Устойчивость пологих складчатых оболочек Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

102

Вестник ТГАСУ №1, 2007

УДК 624.074.4

Л. Н. КОНДРАТЬЕВА, д-р техн. наук, профессор,

И. Б. ПОВАРОВА,

СПбГАСУ, Санкт-Петербург

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ СКЛАДЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК

Рассматривается аналитическое решение устойчивости в геометрически нелинейной постановке складчатых пологих оболочек под действием поперечной распределенной нагрузки.

В данной статье предлагается решение задачи об устойчивости тонкой складчатой пологой оболочки с изломами срединной поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях при поперечной равномерно распределенной нагрузке в геометрически нелинейной постановке.

Разрешающими уравнениями для гладких оболочек являются уравнения равновесия и совместности деформаций пологих оболочек из [2], [4]:

( д2ф д2ф д2ф д2,.. д2ф д2,.. д2ф д2,.. А

= q(x, у), (!)

БУ2 V2 w - И

д ф д ф д ф д w д ф д w д ф д w Ку —— + Кх —— +-------------- ---------------------— +- - — 2-

дх2 х ду2 дх2 ду2 ду2 дх2 дхду дхду

2,., Я2,„ Я2,„ Я2,„ ( Я2,„ А2

1 „2„2 .. д w г/ д w д w д w

2у 2 ф + Кх — + Ку— + —у—2

_д_^

дхду

= 0.

Е ду2 у дх2 дх2 ду2

где Кх, Ку - главные кривизны срединной поверхности оболочки в направлении ортогональных координат х, у; w - прогиб; И - толщина оболочки; q(х, у) - интенсивность поперечной распределенной нагрузки;

Е • И3

Б =------------цилиндрическая жесткость оболочки; Е, V - модуль упруго-

12(1 -V2)

сти и коэффициент Пуассона материала оболочки; V2 - оператор Лапласа; ф( х, у) - функция напряжений, определяемая соотношениями для тангенциальных усилий:

т = и ^ Т = И ^ Т =-И (2)

х ду2 ’ у дх2 , ^ дхду '

Решение системы уравнений (1), полученное методом Бубнова - Галер-кина [4], позволило определить величину критической нагрузки qкр, которая

оказалась существенно ниже нагрузки, полученной при решении по линейной теории.

Исследование устойчивости складчатых оболочек связано с определенными трудностями, заключающимися в необходимости решения задач о сопряжении граней. Наиболее приемлемым подходом в преодолении этих трудностей оказалось применение обобщенных функций, в частности, сингулярной 5-функции Дирака

© Л.Н. Кондратьева, И.Б. Поварова, 2007

0 при ^ < а 0 при ^ > Ь |+"5(х)^х = 1, |Ь5(х - В,У^х = 1 при а < ^ < Ь (3)

В общем случае для складчатого поперечного контура кривизна К (у) представляется выражением через 5-функцию Дирака

К (у) = К 0 (у) + ^ © ,■ 5(у - у),

г

где К0(у) - кривизна контура между точками перелома; © г - угол перелома между смежными участками контура в точке перелома.

Для складчатой оболочки, выполненной из плоских панелей, кривизна К0 (у) = 0, и приведенное выражение принимает вид:

К (у) = £© - 5(у - у-). (4)

г

Представление кривизны через 5-функцию в виде (4) позволило решить многие задачи статики и динамики складчатых пологих оболочек [1], [3], [7], в основном, в линейной постановке. Устойчивость складчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке исследована лишь для призматических оболочек с изломами в одном направлении [5], [6].

На рис. 1 показана складчатая оболочка, вписанная в гладкую оболочку с главными кривизнами Кх и Ку . Углы изломов срединной поверхности

вдоль осей х, у обозначены © аг и ©ъ-. В направлении оси х оболочка имеет

г = 1, 2,..., к изломов, в направлении оси у - ] = 1, 2,..., I.

Рис.1. Геометрия складчатой оболочки

Введем понятие об условной кривизне (4) и выразим главные кривизны через 5-функцию Дирака в виде

Кх = / ©аі5(х - х), Ку = / ©Ь]5(у - у;). (5)

і=1 ;=1

С учетом выражений (5) уравнения (1) принимают вид:

)2Ф , ^© 5( „ ) , д2Фд2™

дх дУ дхду дхду

/ © аі5(х - хі )туг + Е ©Ь; 5(у - Уі) + тут +

і=1 дУ ;=1 дУ дх

(6)

- ч(х, У) = °

1 ^ р)2 I

- V2 V2 ф + / © аі 5(х - Хі)— + 2 ©Ь; 5(у - уг) д

Е г=1 ду ,= дх

2 2 2

д2 V д2 V

дх2 ду2

д2 V

дхду

2

= 0.

Оболочка с размерами в плане а и Ь шарнирно опирается на краях на торцовые диафрагмы, имеющие большую жесткость в своей плоскости и малую - из плоскости. В соответствии с этим имеем следующие граничные условия на краях:

^ = 0, Тх=д-ф = 0, Т^-^Р-дх ду дхду

при х = 0 и х = а имеем V = 0, = 0, Т х= —- = 0, Т ху= —= 0, (7)

при у = 0 и у = Ь имеем w = 0, д W = 0, Ту = -д-ф = 0 , Т = —д-ф = 0.

ду2 у дх2 ^ дхду

Граничные условия для сдвигающих усилий удовлетворяются на краях интегрально.

Представим аппроксимирующие функции в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих условиям (7):

ад ад

. тпх . ппу

V = 7 7 wmn 81П-------------------81И

. тпх . ппу

тп ~1П----------вШ-

Ф=Е/Фтп ^ Ь

т= а ь

где wmn - стрела прогиба в центре оболочки при значениях х = ^ и у = Ъ2

и волновых числах т, п = 1, 3, 5, ... .

Определим зависимость между нагрузкой q и стрелой прогиба w, а также критическое значение нагрузки q .

Решая задачу в первом приближении, подставим в уравнения (6) первые члены рядов (8). В результате решения методом Бубнова - Галеркина получим систему уравнений:

- Н(ф„ ( 2 +ф„ І з -ф^иІ4 +ф„^115 - І6 )= 0, (9)

1 2

ф11 Т717 + ^118 + ^119 + ^1(І10 - І11) = 0,

Е

где I, означают следующие интегралы:

І =п 41 -V,

1 2 1

а Ъ

(а2 + Ъ2)2 4 а 3Ъ3

2 а Ь к

Ж ГГ .2 пх • 2 Пу ^ с/

12 =- ] вШ “ вШ — 7© аі5(х-'

а

Ъ

2 а Ъ

і=1

I

_2 к ---------2 © а- БШ

2 • Ъ “ аі

Із =-| |эт2 —вш2 Ъ Е©Ъ;5(у - у, уЫу = -ПаЕ©Ъ; 81п

а 0 0 а Ъ ;=1 2а ;=1

2 Пхі

2 Пу ]

1=1

17 = І1 , 18 = 12 , 19 = 13 :

2п

4 а

22

а2Ъ

г г . 3 пх . 3 пу , , 32 П

81п —81п — ахау =--------------------,

а Ъ 9 аЪ

00

32 £.

9 аЪ

(10)

15 =

2п4

5 2 г.2

аЪ

2 Пх 2 Пу Пх Пу

І 1008 —008 —в1п—в1п—ахау = а Ъ а Ъ

00

8 п_

9 аЪ

а Ъ

т г ґ . пх . пу . . 16 = q І І Б1п — бш—— ахау = q * * а Ъ

0 0

4аЪ

п

4 а Ъ ^

П г г . 3 пх . 3 пу . . 16 п

Ію-^т І І 81п —81п ахау = ^—Т,

і і а Ъ 9 аЪ

00

а

4 а Ъ

п Г Г 2 пх 2 пу . пх . пу..

І11 = о - 00Б --00Б —Б1п БШ — ОхОу =

11 а2Ъ2 а Ъ а Ъ

4 п2

а 2Ь2 оо а Ь а Ь 9 аЬ

При вычислении интегралов I 2, 13 использовано фильтрующее свойство 5-функции Дирака:

и

І / (х)5( х -\)Лх = / ф.

Подставив полученные значения интегралов I ■ по (10) в уравнения (9),

получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров Wll и фп:

а

Ъ

Dw1

(а2 + Ь2)2 4 а 3Ь3

.2 к

2 I

+

, П . 2 пхг 1 П

ф11к 2Ь V© аг 81П ~ +ф11Й ~ ^©ъ^ 81П

2а

}=1

Ь

, 8 п2 4аЬ

-фп«11к-^- =— q,

3 аЬ п2

- W11 — V © а 81

11 2Ь “

2 пх,.

Б1П2------L +

а

(11)

+ w

п~ ^ -2 пу./ 2 4 п

и-V ©**» -у-+«п заЬ - о.

Исключим из этой системы уравнений неизвестный параметр ф11, выразив через «11 во втором уравнении

фц =

(

п 4 (а2 + Ь2)2

2 к

«11-Ь V© а 81

Аи г=1

2 пх, п2 ^ .

81п -------+ «11 — V©Ь 81П

а 2а~~[

2 ПУ1 Ь

- «Т

4 п

3 аЬ

■ \

Подставим это значение в первое уравнение системы (11) и после некоторых математических преобразований получим нелинейную зависимость между нагрузкой q и прогибом «Т1 в середине оболочки:

ч-

а

V

/

+

Ек4 к 192(1 -V2) 1 к к2(1 + у2)22Ь-^

1

^ • 2 пх,

© аг 81П2 -

«Т1 а 2Ь2

к к (1 + у2)2 2а “

1 V © ”2 пу' , «11 14 аЬ

81П

Ь к к 3 к2(1 + у2)2

(

.2 _2 к

81П

а 2а

V©

81П

пу

Л

Ь

г=1 “ ^ ;=1

В безразмерной форме это соотношение принимает вид:

/1+4'

V У у

-«* +-

192(1 -V 2) 16(1 +у 2)2

, «---------------------

у' л , ..2ч2

(хх + Ху )«,2 +(12)

9(1 + У 2)2

-«I,

где введены следующие безразмерные параметры:

* а

Ч = ч—-— параметр нагрузки;

Ек

Ь

у =----отношение сторон оболочки;

а

а _ Ь к 1 2 , у 2

«* = —11 при х = —, у = — - безразмерный прогиб;

г=1

ф

г=1

6

п

22

аЬ

X

X

2

2

2

п

п

Ґ 2 -Д 0 . 2 пхі ^

-I0 а8™2—

V «1=1 а ,

(13)

х - ь ХУ - Т

2^^ • 2 ПУ,

ьI0<, *1п —

- безразмерные параметры приведенной услов-

V ,Л ' Ь

ной кривизны складчатой оболочки.

Нелинейная зависимость q от w* (12) позволяет определить критическую нагрузку q кр для пологой складчатой оболочки положительной гауссовой кривизны. При непрерывном росте нагрузки q прогиб w* растет по кубической зависимости (12). Максимальное значение нагрузки, при которой кривая <щ - w*» имеет горизонтальную касательную, соответствует критической нагрузке q кр. При q кр происходит потеря устойчивости, т.е. выпучивание оболочки. Для складчатых оболочек, которые выполняются из плоских панелей, состыкованных между собой в местах излома срединной поверхности, потеря устойчивости означает разрушение оболочки. Поэтому дальнейшее исследование закритического поведения не имеет смысла.

В частном случае оболочки с квадратным планом, т.е. при а = Ь и у = 1, нелинейная зависимость (12) между нагрузкой и прогибом в середине оболочки принимает вид:

6 2 2 о

П П 2 П 2 8П

---------- —w* +---------(Xх + Xу) w*--------------(Хх + Xу )ж* +--------

48(1 - V2) 64 х у 4 х у 9

При увеличении количества граней складчатой оболочки ее срединная поверхность стремится к поверхности описанной гладкой оболочки, а параметры условной кривизны (13) стремятся в пределе к параметрам главных кривизн гладкой оболочки:

хх —>к;, ху —>к;,

2 Ь 2

где к; = а^кх, к; = Тку, к *=к;+к;.

При большом количестве граней соотношение (14) переходит в известную нелинейную зависимость для квадратных в плане гладких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны [2], [4]:

q* = 22w* + 0,154(к*)2 w* - 2,4бк*w*2 + 8^*3 . (15)

Для квадратной в плане складчатой пологой оболочки, вписанной в поверхность гладкой сферической оболочки, имеем Хх = Ху = X и из (14) получим соотношение:

_ 6 _ 2 _ 2 8_ 2

д ’ --------------— w* +-----------X2 w*-------Х^І +-----------(16)

48(1 -V2) 16 2 9

Для квадратной в плане призматической оболочки, вписанной в поверхность гладкой цилиндрической оболочки, одна из кривизн обращается в нуль, и из (14) получается зависимость <щ - w*», использованная в работах [5], [б]:

2

*

Ч =

■л-6 „2 _2 о 2

П П 2 П 2 8п з

------- —W* +-----------Xх -----------------Хх +-----

■2ч 64 х 4 х 9

48(1 -V2)

(17)

Проведем сравнение устойчивости квадратной в плане пологой складчатой оболочки и соответствующей ей гладкой сферической оболочки. Используем нелинейную зависимость (16). С этой целью определим критическую нагрузку ч кр для складчатой оболочки с размерами в плане а = Ь = 8 м и тремя взаимно перпендикулярными изломами срединной поверхности и поП 1

стоянным углом излома ©ж- = ©Ь]- = © ="^4 . Стрела подъема оболочки/=~а ,

толщина к = 0,133 м, радиус описанной сферической оболочки Я =16 м.

Значение параметра приведенной условной кривизны складчатой оболочки определяется по (13):

2 С 2 3

• 2 ПХ1 © о^Ш2—*-

V а ,■=1

2 • а п

(

к 24

2

п ( а

81И " — \ — I + 81П^ —

а V 4 ) а V 4

2 п С 2а ^ . 2 п С 3а

+ 81И —

а V 4

4па

24к

= 31,5.

Используя соотношение (16), получим кривую зависимости «Ч - w*» для складчатой оболочки с тремя изломами срединной поверхности и параметром X = 31,5 (рис. 2). Экстремальное значение полученной кривой дает критическую нагрузку ч*р = 752.

Ч*

Рис. 2. Графики зависимости «д*- м*» для квадратных в плане складчатых и гладких оболочек

Увеличим количество граней в данной складчатой оболочке и рассмотрим ее с семью изломами срединной поверхности. При этом угол излома при-п

мет значение © = ^ ^ , а параметр приведенной условной кривизны по (13)

уменьшится до значения X = 30,5. Используя соотношение (16), получим более низкое значение параметра критической нагрузки д*р = 665.

Увеличение количества граней приближает срединную поверхность складчатой оболочки к срединной поверхности описанной гладкой сферической оболочки. Штриховой линией на рис. 2 показана зависимость «д - w*», приведенная у А.С. Вольмира [2] для гладкой сферической оболочки с пара-

а2

метрами кривизны Кх = Ку = = 30, к поверхности которой стремится рас-

смотренная складчатая оболочка. Критическая нагрузка для этой гладкой сферической оболочки составила д*р = 658, что на 12,5 % меньше, чем для соответствующей складчатой оболочки с тремя изломами срединной поверхности.

На рис. 2 показана сплошной линией зависимость «д - w*» для складчатой оболочки с тремя изломами срединной поверхности и параметром условной кривизны X = 37, складчатой оболочки с семью изломами и параметром условной кривизны X = 36. Штриховой линией показана зависимость «д - w*»

для гладкой сферической оболочки с параметрами кривизны К* = К* = 35,5.

Исследуя полученное решение геометрически нелинейной задачи об устойчивости пологой складчатой оболочки, можно сделать вывод, что разница в значениях критической нагрузки складчатой оболочки с тремя изломами и соответствующей гладкой оболочки достигла 20 %. Таким образом, многогранная складчатая оболочка способна выдержать большую нагрузку в докри-тическом состоянии, чем соответствующая гладкая оболочка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вайнберг, Д.В. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами / Д.В. Вайнберг, И.З. Ройтфарб // Расчет пространственных конструкций. - М. : Стройиздат, 1965. -Вып. 10. - С. 39-80.

2. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М. : Наука, 1967. - 880 с.

3. Иванов, С.П. Колебания призматических оболочек при больших перемещениях / С.П. Иванов // Известия вузов. Строительство, 1990. - № 1. - С. 26-28.

4. Колтунов, М. А. Уточненное решение задачи об устойчивости прямоугольных панелей гибких пологих оболочек / М.А. Колтунов // Вестник Московского университета. Сер. Математика и механика, 1961. - № 3. - С. 37-45.

5. Кондратьева, Л.Н. Устойчивость призматических складчатых оболочек под действием поперечной нагрузки / Л.Н. Кондратьева // IV Международный симпозиум «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела». - Тверь, 1998. -С. 58-59.

6. Михайлов, Б.К. Устойчивость призматической складчатой оболочки в геометрически нелинейной постановке / Б. К. Михайлов, Л. Н. Кондратьева // Труды молодых ученых, СПбГАСУ. - Ч. 3. - 1998. - С. 146-152.

110

Вестник ТГАСУ №1, 2007

7. Михайлов, Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б.К. Михайлов. -Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. - 196 с.

L.N. KONDRATIYEVA, I.B. POVAROVA

STABILITY OF SHALLOW FOLDED SHELLS

The analytical solution and investigation of stability in geometrically non-linear setting of folded shells under the lateral distributed loading are considered in the paper.

УДК 692.23

Л.В. ЕНДЖИЕВСКИЙ, докт. техн. наук, профессор, чл.-корр. РААСН, А.В. ТЕРЕШКОВА, аспирант,

Сибирский федеральный университет, Красноярск

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕСУЩИХ КРОНШТЕЙНОВ В ФАСАДНОЙ СИСТЕМЕ С ВЕНТИЛИРУЕМЫМ ВОЗДУШНЫМ ЗАЗОРОМ

Выполнен экспериментально-теоретический анализ с иллюстративными изображениями деформирования несущих кронштейнов в фасадной системе с вентилируемым воздушным зазором. Представлена методика расчета кронштейнов по II группе предельных состояний с учетом сдвига.

Фасадные системы с вентилируемым воздушным зазором являются одним из решений задачи в направлении развития и применения на рынке строительства энергоэффективных зданий и их конструкций, реконструкции и улучшения потребительских качеств и архитектурного облика домов. К тому же, мировая практика показывает, что для повышения теплозащиты здания самым эффективным методом является наружное утепление стен.

Все системы утепления имеют принципиально одинаковое конструктивное решение, которое заключается в том, что на несущие ограждающие конструкции с внешней стороны устанавливают и фиксируют сплошной слой утеплителя и элементы несущего каркаса, посредством которого на стене, с определенным зазором относительно слоя утеплителя, монтируется листовой отделочный материал. Отличительными особенностями систем являются различные способы крепления плит утеплителя на несущих конструкциях наружной стены, материалы и геометрия отдельных элементов подконструкции, а также схемы их расположения на поверхности основания, выбор материалов и способы их крепления к несущему каркасу.

Нами проведены экспериментальные исследования и выполнена серия расчетов элементов несущего каркаса фасадной системы с вентилируемым воздушным зазором. Особое внимание обращено на кронштейны, которые

© Л.В. Енджиевский, А.В. Терешкова, 2007