачи. Расчетами продемонстрирована возможность управления потоком вязкой, проводящей жидкости целенаправленным воздействием внешнего электромагнитного поля.
x
Рис. 12. Значения полного тока найденного по (25), при На = 9. Пунктирная линия - расчет на сетке 30 х 30. Сплошная линия - на сетке 40 х 40
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 607 с.
2. Тананаев А.В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979. 368 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
БУБЕНЧИКОВ Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
ФЕДИН Дмитрий Борисович, аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
КОНОЧУК Алексей Сергеевич, аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 04.09.2009 г.
