CC BY
6УДК 519.21
СТШЮСТЬ РОЗВ'ЯЗК1В Л1Н1ЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЩАЛЬНИХ РГОНЯНЬ У ГШЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОР1
(с) HiKiTÎH А.В.
Черншецький нацюнальний ун1верситет im. Ю. Федьковича факультет прикладно! математики
вул. Коцювинського, 2, м. Черн1вц1, 58012, Украша e-mail: nik_tol@rambler.ru
Abstract.We obtain conditions of asymptotical stability in mean square of solutions of systems of stohastic Ito-Skorochod differential equations in space of Hilbert.
ВСТУП
Аеимптотичш ¡a/iani для стохастичних диференщальних рпшянь виникали i розв'язувалися одночасно з виникненням теорп стохастичних диференщальних pin-нянь, осгальки засновник щеТ теорп ИЛ, Пхман розглядав задач*! про аеимптотичну поведшку як перипнш. ( 'a.\ii стохастнчш днференщальш рпшяння будувалиея ИЛ, Г1хманом для того, щоб можна було не тшьки строго еформулювати аснмптотнчш задач*!, але й ïx розв'язувати, Можна видшити тага напрямки дослщження асимпто-тичних властивостей днна.м'рпшх систем з випадковими збуреннями:
1) дослщження поиедшкн днна.м'рпнл системи при t —оо;
2) дослщження системи, що залежить шд малого параметру : > 0 при його пря-MVBanni до 0;
3) доелщження системи при одночаеному прямуванн1 : до 0. a t до +оо.
При po iiviM. ii асимптотичноТ пог.ед'шкн . ишам'рикл системи дослщпик1в щкавить ciaoi. li ianin н'к-ï системи, Термшом "стабш1защя"системи можна характернзуватп домку законом1ршсть, яка притаманна повед1нщ системи, Найбшьш грубим характером такси ciaoi. li ianiï е обмежен1сть за ймов1рн1стю, з якоТ внплнвае ергодпчн1сть днна.м'рпнл системи, Ця г,. laci iir.ici ь найбшьш точно характерпзуе пог.ед'шку системи на про.\ижку [0,+оо). При вивченн1 пог.ед'шкн .ишам'шнпх систем на [0,+оо) при-родно впнпкають питания про аеимптотичну стшгасть н'к-Т системи в око. ii стану р'пшог.агн чи ïï iieci iîîi<lc-1 ь. Для стохастичних систем при пег,них припущенных iз ci ii'iKoci i впплпвае аснмптотнчна ci *h"ik*h-i ь. Особ, in г,у защкавлен1сть представляють собою лшшш системи, для яких фазова нульова точка е единою точкою р1вноваги, TaKi системи або CTiftKi, або нестшга, при цьому система або прямуе до безмежпост1, або осцилюе. Перенесения результате, що стосуються стохастичних диференщальних р1внянь у екшченновим1рних просторах на безмежновим1рний випадок далеко не i pnr.ia. п>не. Впвчення стохастичних лшшних систем призвело до поняття стоха-стичноТ nir,групп, яке г, ni г, А,В, Скороход, Середньоквадратична стшгасть розв'язгав лшшних лшшних стохастичних диференщальних рпшянь пов'язана ¡i c i iiiKici ю вже невнпадковнх nierpyn у банаховому npocTopi . ГпГп'пшх оператор1в, що . liioi ь у гшь-бертовому npocTopi, Дана робота продовжуе щ дос. пдження i прпсвячена анал1зу
34
Нгкгтгн А.В.
етшкоеи систем стохастичних диференщальних рпшянь з пуассоновими збуреннями у гшьбертовому npocxopi у неекшченновим1рному випадку,
1, Перший роздш
Нехай X - гшьбертовий простар над R i3 скалярним добутком (-,-)х 1 нормою || • ||х;. Розглянемо випадковий процес {x(t) = x(t,oo),t < to} С Rn, заданий на ймов1ршсному npocxopi (О, F, Р) як сильний розв'язок системи стохастичних диференщальних рпшянь вигляду
оо „
dx(t) = Ax(t)dt + 2~2[Bix(t)dWi(t) + / Ci(u)x(t)i>i(dt, du)], t > t0, (1)
x(t0) = x0, (2)
де {Wi(t)}, {W2(t)},... - стандарта! вшер1веьга процеси; vi(dt,du),vr(dt,du),... -центрован! пуасеошвеьга .\iipn: A. /¿(. / = 1,2,,,, - дшеш матрищ ро ¡.\iipy п х п; {Cj(u)}, j = 1,2,... - матрищ-функцп тага, що
laj л
V / \Cj(u)\2Hj(du) < +оо.
J—1 и
Вивчимо питания асимптотичноТ иоведшки розв'язку системи (1), (2) на нескш-ченному ппорин. ii часу.
Теорема 1. (Kpniepiii асимптотично! п Hi коп i у еередньому квадратичному) Тривгалъний розв'язок x{t) = 0 задачг (1), (2) асимптотично етткий у еередньому квадратичному modi % тыъки modi, коли виконуються наступт умови:
1) матриця А гурвщева;
2) генуе розв'язок Н = НТ > 0пхп узагальненого м,атри,чного р1,вняння, Сыъве-стра
оо „
А' И + НА + YysjHB, + / (■f(ii)IICl(ii)\\l(<hi)~ = -G, (3)
deG = GL > О
Доведения. Оскшьки система (1) лшшна 1 автономна, то потр1бну функщю Ляпунова <-. п. г шукати серед додатно визначених квадратичних форм вигляду
V (х) = хТНх, (4)
де невщому матрицю II = 11г >()„.„ ин значимо .1а. 1*1.
Перев1рпмо умови, якими повинна володгап функщя Ляпунова, щоб роз вязок системи буи асимптотично етшким у еередньому квадратичному:
Ат1п(#)|а;|2 < ь(х) = хтНх < \шах{Н)\х\2, Обчислимо оператор Ьу(х) на розв'язках системи (1):
Стгйкгстъ розв'язкгв лгнгйних стохастичних диференщальних ргвнянъ ... 35
^ оо
Lv{x) = (Vv(x),Ax) + -sp^2lV2v{x)Bix{Bix)T+
2
1=1
/оо оо
v(x + ^^ Ci(u)x) — v(x) — (Vv(x), ^^ Ci(u)x(t))Tli(du) =
U i=1 ¿=1
oo „
xTATHx + xTHAx + J2lxTBIнвгх + / жТС^(м)ЯСг(м)я;Пг(с1м)]
оо
= xT[ATH + HA + J2[BjHBt + J Cf(u)HCt(u)Ut(du)]]x. Оператор Lv(x) буде вщ'емним m/ii i тшьки m/ii. коли матриця
оо „
ATH + НА + ^21вТнвг+ / C[(u)HGt(u)Ilt(du)}
буде вщ'емно визначеною, що, у свою черту, можливо m/ii i тшьки m/ii. коли матриця II = II ' > ()„ . „ знаходитьея як розв'язок (3). Теорему доведено. □
Розглянемо функщю Ляпунова у ипг. m/ii квадратично! форми
v(x) = хтН0х, (5)
де Пп = 11,1 > ()„. „ - розв'язок матричного рпшяння Ляпунова
А1'Н0 + Н0А = -G, (6)
де G = GT > 0„х„. Р1вняння (6) виникае з р1вняння (3) при вщеутноета випадкових збурепь.
Теорема 2. Для гурвщевог матрищ А розв'язок x{t) = 0 задачг (1), (2) асимпто-тично стткий у середньому квадратичному modi, коли виконуетъся nepienicmb
оо „
АТН0 + Н0А + ^^ЩВ, + J Cf(u)H0Ct(u)Ilt(du)] < 0пхп,
де Н0 = Щ > Опхп ~ розв'язок матричного ргвняння Ляпунова (6).
Доведения теореми 2 здшенюетьея повторениям ходу доведения теореми 1 ето-еовно функцп Ляпунова (5).
Теорема 3. Розв'язок x{t) = 0 задачг (1), (2) з невиродоюеними матрицями Bi та Ci{u), % = 1,2,... асимптотично стткий у середньом,у квадратичному, якщо матриця А гурвщева % виконуетъся, матрична Hepiemcmb
оо „
J^BfiHoo - 1)Вг + J Cj{u){Hoo - I)Ci(u)Ui(du)] < 0пхп,
36
Нгкгтгн А. В.
де Н00 = Щ0 > Опхп ~ розв'язок матричного ргвняння Ляпунова
АГНт + НтА = - ^2[в1вг + / СГ(и)Сг(и)11г((1и)}. (7)
Доведения. Оскшьки у випадку невиродженоси матриць /¿( та ((и). / = 1,2,..., виконуються нер1вноета
> Опхп, ^ / СЦи^иЩ^и) > Опхп,
1=1 г=1 ц
то функщею Ляпунова для збурено! задач1 (1), (2) може бути квадратична форма фазових змшних
у(х) = хТН00х, (8)
де Ща = > 0пхп ~ розв'язок матричного р1вняння Ляпунова (7),
Оскшьки вимагаетьея вщ'емшеть Ьу(х) на розв'язках задач1 (1), (2), то вико-нуетьея норпшн"! ь
оо „
АТН00 + Н00А + ^21в1нооВг + / С[(и)Н00Сг(и)Щ<1и)} < 0.
^пхп,
звщки, враховуючи (7), отримуемо твердження теореми 3, □
Теорема 4. Для, стгйког матрищ А г невироджених матриць В^ та С^и), % = 1,2,..., достатньою умовою асимптотичног стгйкостг у серед-нъому квадратичному розв'язку х^) = 0 задачг (1), (2) е виконання для, слгду матрищ Н00 нергвностг
¿гЯоо <1. (9)
Доведения. Зпдно твердження теореми 3, достатньою умовою аеимптотичноТ етш-коп*1 у еередньому квадратичному розв'язку .г(/) = 0 задач1 (1), (2) е виконання нер1вноета
сю „
00 - 1)Вг + / С[(и)(Н00 - 1)Сг(и)Щ4и)] < 0,
-'пхп,
яка справедлива тод1 1 тшьки тсцц, коли вщ'емно визначеною е матриця Н00 — I. Звщеи внплнвае, що к<м влаеш значения додатно визначено! матрищ Н00 поиннш бути менни за одиницю, тобто Х(Н00) < 1, Достатньою умовою того, щоб Х(Н00) < 1 е нер1вшеть (9) для елщу матрищ Наа [3], Теорему 4 доведено, □
Заключения
У робот% одержат наступнг результати: встановлет необхлднл % достатнг умови асимптотичног стгйкостг у еередньому квадратичному розв'язкгв ЛСДР 1то-Скорохода, у гглъбертовому просторг.
Стгйкгстъ розв'язкгв лгнгйних стохастичних диференцгалъних ргвнянъ ... 37
список л1тератури
1. Гихмап И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. -Киев: Наук, думка, 1982. - 612 с.
2. Hinimm A.B. Асимптотична стшшсть у еередньому квадратичному розв'язшв систем лшшних диференщально-р1зницевих р1внянь з векторним вшер1вським процесом та пуассошвськими пе-ремиканнями // Шсник Кшвського ушверситету. Сер1я: ф1зико-математичш науки, В.З, 2001. — С. 312-319.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.
Статья поступила в редакцию 04-04-2009
