CC BY
18
УДК 539.3
М. Г. Ахметшин, С. Г. Сидорин УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Ключевые слова: устойчивость, слоистая ортотропная оболочка, критическая сила.
Рассмотрена задача об устойчивость шарнирно-опертой слоистой ортотропной прямоугольной пластины на упругом основании, находящейся под действием сжимающих усилий в своей плоскости. В зависимости от геометрических и жесткостных параметров конструкции определены численные значения этого усилия для различных углов укладки слоев. Учтены деформации поперечного сдвига. Найдены максимальные критические усилия и соответствующие или оптимальные углы укладки.
Key words: buckling, layer orthotropyic shell, critical force.
The problem of buckling of orthotropic rectangular plate on elastic foundation under the influence of compression forces in the plane is solved. The magnitude of the compressive force is determined depending on the geometric parameters and the stiffness of the shell. Transverse shear deformation was considered. Maximum critical forces and optimum angles of layers have been found.
Рассматривается устойчивость слоистой ортотропной прямоугольной пластины толщиной h под действием сжимающих усилий Tj и T2 на упругом основании (Рис.1), реакции которого R =q¡W. Для прогибов пластин, описываемых функций
... ... . mnx . n%y
W = Wmn sin--sin——,
m¡n a b
Коэффициент пропорциональности g¡ имеет вид (1):
а) при отсутствии касательного взаимодействия между пластиной и основанием -
Ял _
Es . sh2(X0Hs) - (X0HS)2
-X °-
1 -V2'"° sh(2XoHs) + 2XoHs
Рис.1
б) с учетом касательного взаимодействия
■- 1 - V s „
Я2 = Es--- X° X
1 + V s
X_sh(2X°Hs) - 2X°Hs_
X (3 - 4vs)ch2 (X°Hs) + (X°Hs)2 + (1 - 2vs)2
где
4 + (*)' . Es,Vs, Hs -
упругости, коэффициент Пуассона,
основания соответственно.
модуль толщина
(1)
Вследствие учета поперечного сдвига пластины уравнения устойчивости приняты согласно работе [2], дополненные реакцией упругого основания Я —цМ :
К1 (ф + <)-01фХх -(12 + 0з>у"ху = о ;
К2 (V + Му) - (012 + Цз )фху - 0з VХх - 02 VУу = о;
- К (фХ + М'Хх) - К2 (Vу + М"уу) + 91М + +Т1МХ + "г^'у = о.
Деформированное состояние слоистой пластины определяется функциями:
- компоненты перемещений вдоль осей
х, У, *;
ф, V - функции, характеризующие изгибание вдоль осей х, у , без учета влияния межслоевого сдвига. Соотношения упругости имеют вид: Т — 61181+7^612^2 ; = ^12^1+622^2 ;
7*12 — 6зз8
'33ь12 •
Mi =-Dixt - Di2%°2;
M2 _ -Di2xe - D2X2; M12 = -D3 • 2x^2;
Qi = -Ki6i3
5
где K _ —hGi3,
6
'12
Q2 = -K28
2 23
K2 hG23 , 6
G13, G23 -модули
поперечного сдвига.
_ du 8i _ , e2
dx
xe ,
dx
dv dy
dv du
e12 _--1--
12 dx dy
x2 _iy, ^ ;
dy dx dy
dw
823 •
dw
813 _ф+^,
Слои пластины с максимальным модулем
Ei расположены под углом +р к оси x .
Изгибные
жесткости
многослойной
пластины определяются следующими выражениями:
3
Di_ ^ Ci;
12
E1h3
D2 _ EhhL C2 ;
D12
12
C
12 E1h3
12
D3 _ 1
12
C3
x
где
_ cos4 p + 51sin4 p + 52sin2 pcos2 p Ci _-
1 _ v1v 2
_ sin4 p + 51cos4 p + S2sin2 p cos2 p
C2 _---
1 _ V1V2
C _ V 2 + C12 _-
(1+ 51 -S2 )sin2 p cos2 p
1 - V1V2
G12 1+ 51 — S2 . 2n 2Л 3 _—12 +-1-2sin2 p cos2 p,
E1 1 — V1V2
51 = ^, 52 = 2у2 + 4 ^ (1-У1У2 ).
V Е1
Граничные условия шарнирного опирания по всему контуру имеют вид:
х = 0; а ш = 0, М1 = 0, ф = 0 ; у = 0 ; Ь ш = 0, М2 = 0, ф = 0 . Удовлетворение граничным условиям и уравнениям равновесия достигается выбором функций ш, ф, ф в форме:
^ ^ . тпх . ппу
ш = Е Ештп5|П ;
m_1 n _1
œ œ
^ ^ mrnx . nny
ф_ l ефтпcos-^-;
nny
(2)
m _1 n _1
œ œ
^ ^ . mnx
L mn si^——cos
b
т=1 п=1 а
Подстановка (2) в уравнения устойчивости (1) позволяет получить систему уравнений относительно штп, фтп, фтп
а11Фтп + а12Фтп + а13штп = 0 ; а12Фтп + а22Фтп + а23штп = 0 ; (3)
а13фтп + а23ф тп + а33ш тп
где
_ , mn J2 _ f nn42
а11 _ K1 + + D3
,mn nn
0 w/m nn .. тл
а12 _ \D12 + D3j——Г"> a13 _ K1 — ,
а b а
_ , mn12 _ f nn42
а22 _ K2 + D21 — I + D2 i-b"
a23 _ K2
nn b
„ f mn12 .. f nn12 _f mn12 ... f nn
a33 _ * + J + K2 [bJ + T{VJ + T [b
Далее принято, что T _ T, T2 _ XT. Из условия существования нетривиального решения системы (3) получено выражение для критического усилия
T _ +b2 + b4
n2b1 b1b3
(4)
где
b1 _
+ X
b2 _ n2
D1| mi4 + D21 n J4 + 2(D12 + 2D3)| mn J2
a
b3 _
ab
f 9 1f 1 + ^ 1
b4 _l
S2 J a2 a12
K 2 J K1K2
21 2 f n J
, mn| _ f nn
S1 _ D1|mrJ + D31 nn
2
2+1 ь J K1 2
S2 _ D
22 mn 1 _ fnn + D2
а ; Ч Ь
Далее, как и в [3], [4], введено безразмерное ~ Т
критическое усилие Т =-, которое зависит от
Е1Л
параметров Л /Ь, у1 , у2 , С12/ Е1, , Н3 / Ь , Е8 / Е1, Ь / а, X, р, т, п , ц = Е1/ в13 = Е2/ в23 .
Численные расчеты проведены для следующих значений этих параметров: Л /Ь = 0,05,0,1; V., = 0,2 ; V2 = 0,1; 0[2/Е1 = 0,1;
= 0,5; Н5 /Ь = 0,1,1; Е3 /Е1 = 0,10-5,10-3; Ь/а = 0,25,0,5,1; Х = 0,0,5,1,2 ; т = 1,2,...; п = 1,2,...; р = 0°, 5°,..., 90°; ц = 0,20,40,60 .
Для каждого варианта указанных параметров при р = 0°, 5°,..., 90° определялись
величины безразмерных критических усилий Т , затем из них выбиралось максимальное значение
критического усилия Топт и соответствующий ему оптимальный угол Ропт..
Результаты вычислений представлены в виде таблиц, где Т = Топт • 104.
В таблице Т и Ропт. получены при Л / Ь = 0,1, Ь / а = 1, Х = 0 .
Получим, что пластина, более податливая на сдвиг в поперечном направлении, выдерживает меньшее критическое усилие, а повышению ее устойчивости способствует увеличение жесткости и толщины основания.
Таблица 1 - Оптимальные значения критического усилия и угла укладки слоев
Hs / b Es / E1 H m n ponm. Т *
0 1 1 45 251,78
1 0 20 1 1 45 173,60
40 2 1 40 132,84
60 1 1 30 106,97
0 1 1 45 281,38
1 10-3 20 1 1 40 203,06
40 2 1 25 155,72
60 2 1 10 123,81
0 1 1 45 252,20
0,1 10-3 20 1 1 45 174,01
40 2 1 40 133,46
60 1 1 30 107,39
1
2
2
n
b
В таблице 2 приведены Ропт. и Т при Л / Ь = 0,1, Н8 / Ь = 1, Е8 / Е1 = 103 .
Из таблицы видно, что с увеличением X возрастает значение оптимального угла укладки слоев Ропт. как без учета, так и с учетом поперечного сдвига пластины.
*
Таблица 2 - Зависимость Ропт. и Т от вида нагружения
Таблица 4 - Зависимость Ропт. пластины
Т от длины
b / a Ц X m n Ропт. Т *
0 4 1 45 281,38
0 0,5 3 1 65 158,83
1 2 1 85 97,03
1 2 1 1 90 51,97
4 0 6 1 20 120,98
60 0,5 4 1 45 91,56
1 1 1 75 55,28
2 1 1 90 28,88
Таблица 3 - Оптимальные значения критического усилия и угла укладки
Es / Ei h / b m n Ропт. Т *
0,05 0 1 1 45 81,43
10-3 60 1 1 35 70,25
0,1 0 1 1 45 187,58
60 1 1 40 91,97
Эти результаты получены при Ь / а = 1, Н5 / Ь = 1, Х = 0,5 .
Видно, что увеличение относительной толщины пластины ведет к повышению ее устойчивости.
Es / Ei b / a Ц m n Ропт. Т *
0,25 0 2 1 45 97,03
60 1 1 35 55,28
10-3 0,5 0 1 1 45 97,06
60 1 1 40 56,51
1 0 1 1 45 140,69
60 1 1 40 68,98
В таблице 4 Рс
получены при
Л / Ь = 0,1, Н3 / Ь = 1, Х = 1.
Из приведенных результатов видно, что более устойчивой является квадратная пластина, для которой угол оптимальной укладки Ропт.
колеблется вблизи 45°, а для удлиненной пластины Ропт. возрастает.
Литература
1. Ильгамов М.А. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. /М.А. Ильгамов, В.А.Иванов, Б.В.Гулин // М.: Наука, 1987 - 260 с.
2. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластины и оболочки из армированных пластмасс. /В.И.Королев // М.: Машиностроение, 1965 - 271 с.
3. Гумерова Х.С. Численное исследование устойчивости термочувствительной эллипсоидальной оболочки. / Х.С.Гумерова // Вестник Казанского технологического университета. 2013, Т.16, № 20, С.74-76.
4. Гумерова Х.С. Устойчивость ортотропной эллипсоидальной оболочки в переменном температурном поле. Вестник Казанского технологического университета. Т. 16, № 20. Казань. 2013 г. С. 69 - 71.
и
и
© М. Г. Ахметшин - ст. препод. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ; С. Г. Сидорин - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, tmsm@kstu.ru.
© M. G. Ahmetshin, senior lecturer, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU; S. G. Sidorin, candidate of technical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU, tmsm@kstu.ru.
