Оцiнювання за зашумленними спостереженнями невiдомих даних лiнiйних елiптичних рiвнянь, що допускають змiшане варiацiйне формулювання Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ОЦ1НЮВАННЯ ЗА ЗАШУМЛЕННИМИ СПОСТЕРЕЖЕННЯМИ НЕВ1ДОМИХ ДАНИХ Л1Н1ЙНИХ ЕЛ1ПТИЧНИХ РШНЯНЬ, ЩО ДОПУСКАЮТЬ ЗМ1ШАНЕ ВАР1АЦ1ЙНЕ ФОРМУЛЮВАНННЯ

(с) Горбатенко М.Ю.

Чершвецький нацюнальний ун1верситет ш.Ю.Федьковича факультет прикладно! математики

вул. Ушверситетська 28, м. Черн1вц1, 58000, Украша e-mail: Mikola.Gorbatenko@gmail.com

Abstract. We obtain a new class of systems of variational equations via whose solutions the minimax estimates of values of functionals from unknown right-hand sides of the second order linear elliptic equations are expressed.

вступ

Бшышсть результате в га. iy ¡i мтмакеного ощнювання була одержана з викори-етанням традищйно! постановки вщповщних вар1ащйних крайових задач, доведения н-нуинння i (•. uihoci i ро згЛпк'п; яких ieTOTHO епираетьея на вщому л ему Лакеа-Мшьграма (див. [1] i вказану там . li iepa iypy).

Такий iii/ixi/i дозволяе, наприклад, в етацюнарних задачах теплопровщноета ощ-нюватн невщомнй розподш щшьноета джерел за епоетереженнямн температуря. Одних не меншнй штерее являе собою також задача ощнювання цього po iiio. ii.iy за епоетереженнямн теплового потоку. Bi/i.\in н.\ю. що r,i/io.\ii на цей чае методи ощнювання не дозволяють розв'язувати по. lioni задач*!.

В робот1 запропоновано новпй метод, який дае ¡.могу оцшюватп невщомий розподш mi. ibiiici i джерел, як за епоетереженнямн температури, так i за епоетережен-нямп теплового потоку.

Розроблений метод епираетьея на зминаш вар1ацшш постановки, започатковаш в роботах I. Бабушки i Ф. Брецщ (див. [12]).

Назван! задач*! ощнювання мають важливе прикладке значения в багатьох галу-зях, тому 'fx теоретичний aim. из е актуальним.

1. допом1жн1 факти

В робота викориетовуютьея папупш иозначення:

Н - гшьбертовий проетар над R i3 екалярним добутком (•, -)я i нормою || • \\н',

Jh G L(H, Н') - оператор, що називаетьея ¿зометричпим 1зоморф1змом, який д1е » II па його спряжений проетар Н' та впзначаетьея piBnicTio1 (v, и)н = < v, J ни >нхн> Уи, г е II. де < .г. J >нхн> '■= f(x) для .г е II. J е Н'-,

х = (aii,... ,хп) - проеторова ¡.\iiinm. що змшюетьея в обмеженш гДдкрт iii мно->Kinii Dcl",3 лшшнцевою границею Г; dx = dxi • • • dxn - Mipa Лебега в R";

L2(D) - проетар функцш, еумовпих з квадратом в облаета D;

1Цей оператор icnye в силу теореми Picca.

Hk(D) i Hq(D) - стандарты! простори Соболева цшого порядку к > 0 в облаета D з вщповщною нормою;

gradp := divv:=£r=iH;2

H(d iv; D) :— {v G L2(D)", divv G L2(D)} — гшьбертав npociip з нормою

llVllff(div;D) := IIMI^D)« + lldivvlHa^)}1/2;

Позначимо через L2(il, H) npociip Бохнера, що екладаетьея з випадкових елемен-TiB £ = £(и>), внзначеннх на деякому ймов1ртсиому npoeTopi (О, B, Р) 3i значениями в II таких, що

пенься) = J пениями < с». (1)

п

В цьому випадку icnve нейтрал Бохнера := fQ^(u>) dP(uj) G II. що назнваетьея математнчннм епод1ванням або еередшм внпадкового елемента £(w), що задовольняе умову

(1г,Щ)н = j (h,£(u))HdP(и) У1г G II. (2)

п

Заетоеовуючн до внпадковоТ велнчннн це внзначення приводить до традицшного означения ii математичного спод1вания, осгальки нейтрал Бохнера (1) переходить у звичайний inierpa.i Лебега по ймов1ршенш Mipi dP(uj). У L2(il,H) можна ввести екалярний добуток:

(С, л)ьцп,н) ■= j (СМ, Т](ш))н dP(oo) VC, V е L2(tt, Я). (3)

п

Викориетовуючи знак математичного епод1вання для випадкових величин, pimio-CTi (1)-(3) можна заппеатн у виглядк

11£||12(п,я) = (4)

(1г,Щ)н =Е(/1,СН)я VheH, (5)

(С, г})ьцп,н) ■= г](ш))н VC, г] G Ь2(П, Я). (6)

Проеир L2(il,H), оснащений нормою (4) i скалярним добутком (6), е гшьбертовим. Постановка задач! ощнювання. Нехай стан системи характеризуемся функ-щею г'(./•)• яка визначаються як узагальнений розв'язок крайово! задач*! . lipix. ie:

—<li(A grad ср) = / в I). (7)

(р = 0 на Г, (8)

яку, yr.ir,шп !.\iiнIiy j = — A grad р. можна заппеатн у ингля ii екг,*п;а. icin ноТ системи иершого порядку:

А 1 j = grad р в I). (9)

divj = / в I). ср = 0 на Г, (10)

де А = А(х) = (a,ij(x)) спметрпчна п х n-матриця з елементамп a,ij G L°°(D), для якоТ icnyioi ь тага додатш числа //| i //•_>. що викопуеться iiopir.iiin ь

2Частинш похщш, що входять до вираз1в gradp i divv слад розумии у ceiici розподшв у D.

Ml ЕГ=1 с2 < Еу=1 афШз < V2 ЕГ=1 с2 Vx G D, С = (Сь ■ ■ ■, tn) е R", через А-1 позначена, обернена до А, У гДдпошдноп i з [12], шд узагальненим розв'язком задач*! (9)—(10) будем о ро ¡ум'п н пару функцш (j ,ip) G H(div,D) х L2(il), що задовольняе ешввщношенням

(A (a;)j(a;), q(x))mndx + J q(x) dx = 0 Vq G ff(div; D) (11)

D D

vdivj(x)dx= f(x)v(x)dx Vi; e L2(D), (12)

Зауважимо, що i3 (11) i (12) випливае tp G Hq(D).

3 ф1зично! токи зору, крайова задача (4)—(6), або екв1валента до не! задача (9)-(10), моделюе уеталений процесс розповсюдженпя тепла в облаета Г), при цьому фупкцп <р(х), A^l(x)j(x) i f(x) гДдпошдно мають смисл температури, теплового потоку i об'емно! щшьиоета теплових джерел в точщ х.

Bi. Iзначимо ще, що для знаходження узагальненого розв'язку в [12] на баз*! так званого змшаного методу екшченннх елементав, ро зроблеш ефективш чпселып ал-горптмн,

Вважаетьея, що функщя f(x) у р1вняннях (10) i (12) - невщома i належить множив!

Go := {/ G L2(D) : (q(J - /0), /■- /0)^ < l}, (13)

де /о G L2(D) - задана функщя, Q : L2(D) —L2(D) - неперервний додатньо визна-чений самоспряжений оператор, обернений для якого обмежений.

Задача, що дослщжуеться в данш робота, полягае в тому, щоб за спостереженням випадкових елементав вигляду

yi(j;Vi) = Cij + %, y2((p;7j2) =C2(p + rj2, (14)

що належать сепарабельним гшьбертовим просторам П\ i Н2 над R вщповщно, оць н II I п значения лшшного функцюналу

1(f) ■= J k(x)f(x)dx (15)

D

в к. iaci oniiioK вигляду

Kf) '■= (yi(j; Vi), u^m + (2/2(9?; V2), U2)h2 + C, (16)

де (j,ip) - ner.i. lo.Miiii узагальнений розв'язок задач*! (9) (10). /0 - заданий елемент i3 L2(D)n i L2(D), Щ e Яь Щ е Н2, С е R, Сг е L(L2p)", #0 i С2 е L(L2(D), Н2)-л'пш'пп неперервн1 оператори, (r]i,r]2) е Gi, а через G\ позначено множину випадкових елементав fji = fji(u>) G L2(il,Hi) i f)2 = fj2(oj) G L2(il,H2) з нульовими еередшми, що задовольняють vmobv

HQiVi, fji)Hl + E(Q2%, т)н2 < 1, (17)

в якш 1 - задаш в Н\ \ Н2 обмежеш еамоепряжеш додатньо визначеш опера-тори, що мають обмежеш обернет.

Означения 1. Оцшку вигляду

КЛ = (УгО; »71), йг)н1 + (2/2(9?; Ш), йг)я2 + с (18)

будемо називати мтмакеною оцшкою /(/), якщо елементи «1 6 Я1, «2 £ Я2 1 число с визначаються п умови

вир Ш/)-/(/)|2->- , (19)

А 1 ^^ ' ^^ ^ 1 гг ,- гг ,-тт' ^ '

/еоо ,Й1Л2)е01 «1ея1)И2ея2)сек

де /(/) := (ухО^О^Оях + (У2(ф;т),щ)н2_ + с, - розв'язок задач1 (9)-(10)

при /(ж) = /(х). Величину д : = (Е|/(/) — /(/)|2}х/2 будемо називати иохибкою мшь максного ощнювання виразу /(/).

2, Представления для мгшмаксних ощнок I похивок ощнювання

Введемо до розгляду, при фжсованому и := (и\. и->) Е П \ х //•_> := //. пару функ-цш (их(•; и), г2(-; и)) Е Я(сИу; £)) х Ь2(В), як едпнпй розв'язок наетупноТ крайово! задачк

А-1 и) = §гас1 г2(-; и) — С\ в £>, (20)

сИуг^-; и) = —С\3Н2и2 в £>, (21)

г2(-,и) = 0 на Г, (22)

111.1. якпм <-. п. г ро {ум п н розв'язок иар'тшпноТ задач*!

(А_1(я;) гх(х; и), q(x))gnйx + J г2(х] и)сИ\^(а;) йх = о о

{{Син1и1){х),ф))Жпйх Щ Е Я(сНУ,£>), (23)

в

у(х)сИ\'г^х; и) йх = — J (С2.]н,2и2)(х)у(х) йх Уиё! (й),в £>, (24) о о

де С[ : Н[ —Ь2(П)п 1 ('!, : //.', —- операторп, транеионоваш до С\ 1 С2, що визначаються ешввщношеннями [1)(у^)(х),С1и)(х))м:пйх =< >н1хн'1 для

вс1х V Е Ь2(£>)", и) Е Н[ \ [1) у{х)С\т(х) йх =< >н2хн!2 для них V Е Ь2(В),

из Е Н2. 1з (23) 1 (24) маемо е Щф).

3 теорп вар1ацшпих задач, як*1 допуекають ¡мппано формулювапия (див., на-приклад, [12]), випливае, що функцп Ъ]_(х\ щ, и2), г2(х; щ, и2) визначаються 1з р1в-нянь (23)- (24) единим чином.

Теорема 1. Задача знаходження .мпп.макпюТ оцшки виразу /(/) екжвалеитпа задач1 оптимального керування системою, що опиеуетьея вар1ацшиою задачею (23) - (24) з фупкщею вартоета виду

1(и) = 0 + z2(-; и)), k + Z2(-, u))L2(D) +

+ (Qr V, ui)Hl + (Я2ги2, u2)h2 inf . (25)

и ея

Доведения. В наслщок (14)—(16) маемо при и е Н

Kf) - Kf) = (¡o, f)v2{D) ~ (yi(j; ш), ul)Hl - (y2((p; %), u2)h2 =

= (k, ЛьЦй) ~ Ы, Cij + fji)Hl - (u2, С2ф + щ)н2 - С =

= (lo, f)b2(D)— < JhiUi,Ci$ >я^хя1 - < Jh2U2iC2ÍP >H'2xH2 —(mi, fjl)Hi^(u2; ш)н2~с = = (Cj Jfj1 U,\, ji)L2(D)n - (C\Jh2U2, ф)ь2(В) + (lo, f)h2(D) - (ui, f¡i)Hí - (u2, щ)н2 -с. (26)

Дал1 враховуючи, що операторш р1вияпия (20)-(22) i (9)—(10) при f = f, в силу (23)-(24) i (11)—(12) екг,*п;а. leii i ni вщповщно иаступиим системам вар1ацшних pie-ияпь;

(A^l(x)xi(x),z>i(x',u))mndx + j z2(x] и) di\'Xi(x)dx =

d d

((CÍJHlUi)(x), Xi(x)hn dx Vxi e #(div; D), (27)

d

X2(x) divzx(a;; u) dx = — j (C\ Jh2u2)(x)x2(%) dx V%2 £ L2(D), (28)

d d

(A^l(x)i(x),i¡)l(x))mndx + J ф(х) div ф1(х) dx = 0 ¡E #(div; D), (29)

d d

ф2(х) div j(x) dx = j f (х)ф2(х) dx Щ2 e L2{D), (30)

d d

перетворимо третш i четвертий додапок в (26), Для цього покладемо в (27) i (28) Xi = j i X2 = Ф- Год i отримаемо

(A_1(a;)j(a;), zi(x~, u))^ndx + j z2(x] u) divj(a;) dx =

d d

((CtlJHlul)(x),}(x))Wndx, (31)

d

ф(х)А\\ zi(x] u) dx = — J (C2Jн2и2)(х)ф(х) dx. (32)

d d

3 шшого боку, шдетавляючи в (29) 1 (30) ■ф1 = ях(•; и) I ф2 = г2(-; и), знаходимо

!(А^1(х)}(х),Ъ1(х]и))ш<г<1х + J ф{х) сИуг^а;; щ, и2) йх = 0, (33)

о о

J г2(х] и) сИу ^ж) йх = J/(х)г2(х; и) йх. (34)

о о

1з (31)-(34) отримуемо

о

+ I г2(х] и) }(х) йх + I ф(х) &\\'Ъ1(х] и) йх = / (А 1(ж^(я;), г^х; и))^йх+

в

в

в

+ / ф{х)(Х1\ъ1{х]и)йх + / г2{х]и)(Х\\]{х)йх = (/, г2{-]и)щв) = (/, г2{-]и)щВ).

о

о

Звщси та з (26) випливае, що

КЛ ~ КЛ = (/> к + и)щв) - (иъ щ)Н1 - (щ, щ)н2 - с =

= (/ - /о, к + 22(-; и))ь2(1)) + (/о, 10 + г2(-, и))ь2(1)) - (щ, г~ц)Н1 - (и2, щ)н2 - с. В силу (5) знаходимо

Е

КЛ ~ (КЛ = (й-1о,1о + г2(-,и))щЕ>) + (/0,10 + г2(-,и))Ь2^Е>)-с

+

+Е [(щ,щ)Н1 + (и2,г~12)н2]2-3 оетанньоТ р1вноета отримуемо

т| вир Щ1(Л ~ КЛ\2

¡ес0,(т,г1)еО1

т| вир (/ - /о, 10 + г2(-; и))Г2(В) + (/0,10 + г2(-, и))ь- с

сЕ

•/ее0

+

+ вир Е[(г]1,и1)Н1 + (т,и2)н2]2

вир

/еОо

(¡2 ^ }{2]+г2(-,и))Ь2{в) + вир Е[(%,гл)Я1 + (т, щ)н.2}2,

(до ,т)£Сх1

(35)

де шф1мум по с доеягаетьея при с = (/0,1о + г2(-; и))ьЛал'к заетоеовуючи нер1в-шп ь Кони-Бунягавеького, з (13) отримаемо „ 2 „ О - к,к + 22{", и)) ЩВ) < {Я'1{к+г2{-]и)),10+г2{-]и))12{в)(д(} ^ } ^ к)^^) <

причому ртн1сть досягаеться при

Q-l(k + z2(-;u))

/ = /о +

(Q'l(lо + z2(-; и)), Iо + z(-\u))%2(d] Звщен, отримуемо

sup (/2 - ff \k + z2(-, u))L2{d) = (Q'1(Iq + z2(-, u)), l0 + z2(-, u))L2{d).

feGo

Аналогично, в силу (17), знаходимо

sup E[(fji,ui)Hl + (т,и2)н2f = {Qiluuui)Hl + (Q21u2,u2)h2■ (до ,m)£Gi

1з оетаншх двох р1вностей та з (30) знаходимо

inf sup E|i(/)-i(/)|2 = /(«),

се feGo,(m,v)eGi

при с = (Iq + z2(-; и), /o)l2(d), a I(и) визначаетьея формулою (25), □

В результат! розв'язування задач1 оптимального керуваипя (23) - (25) приходимо до наетупного результату.

Теорема 2. 1енуе едина мтмакена оцшка значения 1(f), яка мае вигляд

Kf) = (yi(i; Vi), Ui)m + (y2(v, ш), йг)я2 + С

де

с= / (10(х) + z2(x))fo(x) dx, iii=QiCipi, й2 = Q2C2p2, (36)

d

а функцп zi, pi G H(div, D) i z2,p2 G L2(D) знаходятьея з розв'язку наступно! еиете-ми вар1ацшннх р1внянь:

(А_1(я;) zi(x), qi(x))gndx + J z2(x)div qi(x) dx =

d d

(C[JHlQiCiPi(x), qi(a:))Kn dx Vqi G H( div, D), (37)

d

vi(x)divzi(x) dx = - J (C2JH2Q2C2p2(x)vi(x) dx V^i G L (D), (38)

d d

(A_1(a;) pi (ж), q2(x))Rndx + Jp2(x)div q2(x) dx = 0 Vq2 G H(div, D), (39)

d d

v^xyiivp^x) dx = J v2(x)Q'1(Iq + z2(-))(x) dx Vv2 G L2(D). (40)

d d

Задача (37) - (40) однозначно розв'язна, Похибка мтмакеного оцшювання д визна-чаеться формулою

д = 1(Я-1(10 + г2)). (41)

Доведения. Покажемо, що розв'язок задач1 оптимального керування (23)-(25) зво-диться до розв'язку системи р1внянь (37)-(40), Для цього епочатку зауважимо, що 13 ВИГЛЯду функцюналу I (и) н-нуе единий елемент й :=е Н, на я кому досягаеться м'ппмум цього функцюналу, тобто 1(й) = т{и£н0 Ни)- Тому, для будь-яких г е 1 1 из = (ги1,1и2) € Н0 виконуеться ешввщношення

й

0 = —1(й + тт) =

М т=о

= о + ^2(-,й)),г2(-,т))12(1)) + (Я11щ,и)1)Н1 + (Я21й2,и}2)н2, (42) де через (гД-; из), ,г2(-;'ш)) позначино единий розв'язок еиетеми р1внянь (23), (24) при и = и).

Даль шпшпн фуикцп рх е II(<П\\ /)) *1 />•_> (г 1У(Р) як единий розв'язок задач*!

(А_1(я;) рДж), Ц2(х))м,*(1х + !р2{х)&\\ <%2{х) йх = $ Vq2 е Я(сИу, £>), (43) о о

^)2(х)сИ\'р1(х) с!х = ! + г2(-; й))(х) йх \/г;2 е Ь2(.0). (44)

о о

1 пров1вши м'цжуг.ання под1бш до тих, яга викориетовувалиеь при доведепш теоре-ми 1, прийдемо до наетупно! р1впоета

о + ^2(-;й)),52(-;^))ь2(г>) = -(гоьСгрОях - (и}2,С2р2)н2-звщки, внаелщок (42), знайдемо

(и)1,Сф1)Н1 + {п)2,С2Р2)н2 = (ОГ^Ь^Оя! + (^21й2,г«2 )я2,

Звщси впплпвае, що и\ = ЯгСфг, и-> = (}■>( Замшюючи в правпх чаетпнах р1вноетей (23), (24) щ 1 щ вщповщно на зпайдеш впразп щ 1 й2 1, вводячп позначен-ня г^х;11,1,11,2) =: Ъ\{х), _г2(а;; йь й2) =: ¿2(х), отрпмуемо, що функцп (гь,г2) 1 (Р1;Р2) задовольняють сипом*! р1внянь (37) - (40), однозначна розв'язшеть яко! впплпвае з едпноета елементу й = (Й1,й2),

Знайдемо дал*1 похпбку оцшювапия, Шдставляючи значения й\ = рх

1 й2 = Я2С2Р2 У вираз для 1{й), отримуемо

в = 1{й) = (Q_Hгo + ^2(sйl,й2)),/o + ^2(sйl,й2))L2(д) + (Q^1йl,йl)я1 + (Q21й2,й2)я2 =

= (<2_1(*о + ¿2), к + Ь)и>(0) + (С1Р1, ОгСгрОя! + (С2Р2, ОгСгЫя,■ (45) Шдставляючи в (39) 1 (40) <^ = ^'^2 = ¿2, знаходимо

(А_1(я;) рх(а;), Ъ1{х))^пс1,х + JР2(ж)с1Ь'21(я;) йх = 0, о о

¿2(х)&\4 Тр]_(х) <1х = J ¿2(х)Я (1о + ¿2)(х) с1,Х.

О О

3 оетаншх двох ешввщношень 1 з системи вар1ащйних р1внянь (37) 1 (38), в яких покладено Чг = Рг 1 = />•_> матимемо

+ ¿2),к + ¿2)ьцв) = + ¿2)ьцв) + ^ г2(х)(11\'р1(х) йх+

о

+ ! (А_1(я;) Р1(ж), %1(х))шпс1х + ! р2(х)(И\'2,1(х) йх = о о

= + ))ь'2(в) + !{А_1(я;) Рг(а;), Ъ1{х))Шпйх + J г2(х)сИ\* р^х) йх+

о о

+ JР2(х)(И\'^(х) йх = (10,Я'1(1о + ¿2))ь2(в) - ! (с^7я1<31С,1Р1(а;),р1(а;))Кп вх-

о о

С^н2Я2С2Р2(х)Р2(х) йх = + г2)) - (С1Р1, ЯгСф^Нг - (С2Р2, Я2С2Р2)н2-

о

Звщси 1 з (45) випливае ешввщношення (41) для виразу похибки оцшювання, □

1нше представления для .мпп.макпюТ оцшки, яке не залежить вщ кокретного вигляду функционала /(/). м1етитьея в наетупному I иердженш.

Теорема 3. Мпп.максна оцшка виразу /(/) мае вигляд /(/) = /(/), де /(х,ш) = Я^1р2(х,ш) + /(°\х), а випадкове поле р2 € Ь2(£1, Ь2(П)) знаходитьея з розв'язку наетупно1 еиетеми иар'тнппшх етохаетичних рпшянь:

(А_1(я;) р1(х,ш), ^1(х))шпйх + ! р2(х,и)&\\Цх(х) йх = о о

{СрНгЯ^У - С^(-,а;))(а;),Ч1(а;))кпйа; е #(сЙ¥,£>), (46)

о

vl(x)divpl(x,ш)йx = ! (Срн2Я2(У2(^,Г12(ш))-о о

^с2ф(-,ш))(х)у1(х)йх У^е^ОО), (47)

(А_1(я;)${х,и), чг(а;))мп йх + J ф(х,и)&\\ <%2{х) йх = 0 \/ч2 е Я(сИу, В), (48) о о

V2(x)divj(x,ш)йx = Jv2(x)(Я'lP2(x,uJ) + fo(x))йx У|)2 Ё И, (49) о о

в яких piBHoeri (46) - (49) виконуютьея з ймов1ршетю 1, Задача (46) - (49) мае единий розв'язок.

Доведения шн теореми е аналопчним доведению теореми 2,

На завершения зауважимо, що кориетуючиеь запроионованими в [12] зминаними методами ск'шченннх елементав, для знаходження розвязгав задач (37) - (40) i (46) -(49) можливо розробити наближеш методи Тх розвязання.

Заключения

В робот1 отримаш наетуиш результати: остановлена екв1,валенттсть задачг мтгмаксного оцтювання деякгй задачг оптимгзацгг; доведет новг твердження про загальний вигляд мгнгмаксних середнъоквадратичних оцток функцгоналгв вгд невг-домих правих частин ргвнянъ, що входять у постановку розглядуваних в роботг крайових задач, г отриманг представления, для похибок оцтювання.

Список л1тератури

1. Наконечный О. Г. Оптимальне керування та оцшювання в р1вняннях i3 частинними псшдними // Кшвський ушверситет, Кшв, 2004 г., 103 с.

2. Brezzi F., Fortin М. Mixed and hybrid finite element methods // Springer-Verlag, New York, 1991, 350 p.

3. Подлипенко Ю.К., Грищук H.B. Оптимальное прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей // Допов1д1 НАН Укра'ши. -2003. - Ж), с. 107-112.

4. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Оцшювання параметр1в вироджених елштичних крайових задач Неймана в умовах невизначеносп //Вшник Кшвського ушверснтету. Сер1я: ф1зико-математпчш науки. - 2004. - .V" 1. с. 262-269.

5. Hiptmair R., Schwab С. / Numerical treatment of partial differential equations. Lecture notes for course held by R. Hiptmair in WS03/04. pp. 1-219

6. Наконечний О.Г. Оптимальне керування та оцшювання в р1вняннях i3 частинними похвдними. -Кшвський ушверситет, Кшв 2004. - 103 с.

7. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. - Киев: КГУ, 1985. - 82 с.

8. Красовский Н.Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. - 476 с.

9. Подлипенко Ю.К. Задачи минимаксного оценивания для нетеровых уравнений в гильбертовом пространстве // Доповвд НАН Укра'ши.Сер1я: Математика. - 2005. - Д'"Г2. с. 36-44.

10. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей // Системш дослвдження i шформацшш технологй'. - 2004. - JYS2 с. 104-128.

11. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Оцшювання параметр1в вироджених елштичних крайових задач Неймана в умовах невизначеноста // В1сник Кшвського ушверситету. Сергя: ф1зико-математичш науки. - 2004. - .V" 1. с. 262-269.

12. F. Brezzi, М. Fortin Mixed and hybrid finite element methods. - Springer-Verlag, New York, 1991. -350 p.

Статья поступила в редакцию 16.09.2008