CC BY
7УДК 519.962.22
MIHIMAKCHI ОЦ1НКИ РОЗВ'ЯЗКГО РШНЯНЬ 3 Л1Н1ЙНИМ НЕОБМЕЖЕНИМ ОПЕРАТОРОМ У ГШЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОР1
(с) Жук с.м.
Кшвський нацюнальний ун1верситет im. Т.Г.Шевченка, факультет к1вернетики пр-т академ1ка Глушкова-2, корпус 6, m.Kni'b 03680, Украша e-mail: Serhiy.Zhuk@gmail.com
Abstract. This paper describes an approach to minimax estimation of the solution of a linear equation with closed dense defined mapping in Hilbert space. A class of the linear minimax mean-square estimations is considered. A necessary an sufficient condition for the minimax mean-square error to be finite is introduced. A representation of minimax estimations are obtained in the case of ellipsoidal constraints.
ВСТУП
Ця робота е продовженням [1]. Тут розвиваеться техшка, застосована у [1] до апрюрного оцшювання розв'язгав одновим1рних крайових задач, на абетрактш лшш-ш операторш р1вняння у гшьбертовому простор!.
1. Постановка задачг
Нехай спостер1гаеться реал1защя вектора у з гшьбертового простору & вигляду
у = Н<р + г], (1)
де г/ е випадковим вектором з1 значениями у нульовим середтм та кореляцш-нпм оператором Е^, Н е елементом банаховою простору1 ^(НД^ ^ 6 Н е розв'язком лшшного операторного р1вняння
1«р = / (2)
Ми будемо вважатн I. замкненпм оператором, що вщображае скр1зь нцльну шдмно-жину ^(Ь) гшьбертового простору Н у гшьбертав простар ^.
Прнпустнмо, що вектор / б^е деяким, наперед невщомим, елементом множн-ни С Нехай також розподш вппадкового вектора г/ задовольняе умову Щ С де & е задана шдмножнна
Наша мета полягае в тому, щоб
(03) для заданого I е Н оцшптн скалярнпй добуток (£, (р), користуючись шформащею про (р: структура р1вняння (2), внзначена влаетивоетями оператора Ь; спостереження за (р, задат у внгляд1 (1); структура множин
(03) е р1зновидом оберненнх задач для л'нппннх операторних р1внянь у гшьбертовому простор! в умовах невпзначеность 11а. га. 1*1 назпватнмемо (03) задачею оцшюван-ня.
1Символом Y) позначимо банаховий npocrip ycix л1н1йних обмежених оператор1в 3 H у Y
Зауваження 1. Помгапмо, що реал1защя у визначаеться не лише кореляцшним оператором г], виглядом Н та. f. У загальному випадку може йтиея про невпзначешсть, породжену неоднозначтстю оператора L: кожному / б R(L)nG ми можемо з1етавити множину ipo ф N(L), де N(L) = {99 G D(L) : Lip = 0}, Таким чином у = H(tpa + tp) + r] для фжеованих / та реал1зацп rj.
Тут ми не припускаемо, що оператори L, Н мають обмежеш обернет, вщтак не шнчт вщхплення у правш чип inii (2) та BHMipax (1) можуть епричинити необме-жепо целику похнбку ощнювання, Зважаючн на це, а також на цшпй ряд невпзна-ченоетей, згадапих вище, ми побудуемо операщю ощнювання на основ! мшмаксного шдходу, Це дозволить запропонувати гараптовапу похибку ощнювання, яка харак-теризуе найбшыне вщхилення оцшкп вщ реального значения i для доеить2 широкого клаеу оператор1в L, Н буде екшчениою.
Означения 1. Афшпий фуикцюпал (и, •) + с назвемо апрюрною ммшаксною серед-нъоквадратичною ощнкою скалярного добутку (£,<р), якщо
sup М((£, ср) — (и, у) — с)2 = inf sup М((£, ср) — (и, у) — с)2 (3)
Вираз
а(£) = sup М((£, tp) - (и, у) - с)2 ipeL-1(G),RveR
назвемо ммшаксною середнъоквадратичною похибкою у напрямку £.
Нижче приведено теореми про представления мшмакешх аир1орних та апо-стер1орних оцшки для того випадку, коли множини об межень G, R е опуклими об-меженими i замкненпмн у шдиошдиих просторах,
2, Mihimakchi ощнки для випадку слабко компактних опуклих
обмежень
У подалыному нам знадобляться тага позначення, Введемо множини
U = {и G Y : L*z = £ - Н*и}, D = {£^H: U{£) ф 0}
Тут символом L* позначено оператор, спряжений до L, який теля ототожнення г'ыь-бертових npocTopiß H, F з гхтми спряжеиими, д1е з F у Н, 1снування единого спряженого L* забезпечуеться [4] нцльною визначетстю L. Через S(G, •) иозначимо шдикатор множини G, тобто S(G, /) = 0, f G G i +00 шакше, Покладемо
(SL)*(x) = sup {{ф,х) - 8{G,L<p)}
^D(L)
Фупкщоиал {SL)* e перетворепия Юнга-Фенхеля фупкцюиалу (SL)(x) = x G D(L) i +00 шакше, Позначпмо
dom (SLY = {xeH: (SL)*(x) < 00}
2Якщо R(L), H(N(L)) e замкненими лшшннми многовидами, то гарантована похибка ощнювання скшченна у довшьному напрямку £ € R(L*) + R(H*), зокрема для N(L) П N(H) = {0} гарантована похибка завжди скшченна.
ефективну множину функщоналу (SL)* i нехай
(L*c)(x) = inf{c(G,z)|L*z = x},c(G,z) = sup{(z,f),f E G}
Нехай cl(/) = /**, За теоремою Фенхеля-Моро /** збЬаетьея з нашвнеперервною зннзу регулярпзащю функщоналу /, якщо / е влаеним,
Наетупна лема лежить в опюш доведения оеновних тверджень про н-нуиання. (•. uniii-i ь та представления .мпп.макпшх оцшок,
Лема 1. Нехай G е опуклою обмеженою замкненою шдмножиною F, L е лшшннм
нцльно внзначенпм замкненнм оператором з H v F,
Тод1
(L*c)* = (SL), (L*c)** = (SL)*, R(L*) С dom(SL)* С ВЩ (4)
Якщо внутринтеть G мае ешльт точки з R(L), то dom(5L)* = dom(L*c) = R(L*), функцюнал (L*c) е влаеним, L*c = (L*c)** i
(L*c)(x) = c(G,z0) = mi{c(G,z)\L*z = x},xe R(L*)
Доведения. Нехай p G D(L). Обчиелимо3
(L*c)*(p) = sup {(p, x) — inf{c(G, z)\L*z = x}} =
xeR(L*)
sup sup {(p, x) — c(G, z)} = sup {(p, L*z) — c(G, z)} =
xeR(L*) г£Ь*-Цх) zeD{L*)
G G G
z£F
Розглянемо випадок p ^ D(L). За означениям епряженого до необмеженого лшшного оператора [4, е,39] . liiiiiiiiiiii функцюнал г p(z) = (р, L*z) е необмеженим, Це означав, що знайдетьея поелщовтеть {zn} така, що ||z„|| < 1 ,znE D(L*) i p(zn) —ь +oo,
G
довшьно1 точки z G F i тому неперервна [3, с,21], Але тод1 supn c(G, zn) = M < +oo i
G
zeD(L*) n
Таким чином, (L*c)*(p) = +oo, 3 iinuoro боку (SL)(p) = +oo за означениям. Ми показали, що (L*c)*(p) = (SL)(p) для Beixp, звщки (L*c)** = (SL)*. Шд чае доведения
G
G
Нехай х ^ N(L)1- i Lp G G для деякого p G D(L). Знайдетьея po G N(L) таке, що п(ро, x) > 0, n G КГ, Але тод1
(SL)*(x) = sup {(q, x) — S(G, Lq)} > sup{(p, x) + n(p$, x)} = +oo
qeD(L) nm
Тому dom (SL)* С N(L)1 = R(L*).
?Jp € D(L) тому лшшний функцюнал z p(z) = (p,L*z) e обмеженим,
вщтак може бути розповсюджений на весь npocrip F за неперервшстю, зввдки supz) -c{G,z)} = supz€#{{Lp,z) - c(G,z)j.
3 шшого боку, якщо X = L*z, то
(SL)*(x) = sup {(Lq, х) — S(G, Lq)} < sup{(/, x) — S(G, /)} = c(G, x) < +00
q£®{L) feF
в силу обмеженоеи G. Таким чином R(L*) С dom(5L)* С R(L*).
Нехай тепер intG П R(L) ф 0. Покажемо, що цього достатиьо для (L*c) ^ (SL)*. ('upai;. ii
x* е dom{5L)*,x е D(L) => (х*,х) - (SL)*(x*) ^ SL(x) < +00 в силу nepiBHOCTi Юнга-Фенхеля, Зафжсувавши х* £ dom(SL)*, введемо множину M(x*) = {(z, fj,)\Lx = z, f.j, = (x* ,x) — (SL)*(x*)}
Пом1тимо, що
W = int epi•)) = intG x {p eR1 : ц > 0} П M(x*) = 0 Дшено, якщо (z, fj) E W П M, то
S(G,Lx) < ц = (x*,x) - (SL)*(x*),Lx = z що суиеречить нер1вноета Юнга-Фенхеля,
Отже, опуюп множини epi(S(&,■), M(x*) можна роздшити ненульовим лшшним неиерервним функщоналом
sup{(z0,z) + /3Qa\(z,a) е W} si inf{(;2;0,+ /3Qa\(z,a) е M(x*)} (*)
Легко переевщчитиеь, що (3q < 0, Дшено, якщо Д) > 0, то sup у (*) дор1внюе +оо, 3 ¿ншого боку sup у (*) завжди вщмшна шд ^оо, що г^арантуе скшчешпп ь inf у (*), Якщо /?о = 0, то зпдно (*) G та R(L) роздшяютьея функщоналом (z0,-), але тод1 intG П R(L) = 0.
За означениям M(x*)
^00 < (c(G,*0) = sup{(*V) ^ mi{(z0,Lx) - \(30\(x* ,x)} + \(30\(SL)*(x*)
звщки
^00 < mi{(z0,Lx) ^ f30(x*,x)} => [-\/3o\x\z°] _L {[x,Lx\,x e D(L)}
x
Тому, зважаючи на вигляд [4, е,40] ортогонального доповнення графжа L, д1етанемо
е D(L*),L*^ = \№* => (L*c)(x*) ^ c(G.Jq1z°) ^ (SL)*(x*)
Ми показали, що на dom(5L)* виконано (L*c) = (SL)* i dom(5L)* С R(L*). За означениям R(L*) С dom(L*c), Paninie було доведено, що R(L*) С dom(5L)*. Оекшьки, г, ¡ага. ii кажучи, (L*c) ^ (L*c)** = (SL)*, то dom(5L)* С dom(L*c), Отже
(L*c) = (SL)*,dom(SL)* = dom (L*c) = R(L*)
За теоремою Фенхеля-Моро (L*c) = (L*c)** = (SL)* тод1 i лише тод1, коли (L*c) мае замкнений надграфж, що для влаених оиуклих функн'юна. пи екшин. iein но iiauimie-перервноеи знизу [5, с. 178]. □
Наетупна теорема дае загальний вигляд .мпп.макпюТ еередньо-квадратично1 ощн-ки та визначае критерш екшченноета мтмакено! похибки оцшювання.
GF г] G {г] : М(г],г]) < 1}, Гарантована похибка оцшювання мае вигляд
а(£, и) = -[d{L*c){£ - Н*и) + el(L*c)(-£ + H*u)f + sup (Rnu, и), (5)
4 RveR
Для заданого I G H мтмакена похибка екшчена тод1 i лише тод1 коли I - Н*и G dom(8L)* П -dom(6L)*, R(L*) С dom(8L)* С R(L*) для деякого и G Y, Мтмакена оцшка даетьея виразом
1
у (й, у) + с, й G ArginfMo-(l, и), с = -(c\(L*c)(£ - Н*й) - el(L*c)(-£ + Н*й))
Доведения. Беручи до уваги р1вшеть М^1 = М (£, — М£)2 + (Ml;)2 та (1), знайдемо М{{£, 9?) - (и, у) - с)2 = [(I - Н*и, 99) - с]2 + М(и, г])2
гл. пак
sup M((i, ср) — (и, у) — с)2 = sup [(i — Н*и, (р) — с]2 + sup (Rr,u, и)
Легко показати, що у цьому г,пиалку
sup (RjjU, и) = (и, и)
Перетворимо перший доданок
sup [(I - Н*и, 99) - с] = -((SL)*(l - Н*и) + (SL)*(—£ + Н*и))+ veL-Ца) 2 ^
|с- l((6L)*(£-ITu) - (SL)*(^£ + Н*и))\
Li
Зважаючи на формулу (6) виводимо, що для задан их i, и, с
sup [(I - Н*и, - с] < +оо Н*и G dom(5L)* П ^dom(JL)*,
Множима dom(5L)* е оиуклим конусом з вершиною в нут, г,¡.пак dom(5L)* П ^dom(JL)* е найбшыпим . шш'пш.м многовидом, що мютнться в dom(5L)*, Якщо покласти с = \((8L)*(l — Н*и) — (SL)*(—£ + Н*и)), то з (6) та леми 1 дютанемо вираз для а(£, и).
Якщо I — Н*и G dom(5L)* П ^dom(JL)*, то в силу строго! опуклоеи, коерцитив-ност1 та нап'пшеперерг.нос! i знизу функцюиалу и а(£,и) icnve едина .мпп.максна оцшка й. □
Наслщок 1. Нехай
G
То. ii гарантована похибка оцшювання скшченна для £ — II' и G R(L*) i лише для них, ieHve едина мтмакена еередньоквадратична оцшка и. що визначаетьея з умови а(£, и) —min„, де
а(£, и) = ^[c(G,z) + c(G, -z)f + (и, u)L*z = £- Н*и (7)
Доведения. Зпдно теореми 1 для заданого £ G H мтмакена похибка екшчена тод1 i лише m. ii коли
£ - Н*и G dom(SL)* П ^dom(SLY Оекшьки 0 G GDR(L), то ми знаходимоея в умовах леми 1, звщки dom(5L)* = R(L*) i
d(L*c)(£ - H*u) = (L*c)(£ - H*u) = c(G, z), L*z = £ - H*u Легко показа! п. що у цьому вииадку
sup (Rr,u, и) = (и, и)
Тод1 з (5) виводимо (7). Легко збагнути, що функцюнал и а(£,и) е елабко нашв-неиеревним строго опуклим та коерцитивним, Справд1, слабка нашвнеиерервшеть слщуе з опук. юп i та замкненоета (лема 1) функцюналу
w I—У min{c(G, ф), Ь*ф = w}
Решта влаетивоетей очевидт, Тому на замкненш оиуклш множит U функщонал и а(£, и) доеягае евого мтмуму в е. uniiii точщ й. □
Для е. liucoY. iir, у гшьбертовому npoeTopi .мпп.максна апрюрна еередньоквадратична ощнка може бути зображена у вигляд1 розв'язгав еиетеми лшшних оиераторних р1внянь.
Теорема 2. Нехай
G = {f:\\f\\2<l},r]e{r]:M(r],r])<l},
множина R(T) = {[Lx, Нх], х G D(L)} е замкненою. Для £ G R(L*) + R(H*) i лише для них едина мтмакена ощнка й може бути подана у вигляд1 й = II/к дере довшьним розв'язком еиетеми
L*z = £- 1141,к
г - - (8)
Lp = z
мтмакена похибка оцшювання зображуетьея як
а{г,й) = {г,р) (9)
Доведения. I 1омп н.\ю. що умови наелщку 1 викоиапо, г,¡.пак ienve едина мтмакена еередньоквадратична ощнка ч. що визначаетьея з умови
а(£, u) = (z, z) + (и, u),L*z = £- Н*и, ие% (10)
Можна показа! п. що ощнка и. водночае, може бути знайдена як розв'язок задач*! проектування
\\[z,v]\\2 ^M,T*[z,v]= £ (11)
Остання мае единий розв'язок в силу замкненоета Т, що лежить у .множит значень оператора Т. Отже, [ü,z] = Тх i, водночае, T*[ü,z] = £, звщки, пригадуючи означения Т, знаходимо
Lx = z, Нх = ü, L*z + Н*й = £, що i завершуе доведения. □
Зауваження 2. Можна показати, що вектор4 [й, z], mk'i знаходятьея як розв'язок еиетеми (8), е наймеишим по норм1 розв'язком р1вняння T*[z,u] = £. Ми можемо ввести оператор
£ и- Т*+£ = [Ü,z],£e R(L*) + R(H*) 3 innioro боку вектори [(p,q], що знаходятьея як розв'язок еиетеми
L*q = Н*(у — Нф),
Ьф = q {U)
дають розв'язок задач*! проектування
(Lx, Lx) + (у — Нх, у — Нх) —min,
х
причому ф - розв'язок ще! задач1 з найменшою нормою. Зобразимо цю вщповщшеть v инг. 1я ii
Т+[0,у] = ф,уе Y
Запишемо (Т*+£, [у, 0]) = (//. //) = (£,ф) = (£, Т+[0,у]). Якщо R(T*) збшаетьея з yci.\i простором прнбуття Т*, то попередня pir.iiici ь справедлива для довшьного £, г,¡.пак вектор Т+[0, у] можна прнйнятн за ощнку х. У загальному г,пиалку Т+[0, у] дае оцшку проекцп х на R(T*).
Висновки
У цш робот1 прошюетровано застосування пщходу, запропонованого у [2], до про-блемп мтмакеного ощнювання розв'язк1в . liniiimix операторннх р1внянь у вппадку слаб ко компактнпх опуклих обмежень, впдшено множнну функщонал1в F, для еле-.\ich i ir, яко! i лише для них мтмакена ощнка icHve i едина, одержано представления оцшки за допомогою розв'язгав еиетеми . liniiimix операториих р1вияпь для випадку квадратичпих обмежень.
список л1тератури
1. Демгденко С.В.,Жук С.М.,Наконечний О.Г. До проблеми м1шмаксного ощнювання розв'язшв одновнкпрннх крайовнх задач // Тавр.вшник шформ. та xi;ik\\i. 2007. XI ('.7-2!.
2. Жук С.М. Задач1 мшмаксного спостереження для лшшних дескрнпторннх систем: Автореферат дис.канд-та ф1з.-мат. наук / Khib, 2006 - 19 с.
3. Екланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы:Пер.з anr.i. М.:11аука. 1979.- 396 с.
4. Лянце В. Э., Сторож О.Г. Методы теории неограниченных операторов. — Ки-ев:Наук.думка, 1983.^212 с. н
5. Иоффе А.Д.,Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.:Наука, 1974.^477 с.
Статья поступила в редакцию 12.02.2008
4Символом [х,у] будемо позначати вектор, що е елементом декартового добутку Н\ х Н^.
