Моделирование течения вязкой электропроводящей жидкости в плоском канале с движущейся стенкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

surface premelting // Surface Science. - 1996. - № 366. -P. 43-50.

17. Rempel A. W„ Worster M.G. The interaction between a particle and an advancing solidification front // Journal of Crystal Growth. - 1999. - № 205. - P. 427 - 440.

18. Wettlaufer J.S. Dynamics of Ice Surfaces // Interface Science. - 2001. - № 9. - P. 117-129.

19. Bluhm H„ Ogletree D.F., Fadley C.S., Hussain Z, Salmeron M. The premelting of ice studied with photo-electron spectroscopy // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2002. - №14. - L227-L233.

20. Wei X., Shen Y.R. Vibrational spectroscopy of ice interfaces//Appl. Phys. B. -2002. -№ 74. - P. 617-620.

21. Libbrecht KG. The physics of snow crystals // Reports on Progress in Physics. - 2005. - №68. - P. 855-895.

22. Литвинова Т.А. Фазовый состав воды строительных материалов при отрицательных температурах

// Успехи строительной физики в СССР. Науч. труды НИИСФ. - Вып. З.-М., 1967.-С. 38-46.

23. Starostin Е. G., Timofeev А. М. Dependence of unfrozen water quantity on total moisture content // Ground Freezing 97. - Rotterdam, Balkema, 1997. - P. 161-164.

24. Starostin E. G. Estimation of unfrozen water content from adsorption isotherms // Permafrost Engineering: Proseedings of Fifth International Symposium on Permafrost Engineering. - Vol. 1. - Yakutsk, 2002. - P. 88-91.

25. Hindmarsh J.P., Russel A. V., Chen X.D. Experimental and numerical analysis of the temperature transition of a suspensed freezing water droplet 11 Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 2003. - Vol. 43. - P. 1199-1213.

26. Hilling W.B. Measurement of interfacial free energy for ice/water system // Journal of Crystal Growth. — 1998.-№183.-P. 463-468.

♦» ♦» ♦>

УДК 538.69.01: 519.634

Моделирование течения вязкой электропроводящей жидкости в плоском канале с движущейся стенкой

В.Б. Тимофеев

Рассмотрена математическая модель течения вязкой электропроводящей жидкости в плоском канале с движущейся стенкой во внешнем поперечном магнитном поле. Получены выражения для профиля скорости в различных постановках задачи. Показано, что использование переменных «скорость — индуцированное электрическое поле» позволяет перейти от системы уравнений к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Исследовано влияние движения источника внешнего магнитного поля на профиль скорости жидкости.

The mathematical model of the viscous conductive liquid flow in the flat channel with a moving wall in an external cross magnetic field is considered. Expressions for a profile of speed in various stating of the problem are received. It is shown, that use of variables " speed- an induced electric field" allows to pass from system of the equations to one differential equation of the second order. Influence of movement of a source of an external magnetic field on a profile of speed of a liquid is investigated.

Течение вязкой электропроводящей жидкости в плоском канале в магнитном поле является простейшей моделью различных МГД-устройств и продолжает представлять интерес для исследования различных магнитогидродинамических эффектов [2]. В данной работе рассмотрено ста-

ТИМОФЕЕВ Владимир Борисович - ст. преподаватель Технического института (филиала) ЯГУ в г. Не-рюнгри.

ционарное магнитогидродинамическое течение вязкой электропроводящей жидкости в плоском канале с продольно движущейся стенкой. Внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно стенкам канала. Гидродинамическое течение вязкой жидкости между параллельными плоскостями в отсутствие внешнего магнитного поля и разности давлений на концах канала, когда одна из плоскостей движется параллельно другой, вызывается прилипанием жидкости к движущей-

48

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ, 2008. №1

ся стенке и описывается линеиным законом распределения скоростей [2]. Магнитогидроди-намическое течение электропроводящей жидкости между неподвижными параллельными плоскостями во внешнем поперечном однородном магнитном поле, возникающее под действием перепада давления вдоль канала, известно как течение Гартмана. Профиль скорости жидкости описывается в этом случае комбинацией гиперболических функций [3]. В предлагаемой работе исследуется случай плоского стационарного течения вязкой электропроводящей жидкости при одновременном влиянии двух факторов: продольного движения стенки канала и внешнего магнитного поля, направленного перпендикулярно стенкам канала.

Геометрию задачи выберем согласно рис. 1. Верхняя стенка движется вдоль оси х со скоростью У0, нижняя - неподвижна. Внешнее магнитное поле направлено вдоль оси у, I - ширина канала. Силы вязкого трения, возникающие при движении стенки, вызывают течение жидкости в направлении оси х.

У

Vn

V(y)

/

JГ

Рис. 1. Геометрия задачи

Рассматриваемое течение моделируется системой магнитогидродинамических уравнений: 1

W + — {jxB) = 0,

CJ]

j = <j[E + -{V*B)\,

(1)

где у - плотность тока; В - индукция магнитного поля; с - скорость света; т] - динамическая вязкость; <7 - удельная электропроводность жидкости; Е - потенциальное электрическое поле индуцированное движением жидкости. Система уравнений (1) должна быть дополнена уравне-

ниями электромагнитного поля и соответствующими граничными условиями. Индуцированное магнитное поле имеет только х-компоненту и не входит в уравнения (1). Для решения задачи в «магнитной» постановке исключим из (1) потенциальное электрическое поле, применяя операцию rot к закону Ома [4]. Уравнения преобразуем к симметричной форме в переменных: скорость, индуцированное магнитное поле

На dB

I

dy d2B

dy

HadV n

. +--= 0.

dy I dy

(2)

¿y

Ати I— Ак

где В' =—4от]В, ШВ' =—), На =

с с с \ Т]

число Гартмана, Во — индукция внешнего магнитного поля.

Из (2) следует уравнение для скорости жидкости:

£У_

dy3

На1 dV

= 0.

I2 dy

Решение уравнения (3) имеет вид

(3)

На— -На-

' + С3е 1 .

У(у) = С,+С2е Граничные условия для скорости

Г(0) = 0, Г(0 = Го

позволяют найти две константы в решении (4). Третья константа может быть найдена из граничных условий для магнитного поля:

(4)

(5)

В'

'(0)-гШ=-/: =—ГдФ. (6)

с Г J

2л

с

Условие (6) представляет собой магнитное поле токовой плоскости, 1: - полный ток, текущий через единицу длины канала. Граничные условия для индуцированного магнитного поля зависят от пространственного распределения тока. Ток, в свою очередь, определяется из закона Ома в (1) и зависит от распределения электрического поля. Электрическое поле может быть найдено из уравнения электростатики:

divE = — div{V хВ) = 0, с

(7)

■ = 0, Е. =cosi = 0.

(8)

откуда следует

¿Е.

-г;' dz

В рассматриваемой задаче отсутствует внешнее электрическое поле, поэтому следует считать, что Е-_ =0. Этот результат позволяет найти плотность тока и граничное условие (6).

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ, 2008. №1 4 Заказ №17

Из симметрии уравнений (2) следует, что общее решение для индуцированного магнитного поля имеет такой же вид, как и общее решение для скорости жидкости (4). Используя полученные решения и граничные условия, можно показать, что константа С/ в (4) равна нулю. Граничные условия (5) позволяют найти С2 и Сз и окончательное решение для скорости жидкости

$пНа

(9)

Профиль скорости (9) показан на рис. 2. График построен в безразмерных переменных (¥0 = 1, /= 1) для числа На = 3.

Чу)

Рис. 2. Профиль скорости в канале с движущейся стенкой (источник магнитного поля неподвижен)

Решение (9) проще получить в «электрической» постановке задачи, используя в качестве неизвестных функций скорость жидкости и электрическое поле. Подставляя ток из закона Ома в уравнение Навье-Стокса в (1) и используя (8), получим уравнение с одним неизвестным

а2г

На2

7 = 0.

(10)

фА Г

Решение уравнения (10) с граничными условиями (5) есть (9). Средняя скорость жидкости убывает с увеличением числа Гартмана

= (и)

I* Наск{На! 2)

В полученном решении источник магнитного поля считался неподвижным, а магнитное поле препятствовало увлечению проводящей жидко-

сти движущейся стенкой. В том случае, когда источник магнитного поля движется вместе со стенкой, ситуация существенно меняется. Движение источника магнитного поля индуцирует электрическое поле в соответствии с формулами преобразования электромагнитного поля в специальной теории относительности (У0«с):

£ = -1(У0хВ0). (12)

с

Подстановка (12) в закон Ома из (1) приводит к следующему уравнению для скорости жидкости:

с12У На1 (т, т. \ . —Г--?^(г-г*)=о. (13) ау~ Г

Решение (13) имеет вид:

Профиль скорости (14) показан на рис. 3, кривая 1.

ОВ

У(у)

0.4

Рис. 3. Профили скорости в канале с движущейся стенкой (источник магнитного поля движется вместе со стенкой)

Средняя скорость жидкости растет с увеличением числа Гартмана:

(У(у)) = У0

1-

1 дА(Яд/ 2) На сИ(На/2)

При движении источника магнитного поля вместе со стенкой наблюдается эффект увлечения проводящей жидкости магнитным полем.

Эффект движения источника магнитного поля (кривая 1) можно получить простым преоб-

50

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ. 2008. №1

разованием системы отсчета. Пусть стенка с координатой у = I движется, а источник магнитного поля неподвижен. Совершим переход в систему отсчета, движущуюся вместе со стенкой У'(у) = У(у)— У0. В новой системе отсчета стенка с координатой у = I неподвижна, у = 0 -движется вместе с источником магнитного поля со скоростью -Уо. Меняя знак при У0, получим из (9)

Профиль скорости (15) показан на рис. 3 (кривая 2).

В рассматриваемой задаче система МГД-уравнений в переменных скорость - электрическое поле оказалась предпочтительнее системы уравнений в переменных скорость - магнитное поле. Получение граничных условий для индуцированного магнитного поля требует знания распределения тока, которое зависит, в свою очередь, от индуцированного электрического поля. Существуют магнитогидродинамические задачи, в которых переменные скорость - магнитное поле оказываются предпочтительнее. К таким задачам относится течение Гартмана в

прямолинейных каналах, имеющих конечные поперечные размеры. Система токов в таких каналах образует бесконечный прямолинейный соленоид, вне которого индуцированное магнитное поле всегда равно нулю.

Внешнее магнитное поле создает эффект торможения проводящей жидкости, когда источник магнитного поля неподвижен, и эффект увлечения, когда источник магнитного поля движется вместе со стенкой. Проводящая жидкость как бы «приклеена» к источнику магнитного поля. Число Гартмана определяет величину этого эффекта.

Литература

1. Еленина Т.Г., Устюгова Г.В. Численное моделирование МГД-течений, возникающих при движении проводящей плоскости в идеальнопроводящей плазме: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. - М., 2004.

2. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика. - М: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 384 с.

3. Половин Р. В., Демуцкий В. П. Основы магнитной гидродинамики. - М: Энергоатомиздат, 1989. -208 с.

4. Лойцянский Л,Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1973.-848 с.

♦> ♦> ♦>

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ, 2008, №1

51