Особенности деформационного поведения и напряженного состояния пластин из несбалансированных слоистых композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374.519.8

ОСОБЕННОСТИ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ И НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИН ИЗ НЕСБАЛАНСИРОВАННЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

© 2012 Ю. С. Первушин, П. В. Соловьёв Уфимский государственный авиационный технический университет

Рассматривается влияние несбалансированности структуры многослойных композиционных материалов, вызванной отклонениями углов укладки слоёв и нарушением последовательности их укладки, на напряжённое состояние и деформационное поведение слоистых пластин при изгибе.

Влияние несбалансированности при изгибе исследуется на двухопорных и защемлённых пластинах прямоугольного поперечного сечения, находящихся под действием распределённой по поверхности нагрузки, при разных числах слоёв.

Приведены результаты влияния несбалансированности на деформированное и напряжённое состояния многослойных пластин.

Композит, слой, несбалансированность, напряжение, деформация, пластина, анизотропия, ор-тотропия.

В большинстве случаев слоистые композиты имеют так называемую сбалансированную структуру.

Под сбалансированной понимается структура слоистого композита, отвечающая следующим требованиям:

- симметрии слоёв с одинаковыми физико-механическими характеристиками относительно срединной поверхности слоистого пакета;

- каждому слою с углом укладки +ф должен соответствовать слой с углом -ф, расположенный на одинаковом расстоянии от срединной поверхности.

Практически удовлетворить вышеуказанным требованиям сбалансированности невозможно. Удовлетворение требованию симметричности исключает удовлетворение второму условию. Поэтому уже на этапе проектирования большинство структур являются несбалансированными.

Несбалансированность возникает и вследствие технологических факторов на этапе изготовления. К таким факторам относятся:

- отклонения углов укладки слоёв от заданных;

- нарушение установленной после-

довательности укладки слоёв;

- наличие разнотолщинности укладываемых слоёв.

Неучёт этих факторов приводит к асимметрии упругих свойств и непрогнозируемому напряжённому состоянию и деформационному поведению.

Модель деформирования несбалансированных многослойных композитов

Техническая теория изгиба анизотропных пластин обычно строится на следующих гипотезах [1]:

1. Кинематической гипотезе, называемой гипотезой прямолинейного элемента.

2. Статической гипотезе, на основании которой на площадках, параллельных срединной плоскости, пренебрегают нормальными напряжениями , возникающими вследствие нажатия горизонтальных слоёв пластинки друг на друга.

Рассмотрим ортотропную пластину в прямоугольной декартовой системе координат ОХУ2. Считаем, что её срединная плоскость, одновременно являясь плоскостью упругой симметрии, совпадает с плоскостью ХОУ, а плоскости ХО2 и УО2 параллельны двум другим плоско-

стям упругой симметрии. Толщина пластины - к, стороны - а и Ь . Их соотношение обозначим через с = а / Ь .

Граничными условиями для случая двухопорного закрепления пластины будут следующие (рис. 1) [1]: при х = 0, х = а : ч = 0, Мх = 0; при

у = 0, у = Ь : Ту = 0, Му = 0,

Му = 0, ^ = 0.

Для защемлённого края граничные условия таковы: при

х = 0, х = а :

дм дх

и = 0, V = 0, ч = 0, фх

при

у = 0, у = Ь :

и = 0, V = 0, ч = 0, фу = — = 0.

у ду

Здесь фх, фу - углы поворота относительно соответствующих осей.

Схема поперечного сечения слоистой пластины с произвольным числом слоёв представлена на рис. 2.

Рис. 2. Схема поперечного сечения слоистой пластины В общем виде дифференциальное уравнение изогнутой поверхности неорто-

тропной пластины при действии на неё распределённой нагрузки q имеет вид [1]:

„ Э 4ч

А11 —-—+ 4А16

11 Эх4 16

+4А2

Эх2Эу2

Э4ч д4ч

+ 2(0,2 + 2 А66)-^— Эх Эу 12 66

Э4 ч ’ Эх Эу

+

П Э4 ч =

" + А22 -ч 4 Ч-.

эу

(1)

Для ортотропной пластинки в основных осях уравнение прогибов имеет вид [1]:

А1 Э~ч + 2А3

1 Эх4 3

где

А„ = А; 022

Э4ч „ Э4ч

- + А2—т =

Эх2Эу2

Эу4

(2)

А Аб

А = 0;

А» = А; А = А2+2Аб.

Жёсткости А1, А2, А3, А12 и Ак для

слоистой ортотропной пластины определяются по формулам [2]:

Еп+1к3

п+1

1 -V ”+1у п+1

ху ух

+

п Т7т

+у_________Е_____(к3 - к3 )

•^^1 \1т\1т ' т т+1'

т=1 1 -П ху П ух

А =

Еп+1*3

Пу Пп+1

1 -V п+\ п+1

ху ух

+

п Ет

+у_________Е__(*3 - к3 )

■^^1 Пт Vт т т+1 /

т=1 1 _ ху ух

+Ї о; (*т - *т+!)

т=1

П12 =

2

30

Еп+1П п+1*з Пу V ху Пп+1

1 -V п+1п п+1

ху ух

+

Ет v т

+У ЕуПху ( -к3 )

•^^1 \^т\*т V т т+1)

т=1 1 -ПхуП ух

т V т

ху ух

(3)

V21 —; А, = А^21;

12

А

12

4*21’

А; = Alv 21 + 2А.

Здесь Ет, Ет, О” - модули Юнга в на-

правлении главных осей упругой симметрии многослойной пластины ОХ и ОУ и модуль сдвига в плоскости ХОУ для слоя с номером т ; Vт, птух - коэффициенты

Пуассона т - го слоя (первый индекс обозначает направление действия силы, второй - направление поперечной деформации).

Главные оси упругости пластины ОХ и ОУ совпадают с главными осями упругости срединного слоя (слой п +1, рис. 2). Для срединного слоя справедливы выражения:

Еп+1 = Е Еп+1 = Е Сп+1 = С

йх М> ^у ^2? ^ху '~712>

, п+1

п I 1 п+1

V = ‘У1. V =^1

ху 12’ ух 21*

Ет =

Ґ 4 СОЭ фт

V

Е1

+

42

X

• 4 V1

• 2 2 эт фт

X эт2 фт соэ2 фт + - Тт

Ет =

Еу

4

Э|П фт

Е

+

Е2 1 2^.

у

012 Е1

X

• 2 2 соэ фт

х эт фт соэ фт +- Тт

Е

-1

Vй = Е ■

ху х

~ -(зт4 фт + СОэ4 фт )-

►■ ЭШ2 фт СОЭ2 ф„

12

т

ху =

1 т12 1 т.

‘-V

Е1

-+-

е2

о12

X

X эт2 2фт +

О

Е"

Vm =vm___________у

ух ху е"

(4)

Здесь фт - угол укладки слоя с номером т .

Решение уравнения (2) целесообразно искать в виде суммы [1]:

ч = ч1( х у)+ч0( уХ (5)

где

ч1

'Ъ хп ( х)

. пру

эт-------,

ь

Ь4 Vі ап ■ пру

04

эт-

а2 р п=0 п Ь

(6)

(7)

Здесь ап - коэффициенты разложения в ряд нагрузки q(y). Эти коэффициенты выражаются по формуле [ 1]:

Здесь Е1, Е2 - модули упругости однонаправленного слоя в продольном и поперечном направлениях; 012 - модуль

внутрислойного сдвига однонаправленного слоя; v12, V21 - коэффициенты Пуассона однонаправленного слоя. Для остальных

ттт

слоев характеристики Ех , Еу , о, V""у , v’УX вычисляются следующим образом

[3]:

/л / \

J 2^

012 Е

а

Г\ Ь

2 г . пру ,

I ц эт-----------ау.

* ь

Ь 0 ь

(8)

Функция для прогибов представляется в виде [1 ]:

п

ч = ч0( у) + 7ТТ

А2 р п=0 п

X

, nps2c , nps1 х , пР*1С , пр*2х

^эп----------------— СП-1----*18П------------— СП 2

X-

Ь

Ь

, пР*1С , пР*2С , пР*2С , nps1c

s1 эп--------— СП----------2— эп--------------— СП----------—

1 2 2 2 2 2

-X

X эт

пру

Здесь

(9)

* =±

*2 = ±

2

А

^3

А

1

А

2

А3

А1 \

(10)

Ґ А Л2 А

- а2.

V 1 /

Составляющие напряжения в слое т определяются по формулам [2]:

Ет

( Л2 \

Э ч т Э ч

1 -VтVт

ху ух

Ет Еу

Эх

-IV

2 Л, .2

Эу2

О у — 2 •

у 1 -vm V

Сл2 л2 Л

Э ч у Э ч '

т Л1т

ху ух 2

•IV

Э2 ч

хт = 2 ■ 20т —— ху ^ ЭхЭу

п=0

Влияние несбалансированности на напряжённое состояние и деформационное поведение многослойных пластин

Рассмотрим влияние несбалансированности на напряженное состояние и деформационное поведение двухопорной и защемлённой пластин из слоистого углепластика на примере пятислойной пластины (рис. 3, 4).

Рис. 3. Расчётная схема двухопорной слоистой композитной пластины

Рис. 4. Расчётная схема защемлённой слоистой композитной пластины

Исходные данные:

толщина слоя кс = 0,25 мм; количество слоёв п = 5;

толщина слоистого паке-

та к = кс ■ п = 0,25 • 5 = 1,25 мм;

длина пластины а = I = 250 мм; ширина пластины Ь = 250 мм;

распределённая по поверхности нагрузка Р = 1000 Па;

материалом однонаправленного слоя служит углепластик на основе эпоксидной матрицы с коэффициентом армирования у = 0,7.

Характеристики армирующего материала (углеродные волокна):

Ев1 = 300 ГПа;

0А2 = 12 ГПа; Vгі2 = 0,15.

Ев2 = 9 ГПа;

Здесь Ев1 - продольный модуль уп-ругости волокна, Ев2 - поперечный модуль упругости волокна, 0в12 - модуль

сдвига волокна, vв12 - продольно-

поперечный коэффициент Пуассона волокна (1 - направление нагружения, 2 -направление поперечной деформации).

Характеристики матрицы (эпоксидная смола):

Ем = 4,0 ГПа; 0м = 1,0 ГПа;

м 5 ’ м 5 ’

V м = 0,35.

м

Здесь Ем, 0М, Vм - модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона матричного материала соответственно.

Отклонение углов укладки

Изначально пластина имеет следующую сбалансированную схему укладки слоёв по толщине:

(45/ -45/0/ -45/45)0. Далее угол укладки внешнего слоя (слой №5) изменяется на ±30, ± 50, ± 10° и анализируется напряжённо-деформированное состояние

пластины.

Расчёт напряженно-деформированного состояния пятислойной пластины выполнялся с использованием программного продукта АКБУБ. Необходимыми для расчёта в АКБУБ исходными данными являются девять упругих характеристик элементарного слоя: Е1, Е2,Е3 - модули упругости однонаправленного слоя в направлениях главных осей упругой симметрии слоя 1, 2 и 3, соответственно;

012,023,013 - модули сдвига в плоскостях 12, 23, 13, соответственно; v12,V23,v13 -

коэффициенты Пуассона.

Упругие характеристики однонаправленного слоя, рассчитываемые по методу [3], следующие: Е1 = 211 ГПа;

Е2 = 6,55 ГПа; 012 = 2,79 ГПа; ^ = 0,21.

Оставшиеся характеристики, влияющие на расчёт незначительно, приняты следующими: Е3 = 4 ГПа; 023 = 013 = 1 ГПа;

V 23 = ^3 = 0,01

Рассчитанные по формулам (3) из-гибные и крутильные жёсткости составляют:

А1 = 14,4 Пахм3; А2 = 7,8 Пахм3;

Ак = А66 = 7,1 Пахм3;

А12 = A1v12 = 6,9 Пахм3;

А3 = A1v12 + 2 Ак = 21,1 Пахм3.

Зависимость прогибов пятислойных пластин из углепластика (защемлённой и двухопорной) от величины отклонения углов укладки внешнего слоя выглядит следующим образом (рис. 5).

Характер изменения нормальных напряжений вдоль волокон в крайних слоях наиболее напряжённых сечений пластин представлен на рис. 6, 7. Напряжения вычислялись в каждом слое в их локаль-

Для выявления влияния числа слоёв на величину изменения прогибов были рассмотрены двухопорные и защемлённые пластины, у которых количество сло-ёв составляло девять, тринадцать и семнадцать. Для этих пластин графики зависимостей прогибов и нормальных напряжений вдоль волокон не приводятся, так как они качественно схожи с графиками, приведёнными выше для пятислойных углепластиковых пластин.

На рис. 8 приведена зависимость максимального относительного изменения прогиба несбалансированных пластин по отношению к сбалансированным структурам.

При числе слоев более пяти сбалансированные структуры укладки слоёв следующие:

9-слойная пластина -

(45/ -45/30/-30/0/-30/30/-45/45)0;

13-слойная пластина -

' 45/ - 45/30/ - 30/45/ - 45/0/ - 45/45Л0 /- 30/30/- 45/45 ;

V /

17-слойная пластина -

(45/-45/30/-30/45/- 45/15/ -15/0/

/ -15/15/-45/45/ - 30/30/ - 45/45)0.

ных системах координат.

-15 -10 -5 0 5 10 15

отклонение угла укладки, градусы

—♦—защемленная пластина

Рис. 5. Зависимость прогибов пятислойных пластин из углепластика от величины отклонения углов укладки внешнего слоя от сбалансированного состояния (45°)

о

с

о

ш

л

с

о

ч

ы т

як ™

с!

и

со

к

*

к

о.

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-15 -10 -5 0 5 10 15

отклонение угла укладки, градусы

-слой №5

-слой №4

-слой №3

Рис. 6. Зависимость нормальных напряжений вдоль волокон в слоях пятислойной защемлённой пластины из углепластика от отклонения угла укладки внешнего слоя от сбалансированного состояния (45°)

отклонен ие угла укладки, градусы

-слой №5

-слой №4

-слой №3

Рис. 7. Зависимость нормальных напряжений вдоль волокон в слоях пятислойной двухопорной пластины из углепластика от отклонения угла укладки внешнего слоя от сбалансированного состояния (45°)

количествослоев

♦ защемленная пластина —□— двухопорная пластина

Рис. 8. Зависимость максимального относительного изменения прогиба (по отношению к сбалансированному состоянию) многослойных пластин от количества слоёв в них

Изменение прогиба вычислялось по формуле:

к тт \исбал ^несбал\ Л

А и =]-------------1 ■ 100%,

и

сбал

где исбал - прогиб пластины в сбалансированном состоянии, инесбал - прогиб

пластины в несбалансированном состоянии соответственно.

Нарушение последовательности укладки

Рассмотрим влияние несбалансированности, вызванной нарушением последовательности укладки слоёв, на многослойных композитных пластинах с двухопорным и защемлённым видами закрепления в зависимости от числа слоёв и варианта нарушения последовательности укладки. Начнём с пятислойной пластины, имеющей следующую структуру в сбалансированном состоянии:

(45/ -45/0/ -45/45)0.

Варианты схем с нарушенной последовательностью укладки выглядят сле-

дующим образом:

а) нарушение последовательности

укладки слоёв №5 и №4

(45/ - 45/0/45/ - 45)0;

б) нарушение последовательности

укладки слоёв №4 и №3

(45/ - 45/ - 45/0/45)0.

На рис. 9-11 показаны зависимости изменения прогиба и нормальных напряжений вдоль волокон в слоях пятислойной пластины от варианта нарушения последовательности укладки слоёв и способа закрепления.

1,2

защемленная 5- двухопорная 5-тислойная тислойная

пластина пластина

Рис. 9. Зависимость изменения прогиба пятислойных пластин от варианта нарушения последовательности укладки

= .9 --------------------------------------

слой №5 слой №4 слой №3

Псбал.сост. Инаруш п.у.сл.5 и 4

инаруш.п.у.сл.4 и 3

Рис. 10. Зависимость изменения нормальных напряжений вдоль волокон в слоях пятислойной защемлённой пластины от варианта нарушения последовательности укладки

□ сбал.сост. Инаруш.п.у.сл.5 и 4

□ наруш.п.у.сл.4 и 3

Рис. 11. Зависимость изменения нормальных напряжений вдоль волокон в слоях пятислойной двухопорной пластины от варианта нарушения последовательности укладки

Оценим влияние числа слоёв на величину несбалансированности, вызванной нарушением последовательности укладки. Структуры укладки в пластинах с числом слоёв более пяти аналогичны вышеуказанным. Для многослойных пластин был построен график относительного изменения прогиба в зависимости от числа слоёв в слоистом пакете и вида закрепления (рис. 12, 13).

количествослоев

♦ нарушение последовательности укладки слоев №5 и №4 —□—нарушение последовательности укладки слоев №4 и №3 Рис. 12. Зависимость относительного изменения прогиба (по отношению к сбалансированному состоянию) защемлённой пластины от числа слоёв и варианта нарушения последовательности укладки

количествослоев

ф нарушение последовательности

укладки слоев №5 и №4 —□—нарушение последовательности укладки слоев №4 и №3 Рис. 13. Зависимость относительного изменения прогиба (по отношению к сбалансированному состоянию) двухопорной пластины от числа слоёв и варианта нарушения последовательности укладки

Г рафики свидетельствуют о том, что нарушение последовательности укладки слоёв №3 и №4 (замена слоя ф(4) = -450 слоем ф(3) = 00) намного существеннее влияет на величину изменения прогибов, чем нарушение последовательности укладки слоёв №4 и №5 (когда слой ф(5) = 450 замещает слой ф(4) = -450). Изменение прогиба в первом случае составляет до 16%, во втором до 1...2%. С увеличением количества слоёв влияние несбалансированности, вызванной нарушением последовательности укладки слоёв, на деформационное поведение уменьшается.

Вывод

Нарушение сбалансированности слоистых структур пластин, вызванное отклонениями углов укладки слоёв от расчётных, приводит к изменению как деформационного поведения, так и напряжённого состояния. Изменение зависит от величин отклонений углов укладки, числа слоёв, вида нагружения и граничных условий закрепления пластин. При числе слоёв > 13 влияние отклонений углов ук -ладки в пределах ± 50 на величину максимального прогиба незначительно (не превышает 5%).

Влияние несбалансированности слоистых пластин, вызванной нарушением последовательности укладки слоёв, на их напряжённо-деформированное состояние зависит от варианта нарушения последовательности укладки, и с увеличением числа слоёв влияние несбалансированности уменьшается.

Таким образом, при изготовлении изделий из слоистых композиционных материалов необходим тщательный контроль над процессом укладки слоёв при формовании изделия.

Библиографический список

1 . Пластинки и оболочки из стеклопластиков [Текст]: учеб. пособие для ву-

зов / В. Л. Бажанов, И. И. Гольденблат, В. А. Копнов и др.; под общ. ред. проф. И. И. Гольденблата; М-во высш. и сред. спец. образования СССР. - М.: Высшая школа, 1970. - 408 с.

2 . Лехницкий, С. Г. Анизотропные пластинки [Текст] / С. Г. Лехницкий. - М.

- Л.: ОГИЗ Гос. изд-во техникотеоретической литературы, 1947. - 354 с.

3 . Первушин, Ю. С. Основы механики, проектирования и технологии изготовления изделий из слоистых композиционных материалов [Текст]: учеб. пособие / Ю. С. Первушин, В. С. Жернаков; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. - Уфа, 2008. - 303с.

PECULIARITIES OF STRAIN BEHAVIOUR AND STRESSED STATE OF PLATES MADE OF UNBALANCED LAMINATED COMPOSITE MATERIALS

© 2012 Y. S. Pervushin, P. V. Soloviev Ufa State Aviation Technical University

The paper is devoted to the influence of unbalanced structures of multilayer composite materials produced by deviations of layer placement angles and faults in placement succession on the stressed state and strain behavior of laminated plates during bending. The influence of imbalance during bending is investigated on double-support restrained plates of rectangular cross-section acted upon by a load distributed over the surface for different numbers of layers. The results of imbalance influence on the strained and stressed state of multilayer plates are presented.

Composite, lamina, imbalance, stress, strain, plate, anisotropy, orthotropy.

Информация об авторах

Первушин Юрий Сергеевич, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, Уфимский государственный авиационный технический университет. E-mail: pcomposit@mail.ru. Область научных интересов: исследования в области механики и термомеханики композиционных материалов.

Соловьёв Павел Владимирович, аспирант кафедры сопротивления материалов, Уфимский государственный авиационный технический университет. E-mail:

paulnightingale@mail.ru. Область научных интересов: исследования в сфере механики стержневых конструкций из слоистых композиционных материалов.

Pervushin Yuri Sergeevich, doctor of technical sciences, professor of the department of strength of materials, Ufa State Aviation Technical University. Е-mail: pcomposit@mail.ru. Area of research: mechanics and thermomechanics of composite materials.

Soloviev Pavel Vladimirovich, postgraduate student of the department of strength of materials, Ufa State Aviation Technical University. Е-mail: paulnightingale@mail.ru. Area of research: mechanics of rod structures made of laminated composite materials.